SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM THI KỲ THI CHỌN HSG NĂM HỌC 2012-2013 Môn: TOÁN – Lớp 12 THPT Câu Nội dung Điểm 1.1 (2,0) Khi 0 = m , hàm số là 3 3= −y x x (C). Gọi ( ) 3 0 0 0 ; 3M x x x− . Tiếp tuyến (d) tại M có phương trình: ( ) ( ) 2 3 0 0 0 0 3 3 3y x x x x x= − − + − (1) 0,5 Khoảng cách từ M đến trục tung bằng 2 0 0 2 2x x⇔ = ⇔ = ± 0,5 + Nếu 0 2x = , phương trình (1) có dạng: 1 9 16 ( )y x d= − 0,5 + Nếu 0 2x = − , phương trình (1) có dạng: 2 9 16 ( )y x d= + Vậy có hai tiếp tuyến là 1 (d ) và 2 (d ) thoả mãn yêu cầu. 0,5 1.2 (2,0) Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (1) và ( ∆ ) là nghiệm phương trình: 3 2 3 2 2 3 2 2 2 (2 3) 2 0+ − = − ⇔ + − + + =x mx x mx x mx m x 2 2 1 ( 1) (2 1) 2 0 (2 1) 2 0(2) = ⇔ − + + − = ⇔ + + − = x x x m x x m x . 0,5 Vậy ( )∆ và đồ thị hàm số (1) cắt nhau tại ba điểm phân biệt ⇔ phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt 2 (2 1) 8 0 1 0 1 2 1 2 0 m x m m + + > ≠ ⇔ ⇔ ≠ + + − ≠ . Khi đó, ba giao điểm là A có hoành độ là 1 và 1 1 2 2 B( ;2 2), C( ;2 2)x mx x mx− − , trong đó 1 2 x ;x là nghiệm phương trình (2) nên 1 2 1 2 x x 2m 1,x x 2+ = − − = − 0,5 Tam giác OBC có diện tích 1 BC. 2 S d= . Trong đó 2 2 d = d(O; ) = 1+4m ∆ 0,5 ( ) 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2 BC ( ) (2 2 ) ( ) 4 4 1x x mx mx x x x x m = − + − = + − + ( ) ( ) 2 2 BC 2 1 8 4 1m m ⇒ = + + + ( ) 2 2 1 8⇒ = + +S m 0,25 Vậy 2 0 3 9 4 4 9 1 = = ⇔ = + + ⇔ = − m S m m m . Đối chiếu ĐK, Kết luận: 1 = − m . 0,25 2.1 (2,5) Với điều kiện : cos 0≠x , Phương trình đã cho tương đương : 3cos2 sin 2 3 4cos4 cos + + = x x x x 0,5 ( ) 2 3 2cos 1 2sin cos 3 4cos4 cos − + + ⇔ = x x x x x 0,5 3cos sin 2cos4⇔ + =x x x (vì cos 0 ≠ x ) 0,5 cos cos4 6 ⇔ − = ÷ x x π (1) 0,5 Giải phương trình (1) và đối chiếu ĐK, kết luận nghiệm của phương trình đã cho là: 2 18 3 k x π π = − + ; 2 30 5 = + k x π π . 0,5 1 2.2 (2,5) ĐKXĐ: x ;y∈ ∈¡ ¡ . Ta có ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + = + ⇔ + − = ⇔ = + − xy y x y x x y x x 0,5 2 2⇔ = + +y x x (1). Thế vào phương trình thứ hai trong hệ, ta có : ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 2 3 2 4+ + + + + + = −x x x x x x x ( ) 2 2 1 2 2 1 2 3 0⇔ + + + + + + + =x x x x x x . 0,5 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 1 2 1 2x x x x ⇔ + + + + = − + − + (*) Xét hàm số ( ) 2 ( ) 1 2= + +f t t t với ∈ ¡t . Ta có 2 2 2 '( ) 1 2 0, ( ) 2 = + + + > ∀ ∈ ⇒ + ¡ t f t t t f t t đồng biến trên ¡ . 1,0 Mặt khác, phương trình (*) có dạng 1 ( 1) ( ) 1 2 + = − ⇔ + = − ⇔ = −f x f x x x x . Thay 1 2 = −x vào (1) ta tìm được 1=y .Vậy hệ đã cho có nghiệm là 1 2 1. = − = x y 0,5 3.1 (1,0) Kẻ BH CD⊥ ⇒ ABHD là hình vuông và · · CBH MBA CBH MBA CB MB= ⇒ ∆ = ∆ ⇒ = Mặt khác, BN là phân giác của góc vuông MBC · · 0 CBN MBN 45⇒ = = ⇒ ∆ CBN = ∆ MBN Vậy d(B;CD) d(B;MN)= 0,25 mà 7 2 25 4 4 d(B;MN) BH BD BH 2 4 50 2 2 − − = = ⇒ = ⇒ = = . 0,25 Điểm D thuộc BD, nên 0 D(x ;2) và BD = 4. Ta có 0 2 0 0 x 5 (x 1) 16 x 3 = − = ⇔ = − . 0,25 Theo giả thiết 0 x 0> . Vậy D(5; 2). 0,25 3.2 (2,0) Tính được AB = 5. 0,25 Gọi I là trung điểm AC, ta có 1 25 25 IA.IB IA.IB 2 4 2 = ⇒ = . Mặt khác ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 IA IB AB IA IB 25 IA IB IA IB 2IA.IB 0 IA IB+ = ⇒ + = ⇒ − = + − = ⇒ = Vậy tam giác ABC vuông cân tại B. 0,5 C (P) C(a;b; 2b)∈ ⇒ − . Điều kiện để có điểm C là AB.BC 0= uuur uuur và BC =5 0,5 2 2 2 0.(a 1) 4(b 2) 3( 2b 4) 0 (a 1) (b 2) ( 2b 4) 25 − − + + − − = ⇔ − + + + − − = . 0,25 Giải hệ được hai nghiệm (a ; b) là (6 ; -2) ; (-4 ; -2). 0,25 Vậy có hai điểm C thoả mãn yêu cầu có toạ độ là (6 ; -2 ; 4) , (-4 ; -2 ; 4). 0,25 2 A B D C H N d M 4. (3,0) BC AB; (SAB) (ABCD) BC (SAB) BC SA⊥ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ Mà SA SB⊥ ⇒ SA (SBC)⊥ . Gọi d là khoảng cách từ D đến (SBC) SD d SD.sin 3 ⇒ = ϕ = . Mặt khác : AD//(SBC) d(D,(SBC)) d(A,(SBC))⇒ = SD d SA SA 3 ⇒ = ⇒ = 0,25 0,5 0,5 Do AD//BC AD SA⇒ ⊥ . Xét tam giác SAD vuông tại A có AD = 2a và 2 2 2 2 2 a 2 a 14 SA AD SD AD 8SA SA SB 2 2 + = ⇒ = ⇒ = ⇒ = 0,25 Kẻ SH AB ⊥ tại H SH (ABCD)⇒ ⊥ và a 7 AB.SH SA.SB SH 4 = ⇒ = Vậy 3 S.ABCD 1 a 7 V SH.dt(ABCD) 3 3 = = . 0,5 Ta có 3 SBCD S.ABCD 1 a 7 V V 2 6 = = . 0,25 Mà SCBD 3V d(C;(SBD)) dt(SBD) = (1) 0,25 Tam giác SBD có: a 14 SB 2 = , 3a 2 SD 3SA 2 = = , 2 2 2 BD 2a 2 BD SB SD= ⇒ = + ⇒ tam giác SBD vuông tại S 2 1 3a 7 dt(SBD) SB.SD 2 4 = = 0,25 Thay vào (1) có 2a d(C;(SBD)) 3 = . 0,25 5.1 (2,0) Đưa về ( ) 2 2 3 3 2 4 1 1 ln 1x x x I dx dx x x + + = + ∫ ∫ 0,25 Xét ( ) 2 1 2 1 ln 1x I dx x + = ∫ . Đặt 2 ln( 1) 1 1 1 dx u x du x dv dx v x x = + = + ⇒ = = − 0,25 ⇒ ( ) 2 2 1 1 1 2 ln( 1) ln3 3ln3 ln 2 ln ln 1 3ln 2 1 ( 1) 2 2 x dx I x x x x x − + = + = − + + − + = − + ∫ 0,5 3 2 2 2 3 1 1 1 x I dx x + = ∫ . Đặt 2 3 2 3 2 3 3 2 1 2 3 1 1 2 1 3 1 t dt dx t dt dx x x x x = + ⇒ = − ⇒ − = + ÷ 0,25 3 S A C D = D B H Đổi cận: 3 3 1 2 5 2 4 x t x t = ⇒ = = ⇒ = 3 3 5 4 3 2 2 3 I t dt 2 = − ∫ 0,25 3 3 5 4 4 3 3 2 2 3 3 5 5 I t 2 2 8 8 4 4 ⇒ = − = − − ÷ 0,25 ⇒ I= 3ln3 3ln 2 2 − 3 3 3 5 5 2 2 8 4 4 − − ÷ . 0,25 5.2 (1,0) Số cần lập có dạng 1 2 2 4 5 a a a a a , trong đó luôn có mặt chữ số 6. Xảy ra các trường hợp: Trường hợp 1: Nếu 1 a 6= . Khi đó, ta chọn 4 chữ số trong 6 chữ số 0;1;2;3;4;5 cho 4 vị trí còn lại ⇒ trường hợp này có 4 6 A số. 0,25 Trường hợp 2: Nếu 1 a 6≠ , có 4 cách chọn vị trí của chữ số 6. Khi đó, có 5 cách chọn { } 1 a 1;2;3;4;5∈ . Sau khi chọn 1 a và vị trí cho chữ số 6, còn lại 3 vị trí được chọn từ 4 chữ số còn lại, nên số cách chọn là 3 5 A ⇒ trường hợp này có 4.5. 3 5 A số. 0,5 Vậy số các số thoả mãn yêu cầu là 4 6 A + 4.5. 3 5 A =1560. 0,25 6. (2,0) Từ giả thiết 2 2 2 1x y z+ + = (1) , ta có: ( ) 2 8 2 2 3 P xy yz xz xy yz xz = + + − + + + Đặt 2 8 2 3 t xy yz xz P t t = + + ⇒ = − + . 0,5 Ta luôn có ( ) 2 2 2 2 0 2( ) 1 2( )x y z x y z xy yz zx xy yz zx≤ + + = + + + + + = + + + 2 2 2 1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 + ⇒ + + ≥ − ⇒ + + ≥ − + ≥ − − = − + ≥ − x z y xy yz zx xy yz xz xz Dấu “=” xảy ra 0 2 2 y x z = ⇔ = − = ± . Vậy 1.t ≥ − 0,5 Do đó GTNN của P bằng GTNN của hàm 2 8 ( ) 3 f t t t = − + với t 1. ≥ − 0,25 Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 2 2 2 2 1 ( 4) 8 6 9 4 '( ) 2 2 0, 1 3 3 3 t t t t t f t t t t t t + + + + + = + = = > ∀ > − + + + 0,25 Hàm số ( )f t liên tục trên [ ) 1; ( )− +∞ ⇒ f t đồng biến trên [ ) 1;− +∞ [ ) 1; min ( ) ( 1) 3 ∈ − +∞ ⇒ = − = − t f t f . Vậy min P = - 3. 0,5 Ghi chú: Các cách giải khác với đáp án mà đúng và phù hợp với chương trình, thì giám khảo thống nhất chia điểm thành phần tương ứng. HẾT 4 . SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM THI KỲ THI CHỌN HSG NĂM HỌC 2012 -2013 Môn: TOÁN – Lớp 12 THPT Câu Nội dung Điểm 1.1 (2,0) Khi