Tổ Toán GIÁO ÁN DẠY PHỤ ĐẠO LỚP 11 HK II Lê Văn Quang THPT PL Tiết1, 2, 3,4,5,6 tuần 1,2 Ngày soạn: 05/02/012 GIỚI HẠN DÃY SỐ, GIỚI HẠN HÀM SỐ HÀM SỐ LIÊN TỤC I. Mục tiêu: - Biết tìm giới hạn của các dãy số, của các hàm số dựa vào định nghĩa, vào các giới hạn đặc biệt, dựa vào các định lí - Giải một số dạng bài tập nâng cao Hoạt động của thầy và trò Nội dung ghi bảng Kết hợp sử dụng đ/n Kết hợp sử dụng đ/n Thêm bớt chia thành 2 bài Giải tìm kết quả từng bài I/ PHẦN GIỚI HẠN Bài 1: Tìm các giới hạn sau: a) ( ) ( ) 1 1 lim 2 lim2 lim 2 2 n n n n − − ÷ + = + ÷ + + Mặt khác: lim2 = 2 và vì ( ) 1 1 1 2 2 n n n n − ≤ ≤ + + Nhưng : 1 lim 0 n = nên ( ) 1 lim 0 2 n n − = + Vậy: ( ) 1 lim 2 2 0 2 2 n n − ÷ + = + = ÷ + b) sin3 sin3 lim 1 lim lim1 4 4 n n n n − = − ÷ Nhưng: sin3 sin3 1 1 4 4 4 n n n n n n ≤ ≤ ≤ và 1 lim 0 n = nên sin3 lim 0 4 n n = ngoài ra lim1 = 1 Vậy sin3 lim 1 1 4 n n − = − ÷ Bài 2: Lớp 11C 1 và 11C 7 xem thêm các bài 4.7, 4.8 , 4.9, 4.10, 4.11 STK trang 138, 139. Bài 3: Tìm giới hạn: ( ) 3 2 3 lim 1 1n n+ − + Giải: ( ) ( ) ( ) 3 3 2 3 2 3 lim 1 1 lim 1 1n n n n n n + − + = + − + − + ( ) ( ) 3 2 3 lim 1 lim 1n n n n= + − + − + = A + B Với ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 1 A lim 1 lim lim 0 1 1 n n n n n n n n n n + − + + = + − = = = + + + + B ( ) 2 3 2 3 3 3 1 lim 0 1 1n n n n − = = + + + + Vậy: ( ) 3 2 3 lim 1 1 0n n+ − + = Bài 4: Tìm các giới hạn của dãy số n U , với: 1 Tổ Toán GIÁO ÁN DẠY PHỤ ĐẠO LỚP 11 HK II Lê Văn Quang THPT PL Dạng 0 0 cần nhân lượng liên hợp Dang khi tìm chỉ cần thay các giá trị vào a) 2 3 7 5 n U n n= − + b) 3 2 2 6 4 n U n n= − + − Giải: b) ( ) 3 2 3 3 6 4 lim( ) lim 2 6 4 lim 2 n U n n n n n − = − + = − + ÷ Vì 3 limn = +∞ và ( ) 3 6 4 lim 2 2 0 lim n U n n − + = > ⇒ − = +∞ ÷ . Vậy ( ) lim n U = −∞ Bài 5: 3 3 lim 0 6 3n n − = − + − vì 3 1 lim 0 6 3n n = − + − Bài 6: Tìm 2 1 2x 1 lim 12x 11 x x x → − − − + dạng 0 0 Nhân tử mẫu cho x 2x 1+ − là được: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 1 2x 1 2x 1 1 lim lim lim 0 12x 11 12x 11 2x 1 11 2x 1 x x x x x x x x x x → → − − − + − = = = − + − + + − − + − Bài 7: a) Tìm ( ) 2 2 lim 3x 7x+11 3.2 7.2 11 37+ = + + = b) 3 4 1 1 1 lim 0 (2 1)(1 3) (2x 1)( 3) x x x x → − − = = − − − − c) 0 0 0 1 1 lim 1 lim lim( 1) 0 1 1 x x x x x x x x x → → → − − = = − = − = − ÷ ÷ d) 9 9 9 3 3 1 1 1 lim lim lim (9 ) 9(3 3) 54 (3 )(3 ) (3 ) x x x x x x x x x x x x → − → − − − − = = = =− − + + − + e) 2 2 3 lim 4 ( 3) 4 3 4 1 1 x x → − = − = − = − = f) 4 4 2 2 2 3x 1 2 3.2 1 21 lim 3 7 2x 1 2.2 1 x x → + − + − = = = − − Bài 8: Tìm các giới hạn a) 2 2 2 2 5 5 2x 5 0 lim lim 5 1 1 0 1 1 x x x x x x →+∞ →+∞ + + + = = = + + + b) 2 2 2 ( 3) ( 3) ( 3) 2 5 3 ( 3)(2 1) 2 1 lim lim lim 3 ( 3) ( 3) x x x x x x x x x x x − − − → − → − → − + − + − − = = − − − Có ( 3) lim (2 1) 7 x x − → − − = − 2 2 ( 3) ( 3) 2 5 3 lim ( 3) 0, 3 0 3 lim ( 3) x x x x x x vôùi x neân x − − → − → − + − + = + < < − = +∞ + c) 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 1 lim lim lim ( ) ( ) x x x x x x x x x x x x x x x x x x + + + → → → + − + − = = = +∞ + + + + Vì 2 2 0 lim ( ) 0 ( ) 0 0 x x x x x vaø x x x x vôùi x + → + + = + + > > 2 Tổ Toán GIÁO ÁN DẠY PHỤ ĐẠO LỚP 11 HK II Lê Văn Quang THPT PL Đưa về dạng a 3 – b 3 Thêm bớt một lượng đưa về tính hiệu 2 giới hạn Nhân một lượng liên hợp d) 0 0 0 2 ( 2) 2 2 lim lim lim 2 1 ( 1) 1 x x x x x x x x x x x x x + + + → → → + + + = = = = − − − − − Bài 9. Tìm 2 1 lim 1 x x x x → − − Giải: 3 2 4 1 1 1 1 ( ) ( ) lim lim lim 1 1 1 x x x x x x x x x x x x → → → − − − = = − − − 1 (1 )(1 ) lim 1 x x x x x x → − + + = − 1 lim (1 ) 3 x x x x → = + + = Bài 10. Tìm 3 1 3 2 lim 1 x x x x → − − − Gi ải: : 3 1 3 2 lim 1 x x x x → − − − 3 1 1 1 3 2 lim 1 x x x x → − + − − = − = 2 1 1 ( 1)( 1) lim lim 1 x x x x x x → → − + + − − ( 3 2 1).( 3 2 1) ( 1) 3 2 1) x x x x − − − + − − + 2 1 1 3 lim( 1) lim 3 2 1 x x x x x → → = + + − − + = 3 3 3 2 2 − = Bài 11. Tìm 2 3 9 lim 6 3 x x x → − + − Gi ải. ( ) 2 3 3 (3 )(3 ) 6 3 9 lim lim 3 6 3 x x x x x x x x → → − + + + − = − + − = ( ) 3 lim ( 3 ) 6 3 6.6 36 x x x → − − + + = − = − Bài 12. Tìm a) 3 2 1 lim 3 x x x − → − − . Ta có ( ) ( ) 3 3 lim 2 1 6 1 5 0 lim 3 0 3 0 3 x x x x vaø x x − − → → − = − = > − = − > ∀ < Vậy 3 2 1 lim 3 x x x − → − =+∞ − b) 2 3 3 11 6 lim 3 x x x x → − + − → → → − + − − = = − = − − 2 3 3 3 3 11 6 ( 3)(3 2) lim lim lim(3 2) 7 3 3 x x x x x x x x x x c) 2 4 2 4 4 2 4 lim 4 lim( 2 4) 4 0 ; lim(4 ) 0 à 4 0 4 − − − → − → → − − = + ∞ − − − = > − = − > → x x x x x x Vì x x x v x khi x d) ( ) 2 lim 4 9 5 2 3 →−∞ + + + − = x x x x 3 Tổ Toán GIÁO ÁN DẠY PHỤ ĐẠO LỚP 11 HK II Lê Văn Quang THPT PL Dạng 0 0 Phân tích ra thừa số đơn giản khử dạng vô định Nhân lượng liên hợp để khử dạng vô định Trước tiên cho hs xét tính liên tục tại 1 điểm sau đó xét trên tập xác định R Sử dụng ĐL1 để xét tính liên tục trên khoảng sau đó xét tính liên tục tại 1 điểm xét liên tục bên trái bên phải của điểm đó ( ) 2 2 4 21 21 4 21 lim lim 4 9 5 3 4 9 5 2 3 4 2 →−∞ →−∞ − − = = − + + − + − + + − + x x x x x x x x x x e) 2 9 9 9 9 3 3 3 1 1 lim lim lim lim (9 ) 54 9 (3 )(3 ) (3 ) x x x x x x x x x x x x x x x x → → → → − − − − − = = = = − − − + + f) 3 2 2 2 2 8 2 4 lim lim 3 2 4 x x x x x x x → → − + + = = + − g) 3 2 2 2 3 3 3 3 3 ( 3)( 3 3) ( 3 3) 9 lim lim lim 3 ( 3 )( 3 ) ( 3 ) 2 3 x x x x x x x x x x x x x →− →− →− + + − + − + = = = − − + − h) 3 2 2 0 0 3 1 1 lim lim 0 ( 1)( 1 1) x x x x x x x x → → + − = = + + + + i) 2 2 1 1 2 2 1 1 lim lim 0 ( 2 1) x x x x x x x x x x → → − − − = = − − + II/ PHẦN HÀM SỐ LIÊN TỤC Bài 1. Xét tính liên tục của các hàm số a) 2 2 5 3 3 ( ) 3 5 3 x x neáu x f x x neáu x − − ≠ = − = Trên tập xác định R b) 2 2 3 20 4 ( ) 4 13 4 x x neáu x f x x neáu x − − ≠ = − = Trên tập xác định R c) 2 3 11 6 3 ( ) 3 9 3 x x neáu x f x x neáu x − + ≠ = − = Trên tập xác định R d) 3 1 1 ( ) 2 4 1 x x neáu x f x x neáu x + + ≥ = + < Trên tập xác định của nó Giải: TXĐ R • Trên khoảng ( −∞ ; 1), f(x) = 2x + 4 là hàm đa thức nên liên tục • Trên khoảng (1; +∞ ), 3 ( ) 1f x x x= + + là hàm đa thức nên liên tục • Tại 0 1x = Ta có f(1) = 3 1 1 lim ( ) lim(2 4) 6 (1) x x f x x f − − → → = + = ≠ 3 1 1 lim ( ) lim( 1) 3 (1) x x f x x x f + + → → = + + = = Vì 1 lim ( ) x f x − → ≠ 1 lim ( ) x f x + → nên 1 lim ( ) x f x → không tồn tại Vậy f(x) không liên tục tại 0 1x = Tóm lại f(x) liên tục trên khoảng ( −∞ ; 1) và (1; +∞ ) nhưng gián đoạn tại điểm 0 1x = Bài 2. Cho hàm số 2 2 1 0 ( ) 0 x x neá u x f x x a neáu x + + < = + ≥ Định a để f(x) ltục trên R 4 Tổ Toán GIÁO ÁN DẠY PHỤ ĐẠO LỚP 11 HK II Lê Văn Quang THPT PL Sử dụng ĐL1 để xét tính liên tục trên khoảng sau đó xét tính liên tục tại 1 điểm xét liên tục bên trái bên phải của điểm đó Từ đó suy ra giá trị a Sử dụng ĐL3 về hàm số liên tục để tìm nghiệm trên khoảng Sử dụng ĐL3 sau đó giải tìm điều kiện nghiệm Giải: • Trên khoảng ( −∞ ; 0), f(x) = x 2 + 2x + 1 là hàm đa thức nên liên tục • Trên khoảng (0 ; +∞ ), ( )f x x a= + là hàm đa thức nên liên tục Do đó f(x) liên tục trên R Khi chỉ khi f(x) liên tục tại điểm x 0 = 0 • Xét tại x 0 = 0 Ta có: f(0) = 0 + a = a 2 0 0 lim ( ) lim( 2 1) 1 x x f x x x − − → → = + + = 0 0 lim ( ) lim( ) x x f x x a a + + → → = + = f(x) liên tục tại x 0 = 0 ⇔ 0 lim ( ) x f x − → = 0 lim ( ) (0) 1 x f x f a + → = ⇔ = Tóm lại a = 1 là giá trị cần tìm Bài 3. CMR pt: 3 4 5 3 0x x− − = có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; 2) Giải: Xét 3 ( ) 4 5 3f x x x= − − liên tục trên R nên liên tục trên [0; 2] Ta có f(0) = – 3 ; f(2) = 19 ⇒ f(0).f(2) = – 57 < 0 ⇒ 0 0 (0;2) : ( ) 0x f x∃ ∈ = Vậy phương trình 3 4 5 3 0x x− − = có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (0; 2) Bài 4. CMR pt: 4 2 4 0x x− − = có nghiệm 0 x thỏa mãn 3 0 4x > Giải: Ta có 4 2 ( ) 4f x x x= − − liên tục trên R nên nó liên tục trên [0; 2] Mặt khác f(0).f(2) = – 32 < 0 Vậy pt có nghiệm 0 (0;2)x ∈ Vì 0 x là nghiệm của pt nên 4 2 0 0 4 0x x− − = ⇔ 4 2 2 0 0 0 0 4 2 .4 4 (*)x x x x= + > = Do 0 (0;2)x ∈ 3 3 0 0 0 2 (*) 4 4x neân töø x x⇒ < < ⇒ > ⇒ > II/Củng cố: Củng cố trong từng bài tập III/ Rút kinh nghiệm: Kí duyệt tuần 1,2 kì II 5 . ĐẠO LỚP 11 HK II Lê Văn Quang THPT PL Dạng 0 0 cần nhân lượng liên hợp Dang khi tìm chỉ cần thay các giá trị vào a) 2 3 7 5 n U n n= − + b) 3 2 2 6 4 n U n n= − + − Giải: b) ( ) 3 2 3 3 6