TRƯỜNG THPT LONG MỸ CÂU LẠC BỘ TOÁN HỌC ĐÁP ÁN TUẦN 2 THÁNG 03 NĂM 2013 KHỐI 10 Câu 1: Câu 1: Cho tam giác ABC có trung tuyến AA', ', 'BB CC . Gọi G là trọng tâm tam giác và a, b, c là độ dài ba cạnh. Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 . ' . 3 6 a b c MA MA MB MC MG + + + = − uuur uuuur uuur uuur Giải Ta có: 2 2 2 . ' . 2( ).( ') ( ).( ) 3 (2 ' 2 ) 2 . ' . 3 ( 2 MA MA MB MC MG GA MG GA MG GB MG GC MG MG GA GA GB GC GA GA GB GC MG MG GA GA + = + + + + + = + + + + + + = + − + uuur uuuur uuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuuruuur uuuur uuur ) .( ) .GB GC GA GA GB GC+ + + − + uuur uuur uuur uuur uuur uuuruuur Vì G là trọng tâm ∆ ABC nên ta có: 2 2 0 2 . ' . 3 . GA GB GC MA MA MB MC MG GA GB GC + + = ⇒ + = − + uuur uuur uuur r uuur uuuur uuur uuur uuur uuur Mặt khác: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . 1 1 4 4 . ( ) ( ' ' ) 2 2 9 9 4 9 ( ' ' ) 18 4 BC GC GB BC GB GC GB GC GB GC GB GC BC BB CC BC BB CC BC = − ⇒ = + − ⇒ = + − = + − = + − uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur Do đó: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 9 2 . ' . 3 AA' ( ' ' ) 9 9 4 2 9 3 (2AA' ' ' ) 9 4 MA MA MB MC MG BB CC a MG a BB CC + = − + + − = − + − − uuur uuuur uuur uuur Ta lại có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ' ' ' ' 2 '. ' ' ' ' ' 2 '. ' 2AA' ' ' 2 ' 2 2AA' 2 2 1 AA' 2 AB AA A B AB AA A B AA A B AC AA A C AC AA A C AA A C BC AB AC A B A C AA BC a AB AC b c = + ⇒ = + + = + ⇒ = + + ⇒ + = + + = + ⇔ = + − = + − ⇔ = uuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur 2 2 2 ( ) 2 a b c+ − LẦN 8 Tương tự: 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ' ( ) 2 2 1 ' ( ) 2 2 b BB a c c CC b a = + − = + − Do đó ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 9 1 1 2 . ' . 3 [( ( ) ( )] 9 2 4 2 2 2 2 1 9 3 (2 2 ) 9 2 2 2 1 3 3 3 3 ( ) 9 2 2 2 1 3 ( ) 6 3 ( pcm) 6 a b c MA MA MB MC MG b c a a c b a b c MG b c a a a c b a MG a b c MG a b c a b c MGđ + = − + − + − + − − + − = − + − + − − + − − + = − + + = − + + + + = − uuur uuuur uuur uuur Câu 2: Một vườn cây hình chữ nhật có diện tích 0,9 ha. Người ta muốn rào vườn hai phía Bắc và Nam bằng hàng rào gỗ và hai phía Đông và Tây bằng dây thép gai. Biết chi phí cho một mét rào gỗ là 50 ngàn đồng, một mét rào thép gai là 20 ngàn đồng. Hỏi dự trù chi phí làm hàng rào là 12 triệu đồng có đủ hay không ? Giải Gọi x (m) là độ dài cạnh phía Bắc của vườn ( 0x > ) Gọi y (m) là độ dài cạnh phía Đông của vườn ( 0y > ) Theo gt ta có: 2 . 9000 ( )x y m= Tổng số tiền chi phí T (đơn vị ngàn đồng) là: 50.2. 20.2. 100 40 9000 100 40. 3600 100 T x y x y x x x x = + = + = + = + ÷ Ta có: 100.2 3600 100.2.60 12.000T ≥ = = (ngàn đồng) Dấu ”=” xảy ra khi 3600 60( )x x m x = ⇒ = Suy ra giá trị nhỏ nhất của chi phí T là 12 triệu đồng khi cạnh phía Bắc của vườn dài 60 (m) Vậy dự trù 12 triệu đồng để làm hàng rào chỉ đủ khi cạnh phía bắc của vườn dài 60m Câu 3 Cho .20091,2008,1 ≤−≤−≤ bcaa Chứng minh rằng: .4017≤− cab Giải: Vì: 20092009120091,1 ≤−⇒≤−⇒≤−≤ aabbaba . Mà: 2008≤− ca . Suy ra: 4017≤−+− caaab . Ta có: caaabcaaabcab −+−≤−+−=− )()( . Vậy: 4017≤− cab . KHỐI 11 Câu 1: Giải phương trình ( ) 2 3cos cos sin 2 1 9 2 sin 2 1 4 x x x x π − − − ÷ = π − + ÷ ( ) ( ) 2 3sin cos sin 1 1 2sin 2 1 4 x x x PT x − − ⇔ = π − + ÷ ĐK: 3 4 x m x n ≠ π π ≠ + π ( ) 2 sin 1 3sin 1 sin2 1 1 2sin 3sin 1 0 1 sin 2 cos2 1 sin 2 x x x x x x x x = − + ⇔ = ⇔ − + = ⇔ − + = ( ) 2 2 2 6 5 2 6 x k x k k Z x k π = + π π ⇔ = + π ∈ π = + π thỏa mãn điều kiện Câu 2: Tìm hệ số của 7 x trong khai triển của ( ) ( ) 3 2 2 n f x x x= − + biết 0 1 2 29 n n n C C C+ + = Câu 3 Tìm m để đồ thị của hàm số ( ) ( ) 2 1 5 4 2y x x x m= − − + − cắt trục ox tại 3 điểm phân biệt với hoành độ lập thành cấp số cộng Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C) ( ) ( ) 2 1 5 4 2y x x x m= − − + − và ox ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 1 5 4 2 0 6 4 3 2 4 0 1x x x m x x m x m − − + − = ⇔ − + + + − = Giải sử 1 2 3 ; ;x x x là 3 nghiệm của phương trình (1). Khi đó vế phải của (1) được phân tích như sau ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 1 2 3 3 2 1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3 6 4 3 2 4x x m x m x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x − + + + − = − − − = − + + + + + − Suy ra 1 2 3 6x x x+ + = 1 2 3 ; ;x x x lập thành CSC 1 3 2 2 2 2 2 2 6 2x x x x x x⇔ + = ⇒ + = ⇔ = Với 2 2 2x m= ⇒ = với 2m = thì (1) có 3 nghiệm phân biệt 1; 2; 3x x x= = = lập thành CSC. Vậy 2m = thỏa đề bài KHỐI 12 Câu 1 Pt mp((P): 1 x y z a b c + + = (Với a, b, c >0) Vì M thuộc mp (P) nên ta có 4 1 1 1 a b c + + = Ta có: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 OA OB OC a b c + + = + + Áp dung BĐT Bunhiacopski ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4. 1. 1. 18 1 1 1 1 1 1 1 18 a b c a b c a b c OA OB OC a b c = + + = + + ≤ + + ÷ ÷ ÷ ⇒ + + = + + ≥ Dấu bằng xãy ra khi: 4a b c = = Mà 4 1 1 18 9 1 1 18 4 2 a b c a b c a + + = ⇔ = ⇔ = ⇒ = = Vậy pt mp(P): 2 1 1 1 0 9 18 18 x y z+ + − = Câu 2 3 3 2 2 6 2 4 4 1 1 (1 tan ) . os os A dx x dx c x c x π π π π = = + ∫ ∫ Đặt 2 1 tan os u x du dx c x = ⇒ = 3 3 1 4 x u x u π π = ⇒ = = ⇒ = 3 3 3 3 5 2 2 2 4 1 1 1 2 24 3 28 (1 ) (1 2 ) 3 5 5 15 u u A u du u u du u = + = + + = + + = − ÷ ∫ ∫ Câu 3: Ta có: ( ) 3f x x≥ với mọi 1x ≥ 3 2 2 ( 3) 4 0; 1 4 3 ; 1 x m x x x m x x ⇔ − + + ≥ ∀ ≥ ⇔ − + ≥ ∀ ≥ 1 ( ) min x g x m ≥ ⇔ ≥ ; với 2 4 ( ) 3g x x x = − + Ta có: 3 3 8 '( ) '( ) 0 2 x g x x g x x − = = ⇔ = BBT: x 1 2 ∞+ g’(x) – 0 + g(x) 2 ∞+ 0 Ycđb 0m⇔ ≤ . uuuur 2 2 2 ( ) 2 a b c+ − LẦN 8 Tương tự: 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ' ( ) 2 2 1 ' ( ) 2 2 b BB a c c CC b a = + − = + − Do đó ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 9 1 1 2 . ' . 3 [( ( ) ( )] 9 2 4 2 2 2 2 1 9 3 (2 2 ) 9 2 2 2 1 3 3 3 3 ( ) 9 2 2 2 1 3 ( ) 6 3 ( pcm) 6 a b c MA MA MB MC MG b c a a. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ' ' ' ' 2 '. ' ' ' ' ' 2 '. ' 2AA' ' ' 2 ' 2 2AA' 2 2 1 AA' 2 AB AA A