Đề tài: định thức pell_Luận văn tốt nghiệp

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA SƯ PHẠM BỘ MÔN TOÁN Luận Văn Tốt Nghiệp Đề tài: PHƯƠNG TRÌNH PELL Giáo viên hướng dẫn: Sinh viên thực hiện: Ths. Bùi Anh Kiệt Lương Thị Mai Hiên Giáo viên phản biện: Lớp: Sư phạm toán 02 Thầy Hồ Hữu Hòa MSSV: 1050032 Cô Nguyễn Thư Hương Cần Thơ, 05 - 2009 PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com Lời Nói Đầu Phương trình Pell là một dạng của phương trình Diophantine và có nhiều ứng dụng trong số học. Nó được nói đến trong các tài liệu tham khảo nhưng không nhiều, đòi hỏi phải có sự nghiên cứu và chiết lọc. Em đã đi nghiên cứu đề tài này, nhằm đi sâu vào tìm hiểu cái hay của phương trình Pell và luận văn này là kết quả nghiên cứu đó. Qua một thời gian dài nghiên cứu, luận văn “Phương trình Pell” đã được hoàn thành. Để có được thành quả này, ngoài sự cố gắng nỗ lực của bản thân em còn có sự dạy dỗ, hướng dẫn nhiệt tình của quý thầy cô cùng sự động viên, khích lệ từ bạn bè. Em xin bày tỏ tấm lòng biết ơn đến thầy Bùi Anh Kiệt đã khơi nguồn tri thức và hướng dẫn tận tình để em hoàn thành tốt luận văn của mình. Em cũng xin gởi lời cảm ơn chân thành đến tất cả các thầy cô trong Bộ môn Toán Khoa Sư Phạm đã nhiệt tình dìu dắt và giảng dạy em trong suốt bốn năm Đại học. Cuối cùng xin cảm ơn các bạn lớp toán khóa 31 đã ủng hộ và giúp đỡ mình trong suốt thời gian qua. PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com Mục lục … Phần mở đầu 1 Phần nội dung 3 Chương I. Kiến thức chuẩn bị 3 I.1. Bổ đề 1 3 I.2. Bổ đề 2 3 I.3. Biểu diễn liên phân số của d 4 I.4. Bổ đề 3 5 I.5. Bổ đề 4 6 I.6. Bổ đề 5 7 I.7. Bổ đề 6 8 Chương II. Các dạng phương trình Pell và một số phương pháp giải 11 II.1. Định nghĩa 11 II.2. Các định lý 11 II.2.1. Dạng 1 11 II.2.2. Dạng 2 19 II.2.3. Dạng 3 29 Chương III. Bài tập 35 Chương IV. Một vài ứng dụng 82 II.4.1. Ứng dụng 1.Tìm số chính phương 82 II.4.2. Ứng dụng 2. Xấp xỉ hữu tỉ của d 82 II.4.3. Ứng dụng 3. Những số đa giác 83 II.4.3.1. Số tam giác và hình vuông 83 II.4.3.2. Số hình vuông và ngũ giác 84 II.4.4. Ứng dụng 4. Tổng của những số nguyên liên tiếp nhau 84 II.4.4.1. Bài toán 1 84 II.4.4.2. Bài toán 2 85 II.4.4.3. Bài toán 3 86 II.4.5. Ứng dụng 5. Tam giác Phytago 86 PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com II.4.5.1. Với những cạnh bên là các số nguyên liên tiếp 87 II.4.5.2. Với cạnh bên và cạnh huyền là các số nguyên liên tiếp 87 II.4.6. Ứng dụng 6. Tam giác Hêrông 88 Phần kết luận 89 Tài liệu tham khảo 90 PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com GVHD: B ùi Anh Ki ệt SVTH: Lương Th ị Mai Hi ên 1050032 Phương tr ình Pell 1 PHẦN MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trong suốt bao nhiêu năm học toán từ thời tiểu học đến đại học, em đã học được rất nhiều điều hay, điều mới lạ, có những vấn đề dễ hiểu, có những vấn đề đọc mãi mà chẳng ra, có những vấn đề có trong chương trình học, mà có nhiều vấn đề không có trong chương trình. Đó là những vấn đề có thể đối với thế giới là bình thường nhưng đối với em là điều mới, điều hay và nó thu hút bản năng thích tìm tòi, khám phá và chinh phục của mình. Phương trình Pell là một dạng của phương trình Diophantine nhưng bản thân nó khá phong phú và lại rất đa dạng cả trong lịch sử ra đời, trong định nghĩa, trong phương pháp giải và cả ứng dụng của nó trong số học. Chính tính hấp dẫn của vấn đề cùng với việc mong muốn giới thiệu vấn đề tới các bạn sinh viên ngành toán của trường.Vì thế, em đã có động lực để nghiên cứu đề tài và chọn đề tài luận văn của mình là: “Phương trình Pell” dưới sự góp ý của thầy hướng dẫn Bùi Anh Kiệt. 2. Lịch sử vấn đề Jonh Pell (1611-1685) nhà toán học, người đã tìm ra những nghiệm nguyên ở thế kỉ 17. Tuy nhiên ông chưa là người đầu tiên làm điều này. Phương trình Pell đã được phát minh với chiều sâu hàng trăm năm trước khi Pell ra đời. Sự đóng góp đầu tiên là nhà toán học người Ấn Độ - Brahmagupta, cách đây 1000 năm, trước thời gian của Pell. Với sự đóng góp của ông đã bắt đầu lịch sử nghiên cứu về phương trình Pell. Năm 1150 sau Công Nguyên, một nhà toán học Ấn Độ khác – Bhaskara II, ông đã khám phá ra phương pháp tuần hoàn, mà người Ấn Độ gọi là chakravala . Thế kỉ thứ 14, Narayana đưa ra một số ví dụ về phương pháp tuần hoàn của Bhaskara II. Thế kỉ thứ 17, ở Châu Âu, Fermat đã khẳng định rằng “với mọi số n, có vô hạn con số là nghiệm của phương trình”, ông không chứng minh được. Nhưng các nhà toán học người Anh: William Bramker và John Walliss đã làm được. Ngoài ra Frenicle de Bessy đã sắp xếp thành bảng những nghiệm của phương trình Pell với tất cả số 150 n ≤ . Thế kỉ thứ 18, vào năm 1766, Lagrange đã chứng minh được rằng nghiệm của phương trình phụ thuộc vào khai triển liên phân số của n . PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com GVHD: B ùi Anh Ki ệt SVTH: Lương Th ị Mai Hi ên 1050032 Phương tr ình Pell 2 3. Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu là tập hợp và hệ thống lại một số kiến thức cơ bản của liên phân số. Đồng thời vận dụng kiến thức này vào nghiên cứu phương trình Pell có đặc điểm gì? Phương pháp giải và ứng dụng của nó trong Số học? Xây dựng hệ thống ví dụ nhằm bổ sung làm sáng tỏ phần lý thuyết và các bài tập giúp người đọc hiểu sâu hơn. Đồng thời đưa ra một số ứng dụng của nó trong Số học. Em hay bất cứ một bạn sinh viên nào trước khi ra trường đều muốn tạo dựng một thành quả tốt đẹp cho mình, một công trình nhỏ của riêng mình, để thấy được rằng đây chính là sản phẩm đầu tay của người sinh viên sau 4 năm ngồi trên giảng đường Đại học . Em nghiên cứu đề tài này là muốn hoàn thành Luận văn tốt nghiệp, bên cạnh đó em muốn được mở mang kiến thức, tầm nhìn của mình về môn toán. Từ đó tạo đà cho em sẽ phát triển cao hơn về năng lực tư duy trong nghiên cứu toán học. 4. Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu Luận văn thừa nhận một số khái niệm và tính chất cơ bản của Số học, dãy số. Bên cạnh đó, luận văn trình bày một số kiến thức cơ sở của liên phân số cuối cùng là đi đến khái niệm phương trình Pell và hình thành cách giải của phương trình. 5. Phương pháp nghiên cứu Đọc sách có liên quan đến đề tài, tìm tài liệu trên mạng. Sử dụng phương pháp phân tích để nắm vững vấn đề một cách chi tiết. Sử dụng phương pháp tổng hợp, hệ thống những kiến thức tiên quyết, trình bày vấn đề theo trình tự logic để người đọc dễ theo dõi. 6. Nội dung nghiên cứu Nội dung chính của đề tài gồm 4 chương: Chương I. Kiến thức chuẩn bị Chương II. Các dạng phương trình Pell và một số phương pháp giải Trong chương này, thì gồm 3 dạng của phương trình Pell và các định lý nói lên phương pháp giải của nó cùng các ví dụ cụ thể. Chương III. Bài tập Chương IV. Một vài ứng dụng PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com GVHD: B ùi Anh Ki ệt SVTH: Lương Th ị Mai Hi ên 1050032 Phương tr ình Pell 3 PHẦN NỘI DUNG Chương I. Kiến Thức Chuẩn Bị I.1. Bổ đề 1 Cho d là số vô tỉ, khi đó tồn tại vô số cặp số nguyên dương (p, q): 2 1 q q p d <− Chứng minh Theo tính chất của liên phân số vô hạn ta có: 1 1 : k kkk p k qqq α + ∀−< với R α ∈ . Mà theo cách xác định { } k q , thì: 11112 kkkkkkkk qaqqaqqq +−−−− =+>+= Vì thế: 2 1 111 : k kkkkkk p k qqqqqq α + ∀−<<= Chọn ;; kk ppqqd α===, ta có điều phải chứng minh.£ I.2. Bổ đề 2 Với cặp số nguyên dương (p, q) tồn tại trong bổ đề 1 Khi đó: 22 12 pdqd −<+ Chứng minh Thật vậy ta có: 2 11 00 p dqdpq qqq −<⇒<−<⇒> Mà: () 22 1 2212 pqdpqdqdqdpqd qdqqddq q +=−+≤−+ <+≤+=+ 22 12 pdqd ⇒−<+ .£ PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com GVHD: B ùi Anh Ki ệt SVTH: Lương Th ị Mai Hi ên 1050032 Phương tr ình Pell 4 I.3. Biểu diễn liên phân số của d [] 01230012310 1 2 3 4 1 ;,,, ,, ;,,, ,,2 1 1 1 nn daaaaaaaaaaaa a a a a −  ==+=  + + + + Chiều dài chu kì của liên phân số của d là n. [ ] 000 , xdxda  ===  0000 1 111 2 22 3 3 4 1111 111 11 1 daaaa x aaa x aa x a x =+=+=+=+= +++ ++ + Trong đó [] () 1 1 11 ;0 nnnnn nnn xaxaxn xxa + + =+⇒==≥ − Ví dụ 1 Cho phương trình: 22 71 xy −= , biểu diễn liên phân số của 7 [] [] [] [] [] [] [] [] [] 000 1 111 00 222 11 333 22 4440 33 1 72;27 1172 1 3 72 11371 1 2 7271 1 3 11271 1 3 7171 1 2 113 7242 7171 1 3 xax x xxa xx xxa xx xxa xx xxaa xx  ==+===  + ===⇒== − − + ====⇒== − +− − + ====⇒== − +− − ====+⇒=== − +− − Vậy 01334 7;,,,2;1,1,1,4 aaaaa  ==  . Trong đó n = 4 chính là chiều dài của chu kỳ liên phân số của 7 .£ PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com GVHD: B ùi Anh Ki ệt SVTH: Lương Th ị Mai Hi ên 1050032 Phương tr ình Pell 5 Một số biểu diễn liên số của d với d là số không chính phương nằm trong đoạn từ 2 đến 40: 21;2 31;1,2 52;4 62;2,4 72;1,1,1,4 82;1,4 103;6 113;3,6 123;2,6 133;1,1,1,1,6 143;1,2,1,6 153;1,6 174;8 184;4,8 194;2,1,3,1,2,8 204;2,8  =   =   =   =   =   =   =   =   =   =   =   =   =   =   =   =  214;1,3,1,8  =  224;1,2,4,2,1,8 234;1,3,1,8 244;1,8 265;10 275;5,10 285;3,2,3,10 295;2,1,1,2,10 305;2,10 315;1,1,3,5,3,1,1,10 325;1,1,1,10 335;1,2,1,10 345;1,4,1,10 35  =   =   =   =   =   =   =   =   =   =   =   =  =5;1,10 376;12 386;6,12 396;4,12 406;3,12    =   =   =   =  I.4. Bổ đề 3 Giả sử d và n là số nguyên sao cho d > 0, d không là số chính phương, nd < . Khi đó nếu 22 xdyn −= thì x y là giản phân của liên phân số của d . Chứng minh Trường hợp 1: n > 0 Vì ( ) ( ) 22 0 xdynxydxydnxydxyd −=⇒+−=⇒−>⇒> Do đó: 0 x d y −> hơn nữa, do 0 nd << nên: PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com GVHD: B ùi Anh Ki ệt SVTH: Lương Th ị Mai Hi ên 1050032 Phương tr ình Pell 6 ()()() 22 2 2 1 2 2 2 xxydxdynnd d yyy yd yxydyxydyyd −− −===<<= ++ . Do 2 1 0 2 x d yy <−< ta suy ra được x y là giản phân của liên phân số của d . Trường hợp 2: n < 0 Chia hai vế của ( ) 22 xdynchod −=− , ta được : 22 1 n yx dd −=− Lập luận tương tự như trên ta có, khi 0, ny dx −> là giản phân của liên phân số của 1 d . Do đó: 1 x y y x = là giản phân của liên phân số của 1 1 d d = .£ I.5. Bổ đề 4 Liên phân số [ ] 0123 ;,,, ,, n daaaaa= đã cho, xác định à kk svt một cách đệ quy bằng hệ thức: 00 2 1 11 0;1 ;0 k kkkkk k st ds satstk t + ++ == − =−=≥ Khi đó: () () 2 ),à0 ) )0 kkk kk k k k astZvt btds sd cxk t ∈≠ − + =≥ Chứng minh a) và b) Bằng phương pháp quy nạp toán học: * Với k = 0, hiển nhiên đúng. * Giả sử với k > 0 với , kk st được xác định như trên thì ( ) 2 ,,0à kkkkk stZtvtds ∈≠−. * Chứng minh: đúng với k + 1 Thật vậy: 1kkkk satsZ + =−∈ theo giả thuyết quy nạp. Ta có 1 0 k t + ≠ vì 1 0 k t + = thì 2 1k dsd + =⇒ là số chính phương (vô lý ). Ta có: () () 2 22222 2 1 1 2 2 kkk kkkkkkkk kkkkk kkkkk dats dsdsatsatds tasat ttttt + + −− −−−− ===+=+− PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com [...]... Và Một Số Phương Pháp Giải II.1 Định nghĩa Phương trình Pell có dạng: x 2 − dy 2 = n Trong đó d và n là số nguyên cho trước, x và y là nghiệm nguyên cần tìm Trong phạm vi đề tài này, tôi nghiên cứu phương trình Pell ở 3 dạng: n = 1, n = −1 và n bất kì Đặc biệt ta chỉ xét nghiệm nguyên dương II.2 Các định lý II.2.1 Dạng 1 x 2 − dy 2 =1 (1) với d là số nguyên II.2.1.1 Định lý 1 Nếu d là số chính phương... SVTH: Lương Thị Mai Hiên 1050032 II.2.1.3 Định lý 3 (Điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình Pell dạng 1) Phương trình Pell có nghiệm nguyên dương khi và chỉ khi d là số nguyên dương và không phải là số chính phương Chứng minh Thuận Theo định lý 1 và định lý 2, ta có: phương trình có nghiệm nguyên dương thì d là số nguyên dương và không chính phương Đảo Theo bổ đề 2 ta có tồn tại vô số cặp số (x, y)... Anh Kiệt SVTH: Lương Thị Mai Hiên 1050032 Chứng minh Theo Bổ đề 3 ta có: x0 , y0 là nghiệm của phương trình x 2 − dy 2 = 1 pj Trong đó: x0 = p j và y0 = q j ; qj Theo Bổ đề 5, thì: p 2 − dq 2 = ( −1) j j là giản phân của liên phân số của j +1 d t j +1 j = 0,1, 2, và t j +1 > 0 So với: p 2 − dq 2 = 1⇒ t j +1 = 1 và j + 1 là số chẵn j j Theo bổ đề 5 ⇒ n ( j + 1) ⇒ j + 1 = nk ' ( k ' ∈ Z ) ⇒ j = k ' n −... các giản phân ta sẽ xác định được PDF createdPhương trình Pell with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com 14 GVHD: Bùi Anh Kiệt SVTH: Lương Thị Mai Hiên 1050032 * Định nghĩa nghiệm cơ bản Nghiệm (x, y) của phương trình Pell được gọi là nghiệm cực tiểu nếu x < u với (u, v) là nghiệm khác của phương trình Nghiệm cực tiểu được gọi là nghiệm cơ bản II.2.1.5 Định lý 5 ( a, b ) là... x '2 − dy '2 = n Từ đó ta có (x’,y’) là nghiệm của (1) Rõ ràng x < x ' ; y < y ' Do đó giả sử có nghiệm khởi đầu ( x1 , y1 ) Xét hệ thức:  xn +1 = xn a + dyn b   yn +1 = xnb + yn a Hệ thức này theo chứng minh trên cho ta lớp nghiệm của phương trình (1).£ II.2.3.2 Định lý 2 Xét phương trình Pell với tham số n: x 2 − dy 2 = n (1) Giả sử (1) có nghiệm và gọi ( x0 , y0 ) là nghiệm nguyên dương nhỏ... chứng sai, nên y0 ≤ max nb 2 ;  − na 2   £ d  II.2.3.3 Định lý 3 Xét phương trình Pell với tham số n: x 2 − dy 2 = n (1) Giả sử (1) có nghiệm và (α1 , β1 ) ; (α 2 , β 2 ) ; ; (α m , β m ) là tất cả các nghiệm của (1) thỏa  mãn bất đẳng thức: βi2 ≤ max nb 2 ;  − na 2   d  Xét m dãy sau đây Dãy thứ i: { xn,i , yn,i } i = 1, m được xác định như sau: PDF createdPhương trình Pell with FinePrint... này (v, u) là nghiệm của phương trình (2) Do (a, b) là nghiệm cơ bản của (2) nên ta có v ≥ a Từ đó: a1 + 1 = v 2 ≥ v ≥ a = 2a1 + 1⇒ a1 ≥ 2a1 Bất đẳng thức thu được mâu thuẫn vì a1 là số nguyên dương Trong trường hợp này không thể xảy ra.£ II.2.2.4 Định lý 4 ( Điều kiện để phương trình Pell loại 2 có nghiệm) Gọi (a, b) là nghiệm cơ bản của phương trình liên kết với phương trình Pell loại 2 Khi đó phương... y d = u + v d n  n   xn − yn d = u − v d  ) ) 2 n +1 2 n +1 2 2 Nhân đẳng thức trên ta có: xn − dyn = ( u 2 − dv 2 ) 2 n +1 Theo chứng minh của II.2.2.4, thì: do (u, v) là nghiệm của hệ (2)-(3) nên u 2 − dv 2 = −1 2 2 Nên dẫn đến: xn − dyn = −1 Vậy ( xn , yn ) là nghiệm nguyên dương của phương trình (4).£ II.2.2.6 Định lý 6 Nếu (a, b) là nghiệm của phương trình Pell liên kết x 2 − dy 2 = 1 (1)... nghiệm đầu tiên của phương trình (1) II.2.2.7 Định lý 7 Giả sử d là số nguyên dương không chính phương pk là giản phân của liên phân số của qk d , k = 0, 1, 2, 3,… n là chiều dài chu kì của liên phân số của d a) Nếu n chẵn: khi đó phương trình Pell: x 2 − dy 2 = −1 (1) vô nghiệm b) Nếu n lẻ: khi đó tất cả các nghiệm của phương trình (1) được cho bởi công thức:  x = p( 2 k −1) n−1  k ≥1  y = q( 2... < r + s d So với (1) mâu thuẫn Nên điều phản chứng là sai Nên tồn tại số n sao cho mọi u, v là nghiệm nguyên dương của phương trình đều có dạng: ( u + v d = x1 + y1 d ) £ n Ví dụ 4 Tìm ba nghiệm đầu tiên của phương trình: x 2 − 23 y 2 = 1 (*) Thật vậy: trước tiên ta xác định nghiệm cơ bản của phương trình (*) Bằng phương pháp thế: y = 1, 2, 3,… vào 23y2 + 1 Với y = 1: x2 = 23 + 1 = 24 loại Với y = 2: . Mai Hi ên 1050032 Phương tr ình Pell 11 Chương II. Các Dạng Phương Trình Pell Và Một Số Phương Pháp Giải II.1. Định nghĩa Phương trình Pell có dạng: 22 xdyn −= Trong đó d. Th ị Mai Hi ên 1050032 Phương tr ình Pell 12 II.2.1.3. Định lý 3 (Điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình Pell dạng 1) Phương trình Pell có nghiệm nguyên dương khi và chỉ khi. Phương tr ình Pell 2 3. Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu là tập hợp và hệ thống lại một số kiến thức cơ bản của liên phân số. Đồng thời vận dụng kiến thức này vào nghiên