MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH GIỚI HẠN HÀM SỐ Kĩ thuật nhân liên hợp (Hệ số bất định, gọi số hạng vắng). Quy tắc L'Hospitale (Lôpitan). Quy tắc ngắt bỏ Vô cùng lớn bậc thấp. Tính chất dãy Vô cùng bé. Định nghĩa: *Quy tắc Lôpitan: Nếu khi mà có dạng hoặc thì: Ví dụ: Tính giới hạn Dạng vô định . Áp dụng quy tắc Lôpitan: Ví dụ: Tính giới hạn: *Quy tắc ngắt bỏ Vô cùng lớn bậc thấp (VCL): -Định nghĩa VCL: hàm số F(x) gọi là một vô cùng lớn trong một quá trình nếu . Ví dụ: Tính giới hạn . Rõ ràng khi x tiến tới vô cực thì F(x) và G(x) đều tiến tới vô cực , nên đó là 2 VCL. Theo quy tắc ngắt bỏ VCL bậc thấp thì ta chỉ giữ lại số hạng có số mũ cao nhất ở tử và mẫu. Tức là: Ví dụ: Tính giới hạn: Ví dụ: Tính giới hạn: 0 xx → )( )( xg xf 0 0 ∞ ∞ )(" )(" lim )(' )(' lim )( )( lim 000 === →→→ xg xf xg xf xg xf xxxxxx 4 3 0 1413 834 lim +−+ +−+ → xx xx x 0 0 2 1 1 2 3 4 1 2 1 )14( 1 132 3 )83( 1 42 1 lim 1413 8342 lim 4 3 3 2 0 4 3 0 = − − = + − + + − + = +−+ +−+ →→ x x x x xx xx xx 1cossin 324317 lim 5 0 −++ −++ → xxx xx x ( ) ( ) ( ) 405 211 1sincos 1 243175 17 lim 1sincos 124317.17. 5 1 lim 1cossin 324317 lim 1cossin 324317 lim 5 4 0 5 4 0 5 1 0 5 0 = +− + + = +− ++ = −++ −++ = −++ −++ → − → →→ xx x xx x xxx xx xxx xx xx xx ∞= ∞→ )(lim xF x 77 17 lim 6 6 + +− ∞→ x xx x )( )( lim 77 17 lim 6 6 xG xF x xx xx ∞→∞→ = + +− 7 7 lim 77 17 lim 6 6 6 6 == + +− ∞→∞→ x x x xx xx 2 1 4 2 lim 14 2 lim 3 3 3 53 == −+ +− ∞→∞→ x x xx xxx xx 3 11 lim 3 3 43 + ++−+ +∞→ xx xxx x 0 1 limlimlim 3 11 lim 3 3 3 3 43 3 3 43 === + = + ++−+ +∞→+∞→+∞→+∞→ x xx x xx xx xx xxx xxxx *Dãy Vô cùng bé: khi thì ta có các tính chất sau: Ví dụ: Tính giới hạn: Vì x tiến tới 0 nên: Ví dụ: Tính giới hạn: Theo tính chất dãy VCB thì: (Bài này có thể dùng Lôpitan). Ví dụ: Tính giới hạn: Tương tự: Do đó: 0 0 →x ( ) xx xe xx x xx xx x α α +≈+ +≈ −≈−≈ ≈ ≈ 11 1 2 1 2 sin21cos tan sin 2 2 xx xx x cossin1 cossin1 lim 0 −− −+ → 1 2/1 2/1 lim 2 2 lim 2 11 2 11 lim cossin1 cossin1 lim 0 2 2 0 2 2 00 −= +− + = +− + = −−− −−+ = −− −+ →→→→ x x x x x x x x x x xx xx xxxx 114sin 211 lim 4 36 0 −++ −+++ → xx xx x ( ) ( ) xxx xxx . 3 1 111 . 6 1 111 3 1 3 6 1 6 +=+=+ +=+=+ ( ) xxxx xx +=+≈+=+ ≈ 14. 4 1 14114 sin 4 1 4 4 1 11 2 3 1 1 6 1 1 lim 114sin 211 lim 0 4 36 0 = −++ −+++ = −++ −+++ →→ xx xx xx xx xx x xxx x 416.82.1 lim 4 3 0 −+++ → +≈+=+ +≈ +=+=+ +≈+ 64 12 16 1216 12 12 4 121 4 282 2 11 4 4 3 1 3 3 xx x xxx x x x 12 31 48 31 64 5 384 4 lim 4 16 12. 12 12. 2 1 lim 416.82.1 lim 23 0 0 4 3 0 = ++ = − + + + = −+++ → →→ x xxx x xxx x xxx x xx