bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 12

TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI  Phạm Kim Chung – www.k2pi.net – ĐT : 0984.333.030 – Mail : chung@k2pi.net Tr.  1 1 SỞ GD&ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG THPT ĐẶNG THÚC HỨA www.k2pi.net MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỌN LỌC BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN VIẾT BỞI : PHẠM KIM CHUNG – THÁNG 12 NĂM 2010 PHẦN MỤC LỤC Trang I PHƯƠNG TRÌNH – BPT – HPT – CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐẠO HÀM II PHƯƠNG TRÌNH HÀM VÀ ĐA THỨC III BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ IV GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ V HÌNH HỌC KHÔNG GIAN VI ĐỀ TỰ LUYỆN VÀ LỜI GIẢI DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Các diễn đàn : www.dangthuchua.com , www.math.vn , www.mathscope.org , www.maths.vn ,www.laisac.page.tl, www.diendantoanhoc.net , www.k2pi.violet.vn , www.nguyentatthu.violet.vn ,… 2. Đề thi HSG Quốc Gia, Đề thi HSG các Tỉnh – Thành Phố trong nước, Đề thi Olympic 30-4 3. Bộ sách : Một số chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi ( Nguyễn Văn Mậu – Nguyễn Văn Tiến ) 4. Tạp chí Toán Học và Tuổi Trẻ 5. Bộ sách : CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI … ( Trần Phương - Lê Hồng Đức ) 6. Bộ sách : 10.000 BÀI TOÁN SƠ CẤP (Phan Huy Khải ) 7. Bộ sách : Toán nâng cao ( Phan Huy Khải ) 8. Giải TOÁN HÌNH HỌC 11 ( Trần Thành Minh ) 9. Sáng tạo Bất đẳng thức ( Phạm Kim Hùng ) 10. Bất đẳng thức – Suy luận và khám phá ( Phạm Văn Thuận ) 11. Những viên kim cương trong Bất đẳng thức Toán học ( Trần Phương ) 12. 340 bài toán hình học không gian ( I.F . Sharygin ) 13. Tuyển tập 200 Bài thi Vô địch Toán ( Đào Tam ) 14. Bộ sách : CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC … ( Nguyễn Văn Mậu, Trần Nam Dũng, Nguyễn Minh Tuấn ) 15. Bộ sách : CÁC DẠNG TOÁN LUYỆN THI ĐẠI HỌC ( Phan Huy Khải ) 16. … và một số tài liệu tham khảo khác . TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI  Phạm Kim Chung – www.k2pi.net – ĐT : 0984.333.030 – Mail : chung@k2pi.net Tr.  2 2 17. Chú ý : Những dòng chữ màu xanh chứa các đường link đến các chuyên mục hoặc các website. Phần I : PHƯƠNG TRÌNH – BPT – HPT – CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐẠO HÀM  Phạm Kim Chung – www.k2pi.net – ĐT : 0984.333.030 – Mail : chung@k2pi.net Tr.  3 3 PHẦN I : PHƯƠNG TRÌNH – BPT - HỆ PT VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐẠO HÀM 1.       2 y 2x 2 m 4xx 5 -2 2.           3 2 1 xsin 1, x f(x) 0 , x 0 x0   3.      y f(x) | x| x 3  4.  a)          x 3 3m 4 1 x3 m4 1m 0   7 9 9 m 7 b)    4 2 x 1 x m  0m1 c)             2 2 4 2 2 m 1 x 1 x 2 2 1 x 1 x 1 x 5.         23 32 y2 xlog y 1 x log  6.                 22 2 yx 2 32 x1 y1 (x 2y 6) 2log (x y 2) 1 e 3log (x,y)=(7;7) 7.                   2 y 1 2 x 1 x 2x 2 3 1 y 2y 2 3 1 x y 8.                        2x y y 2x 1 2x y 1 32 1 4 .5 2 1 y 4x ln y 2x 1 0 9.           35 (x 5) logx 3 log (x ) x3 2 10.       4 (x 6)(2x(x 2) 1)(2x 1) 3 6 3xx 2   1 2 x7 11.        5 3 2x 2x 6 2x 1 3 12.               22 3x 2 4x 29x 3 1 x x 1 0 13.        3 3 2 2 4x 5x 6 7x 9x 4x 14.               2 xy y x y 5 5 x 1 y m     m 1; 5 15.                4 1 x x 1 m x x x 1 1 x1 . 16.                   x 1 y 1 3 x y 1 y x 1 x 1 y 1 m 17.  32 f(x) ax bx cx d     12 x ;x . CMR:       2 12 f '''(x) 1 f ''(x) , x x ,x f '(x) 2 f '(x) 18.       23 f(x) cos 2x 2(sinx cosx) 3sin2x m   2 (x) 36,f m 19.      22 xy log x y 1  20. ( Đề thi HSG Tỉnh Nghệ An năm 2009 )    x2 2009 x +1- x =1 . : x=0 21. ( Đề thi HSG Tỉnh Nghệ An năm 2009 ) . m                2 x y m y 1 x xy m x 1 :  33 m 2 Phần I : PHƯƠNG TRÌNH – BPT – HPT – CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐẠO HÀM  Phạm Kim Chung – www.k2pi.net – ĐT : 0984.333.030 – Mail : chung@k2pi.net Tr.  4 4 22.                 44 3 3 2 2 x y 240 x 2y 3 x 4y 4 x 8y 23.               4 3 3 2 2 33 x x y 9y y x y x 9x x y x 7 . : (x,y)=(1;2) 24.                    2 22 4x 1 x y 3 5 2y 0 4x y 2 3 4x 7 25. m               2 xy y x y 5 5 x 1 y m     m 1; 5 26. m                4 1 x x 1 m x x x 1 1 x1 . 27. m :             2 3 x 1 y m 0 x xy 1  28.                   2 y 1 2 x 1 x x 2x 2 3 1 y y 2y 2 3 1 29. ( Đề thi HSG Tỉnh Nghệ An năm 2008 ) .                     xy sinx e siny sin2x cos2y sinx cosy 1 x,y 0; 4 30.      32 3 16x 24x 12x 3 x 31.                        2x y y 2x 1 2x y 1 32 1 4 .5 2 1 y 4x ln y 2x 1 0 32.        x 3 3 1 x log 1 2x 33.        3 3 2 2 3 2x 10x 17x 8 2x 5x x ĐS 34.              5 4 10 6 2 x xy y y 4x 5 y 8 6 35.                   22 22 x 2x 22 y y 2y 1 y 2y 22 x x 2x 1 36.                   y x 1 xy 2 11 xy yx 37. ( Đề thi HSG Tỉnh Quảng Ninh năm 2010 ) .      22 11 x 5x 7 ( x 6) x 5 1 Lời giải :   7 x 5 Cách 1 : PT                4x 6 3 6(4x 6)(x 1) 0 x 2 (x 1)(5x 7). x 1 5x 7 Cách 2 :        2 2 11 5x 6 x (5x 6) 1 x 1     2 15 f(t) t , t 7 t1 Phần I : PHƯƠNG TRÌNH – BPT – HPT – CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐẠO HÀM  Phạm Kim Chung – www.k2pi.net – ĐT : 0984.333.030 – Mail : chung@k2pi.net Tr.  5 5 38. ( Đề thi HSG Tỉnh Quảng Ninh năm 2010 )       3 2 3 3x 1 m( x x 1)x HD : Nh        3 32 x x 1 (x 3x 1) m 39. ( Đề thi HSG Tỉnh Quảng Bình năm 2010 ) .        32 x 3x 4x 2 (3 2) 3xx 1 HD : PT          3 3 (x 1) (x 1) 3x 1 3x 1    3 tf t) t ,t( 0 40. ( Đề thi HSG Tỉnh Hải Phòng năm 2010 ) .       32 3 2x 1 27x 27x 13x2 2 HD : PT         3 33 2x 1 (3x 1) 2(2x 1) 2 (3x 1) f( 2x 1) f(3x 1) 41.  42. ( Đề thi Khối A – năm 2010 )                2 22 (4x 1)x (y 3) 5 2y 0 4x y 2 3 4x 7 HD :               2 2 1].2x 5 2y 5 2y f([(2x 2x) f(1 5) 2y )        22 1).t f'(t) 3tf(t) (t 1 0         2 2 5 4x 2x 5 2y 4x 5 2y y 2          2 2 2 5 4x 4x 2 3 4x 7 2  0 3 x 4   x 1 2 . 43. ( Đề thi HSG Tỉnh Nghệ An năm 2008 ) .            x y 4 x 7 y 7 a   x 9. HD :      x y 0 x4 16   x , t [t 3;4] . ĐS : a 4 2 2 44.              4 xy 2x 4 x 3 3 y y 4x 2 5 2 x y 2 45.            2 sinx sinx sinx e 1 (e 1)sinx2e e 1e1 46. ( Đề thi HSG Tỉnh Thừa Thiên Huế năm 2003 ) .         22 25 2 2 5 log (x 2x 11) log (x 2x 12) 47.             4m 3 x 3 3m 4 1 x m 1 0 48. (Olympic 30-4 lần thứ VIII ) .                 22 2 yx 2 32 x1 e y1 3log (x 2y 6) 2log (x y 2) 1 49. Các bài toán liên quan đến định nghĩa đạo hàm :  Cho            x 2 (x 1)e , x 0 f(x) x ax 1, x 0   Cho         acosx bsinx, x F(x) ax b 1, x 0 0           22 xx lnx , x 0 F(x) 24 0, , x 0        xlnx, x 0 f(x) 0, x 0 . CMR : F'(x) f(x)   a0  xR :     2 |f(x a) f(x) a| a  Phần I : PHƯƠNG TRÌNH – BPT – HPT – CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐẠO HÀM  Phạm Kim Chung – www.k2pi.net – ĐT : 0984.333.030 – Mail : chung@k2pi.net Tr.  6 6        x 3 1 2 4 tan N lim 2sin x1 x1       2 3 2x 2 2 2 x0 e1 N lim ln(1 x x )         3 3 x0 33 2 x x 1 N 1 m x li x     sin2x 4 s x nx 0 i e e N lim sinx       0 3 5 x x82 si N lim n10x       2 3 2x 2 6 2 x0 e1 N lim ln(1 x x )      sin2x sin 3 7 x 3x 0 e N lim e sin4x      x4 3 x0 3 8 4x N x im 2 l         9 x0 3x 2x .3 cos4x 1 sinx 1 2 N lim sinx   1 2 3 n xxx; ; x  a)     2n 2n 1 1 P''(x ) P''(x ) P''(x ) 0 P'(x P'( P'(x))x) b)     2n1 )) 1 1 1 0 P'(x P'(x P'(x )   a)     n T osx 2cos2x nc(x) c osnx b)     n 22 nn 1 x 1 x 1 x (x) tan tan tan 22 2 2 2 2 T c)        2 3 n n 2 n n n CMR : 2.1.C 3.2.C n(n 1)C n(n 1).2 d)     2 n S inx 4sin2x 9sin3x (x) s sn innx e)                 n 2 2 2 2 2 2 2x 1 2x 3 2x (2n 1) (x) x (x 1) (x 1) (x 2) x (n 1) (x n) S 50. Các bài toán liên quan đến cực trị của hàm số : a) Cho   R: a b 0        nn a b a b 22 b)  a 3,n 2 ( n N,n         n 2 n 1 n 2 (n 1)x 3(n 2)x a0 c)                   2 22 22 y (m 1) 3 xx 1 x 1 x m 4m d) Cho n 3,n N    x0                    2 n 2 n x x x x 1 x 1 x 1 2! n! 2! n! e)       22 x x 1 x xy 1 f)   2 y f(x) 2 xxa 1  g)    msinx cosx 1 y mcosx       9 0; 4 51. Các bài toán chứng minh phương trình có nghiệm : a)     2 ax b c x d e 0       [1; )  4 3 2 bx cx dxax e0      b) Cho  5 4 3 2 5x 15x xP( ) xxx 3 7 0        Phần II : PHƯƠNG TRÌNH HÀM VÀ ĐA THỨC  Phạm Kim Chung – www.k2pi.net – ĐT : 0984.333.030 – Mail : chung@k2pi.net Tr.  7 7 PHẦN II : PHƯƠNG TRÌNH HÀM-ĐA THỨC 1.  f :R R : a)   x0 f(x) lim 1 x b)               22 f x y f x f y 2x 3xy 2y , x,y R 2.  f :R R                2008 2008 f x f(y) f x y f f(y) y 1, x,y R 3.  f :R R              f x cos(2009y) f x 2009cos f y , x,y R 4.   f :R R  c)    2009x f x e d)          f x y f x .f y , x,y R 5.  f :R R           f y 1 f x y f(x).e , x,y R 6.  f :R R           2 f x.f x y f(y.f x ) x 7. ( Đề thi HSG Tỉnh Hải Phòng năm 2010 )  f:          2 (x) 2yf(x) f(y) f y f(x) , ,x,yf R Phần III : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ  Phạm Kim Chung – www.k2pi.net – ĐT : 0984.333.030 – Mail : chung@k2pi.net Tr.  8 8 PHẦN III : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ 1. Cho     2 2 2 a,b,c R: a b c 3     2 2 2 a b b c c a 3 2.                       2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b a b b c b c c a c a a b b c c a 3.              2 2 2 2 2 a b c 81 a b 13 a b c b c a 4 4 2a b 4.     a b c 36abc 2   7 8 9 P a b c 5.        a b c 3 a b b c c a 2 6.      6 23 a b c P ab c 7. Ch     2 2 2 yx z1 CMR :        222 2x (y z) 2y (z x) 2z (x y) yz zx xy 8. CMR :           bc ca ab a b c a 3b 2c b 3c 2a c 3a 2b 6 9.            3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 abc a b abc b c abc c a abc 10.        2 2 2 1 1 1 1 a 2 b 2 c 2 . CMR : ab bc ca 3 11.     2 2 2 ba c3 . CMR :       1 1 1 3 2 a 2 b 2 c 12.        x y z 3 2 x y y z z x 2 13. CMR :         2 2 2 2 a b c 4(a b) a b c b c a a b c 14.        3 3 3 1 1 1 3 2 a (b c) b (c a) c (a b) 15.         x 1 y 1 z 1 0 . CMR :                  2 22 x y z 1 x 1 y 1 z 1 16. CMR :                222 2 2 2 2 2 2 (3a b c) (3b c a) (3c a b) 9 2 2a (b c) 2b (c a) 2c (a b) 17.     2 2 2 ba c1 . CMR :     1 1 1 9 1 ab 1 bc 1 ca 2 18.     2 2 2 ba c9 . CMR :  2(a b c) 10 abc 19.        3 3 3 2 2 2 a b c 1 4 (1 a) (1 b) (1 c) 20. (Chọn ĐTHSG QG Nghệ An năm 2010 )         4 4 4 2 2 2 b c ) 25(9(a a b c ) 48 0      2 2 2 a b c b 2c c 2a a F 2b Phần III : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ  Phạm Kim Chung – www.k2pi.net – ĐT : 0984.333.030 – Mail : chung@k2pi.net Tr.  9 9 Lời giải 1 :                              4 4 4 2 2 2 2 2 2 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b c ) 25(a b c ) 48 0 25(a b c ) 48 9(a b c ) 48 3(a b c ) 3(a b c ) b c ) 48 0 9 3 b c (a 16 25(a a 3                     4 4 42 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c a b c (a b c ) b 2c c 2a a 2b a (b 2c) b (c 2a) c (a 2b) (a b b c c a) 2(a c b a c F b)                2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (a b c ) b b c c a a(ab) b(bc) c(ca) (a b c ) b c ca [a b a ] a b c 3        2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c c b a c b) a b c .(a 3    2 2 2 F a b c 1 3  Lời giải 2 : ( ĐÁP ÁN CỦA SỞ GD&ĐT NGHỆ AN )        2 2 2 2 2 a (b 2c)a a (b 2c)a 2a 2 b 2c 9 b 2c 9 3 .        2 2 2 2 2 2 b (c 2a)b 2b c (a 2b)c 2c , c 2a 9 3 a 2b 9 3 . Suy ra:       2 2 2 abc F b 2c c 2a a 2b              2 2 2 2 2 2 21 a b c a (b 2c) b (c 2a) c (a 2b) (*) 39 .                 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 3 3 3 a a c b b a c c b a c b a c b a b c (**) 3 3 3 .              2 2 2 2 2 2 21 F a b c a b c (a b c ) 39               2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 a b c a b c 3 a b c 39 .       2 2 2 t 3 a b c                 2 2 2 2 4 4 4 2 2 2 25 a b c 48 9 a b c 3 a b c                  2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 16 3 a b c 25 a b c 48 0 3 a b c 3 .     23 21 F t t f(t) 9 27     t 3; 4 (***) .      t 3;4 min f(t) f(3) 1 (* * **)  F 1.  minF 1    a b c 1 . 21. ( Đề thi HSG Tỉnh Nghệ An năm 2009 )        2 2 2 2 2 2 1 1 1 36 x y z 9 x y y z z x Lời giải 1 :             2 2 2 2 2 2 1 1 1 9 x y y z z x 36 x y z         3 2 xy yz zx xyz (xy)(yz)(zx) 3                         2 22 3 27 xy yz zx 1 1 1 xy yz zx 27 x y z xyz xy yz zx (xy yz zx) Phần III : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ  Phạm Kim Chung – www.k2pi.net – ĐT : 0984.333.030 – Mail : chung@k2pi.net Tr.  10 10                 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 y y z z x y 1 z 1) (z x 1) 29 x 6 x (y 3 (xy yz zx)                       2 2 27 9 VT 4 3 (xy yz zx) . 108 6 (xy yz zx) xy yz zx xy yz zx             9 108 6 2 (xy yz zx) 1296 VT 36 xy yz zx Lời giải 2 : ( ĐÁP ÁN CỦA SỞ GD&ĐT NGHỆ AN )  (xy + yz + zx)(9 + x 2 y 2 + z 2 y 2 +x 2 z 2    2 2 2 3 x y z (1)  2 y 2 + z 2 y 2 +x 2 z 2  4 4 4 12 x y z hay 9 + x 2 y 2 + z 2 y 2 +x 2 z 2  3 xyz (2)  (xy + yz + zx)(9 + x 2 y 2 + z 2 y 2 +x 2 z 2   22. ( Đề thi HSG Tỉnh Quảng Ninh năm 2010 )    x y 1 3xy .        22 3x 3y 1 M y(x 1) x y 1) x 1 y ( Lời giải :          3xy x y 1 2 xy 1 xy 1 xy 1 (*)                             2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 3xy 3xy 1 (1 3xy) 1 1 1 3xy(x y) (x y) y y (3 2xy 3x 3y 1 2xy M y (3x 1) x (3y 1) x 9xy 3x 1) x (x y(3y 1) x y 4x) y1 23. ( Đề thi HSG Tỉnh Quảng Bình năm 2010 )       33 33 3 3 c a b c b c a a ab bc HD :            33 33 3 3 3 3 3 3 aa 1 bb a b c 3 b c a a 3 b 24. ( Đề thi HSG Tỉnh Vĩnh Phúc năm 2010 ) . Cho x, y, z  0     2 2 2 yx z1 .      P 6(y z x) 27xyz HD :                      2 2 2 2 2 2 y z 1 x 6 2(y z ) x 27x. 6 2(1 x ) x 27x 2 P 2    Max P 10 25. ( Đề thi HSG Tỉnh Hải Phòng năm 2010 ) . Cho     2 2 2 0: a bb,c ca, 1     3 3 3 6 2b 3ca 7 HD :   26.  xyz 1          4 4 3 4 4 3 4 4 3 6 6 6 6 6 6 (x (y (z xy y ) z ) x ) 12 yxzz Lời giải :      2 2 2 a;y b;z cx abc 1          3 3 3 33 2 2 2 2 2 333 2 3 (a (b (c ab b ) c ) a ) 12 bacc -               4 2 2 3 6 4 2 4 2 4 2 6 2 4 2 4 2 4 6 6 3 3 (a ab ) b a b a b b b b a b ab a a a 4 ba [...]... SADB  SABC  SACD SK SP SN SL Đường chéo của hình hộp chữ nhật , tạo với ba kích thước a, b, c c|c góc ; ;  Chứng minh rằng : a3 b3 c3    2178V 2 ( Ở đ}y V l{ thể tích khối hộp ) cos12 cos12 cos12  70 Cho hình chóp O.ABC, trong đó OA, OB,OC đôi một vuông góc với nhau Kẻ đường cao OH của hình chóp Đặt 2 HOA  ; HOB  ; HOC   Chứng minh rằng : cot .cot.cot  4 71 Cho ABCD l{ tứ... Chứng minh : bn  n cot n1 2 2  (n  1)   Chứng minh d~y hội tụ v{ tìm lim bn n  Phạm Kim Chung – www.k2pi.net – ĐT : 0984.333.030 – Mail : chung@k2pi.net Tr  24 25 Phần V : HÌNH HỌC KHÔNG GIAN PHẦN V : HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 1 Cho hình chóp tam gi|c đều có thể tích l{ 1 Tìm gi| trị lớn nhất của b|n kính mặt cầu nội tiếp hình chóp 2 Cho tứ diện ABCD có : AB=a; CD=b ; góc giữa AB v{ CD bằng  Khoảng... nhất của độ d{i đoạn thẳng MN 12 Cho tứ diện ABPM thoả m~n c|c điều kiện : AM  BP; MAB  ABP  900 ; 2AM.BP  AB2 Chứng minh rằng mặt cầu đường kính AB tiếp xúc với PM 13 ( Đề thi HSG Tỉnh Quảng Ninh năm 2010 ) Cho điểm O cố định v{ một số thực a không đổi Một hình chóp S.ABC thay đổi thỏa m~n : OA  OB  OC  a; SA  OA;SB  OB;SC  OC ; ASB  900 ; BSC  600 ;CSA  120 0 Chứng minh rằng : a ABC... AP 1 1   ⟹PQ = BK = 3 BK AB 3 3 AM AN AP 1 1 1    AM AC AB 2 3 6 VAMCB = 1 VABCD (Do M l{ trung điểm BD) 2 ABCD l{ tứ diện đều có độ d{i cạnh bằng 1 nên VABCD = 2 (đvtt) 12 1 2 2 2 1  Vậy VAMNP = V AMCB = (đvtt) 2 12 24 144 6 24 ( Đề dự bị khối D – 2008 ) Cho tứ diện ABCD v{ c|c điểm M, N, P lần lượt thuộc c|c cạnh BC, BD, AC sao cho AQ v{ tỷ số thể tích hai phần của khối BC  4BM; AC ... (a  b  c)  Đặt :  a;  b;  c  abc  1 Lúc đó : P     x z y b c a 3(ab  bc  ca) (a  b  c)2 35 Bài toán tương tự : Cho x,y,z  0: xyz  1 Chứng minh rằng : x y z 3  2 2 4 2 xy z y z x  Phạm Kim Chung – www.k2pi.net – ĐT : 0984.333.030 – Mail : chung@k2pi.net Tr  11 12 Phần III : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ Lời giải : Đặt : 1 1 1  a;  b;  c  abc  1 x y z a2 b2 c2 3abc (a  b... 1 Do đó : 0  x1  x2   xn  xn1  1 D~y số tăng v{ bị chặn trên nên tồn tại giới hạn hữu hạn Giả sử : limx n  a  0  a   a a2  3 3a  1 2  a 1 Kết luận : limx n  1 u0     10 ( Bài toán tương tự ) Cho   0; a  0 l{ hai số tùy ý D~y {un } :  Chứng minh d~y u (u2  3a) n un1  n 2 ,n  0,1,  3un  a  có giới hạn v{ tìm giới hạn đó u0  1   11 ( Chọn đội tuyển ĐH Vinh năm... d~y số {un } :  Tìm limun un  1  2(u2  1) n , n  0,1 un1  un  1   Phạm Kim Chung – www.k2pi.net – ĐT : 0984.333.030 – Mail : chung@k2pi.net Tr  19 20 Phần IV : GIỚI HẠN DÃY SỐ a1  1   12 ( Đề thi chọn ĐT HSG QG KonTum năm 2010 ) Cho d~y số thực {a n } x|c định như sau :  1 a n1  a n  a (n  1)  n a Chứng minh rằng : lim n  2 n n xn 13 ( Đề thi HSG Tỉnh Hải Dương năm 2006... xn - n < 2008n 1 Mặt kh|c: lim  0 => lim(xn - n) = 0 2008n Khi đó lim (xn - 1 - xn) = lim{[xn + 1- (n + 1)] - (xn - n) + 1} = 1 29 ( Đề thi HSG Tỉnh Nghệ An năm 2008 ) Cho phương trình: MỘT SỐ BÀI TOÁN TÌM GIỚI HẠN KHI BIẾT CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ u1  2   30 Cho d~y số  un  :  Tìm limun  ? 9un1  24 un  5u  13 , n  2  n1 Giải :  Phạm Kim Chung – www.k2pi.net – ĐT : 0984.333.030... GD&ĐT ) Do đó : P  1  Đặt x  a ,y  b,z  c;x,y,z  0;    Khi đó: P  yz zx xy   x2  3yz y 2  3zx z2  3xy  Phạm Kim Chung – www.k2pi.net – ĐT : 0984.333.030 – Mail : chung@k2pi.net Tr  12 13 Phần III : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ Ta có 3P  3yz 3zx 3xy  2  2 x  3yz y  3zx z  3xy 2  x2 y2 z2  3 2  2  2  3Q  x  3yz y  3zx z  3xy  |p dụng bđt BCS ta được 2   x y z  x2... ( luôn đúng ) 1 x 1  1  x2 Thiết lập c|c BĐT tương tự ta có : P  2 2 1x 1y 1x y 4 Chú ý : Để tìm Max cần sử dụng BĐT phụ :  1 , x  y  và MaxP  1  1 x 1 y 1 x  y 5 3 44 ( Đề thi HSG lớp 11 tỉnh Hà Tĩnh năm 2008 ) Cho x,y,z  0: x  y  z  1 Chứng minh bất đẳng thức : Lời giải 1 : x y z 1 x 1 y 1z    2    y z zx xy y z x  x x y z 3 y z  xz xy yz Giải : BĐT 