H
Trang 2GIẢI PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH
1) 5x2 +14x−9 − x2 −x−20=5 x+1
2) x5 −15x3 +45x−27=0
3)
25 x
11
2
+
−
4) 4 (x−2)(4−x)+4 x−2+4 4−x +6x 3x =x3 +30
5)
=
−
−
= +
−
0 x 500 yx
y
0 y 2000 xy
x
2 3
2 3
6) 5 27x10 −5x6 +5 864 =0
7) x2 +x−1+ −x2 +x+1=x2 −x+2
8)
= +
−
= +
−
= +
−
3 2
3 2
3 2
x 64 z 48 z 12
z 64 y 48 y 12
y 64 x 48 x 12
9)
+
= +
+
= +
+
= +
2001 5
19
2001 5
19
2001 5
19
y y 1890 x
z
x x 1890 z
y
z z 1890 y
x
10)
+ +
= +
+ +
= +
+ +
= +
x x x 1 z
2
z z z 1 y
2
y y y 1 x
2
2 3
2 3
2 3
11) (x−18)(x−7)(x+35)(x+90)=2001x2
12) (2001−x) (4 + 2003−x)4 =2000
2
x 1
x x 2 x
x 1
+
+
=
−
2
2
x a
x x c b cx
bx a
+
+ +
=
−
Với a ,b,c >0
14) x−2+ 4−x =2x2 −5x−1
ðề xuất :
2
a b 2 2
b a x 2
a b 2
a b x
a b x b a x
2 2
−
−
−
−
−
=
− +
−
(Với a + 2 < b )
15) 3 3x2 −x+2001−3 x2 −7x+2002−3 6x−2003=3 2002
Trang 316) 4004x 2001
2002
2001 x
17) ( )( )
1 c b a b b
c x a x b a c a a
b x c x b c a c
c
b x a x
=
−
−
−
− +
−
−
−
− +
−
−
−
−
Trong ñó a;b;c khác nhau và khác không
x 1978 1
1978 1
19) x(x2 −1)= 2
20) x+2 x+ +2 x+2 3x = x
21) 1−x2 +4 x2 +x−1+6 1−x −1=0
22)
2
3
2 x
−
=
−
23) 3 x2 −2 = 2−x3
24) 1+ 1−x2 [ (1+x)3 − (1−x)3]=2+ 1−x2
1 y
4 2
x
36
−
−
−
−
=
−
+
−
26) x4 −10x3 −2(a−11)x2 +2(5a+6)x+2a+a2 =0
27) Tìm m ñể phương trình :
(x2 −1) (x+3)(x+5)=m
có 4 nghiệm phân biệt x 1 ; x 2 ; x 3 ; x 4 thỏa mãn
1 x
1 x
1 x
1 x
1
4 3 2 1
−
= + + +
28)
= +
−
= +
−
= +
−
2 x z 2 z z
2 z y 2 y y
2 y x 2 x x
2 4 5
2 4 5
2 4
5
Tìm nghiệm dương của phương trình
29) 18x2 −18x x −17x−8 x −2=0
30) 417−x8 −3 2x8 −1=1
31) x2 + 2−x =2x2 2−x
=
+ +
= + + 8 xyz
z y x 8 z y
33) 19+10x4 −14x2 =(5x2 −38) x2 −2
5
x 12 x
210 x
6125 5
x
2
2
=
− +
+
Trang 435)
=
− +
−
=
− +
−
=
− +
−
0 8 y 12 y 6 z
0 8 z 12 z 6 x
0 8 x 12 x 6 y
2 3
2 3
2 3
36) (x+3 x +2)(x+9 x +18)=168x
37) Tìm m ñể hệ phương trình sau có ñúng 2 nghiệm
+
= +
= +
2 m y x
256 y
x
8 8
8
38) x = 2−x 3−x + 5−x 3−x+ 5−x 2−x
1 x
2 2
+
= + +
1 x
a
>
+ +
= + +
40) 13 x−1+9 x+1=16x
2
27 1
3
28 x 24 x 27
42) 5x−1+3 9−x =2x2 +3x−1
43)
+ +
+ + +
+
= + +
= + +
1 y x
z y z y
y x x
z z
y y
x
1 z y x
44) x3 −3x2 +2 (x+2)3 −6x =0
45)
−
=
−
−
=
−
−
=
−
yz c y
a z
c
xy a x
c y
b
xz c z
b x
a
Trong ñó a;b;c ∈R*+
46) (x2 −12x−64)(x2 +30x+125)+8000 =0
47) (x−2) x−1− 2x+2=0
48)
= + +
+ + +
+
= +
+ +
n 8 x
8 x 8 x
n x
x x
n 2
1
n 2
1
Trang 549) Cho hệ phương trình:
1 b
; bn 1 b x
n x
n
1
i
2 i
n
1
=
− +
=
∑
∑
=
=
CMR:Hệ phương trình có nghiệm duy nhất x 1
= x 2 = = x n = 1
50) 3−x = x 3+x
Tổng quát: bx+c = x px+q với a;b;q;p∈R & q2 =−3pb
x 1 1 x 2004
2
x e d d x c b
ax = + − − với a;b;c;d;e là các hằng số cho trước
52) 4x2 −4x−10= 8x2 −6x−10
=
−
= + 3 2 y x
1 y 3 2 x
3 3
54)
−
= +
−
−
= +
x 17 y 8 y xy 8 x
49 xy
3 x
2 2
2 3
55) 16x4 +5=6.3 4x3 +x
56)
+
−
= +
+
−
= +
+
−
= +
1 z x 2 1 z z
1 y z 2 1 y y
1 x y 2 1 x x
3 2
3 2
3 2
57) 3 3x+1+3 5−x +3 2x−9−3 4x−3 =0
Tổng quát:
3
3 2 1 3
2 1 3
3 3 3
2 2 3
1
58)
= +
= + 2 x y
2 y x
3
3
2 x y
2 y x
3 k
3 k
∈
= +
= +
+ +
59) x2 −x−1000 1+8000x =1000
60) x+ 5+ x−1 =6
61) Tìm nghiệm dương của phương trình:
x
1 x 3 x
1 1 x
1 x x
x 1 x x
x 1 x
1 x
1 x
Trang 663) (x3 +1)3 =81x−27
64) 3 x+1−3 x−1=6 x2 −1
65) 2(x2 −3x+2)=3 x3 +8
66)
=
− +
−
=
− +
−
=
− +
−
0 27 z 27 z 9 x
0 27 y 27 y 9 z
0 27 x 27 x 9 y
2 3
2 3
2 3
2
68) 5x2 +14x+9− x2 −x−20 =5 x+1
69)
= +
= +
= +
2004 x
4 z
x 30
2004 z
4 y
z 30
2004 y
4 x
y 30
2 2 2
70) x2 +15 =3.3 x −2+ x2 +8
71) x3 −3 x2 −3x+ 3 =0
72)
=
− +
−
=
− +
−
=
− +
−
0 8 z 12 z 6 x
0 8 y 12 y 6 z
0 8 x 12 x 6 y
2 3
2 3
2 3
73) 3 3x2 −x+2002−3 3x2 −6x+2003−3 5x−2004=3 2003
74) x3 +1=3.3 3x−1
75) x2 −4x+2= x+2
Bài tập tương tự:
a)20x2 +52x+53= 2x−1
b) −18x2 +17x−8= 1−5x
c) 18x2 −37x+5= 14x+9
28
9 x
76) 3x7 +332x2 +3128 =316x3+1
77) Cho 0<a <c<d<b; a+b=c+d
GPT: x+a2 + x+b2 = x+c2 + x+d2
78) x2 −4x+6= 2x2 −5x+3+ −3x2 +9x−5
Trang 779)
= +
= +
= +
x x z z
2
z z y y
2
y y x x
2
2 2 2
80) x2 −x+19+ 7x2 +8x+13+ 13x2 +17x+7 =3 3(x+2)
81) 4−x2 + 4x+1+ x2 +y2 −2y−3=4 x4 −16+5−y
82) x2 −8x+816+ x2 +10x+267 = 2003
83)
= + +
+
=
+
=
+
1 xz yz xy
z
1 z 5 y
1 y 4 x
1 x 3
84)
+
−
= +
+
−
= +
2 2
2 2
x 1 x 21 y
y 1 y 21 x
85) 1−x2 =4x3 − x
86) x2 +x+1− x2 −x−1=m
Tìm m ñể phương trình có nghiệm
87) Tìm a ñể phương trình có nghiệm duy nhất
a x x 2 8 x 4 x
88)
= + +
= + +
= + +
350 z
y x
10 z y x
0 z y x
7 7 7
2 2 2
89)
= +
+
−
=
− + +
2121 4
30 y 2001 x
2121 2001
y 4 30 x
90) 3( 2x2 +1−1) (= x1+3x+8 2x2 +1)
91) 2(x2 +2)−5 x3 +1=0
92)
=
−
= + +
= + +
8
1 xyz
4
3 xz yz xy
2
3 z y
Trang 893)
−
+
=
=
−
−
− +
y 5 6
x 3 5 y x
5
x 9 y x x
y x x
2 2
2 2
94)
6
5 1 x 4 x
1 x 3 x 1 x 2 x
1 x x
2
2 2
2
= + +
+ + + + +
+ +
606 z
1369 3
y
1 5
x
−
+
−
+
−
x 3
10 x
2
−
+
−
97) 3 x2 −7x+8+3 x2 −6x+7−3 2x2 −13x−12 =3
98) x3 −6.3 6x+4−4=0
3
3 1
x
100)
5
2 2 x
x 1
2
3
= + +
Trang 9HƯỚNG DẪN GIẢI 100 BÀI PT & HPT
1) ðK: x 5≥
Chuyển vế rồi bình phương:
2
2
2)
2
ðặt: x- 1 = y
2
3) ðK: x≠0; x≠ −5
ðặt x+5 = y ≠0 ( )2
2 2
y y
4) ðK: 2 x≤ ≤4
2
Nếu x = 0 ⇒ = ⇒y 0 ( )0;0 là no
Trang 10Nếu x≠0.Rút x2 −y2 từ (1) thế vào (2) ta có:
2000y
≠
−
=
6) 5 27x10 −5x6 +5 864 =0
Vì x = 0 không là nghiệm của pt nên chia cả 2 vế cho x6 ta ñược pt:
5 x
27 32 x
5 4
5 6
4
27
1 5 x
2
6 6
4 4 4 6
4
27
1 5 x
1 x
1 3
x 3
x 3
x x
2
7) x2 +x−1+ −x2 +x+1=x2 −x+2
ðK:
≥ + +
−
≥
− +
0 1 x x
0 1 x x
2 2
Áp dụng Cauchy:
2
2 x x 2
1 1 x x 1 x x
2
x x 2
1 1 x x 1 x x
2 2
2
2 2
2
+ +
−
= + + +
−
≤ + +
−
+
= +
− +
≤
− +
1 x 1 x x 1
x
Từ PT ⇒x2 −x+2≤x+1 ⇔(x−1)2 ≤0
8)
( ) ( ) ( )
= +
−
= +
−
= +
−
3 x 64 z 48 z
12
2 z 64 y 48 y
12
1 y 64 x 48 x
12
3 2
3 2
3 2
G/s (x; y; z) là nghiệm của hệ phương trình trên thì dễ thấy ( y; z; x); (z; y; x) cũng
là nghiệm của hệ do ñó có thể giả sử :
x = max{x; y; z}
Từ 12x2 −48x+64=12(x2 −4x+4)+16≥16
2 y 16
⇒
Tương tự x≥2;z≥2
Trừ (1) cho (3): y3 – x3 = 12(x2 – z2) – 48(x-z)
⇔ y3 – x3 = 12(x– z)(x+z-4)
VT≤0; VT≥0 Dấu “=” xảy ra ⇔ x=y=z
Trang 119)
+
= +
+
= +
+
= +
2001 5
19
2001 5
19
2001 5
19
y y 1890 x
z
x x 1890 z
y
z z 1890 y
x
Ta ñi cm hệ trên có nghiệm duy nhất x = y = z
Giả sử (x,y,z) là nghiệm của hệ ⇒ − − − cũng là nghiệm của hệ ( x; y; z)
⇒ không mất tính tổng quát ta giả sử ít nhất 2 trong 3 số x, y, z không âm Ví dụ:
x ≥ 0; y 0 ≥ Từ phương trình ( )1 ⇒ ≥ z 0
Cộng từng vế phương trình ta có:
(z 2001 + 1890z) (+ x 2001 + 1890x) (+ y 2001 + 1890z) (= z 19 + z 5) (+ x 19 + x 5) (+ y 19 + y 5)
Ta có: 0 < ≤ ⇒ t 1 t 2001 + 1890t ≥ t 19 + t 5
2000 18 4
t + 1890 ≥ t + t (ñúng)
2001 19 5
t 1 > ⇒ t + 1890t > t + t Thật vậy: 2001 2000 1000
cô si
t + 1890 1 t > + ≥ 2t
> t 18 + (ñpcm) t 4
Vậy x = y = z
Bài 10: + Nếu x < 0 từ( )3 2z 1 0 z 1 y 1 x 1
⇒ + < ⇒ < ⇒ < ⇒ <
Cộng 3 phương trình với nhau:
x 1 + x 1 − + y 1 + y 1 − + z 1 + z 1 − = (*) 0
Với x 1; y 1;z 1 ( )*
< − < − < − ⇒ vô nghiệm
x 0; y 0;z 0
⇒ > > >
Gọi (x; y;z là nghiệm của hệ phương trình, không mất tính tổng quát ta giả sử: )
x = max x;y;z
Trừ (1) cho (3) ta ñược:
2 x z − = y x x − + y + xy x y 1 + + +
VT 0
VP 0
≤
dấu " "= ⇔ = = ⇒x y z
Bài 11: PT ⇔(x 2 + 17x 630 x − )( 2 + 83x 630 − )= 2001x 2
Do x = 0 không phải là nghiệm của phương trình ⇒ chia 2 vế phương trình cho x 2
Ta có: x 17 630 x 83 630 2001
ðặt: x 630 t
x
Bài 12: t/d: pt: ( ) (4 )4
x a + + x b + = c ðặt: y x a b
2 +
= +
Trang 12Bài 13: ðk: 0 < ≤ x 1
PT 1 x 1 2x 12(*)
+ + x 1
2
= là nghiệm pt (*)
+ 1 x 1
2 < ≤ : VP 1
VT 1
>
<
+ 0 x 1
2
< < : VT>1
VP<1