Bài giảng phân tích ứng suất

Khi nghiên cứu các bài toán siêu tĩnh, môn Sức bền vật liệu và Cơ học kết cấu phải đưa bổ sung thêm các điều kiện tùy thuộc vào hình dạng và liên kết của vật thể để lập thêm các phương

TS LÝ TRƯỜNG THÀNH

PHÂN TÍCH ỨNG SUẤT

NHÀ XUẤT BẢN KHOA HỌC TỰ NHIÊN VÀ CƠNG NGHỆ

HÀ NỘI - 2010

NHÀ XUẤT BẢN KHOA HỌC TỰ NHIÊN VÀ CÔNG NGHỆ

18 Hoàng Quốc Việt, Cầu giấy, Hà Nội

ĐT: QLTH 04.2149041; PH 04.2149040; Phòng Biên tập 04.2149034 Fax: 04.7910147 - Email: nxb@vap.ac.vn;www.vap.ac.vn

PHÂN TÍCH ỨNG SUẤT

Chịu trách nhiệm xuất bản:

GS TSKH NGUYỄN KHOA SƠN

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 6

CHƯƠNG I 7

NHỮNG PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA BÀI TOÁN ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH ĐẲNG HƯỚNG 7

1.1 Lý thuyết ứng suất 7

1.1.1 Khái niệm về ứng suất và ký hiệu 7

1.1.2 Phương trình vi phân cân bằng Navier 7

1.1.3 Ứng suất trên mặt nghiêng - Điều kiện biên về lực 9

1.1.4 Nguyên lý Saint Venant 11

1.1.5 Trạng thái ứng suất tại một điểm 11

1.2 Lý thuyết về biến dạng 13

1.2.1 Khái niệm về chuyển vị, biến dạng và ký hiệu 13

1.2.2 Biến dạng 13

1.2.3 Điều kiện tương thích của biến dạng - phương trình Saint Venant 15

1.2.4 Trạng thái biến dạng tại một điểm 16

1.3 Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng định luật Hooke 16

1.4 Các phương pháp giải các bài toán đàn hồi 18

1.4.1 Cách giải theo ứng suất - hệ phương trình Beltrami - Michell 18

1.4.2 Cách giải theo chuyển vị - hệ phương trình Lame’ 19

1.5 Các nguyên lý về công và năng lượng 21

1.5.1 Các nguyên lý công khả dĩ 21

1.5.2 Thế năng biến dạng 22

1.5.3 Các nguyên lý cực tiểu thế năng 23

CHƯƠNG 2 25

BÀI TOÁN PHẲNG TRONG HỆ TOẠ ĐỘ VUÔNG GÓC 25

2.1 Các loại bài toán phẳng 25

2.1.1 Bài toán ứng suất phẳng 25

2.1.2 Bài toán biến dạng phẳng 25

2.2 Các phương trình cơ bản của bài toán đàn hồi phẳng trong hệ toạ độ vuông góc 26

2.2.1 Các phương trình cân bằng tĩnh học 26

2.2.2 Các phương trình hình học 27

2.2.3 Các phương trình vật lý (định luật Hooke) 27

2.3 Giải bài toán phẳng theo ứng suất 28

2.4 Các bài toán tiêu biểu giải theo hàm ứng suất Airy 30

2.4.1 Bài toán dầm công sôn chịu lực tập trung ở đầu tự do 31

2.4.2 Đập hay tường chắn có mặt cắt tam giác (lêi gi¶i cña LÐvy) 32

2.4.3 Bài toán đập hay tường chắn mặt cắt chữ nhật 34

2.4.4 Bài toán dầm tường - Lời giải của Filon và Ribiere 37

BÀI TẬP 39

CHƯƠNG 3 41

BÀI TOÁN PHẲNG TRONG HỆ TOẠ ĐỘ CỰC 41

3.1 Hệ toạ độ cực và các ký hiệu 41

3.1.1 Toạ độ cực và phép biến đổi toạ độ 41

3.1.2 Các ký hiệu của bài toán phẳng trong tọa độ cực 42

3.2 Các phương trình cơ bản 43

3.2.1 Phương trình vi phân cân bằng 43

3.2.2 Các phương trình hình học 43

3.2.3 Các phương trình vật lý 45

3.3 Cách giải bài toán phẳng theo ứng suất trong hệ toạ độ cực 46

3.4 Bài toán phẳng ứng suất không phụ thuộc vào góc cực 47

3.4.1 Lời giải tổng quát bài toán ứng suất không phụ thuộc góc cực 47

3.4.2 Thanh cong chịu uốn (Galovin 1881) 50

3.5 Các bài toán ống dày (bài toán Lamé 1852) 51

3.5.1 Ống dày chịu áp lực đều 51

3.5.2 Ống dày có độ dôi 52

3.5.3 Ống dày trong môi trường đàn hồi 52

3.6 Ứng suất cục bộ quanh lỗ khoét tròn nhỏ 54

3.6.1 Lỗ khoét tròn nhỏ trong tấm chữ nhật chịu kéo đều theo một phương có cường độ p 54

3.6.2 Ứng suất quanh lỗ khoét tròn nhỏ trong bài toán phẳng 56

3.7 Nêm phẳng 56

3.7.1 Nêm chịu lực P và mô men M ở đỉnh 56

3.7.2 Các trường hợp đặc biệt 58

3.7.3 Nêm chịu áp lực đều ở một mặt bên (hình 3-18) 60

3.8 Bài toán nêm phẳng hình thang 61

3.9 Lát phẳng nửa vô hạn 61

3.9.1 Lát phẳng chịu lực P có phương bất kỳ 61

3.9.2 Lát phẳng chịu lực P vuông góc với mặt phân cách 62

BÀI TẬP 64

CHƯƠNG 4 66

GIẢI BÀI TOÁN LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỐ 66

4.1 Những khái niệm mở đầu 66

4.1.1 Rời rạc hóa sơ đồ tính Véc tơ chuyển vị nút, véc tơ ngoại lực nút, véc tơ phản lực liên kết nút 67

4.1.2 Quan hệ giữa véc tơ phản lực liên kết nút và véc tơ chuyển vị nút Ma trận độ cứng của một phần tử 69

4.1.3 Phương trình cơ bản của phương pháp phần tử hữu hạn theo mô hình chuyển vị 70

4.2 Các quan hệ cơ bản trong một phần tử hữu hạn, ma trận độ cứng phần tử [k] e 71

4.2.1 Hàm chuyển vị và hàm dạng 71

4.2.2 Véc tơ biến dạng và véc tơ ứng suất tại một điểm trong phần tử 72

4.2.3 Nguyên lý công khả dĩ của Lagrange áp dụng cho hệ đàn hồi 73

4.2.4 Thế năng toàn phần Φe của một phần tử Ma trận cứng phần tử [k] e, và véc tơ lực nút qui đổi { }P q e 73

4.3 Ma trận độ cứng của phần tử tam giác trong bài toán phẳng 76

4.4 Ma trận cứng và véc tơ lực nút của phần tử thanh chịu kéo nén 79

4.4.1 Biểu thức thế năng toàn phần Φe , các ma trận [∂] và [D] 80

4.4.2 Giả thiết các hàm chuyển vị {u}, [M], lập các ma trận [A], [N], [B] 80

4.4.3 Lập ma trận độ cứng phần tử [k] e 80

4.4.4 Xác định véc tơ lực nút phần tử [P ] q e do tải trọng tác dụng trong thanh gây nên 81 4.5 Ma trận độ cứng và véc tơ lực nút của phần tử thanh chịu uốn phẳng 82

4.5.1 Biểu thức thế năng toàn phần Φe , các ma trận [∂], [D] 82

4.5.2 Giả thiết các hàm chuyển vị {u}, [M], lập các ma trận [A], [N], [B] 83

4.5.3 Lập ma trận độ cứng phần tử [k] e 84

4.5.4 Xác định véc tơ lực nút phần tử [P ] q e do tải trọng tác dụng trong thanh gây nên 84 4.6 Ma trận độ cứng của phần tử thanh chịu lực phức tạp 85

4.6.1 Phần tử thanh đồng thời chịu uốn phẳng và kéo nén 85

4.6.2 Phần tử thanh không gian 88

4.7 Lập ma trận độ cứng và véc tơ lực nút của phần tử trong hệ tọa độ chung của kết cấu Ma trận biến đổi tọa độ 89

4.8 Phương pháp số mã lập ma trận cứng [ ]K và véc tơ lực nút { }F của toàn kết cấu 93

4.9 Cách xử lý điều kiện biên 96

4.10 Cách đánh số mã nút để hạn chế bề rộng băng của ma trận [ ]K 97

4.11 Xác đỊnh nội lực của phần tử thanh 98

4.12 Các ví dụ áp dụng 103

BÀI TẬP 121

PHỤ LỤC 122

TÀI LIỆU THAM KHẢO 124

MỞ ĐẦU

Phân tích ứng suất là một môn khoa học thuộc ngành cơ học vật rắn biến dạng Nó nghiên

cứu trạng thái ứng suất, biến dạng của vật thể cân bằng dưới tác dụng của các tác động bên ngoài, khi mà vật liệu của vật thể chưa vượt quá giới hạn đàn hồi Tuy có sự giống nhau về mục đích với

môn Sức bền vật liệu và môn Cơ học kết cấu nhưng đối tượng nghiên cứu thì khác nhau Nếu như môn Sức bền vật liệu và môn Cơ học kết cấu lấy đối tượng nghiên cứu chỉ là các vật thể dạng thanh, thì đối tượng nghiên cứu của môn Phân tích ứng suất là các vật thể dạng thanh, dạng tấm,

vỏ và dạng khối, tức là liên quan tới việc giải bài toán 1, 2 hoặc 3 chiều Môn Phân tích ứng suất cũng khác với môn Sức bền vật liệu và Cơ học kết cấu về tính chặt chẽ của nghiệm Lời giải của Sức bền vật liệu và Cơ học kết cấu thì chủ yếu là gần đúng vì không thỏa mãn hết các điều kiện biên của bài toán Khi nghiên cứu các bài toán siêu tĩnh, môn Sức bền vật liệu và Cơ học kết cấu

phải đưa bổ sung thêm các điều kiện tùy thuộc vào hình dạng và liên kết của vật thể để lập thêm

các phương trình bổ sung, thì môn Phân tích ứng suất chỉ cần sử dụng các giả thiết có liên quan tới tính chất của vật thể giống như trong các môn Sức bền vật liệu và môn Cơ học kết cấu, đó là

các giả thiết:

- Vật liệu liên tục, đồng chất và đẳng hướng

- Vật liệu đàn hồi tuyến tính và tuân theo định luật Hooke

- Biến dạng của vật là bé

Hai giả thiết sau làm cho các phương trình mô tả trạng thái chịu lực của vật thể là các phương trình tuyến tính và do đó có thể áp dụng nguyên lý chồng chất nghiệm (nguyên lý cộng tác dụng của lực)

Môn Phân tích ứng suất không những giải được các bài toán đã giải được trong môn Sức bền vật liệu và Cơ học kết cấu mà còn giải được cả những bài toán mà môn Sức bền vật liệu và

Cơ học kết cấu không giải được như: Các bài toán về ứng suất cục bộ, bài toán về ứng suất tập

trung, bài toán tiếp xúc v.v Nó cũng cho khả năng đánh giá độ chính xác và giới hạn áp dụng

nghiệm bài toán giải theo các phương trình của môn Sức bền vật liệu và Cơ học kết cấu

Trong tài liệu này trình bày môn Phân tích ứng suất trên cơ sở kết hợp hai môn học là Lý thuyết đàn hồi ứng dụng và Phương pháp phần tử hữu hạn để giải một số bài toán thường gặp

trong xây dựng công trình, đặc biệt là trong xây dựng các công trình Thuỷ lợi

Tác giả xin chân thành cám ơn các bạn đồng nghiệp trong Bộ môn Sức bền vật liệu-Cơ học kết cấu Trường Đại học Thủy lợi đã cung cấp tài liệu và đóng góp các ý kiến quý báu để hoàn thành cuốn sách này Do lần đầu biên soạn nên không tránh khỏi các khiếm khuyết, tác giả mong nhận được các ý kiến đóng góp của các bạn đọc để lần xuất bản sau được tốt hơn Các ý kiến đóng góp xin gửi về Bộ môn Sức bền vật liệu-Cơ học kết cấu Trường Đại học Thủy lợi

TÁC GIẢ

CHƯƠNG I NHỮNG PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA BÀI TOÁN ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH ĐẲNG HƯỚNG

1.1 Lý thuyết ứng suất

1.1.1 Khái niệm về ứng suất và ký hiệu

Xét một vật thể đàn hồi chịu tác dụng của hệ lực cân bằng đặt trong hệ trục tọa độ xyz như

trên hình 1-1a Tách ra quanh điểm A trong vật một phân tố hình hộp bởi các mặt phẳng song song với các mặt toạ độ Trên các mặt của phân tố có 9 thành phần ứng suất như trên hình 1-1b

Trong các thành phần này có 3 thành phần ứng suất pháp là σx,σy,σz và 6 thành phần ứng suất tiếp là τxy ,τyx ,τyz ,τzy, τxz ,τzx Các mặt cắt được gọi tên bằng pháp tuyến ngoài

của nó, chẳng hạn ta gọi mặt x tức là mặt có pháp tuyến ngoài có phương song song với trục x

Trong ký hiệu ứng suất pháp, chỉ số biểu thị tên của mặt cắt có ứng suất pháp, cũng là chỉ phương của ứng suất đó; còn trong ký hiệu ứng suất tiếp, chỉ số thứ nhất biểu thị mặt có ứng suất tiếp, chỉ

số thứ 2 biểu thị phương của ứng suất Ví dụ σx là ứng suất pháp trên mặt x, còn τxy là ứng suất

tiếp trên mặt x có phương song song với trục y

Dấu của các ứng suất được quy ước như sau: Nếu pháp tuyến ngoài của mặt cắt hướng theo chiều dương của trục toạ độ, thì các ứng suất có dấu dương khi chúng cùng hướng theo chiều dương của hệ trục tọa độ, còn trên các mặt có pháp tuyến ngoài ngược chiều với chiều hệ trục tọa độ, thì các ứng suất có dấu dương khi chúng có hướng ngược với chiều của hệ trục tọa

độ, các ứng suất vẽ trên hình 1-1 đều có dấu dương

Các ứng suất không những thay đổi theo từng điểm trong vật (phụ thuộc toạ độ của điểm)

mà còn phụ thuộc vào phương của mặt cắt đi qua điểm đó (phụ thuộc góc nghiêng của mặt cắt đi qua điểm đó) Nếu ký hiệu chung các ứng suất là S thì ta có thể viết: S = S(x, y, z, n) , với n là các côsin chỉ phương của mặt cắt đi qua điểm đó

1.1.2 Phương trình vi phân cân bằng Navier

Khảo sát một phân tố dxdydz tách ra từ một vật thể cân bằng Ngoài các ứng suất tác dụng trên các mặt của phân tố, trong phân tố còn có các lực thể tích với các thành phần hình chiếu của

nó lên các trục toạ độ là X, Y, Z tác dụng lên phân tố nữa

Nếu như trên mặt có tọa độ là x ta có các thành phần ứng suất là:

),,()

,,()

,,

,,()

,,

z y x z

y dx

x x x

σ ( , , ) ( , , ) ( , , )

Làm hoàn toàn tương tự đối với các thành phần ứng suất khác được các thành phần ứng suất

trên các mặt của phân tố cho trên hình 1-2

Phân tố cân bằng dưới tác dụng của các thành phần ứng suất trên các mặt và các thành phần

lực thể tích nên nó thoả mãn các phương trình cân bằng tĩnh học:

dz z

z

σ

∂ +

dy y

yx

yx ∂

τ + τ dy

y

yz

yz ∂

τ + τ

dz z

zx

zx ∂

τ + τ

dz z

zy

zy ∂

τ + τ

dx x

xy

xy ∂

τ + τ

dx x

xz

xz ∂

τ + τ

y

y ∂

∂ + σ

Các phương trình hình chiếu theo phương y và phương z làm tương tự Sau khi rút gọn ta được:

0

=+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

X z y

x x yx zx

ττ

σ

0

=+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

Y z y

x xy y zy

τστ

(1-2) 0

=+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

Z z y

x xz yz z

σ τ

zy y xy

zx yx x

σττ

τστ

ττσ

P là véc tơ lực thể tích: P = { }T

Z Y X

(1-2 ), (1-3) là các phương trình cân bằng hay là hệ phương trình vi phân cân bằng Navier

Nhóm thứ 2 của (1-1) là các phương trình cân bằng mômen đối với các trục Chẳng hạn

phương trình đầu tiên là: ∑M x = 0 được:

zy

yz yz

ττ

ττ

Làm tương tự ta được: τxy =τyx τxz =τzx

(1-4)

(1-4) biểu diễn luật đối ứng của ứng suất tiếp

1.1.3 Ứng suất trên mặt nghiêng - Điều kiện biên về lực

Ở trên ta đã xét phân tố hình hộp tách ra từ một vật thể cân bằng và các phương trình cân

bằng (1-2) hoàn toàn thoả mãn đối với các phân tố này Tuy nhiên, nếu ta chia vật thể bằng các

mặt phẳng song song với các mặt phẳng toạ độ cách nhau những khoảng vô cùng nhỏ thì sẽ chia

vật thể thành vô số các phân tố hình hộp và một số các phân tố tứ diện Các phân tố tứ diện này

ngoài các mặt song song với các mặt toạ độ chịu tác dụng của các thành phần ứng suất, còn có

mặt nghiêng với các mặt toạ độ, trên đó có các lực bề mặt tác dụng như trên hình 1-3

Ta xét một tứ diện tách ra từ vật thể trên hình 1-3 Tứ diện này có các mặt x, y, z và mặt

nghiêng v cho trên hình 1-4 Giả sử lực bề mặt toàn phần trên mặt v có các thành phần hình chiếu

lên các trục toạ độ là XV, YV, ZV Pháp tuyến ngoài v của mặt nghiêng hợp với các trục x, y, z các

góc α, β, γ Đặt:

l = cosα = cos(v,x)

Ký hiệu diện tích của mặt ABC là dF, thì diện tích của các mặt BOC, AOC, AOB lần

lượt là dF.l, dF.m, dF.n Phân tố tứ diện có thể tích rất nhỏ nên ta có thể bỏ qua thành phần lực

X v=σx.l+τyx +τzx

n m

n m

Z v =τxz.l+τyz +σz hoặc viết dưới dạng ma trận: P v =S.L

(1-5’) Trong đó: P v là vectơ ứng suất toàn phần trên mặt nghiêng:

v v v

v X Y Z

2 2 2

v v v

n m

C

B

S là ma trận ứng suất

Ta có thể phân P v thành 2 thành phần: ứng suất pháp σv vuông góc với mặt phẳng v và

ứng suất tiếp τv nằm trong mặt phẳng v

Thành phần σv được tính bằng công thức:

n Z m Y

v = l+ +

σ

)(

2

2 2

2

ll

v v

Nếu phân tố trên được tách ra tại một điểm trên biên vật thể thì X v,Y v,Z v là các thành phần

tải trọng phân bố trên mặt nghiêng, nên lúc này biểu thức (1-5) chính là điều kiện biên về lực của

bài toán (các điều kiện biên tĩnh học)

1.1.4 Nguyên lý Saint Venant

Ở nhiều bài toán đàn hồi (như các bài toán về thanh, tấm, vỏ, vv ) hầu như không thể tìm

được nghiệm thoả mãn hết mọi điều kiện biên, đặc biệt là khi trên biên có lực tập trung tác dụng

Nhằm giảm bớt khó khăn ta có thể làm “mềm hoá” điều kiện biên về lực bằng cách áp dụng

nguyên lý Saint-Venant, nguyên lý này được phát biểu như sau:

Khi miền đặt tải trọng nhỏ hơn mọi kích thước của vật thể, thì trạng thái ứng suất và

biến dạng tại những điểm xa nơi đặt lực thay đổi rất ít khi ta thay hệ lực này bằng hệ lực khác

tương đương

Hệ lực tương đương ở đây được hiểu là hệ lực có cùng vectơ lực chính và vectơ mômen chính

Ví dụ thanh có mặt cắt ngang F là hằng số, chịu hai hệ lực tương đương như trên hình 1-5,

trạng thái ứng suất trong hai trường hợp này chỉ khác nhau ở vùng hai đầu thanh gần nơi đặt lực,

càng xa hai đầu thanh, trạng thái ứng suất càng giống nhau

Ta sẽ áp dụng cụ thể nguyên lý này khi giải một số bài toán ở các chương sau

1.1.5 Trạng thái ứng suất tại một điểm

Như trên đã nói, ứng suất không những phụ thuộc vào từng điểm mà còn phụ thuộc

vào phương của mặt cắt đi qua điểm đó Tập hợp tất cả các ứng suất tác động tại một điểm

theo mọi phương gọi là trạng thái ứng suất tại điểm đó Như vậy, để nghiên cứu trạng thái

ứng suất tại một điểm M nào đó trong vật thể cân bằng, ta phải biết hết mọi ứng suất tác

động tại điểm M trên tất cả các mặt đi qua điểm đó Trước tiên, ta biểu thị các ứng suất tại

điểm nào đó bằng các ứng suất trên các mặt của một phân tố bao quanh điểm đó Như vậy,

trạng thái ứng suất tại một điểm là tập hợp tất cả các ứng suất trên các mặt của các phân tố

bao quanh điểm đó

Như đã chứng minh ở 1.1.4 (công thức 1-6): Nếu biết ứng suất trên 3 mặt cắt vuông góc với

nhau đi qua một điểm thì có thể xác định được ứng suất trên bất cứ mặt cắt nào đi qua điểm đó

Thanh cã mÆt

Hình 1-5

Một mặt mà trên đó không có ứng suất tiếp được gọi là mặt chính ứng suất Pháp tuyến ngoài của mặt chính được gọi là phương chính và ứng suất pháp trên mặt chính được gọi là ứng suất chính Người ta cũng chứng minh được là: Qua một điểm nào đó bao giờ cũng tìm được một phân tố hình hộp mà tất cả các mặt của nó đều là mặt chính Phân tố đó được gọi là phân tố chính

Ký hiệu các ứng suất chính của phân tố này là σ1, σ2, σ3 và với quy ước là: σ1≥σ2 ≥σ3 (kể cả dấu) Bây giờ hãy xác định các ứng suất chính

Xét phân tố tứ diện như trên hình 1-4 Giả sử mặt ABC là mặt chính và gọi ứng suất chính trên mặt này là σK, còn các cosin chỉ phương của phương chính là lK,m , K n K

Từ hình 1-4 ta có: X v =σK.lK

K K

Y =σ

K K

(1-7) là hệ phương trình thuần nhất Mặt khác lK , mK , nK không thể đồng thời bằng 0 nên

để phương trình có nghiệm không tầm thường thì định thức của hệ phương trình này phải bằng 0:

yz xz

zy K

y xy

zx yx

K x

D

σ σ τ

τ

τ σ

σ τ

τ τ

σ σ

zx x z zy

yz y y xy

yx x

I

στ

τ

σστ

τσστ

τσ

++

=

z yz xz

zy y xy

zy yx x

I

σττ

τστ

ττσ

3

Giải phương trình (1-10) ta sẽ được 3 nghiệm đối với σK và người ta cũng chứng minh được

ba nghiệm của (1-10) luôn là thực, đó là các ứng suất chính σ1, σ2, σ3 Thay lần lượt σ1, σ2, σ3 vào (1-7) và kết hợp với (*) giải hệ đó sẽ được phương chính

1n

Như vậy ta đã xác định được các ứng suất chính và phương của chúng Bây giờ ta tiến hành

xác định các ứng suất tiếp cực trị Các ứng suất tiếp cực trị nằm trong mặt phẳng chứa một trục

chính và nghiêng một góc 45o so với hai mặt chính tương ứng Các ứng suất tiếp cực trị được tính

bằng công thức sau:

2 2

1 12

σ

−σ

=τ

2 3

2 23

σ

−σ

=

2 1

3 31

σ

−σ

=τ

1.2 Lý thuyết về biến dạng

1.2.1 Khái niệm về chuyển vị, biến dạng và ký

hiệu

Xét một vật thể đàn hồi đủ liên kết (vật không

có chuyển vị cứng) như trên hình 1-6 Khi biến dạng,

điểm M sẽ bị dịch chuyển tới vị trí M1, ta nói điểm M

đã thay đổi vị trí Sự thay đổi vị trí của điểm khi vật

bị biến dạng được gọi là chuyển vị của điểm Chúng

ta kí hiệu hình chiếu của đoạn MM1 lên các trục toạ

độ là u, v, w Trong đó, u, v, w được gọi là các thành phần của chuyển vị

Vì chuyển vị là sự dịch chuyển từ điểm này đến điểm khác nên các thành phần chuyển vị

)z,y,x(v

)z,y,x(u

1.2.2 Biến dạng

Một vật thể khi chịu lực thì hình dạng, kích thước hoặc cả hình dạng và kích thước của nó

bị thay đổi Nếu sự thay đổi này mà không gây ra sự thay đổi khối lượng của vật thì gọi là biến

dạng của vật

Tách ra một phân tố hình hộp có các cạnh là dx, dy, dz bao quanh một điểm nào đó từ một

vật thể đàn hồi cân bằng như trên hình 1-7a Khi biến dạng, các cạnh của phân tố bị co hoặc dãn,

còn các góc vuông sẽ bị méo đi Nếu các cạnh của phân tố là dx, dy, dz thì sau biến dạng nó sẽ là

dx + Δdx, dy + Δdy, dz + Δdz, và như vậy biến dạng dài theo các phương x, y, z lần lượt sẽ là:

u u

∂

∂ +

dy y

v v

∂

∂ +

dx x

v v

∂

∂ +

dx x

u u

∂

∂ +

β

α

A B

C

Như vậy có 6 thành phần biến dạng:

zx yz xy z y

ε

Giữa biến dạng và chuyển vị có mối liên hệ với nhau Ta hãy tìm mối liên hệ này Trước hết

ta xét hình chiếu của phân tố trên mặt phẳng xoy Hình ABC sau biến dạng sẽ thành hình A1B1C1

như trên hình 1-7b

Điểm A (x, y) sau biến dạng sẽ tới điểm A1 và đã thực hiện các chuyển vị là u, v

Điểm B (x + dx,y) sau biến dạng sẽ tới điểm B1 và đã thực hiện các chuyển vị:

u u x du u

dy

y = Δ = ∂∂

εBiến dạng góc:

x

v y

u dx

dx x

v v dy

u dy y

u u tg tg

∂++

−

∂

∂+

=+

=+

Làm tương tự với các thành phần biến dạng khác ta được mối liên hệ giữa biến dạng và

chuyển vị, đó cũng chính là các phương trình hình học Cauchy:

y

ux

zx yz xy z y x

z

yz

0

0x

y

z0

0

0y

0

00

1.2.3 Điều kiện tương thích của biến dạng - phương trình Saint Venant

Như trên đã nói, chuyển vị tại một điểm được xác định bằng 3 thành phần: u,v,w; còn biến dạng thì được xác định bằng 6 thành phần: εx,εy,εz,γxy,γyz,γzx Từ (1-13) thấy rằng: Nếu biết 3 thành phần chuyển vị u, v, w thì hoàn toàn xác định được 6 thành phần biến dạng

zx yz xy

x 2

y

ux

v x x

2 2

y 2

uxyx

2 2 2 xy

2

Từ hệ phương trình trên suy ra:

yxx

y

xy 2 2 y 2 2 x 2

∂

ε

∂Làm tương tự ta được:

z y y

2

xzz

x

zx 2 2 x 2 2 z 2

yuxzx

2 2

xvxx

2 2

2 yz

xwxyx

2 2

zx 2

Từ hệ trên suy ra:

zy2xzy

2 yz

xy zx

∂γ

∂

y 2 zx

yz xy

2 xy

zx yz

y

xy 2 2 y 2 2 x 2

z

yz 2 2 z 2 2 y 2

∂

ε

∂

xzz

x

zx 2 2 x 2 2 z 2

x 2 yz

xy zx

∂γ

∂

xz2yxzy

y 2 zx

yz xy

2 xy

zx yz

Ý nghĩa vật lý của phương trình này là: Nếu ta chia một vật thể thành các phân tố hình hộp,

khi vật bị biến dạng thì các phân tố cũng bị biến dạng, nhưng các biến dạng này không phải là tuỳ

ý mà phải ràng buộc với nhau theo (1-14) thì khi ghép chúng lại ta mới được vật thể biến dạng

liên tục, (1-14 ) còn được gọi phương trình liên tục Saint Venant

1.2.4 Trạng thái biến dạng tại một điểm

Xét một phân tố đoạn thẳng đi qua một điểm trong một vật thể cân bằng Khi vật thể bị biến

dạng thì phân tố đoạn thẳng này cũng bị biến dạng Biến dạng này thay đổi tuỳ thuộc vào phương

của đoạn thẳng Tập hợp tất cả các biến dạng của phân tố đoạn thẳng đi qua một điểm theo mọi

phương được gọi là trạng thái biến dạng tại điểm đó

Cũng giống như trạng thái ứng suất, nếu ta biết tất cả các biến dạng thẳng và biến dạng góc

của 3 phân tố đoạn thẳng vuông góc với nhau đi qua một điểm nào đó trong một vật thể cân bằng

thì hoàn toàn xác định được trạng thái biến dạng tại điểm đó Cũng giống như trạng thái ứng suất,

trạng thái biến dạng tại một điểm cũng có các tính chất là: luôn tồn tại ba phương vuông góc nhau

mà theo các phương đó chỉ có biến dạng thẳng chính tác dụng gọi là trục biến dạng chính, v.v

1.3 Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng định luật Hooke

Trong Sức bền vật liệu ta đã có quan hệ giữa ứng suất và biến dạng - đó là định luật Hooke

Trong trường hợp tổng quát, quan hệ này có dạng:

Trong đó E là môđun đàn hồi trong kéo (nén) , μ là hệ số biến dạng ngang của vật liệu hay

còn gọi là hệ số Poát-xông, còn G là mô đun đàn hồi trượt

)1(

μ ε

σ

21

με

σ

21

2 (1-17)

z = G⎜⎜⎝⎛ z + − μ e⎟⎟⎠⎞

με

σ

2 1 2

τxy = Gγxy τyz = Gγyz τzx = Gγzx

Có thể viết (1-17) dưới dạng:

eG

2 x

x = ε +λσ

eG

y = ε +λσ

eG

2 z

z = ε +λσ

+

−

=

121

E

20)

(1-19) được gọi là định luật Hooke viết dưới dạng công thức Lame’

Ta cũng có thể viết lại các biểu thức của định luật Hooke dưới dạng ma trận:

=ε

zx yz xy z y x

=σ

zx yz xy z y x

μ μ

μ

μ

μ μ

μ μ

μ

μ

μ μ

12

21

01

21 2

00

1

21 2/

00

01

00

01

1

00

01

11

211

1

x d

E

1.4 Các phương pháp giải các bài toán đàn hồi

Giải bài toán đàn hồi là nhằm mục đích xác định trường ứng suất, trường biến dạng và trường chuyển vị trong vật thể đàn hồi cân bằng dưới tác dụng của ngoại lực Như vậy ẩn số của bài toán đàn hồi chính là ứng suất, biến dạng và chuyển vị

Khi giải bài toán đàn hồi ta gặp các đại lượng và các mối quan hệ giữa chúng như trên sơ đồ hình 1-8

Giữa các đại lượng này có quan hệ với nhau nên nếu biết được đại lượng này thì có thể xác định được đại lượng kia

Tuỳ cách chọn ẩn số mà ta có các cách giải khác nhau Nếu chọn ẩn số là ứng suất thì ta có

cách giải theo ứng suất, nếu chọn ẩn số là chuyển vị thì ta có cách giải theo chuyển vị, còn nếu

chọn ẩn số vừa là một số thành phần ứng suất vừa là một số thành phần chuyển vị thì ta có cách

giải hỗn hợp

Nghiệm của bài toán phải vừa thoả mãn phương trình cân bằng lại vừa phải thoả mãn điều kiện liên tục về biến dạng và các điều kiện biên Tuỳ theo cách giải mà điều kiện biên có thể là tải trọng trên biên hoặc chuyển vị trên miền biên nào đó, hoặc cũng có thể vừa là tải trọng trên miền biên này vừa là chuyển vị trên miền biên khác

1.4.1 Cách giải theo ứng suất - hệ phương trình Beltrami - Michell

Khi giải theo ứng suất, ta chọn ẩn số là 6 thành phần ứng suất:

zx yz xy z y

Các ẩn trên cần phải thoả mãn các phương trình cân bằng (1-2) và các phương trình liên tục (1-14) Để phù hợp với ẩn số là ứng suất, ta phải viết lại (1-14) dưới dạng ứng suất bằng cách đặt biểu thức của định luật Hooke (1-15) vào (1-14) và sau một số biến đổi được:

X z

Z y

Y x

y

Y z

Z y

Y x

z

Z z

Z y

Y x

11μ τ

( Z x)

z

X x

z J

zx + + ∂∂∂ =− ∂∂ +∂∂

11μ τ

Trong đó toán tử Laplace:

2

2 2

2 2 2 2

z y

Còn X, Y, Z là các thành phần hình chiếu lên các trục toạ độ của véc tơ lực thể tích (1-23)

được gọi là hệ phương trình Beltrami - Michell

Xét trường hợp các thành phần của lực thể tích X, Y, Z bằng hằng số thì từ 3 phương trình đầu của (1-23) ta được:

∇2J = 0 (1-24)

Như vậy J chính là hàm điều hoà

Các nghiệm trên ngoài việc phải thoả mãn các phương trình cân bằng còn phải thoả mãn điều kiện biên (1-5):

1.4.2 Cách giải theo chuyển vị - hệ phương trình Lame’

Khi giải theo chuyển vị, ta chọn 3 thành phần chuyển vị: u, v, w làm ẩn số Các ẩn này cần thoả mãn 3 phương trình cân bằng và điều kiện biên Để giải theo chuyển vị, ta viết các phương trình cân bằng (1-2) theo chuyển vị Đặt (1-19) và (1-13) vào (1-2) ta được:

(1-25) được gọi là phương trình Lame’

Viết lại điều kiện biên (1-5) dưới dạng chuyển vị: Cũng đặt (1-19) và (1-13) vào (1-5) được:

x

wmx

vx

uGnz

umy

ux

uGe

XV =λ l+ ⎜⎝⎛∂∂ l+∂∂ +∂∂ ⎟⎠⎞+ ∂∂ l+∂∂ +∂∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+λ

y

wmy

vy

uGnz

vmy

v

xvGe

z

wmz

vz

uGnz

wmy

wx

wGe

ZV =λ l+ ⎜⎝⎛∂∂ l+∂∂ +∂∂ ⎟⎠⎞+ ∂∂ l+∂∂ +∂∂

Ta hãy xem xét cách giải theo ứng suất Có rất nhiều con đường để xác định nghiệm của bài

toán Nếu biết trước tải trọng, ta có thể giải trực tiếp hệ phương trình vi phân cân bằng (1-2) (tất

nhiên phải kết hợp với phương trình tương thích (1-23) ) để xác định 6 thành phần ứng suất, rồi

buộc các thành phần ứng suất này phải thoả mãn điều kiện biên (1-5) Cách giải này gọi là cách

giải thuận

Cũng có thể giả định trước các biểu thức ứng suất (hoặc chuyển vị nếu giải theo chuyển vị),

rồi kiểm tra xem chúng có thoả mãn điều kiện cân bằng (1-2), điều kiện biên (1-5) và điều kiện

tương thích của biến dạng (1-23) Cách giải này được gọi là cách giải ngược

Phương pháp giải thuận gặp những khó khăn về toán khi giải hệ phương trình vi phân đạo

hàm riêng nên giải được rất ít bài toán Phương pháp giải ngược lại rất cồng kềnh vì phải giả thiết

rất nhiều lần mới ra nghiệm của bài toán Để khắc phục các nhược điểm của hai phương pháp trên

người ta giả định trước hàm ứng suất (hoặc hàm chuyển vị nếu giải theo chuyển vị) dưới dạng

một hàm số nào đó nhưng chưa phải ở dạng tường minh mà còn chứa một số đại lượng chưa biết

Sau khi buộc các nghiệm này phải thoả mãn các phương trình cơ bản: Phương trình cân bằng,

phương trình tương thích và điều kiện biên của bài toán, ta sẽ xác định nốt các đại lượng chưa

biết, do đó xác định được đầy đủ nghiệm của bài toán Cách giải này được gọi là cách giải nửa

ngược hay còn gọi là phương pháp Saint Venant

Việc tìm nghiệm của các bài toán dưới dạng các hàm số liên tục bằng các phương pháp nói

trên không phải lúc nào cũng thuận tiện, thậm chí nhiều trường hợp không thể làm được Trong

khi đó lại có thể xác định được giá trị bằng số của các hàm nghiệm tại một số điểm trong vật thể,

từ đó nội suy cho các điểm còn lại Lời giải đó được gọi là lời giải số và là lời giải gần đúng

Phương pháp tìm ra lời giải số được gọi là phương pháp số Các phương pháp số thường dùng

hiện nay là: Phương pháp sai phân hữu hạn, phương pháp phần tử hữu hạn và phương pháp phần

tử biên Trong chương 4 của cuốn sách này sẽ trình bày nội dung cơ bản của phương pháp phần tử

hữu hạn ứng dụng vào giải các bài toán phân tích ứng suất

Bài toán đàn hồi tuy có nhiều cách giải, nhưng nghiệm của nó là duy nhất Ta hãy chứng

minh điều này Để chứng minh ta dùng phương pháp phản chứng

Giả sử bài toán không phải có nghiệm duy nhất mà có 2 nghiệm là S và S’ Ta phải chứng

minh rằng nếu bài toán có nghiệm duy nhất thì S phải bằng S’ Nếu S và S’ đều là nghiệm của bài

toán thì chúng đều phải thoả mãn phương trình cân bằng và điều kiện biên của bài toán, có

không chịu tải trọng, do đó ứng suất này phải bằng 0:

S - S’= 0

Hay S = S’ Đó là điều cần chứng minh

1.5 Các nguyên lý về công và năng lượng

Phần trên ta đã xét cách giải bài toán đàn hồi từ các phương trình vi phân cân bằng (1-2)

Tuy nhiên ta cũng có thể giải các bài toán này dựa trên nguyên lý về công và năng lượng Các

nguyên lý này là cơ sở cho nhiều phương pháp số như phương pháp phần tử hữu hạn, phương

+ Lực bề mặt trên mặt SP: { }T

v v v

v X Y Z

P =Vật ở trạng thái cân bằng nên trong vật thể xuất hiện hệ ứng suất:

{ }T

zx yz xy z y

x σ σ τ τ τ σ

σ = (1-27) Với các điều kiện ràng buộc trên biên SU có chuyển vị:

w v u

U =

Chú ý rằng SP và SU không cắt nhau, có nghĩa là: S = SP + SU

Giả sử tương ứng với các ngoại lực có hệ chuyển vị khả dĩ:

{ }T

w v u

x δε δε δγ δγ δγ δε

δε = (1-29) Khi thỏa mãn các điều kiện ràng buộc trên biên SU, tức là trên biên này phải có:

X dv

w Z v Y u

T

P

0dSpupdV

u

Trong công thức (1-31), số hạng đầu biểu thị công khả dĩ của nội lực, còn 2 số hạng sau

biểu thị công khả dĩ của ngoại lực Như vậy với một vật thể cân bằng, khi có chuyển vị khả dĩ như

(1-28) và (1-29) thì tổng công khả dĩ của nội lực và ngoại lực phải bằng không Đây chính là

nguyên lý công khả dĩ

Ngoài nguyên lý công khả dĩ, còn có nguyên lý công bù khả dĩ Xét một vật thể cân bằng

chịu tác dụng của các tải trọng và có trường biến dạng tương thích εx,εy,εz,γxy,γyz,γzxthỏa

mãn các ràng buộc như đã mô tả ở trên Giả sử có một trường lực khả dĩ:

{ }T

v v v

xδσ δσ δτ δτ δτ δσ

δσ = (1-34) Thì biểu thức biểu diễn nguyên lý công bù khả dĩ:

V

zx zx yz yz xy xy z z y y x

X

Các nguyên lý công khả dĩ và nguyên lý công bù khả dĩ (1-31) và (1-35) có thể áp dụng đối

với mọi vật rắn biến dạng

Công sinh ra do lực có thật thực hiện trên những chuyển dời tưởng tượng gọi là công khả dĩ,

còn công sinh ra do lực có tưởng tượng thực hiện trên những chuyển dời có thật gọi là công bù

khả dĩ Chuyển vị mà ta tưởng tượng ra gọi là chuyển vị khả dĩ, còn lực tưởng tượng gọi là lực khả

dĩ Như vậy, trong công khả dĩ, giữa lực và đường đi không liên quan gì với nhau, nên có thể áp

dụng nguyên lý cộng tác dụng khi tính công khả dĩ Đối với vật rắn biến dạng, ngoài công khả dĩ

ngoại lực còn có công khả dĩ nội lực, là công sinh ra do hệ nội lực ( ứng suất ) thực hiện trên các

biến dạng khả dĩ tương ứng Tương tự, công bù khả dĩ nội lực là công sinh ra do hệ nội lực (ứng

suất) khả dĩ thực hiện trên các biến dạng có thật tương ứng

1.5.2 Thế năng biến dạng

Xét một vật thể cân bằng, trong trường hợp tổng quát, quan hệ ứng suất - biến dạng của

vật thể là phi tuyến như trên hình 1-9

Hàm thế năng biến dạng là:

zx zx yz

yz xy

xy z

z

y y x

γτγ

τγ

τε

σ

εσεσ

yz xy

xy z

z y

y x

B

τ γ τ

γ τ

γ σ

ε σ

ε σ

x x

++

=

22

2 2 2 2 2 2

2

zx yz xy z y x z

y

ε ε ε ε

ε ε λ

=

2 2

2 2

w y

v x

u G u

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

2 2

2

w z

u z

v y

w y

u x

v G

2

122

2 2 2

σ σ σ

B(σ) là hàm của ứng suất

1.5.3 Các nguyên lý cực tiểu thế năng

a) Nguyên lý cực tiểu thế năng Lagrange:

Xét vật thể cân bằng như đã mô tả trong mục 1 Giả sử vật có chuyển vị khả dĩ vô cùng bé

δu, δv, δw sử dụng công thức Green thì biểu thức công khả dĩ (1-32) sẽ trở thành:

S

dSwZvYuXdV

ZwYvXudV

uWJ

(1-44) chính là biểu thức của nguyên lý cực tiểu thế năng Lagrange: Khi vật thể ở trạng thái

cân bằng thì phiếm hàm tổng thế năng của nó nhận giá trị dừng

b/ Nguyên lý cực tiểu thế năng bù Castigliano:

Cũng xét vật thể cân bằng như trên, giả sử vật có trường ứng suất khả dĩ vô cùng bé

zx yz xy z

V

S

dSZwYvXudVB

(1-45) chính là biểu thức của nguyên lý cực tiểu thế năng bù Castigliano: Khi các biến dạng

phù hợp với điều kiện của liên kết của vật phiếm hàm tổng thế năng bù U của vật nhận giá trị dừng

c/ Nguyên lý cực tiểu Reissner - Hellinger:

Nếu vật thể mà hàm chuyển vị thoả mãn điều kiện ràng buộc trên phần biên SU, còn hàm ứng suất lại thoả mãn các điều kiện biên trên phần biên SP thì phiếm hàm R sẽ đạt giá trị dừng:

∂

∂++

∂

∂+

u y

v x

u R

V

zx y

V V

V V

dSZwwYvvXuudS

wZvYuX

z

y

x X

2.1 Các loại bài toán phẳng

Bài toán phẳng là bài toán về trạng thái ứng suất - biến dạng mà trong đó các đại lượng

nghiên cứu hoặc là ứng suất, hoặc là biến dạng chỉ phụ thuộc hai biến x,y trong hệ tọa độ oxyz

Trong Lý thuyết đàn hồi ứng dụng người ta phân biệt ra hai loại bài toán phẳng là: Bài toán ứng

suất phẳng và bài toán biến dạng phẳng

2.1.1 Bài toán ứng suất phẳng

Bài toán ứng suất phẳng là bài toán mà ứng suất trên tất

cả các mặt song song với mặt xoy bằng không (σz = τzy = τzx = 0)

Xét một vật thể hình lăng trụ có bề dầy t rất nhỏ so với kích

thước của 2 mặt đáy Vật chỉ chịu lực trên biên, có phương

vuông góc với trục của lăng trụ và phân bố đều trên bề dầy

t còn 2 đáy không chịu tải trọng như trên hình 2-1 Chọn hệ

trục toạ độ Oxyz sao cho mặt phẳng xy song song với mặt

phẳng đáy (xem hình 2-1) Lúc này trên hai mặt phẳng đáy

có các ứng suất: σz = 0, τzy = τzx = 0, vì bề dày t rất bé nên

sự thay đổi của ứng suất theo bề dầy là không đáng kể nên

ta có thể coi các thành phần trên cũng đúng với mọi điểm

trên vật, các ứng suất còn lại chỉ phụ thuộc vào toạ độ x, y

và không phụ thuộc toạ độ z

σx = σx(x,y) σy = σy(x,y) τxy = τxy(x,y) (2-1)Trong trường hợp này σz = 0 nhưng biến dạng εz ≠ 0, dẫn đến chuyển vị theo phương z cũng

khác không (w ≠ 0) và biến dạng này chỉ phụ thuộc vào hai biến x, y Do chỉ có ứng suất thỏa mãn

định nghĩa bài toán phẳng nên gọi là bài toán ứng suất phẳng

Thật vậy, theo định luật Hooke ta có:

2.1.2 Bài toán biến dạng phẳng

Bài toán biến dạng phẳng là bài toán mà chuyển vị của tất cả các điểm của vật theo phương

song song với một mặt phẳng (xoy) bằng không ( u= u(x,y), v= v(x,y), w= 0)

Nếu vật thể được xét cũng như trường hợp 1 (hình 2-2), nhưng với điều kiện là 2 đáy của

lăng trụ không được biến dạng tự do mà được giữ sao cho không có chuyển vị theo phương z

(w=0), và εz =0 ; còn các thành phần biến dạng còn lại chỉ phụ thuộc vào tọa độ x, y:

( )x y x

Trong trường hợp này các biến dạng và chuyển vị chỉ xảy ra trong mặt phẳng x, y, nên ta

có bài toán biến dạng phẳng

Hình 2-1

Trong thực tế rất ớt trường hợp cú bài toỏn thoả món điều kiện là bài toỏn biến dạng phẳng,

song nếu xột một cỏch gần đỳng thỡ lại gặp rất nhiều Vớ dụ như cỏc bài toỏn về vật lăng trụ cú

chiều dài khỏ lớn so với kớch thước mặt đỏy, chịu tải trọng vuụng gúc với trục và cú cường độ

khụng đổi dọc theo trục: Đập dõng nước, tường chắn, cỏc đường hầm Với những bài toỏn này, khi

tớnh toỏn người ta thường tỏch ra một lỏt mỏng bởi hai mặt cắt song song rất gần nhau và vuụng gúc

với trục z (xem hỡnh 2-2) Nếu lỏt cắt mỏng này được xột một cỏch biệt lập, nghĩa là hai mặt cắt

thuộc lỏt cắt coi như hai đỏy tự do thỡ chỳng cú thể biến dạng theo phương z (εZ ≠0) Do tớnh đối

xứng của bài toỏn (mọi mặt cắt ngang đều cú thể coi là mặt phẳng đối xứng của hệ), nờn cỏc mặt cắt

ngang khụng cú dịch chuyển theo phương dọc trục, khi đú lỏt mỏng đang xột được xem như khụng

cú biến dạng theo phương z (εZ = 0), lỳc này bài toỏn được coi như bài toỏn biến dạng phẳng

2.2 Cỏc phương trỡnh cơ bản của bài toỏn đàn hồi phẳng trong hệ toạ độ vuụng

gúc

Trong chương 1 chỳng ta ch-ơng 1 chúng ta đã thiết lập đ-ợc các ph-ơng trình cơ bản cho

bài toán không gian, chúng đ-ợc viết trong hệ tọa độ vuụng gúc Oxyz Phần này ta hệ thống

các ph-ơng trình đó thiết lập ở chương 1 ỏp dụng cho bài toán phẳng trong mặt phẳng toạ độ xy

Chúng ta nhóm các ph-ơng trình thành ba nhóm lớn

2.2.1 Cỏc phương trỡnh cõn bằng tĩnh học

a) Cỏc phương trỡnh vi phõn cõn bằng (phương trỡnh Navier)

0Yyx

0Xyx

y xy

yx x

=+

∂

∂σ+

∂

∂τ

=+

∂

∂τ+

m p

m p

y xy

y

yx x

x

στ

τσ

+

=

+

=l

v x u

yx xy y x

∂

∂

∂

∂γ

γ

∂

∂ε

∂

∂ε

2.2.3 Các phương trình vật lý (định luật Hooke)

Trong nhóm này, cần để ý đến sự khác nhau giữa bài toán ứng suất phẳng và bài toán biến

x y y

y x x

G E E

τγ

μσσε

μσσε

111

x y y

y x x

G E E

γτ

μεεμσ

μεεμσ

b) Đối với bài toán biến dạng phẳng:

Như đã trình bày, trong bài toán biến dạng phẳng từ điều kiện εZ =0 ta rút ra:

)

Điều này chứng tỏ trạng thái ứng suất không phải là phẳng, do vậy từ định luật Hooke viết

cho bài toán ứng suất không gian:

ε

11

1

2

Về mặt công thức ta thấy phương trình (c) hoàn toàn tương tự phương trình đầu của (2-9)

nếu như ta coi các tỉ số:

như là các hằng số đàn hồi mới E * và ν*:

−

=1

* (2-10)

Lúc này ta hoàn toàn có thể sử dụng các hệ phương trình (2-9) và (2-9') cho bài toán biến dạng

phẳng nhưng trong đó các hằng số E và ν phải được thay bằng các hằng số đàn hồi E * và ν* Giữa

bài toán ứng suất phẳng và biến dạng phẳng có các phương trình cân bằng và các phương trình hình

học giống nhau còn các phương trình vật lý có dạng giống nhau chỉ khác các hệ số đàn hồi

xy xy

x y

y

y x

x

E E E

τ

μγ

σμσε

σμσε

x y

y

y x

x

E E E

γμτ

εμεμσ

εμεμσ

)1(211

*

*

* 2

*

* 2

2.3 Giải bài toán phẳng theo ứng suất

Chọn ẩn của bài toán là các hàm ứng suất:

) , (

1 x y f

σ

) , (

2 x y f

y =

σ

) , (

3 x y f

yx

τ

Lời giải của bài toán sẽ là nghiệm chung của hệ phương trình vi phân cân bằng (2-5) và

phương trình tương thích (2-8) và thoả mãn điều kiện biên (2-6)

Xét trường hợp lực thể tích X, Y là hằng số, với bài toán phẳng thì phương trình (1-24)

được viết lại là:

∇2(σx+σy)=0 (2-12)

trong đó toán tử Laplace:

y

2 2

2 2

∂

∂+

∂

∂

=

∇

Phương trình (2-12) là phương trình liên tục (tương thích) của biến dạng được viết dưới

dạng ứng suất - còn được gọi là phương trình M.Lévy

Kết hợp phương trình (2-5) và (2-12) ta được hệ gồm ba phương trình với ba ẩn là σx, σy,

τxy, đủ để giải bài toán

Theo lý thuyết về giải các phương trình vi phân, ta nhận được nghiệm tổng quát của hệ

phương trình trên:

xy

o xy xy

y

o y y

x

o x x

τ τ τ

σ σ σ

σ σ σ

0yx

y yx

xy x

=

∂

∂σ+

∂

∂σ

xy y

x,σ ,τ

σ là một nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất, khi X, Y ≠ 0

Khi X, Y là hằng số (trường hợp thường gặp) ta có thể chọn nghiệm riêng của hệ (2-5)

; y ) y , x (

Ta lại coi (c) như một phương trình vi phân mới, và để làm thoả mãn (c) ta chỉ việc chọn

hàm khả vi ϕ(x,y) nào đó và cho:

Thay (d) vào (a) ta nhận được:

2

2 o x

2

2 o y

2 0

y 2

2 y

x 2

2 x

y x x y

τ +

σ +

∂

ϕ

∂

= σ

σ +

∂

ϕ

∂

= σ

Trong đó hàm ϕ(x,y) là hàm khả vi tuỳ ý, nhưng nó chỉ được nhận là hàm ứng suất khi nó

thoả mãn phương trình liên tục của Lévy (1-12’), với lực thể tích là hằng số và nghiệm riêng của

bài toán được chọn theo (2-15):

2 σ +σ =

∇hay 2 2 0

2 2 2

∂

∂

x y

Viết dưới dạng khai triển:

0

4 2 2 4 4

4 2

∂

∂ +

∂

∂

∂ +

ϕ ϕ

ϕ

Một hàm ϕ(x,y) thoả mãn phương trình (2-18) được gọi là hàm ứng suất hay hàm Airy (lời

giải này do Airy tìm ra năm 1862)

Như vậy, thực chất của việc giải bài toán theo ứng suất là đi tìm lời giải của phương trình vi

phân (2-18) Phương trình (2-18) còn gọi là phương trình song điều hoà Nghiệm của phương

trình (2-18) là nghiệm chung của hệ phương trình (2-5) và (2-9) Thay ϕ(x,y) tìm được vào (2-17)

và buộc các ứng suất phải thoả mãn điều kiện biên (điều kiện về lực trên bề mặt của vật) ta sẽ nhận

được lời giải riêng cho từng bài toán cụ thể

Trong thực hành, khi giải phương trình vi phân (2-18) ta thường áp dụng phép giải nửa

ngược của Saint -Venant Trước hết ta giả định hàm ϕ(x,y) trong đó chứa một số đại lượng và

hằng số dưới dạng ẩn, sau đó tìm ứng suất theo (2-17) và buộc các ứng suất tìm được phải thoả

mãn điều kiện biên (2-6), ta sẽ tìm được đại lượng và hằng số chưa biết

Để giả định hàm Airy, có thể dựa vào các cơ sở sau: Dựa vào việc phân tích thứ nguyên,

dựa vào các điều kiện biên hoặc dựa vào lời giải của môn Sức bền vật liệu v v Chú ý rằng, khi

ta thêm hoặc bớt một hàm bậc nhất đối với x và y: (ax+by+c) vào hàm Airy sẽ không làm thay đổi

giá trị các ứng suất thu được từ biểu thức (2-17) Dưới đây sẽ trình bày một số lời giải các bài toán

tiêu biểu theo phương pháp này

2.4 Các bài toán tiêu biểu giải theo hàm ứng suất Airy

2.4.1 Bài toán dầm công sôn chịu lực tập trung ở đầu tự do

Xét một dầm công sôn có chiều dài l , mặt cắt ngang hình chữ nhật có chiều rộng bằng một đơn vị chiều dài, chiều cao bằng 2c và chịu một lực tập trung P ở đầu tự do như trên hình 2-3 Hãy xác định trạng thái ứng suất của dầm trong trường hợp bỏ qua lực thể tích của dầm

Đây là bài toán ứng suất phẳng Chọn hệ trục tọa độ xoy như hình vẽ Ta giải bài toán này theo phương pháp nửa nguợc, với việc giả thiết hàm ứng suất dựa vào lời giải của Sức bền vật liệu

đã biết Theo lời giải Sức bền ta có:

2

2

y

y J

Px y

c J

P Jb

)

,

( y x

ϕ dưới dạng tổng quát như sau:

ϕ ( x , y ) = Axy3+ Bxy (trong đó A, B là hai hệ số chưa biết) (b)

Ta thấy hàm ϕ( y x, ) là hàm Airy vì thỏa mãn điều kiện tương thích ∇2∇2ϕ=0 Theo (2-16) ta tính được các biểu thức của ứng suất:

Axy y

y x

ϕ

σ (c)

B Ay y

Để xác định các hằng số A, B ta dựa vào 6 điều kiện biên về lực trên 3 biên sau:

+ Tại biên dưới (y = c) có:

yx

00

y

σ τ

y

σ τ

P

Hình 2-3

cc

z

y

y

2c

+Tại biên trái (x = 0) có:

P Bc

Ac + 2 =

2 3 (d7’) Giải hệ phương trình (d7’) và (d2) hoặc (d4) ta được:

c

P B c

P A

P xy c

P

x =− 3 =−2

4

34

J

P c

P y c

2.4.2 Đập hay tường chắn có mặt cắt tam giác (lêi gi¶i cña LÐvy)

Xét một đập (hay tường chắn) có mặt

cắt tam giác chịu tác dụng của áp lực nước

tĩnh ở một phía và trọng lượng bản thân

Mặt cắt được coi như mở rộng vô hạn về

phía dưới Trọng lượng riêng của đập được

kí hiệu γđ, trọng lượng riêng của nước là γn

Ta chọn hệ trục toạ độ nhận đỉnh đập làm

gốc O, trục y trùng với sườn trái của mặt

cắt (hình 2-4), vật liệu làm đập được coi

như đồng chất, do đó cường độ của lực thể

tích là hằng số đối với mọi điểm trong

đập với:

X = γđ sinα; Y = γđ cosα

Ta biết rằng thứ nguyên của ứng suất là:

[lực]/[chiều dài]2, của γđ và γn là [lực]/[chiều

dài]3, còn α, β không thứ nguyên

Để đảm bảo điều kiện cân bằng về thứ nguyên trong biểu thức của các ứng suất thì ứng suất phải có dạng sau đây

( , )x y

σ = [chiều dài]γ đ +[chiều dài]γ n

Do γđ và γn là hằng số nên ứng suất phải là hàm bậc nhất đối với biến chiều dài, nên ứng suất phải là hàm bậc nhất đối với x và y, từ đây ta suy ra hàm ứng suất ϕ(x,y) phải là hàm bậc 3 đối với x, y Ta chọn ϕ(x,y) là đa thức bậc 3 đối với x, y:

ϕ(x,y)=Ax3 + Bx2y + Cxy2 + Dy3 (c) Hiển nhiên ϕ(x,y) được chọn thoả mãn phương trình song điều hoà (2-18)

Từ biểu thức (2-17) và (2-15) ta tính được các ứng suất:

Cy2Bx20yx

YyXxBy2Ax6YyXxx

YyXxDy6Cx2YyXxy

2 xy

2

2 y

2

2 x

−

−

=+

−

−+

−

−+

X v σ lx τxy

0

= +

n là pháp tuyến ngoài của mặt bên OB

Thay (a) vào (d), sau đó thay tiếp (d) vào (g), (e) và (f) đồng thời chú ý đến liên hệ x = ytgβ,

giải hệ phương trình trong (e) và (f) ta tìm được các giá trị A,B,C,D:

β

α α

+ β

α γ

tg

cos tg

sin 2

Thay (h) vào biểu thức (d) ta được:

ytg

coscos

tg

sinx

tg

cos2tg

sin2tg

cos

sinxcos

y

n d

3 n 2

d

y

d n

αγ

αγ

=

σ

αγ

+αγ

d

xy =−⎜⎜⎝⎛ + β ⎟⎟⎠⎞

α γ β

α γ

Xét trên mặt cắt có tung độ y = h = const, các ứng suất

trên đó chỉ còn phụ thuộc vào x Sự phân bố của ứng suất được

thể hiện như hình 2-5

Lời giải của Lévy trong bài toán này là đủ chính xác đối

với những lát cắt đủ xa hai bờ đập và với những điểm xa đỉnh

và đáy đập Trong thực tế, tại những điểm ở gần đáy đập, ứng

suất còn phụ thuộc vào biến dạng của nền đập

2.4.3 Bài toán đập hay tường chắn mặt cắt chữ nhật

Xét đập (hay tường chắn) có mặt cắt chữ nhật, chịu áp

lực nước tĩnh ở mặt bên Mặt cắt đập cũng được coi như mở

rộng vô hạn về phía dưới (hình 2-6) Để giả định hàm ứng suất,

ta dựa vào lời giải của môn sức bền vật liệu Ta coi lát cắt như

một conson ngàm chặt vào nền Dầm có mặt cắt chữ nhật

b = 1, h = 2a chịu tải trọng phân bố trong mặt phẳng xy

Xét mặt cắt cách đỉnh đập một khoảng là y, mô men uốn

và lực cắt tại mặt cắt này sẽ là:

6

yy3

1yy2

1M

3 n

2

1

= γ

=

σy

x

¸p lùc n-íc thuû tÜnh

γ n y

o a -a

J 2

x a y b

S J

=

f* là hàm bậc 4 đối với x,y

f** là hàm bậc 4 đối với x, y và là hàm chẵn đối với x và y

Tại đỉnh y = 0 thì σy = 0

Với nhận xét trên ta giả định hàm:

σy = y(Ax3 + Bxy2 + Cxy + Dx) (a) Trong đó A, B, C, D chưa xác định Theo (2-16) ta có:

2

2 y

Từ đây tích phân hai lần theo x ta nhận được hàm ϕ(x,y):

=

ϕ dx ydx xf1( y ) f2( y ) (b) Trong đó: f1 là hàm bậc 5 đối với y

2 3 5

Để ϕ(x,y) thoả mãn phương trình song điều hoà (2-18), ta lần lượt đạo hàm hàm ϕ:

yL2Ky120Jy

360yFx2Exy120y

Cx4Bxy12yx2

Axy6x

2 4

4

2 2 4 4 4

++

++

Thay kết quả trên vào (2-6) ta được:

xy(6A + 12B + 120E) + x(4C + 24F) +360Jy2 + 120Ky + 24L = 0 (e)

Để phương trình (e) nghiệm đúng với mọi x, y thì:

A + 2B + 20E = 0

J = K = L =0

Để xác định các hệ số trên ta dựa vào các điều kiện biên:

- Trên sườn thượng lưu:

x=-a σx⏐x= -a= -γn.y

Thay các ứng suất tìm được từ (2-16) khi chưa xét đến trọng lượng bản thân đập (γđ) vào

các điều kiện (h) ta thấy 7 trong số 8 phương trình (h) đều nghiệm đúng, chỉ duy nhất có điều kiện

thứ 6: τxy⏐y=0 = 0 là không thoả mãn

Để khắc phục, ta biến đổi điều kiện biên này theo nguyên lý Saint -Venant:

0dxa

aIa8G

a10

3Da4

Ba2A

ONHFEC

n n

n

n 3

n 3

−

−

γ

=τ

−γ

=σ

5

axy3xaa8

xya5

6yx2xya

4

a4

xa

x4

32

1y

2 2 2 2

2 3

n xy

2 3

3 3

n y

3

3 n

x

So sánh lời giải (2-21) với lời giải của Sức bền vật liệu ta nhận thấy: ở những mặt cắt càng

xa đỉnh (y càng lớn) các giá trị của σy kể cả τxy tính được từ hai lời giải càng ít sai khác

Chẳng hạn ta tính σy tại điểm có toạ độ x = -a, y = a:

- Lời giải lý thuyết đàn hồi cho ta: σy = 0,05γna

- Lời giải sức bền vật liệu cho ta σy = 0,25γna, kết quả sai khác lớn!

Nhưng tại điểm có x = a; y = 10a:

- Lời giải lý thuyết đàn hồi cho ta σy = 248γna, lúc này sai khác chỉ còn cỡ 0,8%

Điều này cho phép ta nghiệm lại nguyên lý Saint -Venant

2.4.4 Bài toán dầm tường - Lời giải của Filon và Ribiere

Xét một bản chữ nhật có chiều dài l, chiều cao

h; chiều dài được xem như lớn hơn nhiều so với chiều

cao, bản có chiều dày đều và xem như rất nhỏ so với

kích thước l và h Bản chịu tác dụng của tải trên biên

và phân bố đều trên chiều dày, do vậy ta có thể coi

bản như là một dầm chịu uốn và gọi là bài toán dầm

tường (hình 2-6) Tùy theo số lượng gối tựa, người ta

phân dầm tường thành hai loại: Dầm tường đơn (dầm

chỉ có hai gối tựa) và dầm tường liên tục

Để giải bài toán dầm tường Filon và Ribiere đã

đề nghị chọn hàm Airy dưới dạng chuỗi lượng giác,

bởi vì chọn hàm Airy dưới dạng đa thức như đã chọn

để giải bài toán đập sẽ gặp khó khăn đối với những bài toán có luật phân bố tải trọng phức tạp

Trong trường hợp này, hàm Airy được chọn dưới dạng chuỗi lượng giác:

=

α +

α

= ϕ

1

x cos ) y ( g x sin ) y ( f y

,

Trong đó, fm(y) và gm(y) là các hàm chỉ phụ thuộc vào biến y chưa biết: αm là các hằng số

Để (2-22) là hàm song điều hoà ta thay vào phương trình (2-18) và giải sẽ nhận được kết quả:

fm(y)=Amshαmy+Bmchαmy+Cmyshαmy+Dmychαmy (2-23)

gm(y)=Emshαmy+Fmchαmy+Gmyshαmy+Hmychαmy Trong đó Am, Bm, , Hm (m=1,2, ,∞) là các hằng số được xác định dựa vào các điều kiện

biên của bài toán Khi không xét đến lực thể tích (X =Y = 0), từ biểu thức (2-16) ta có:

1 m

m

'' m m

'' m 2

αα

1 m

m m

m m

2 m 2

αα

1 m

m

' m m

' m m

2

yxTrong (2-24):

( C ch y D sh y )

2 ) y ( f y

d

) y ( f d )

y ysh D y ych C y sh B y ch A dy

) y ( df )

2 m 2

m 2 m

m m m

m

m m m m m m m m m

m m

α +

α α

+ α

=

=

α +

α +

+ α +

α +

α +

α α

=

=

(2-25)

Tương tự ta cũng có g’m(y) và g’’m(y):

g’m(y)=αm(Emchαm+Fmshαmy+Gmychαmy+Hmyshαmy)+Gmychαmy+Hmyshαmy

( )y =α (E shα y+F chα y+G yshα y+H ychα y)+''

+ αm(Gmchαmy+Hmshαmy) (2-26) Thay (2-25) và (2-26) vào (2-24) ta nhận được các biểu thức tính ứng suất với 8m lần các hằng số (A,B,C,D,E,F,G,H)m với m = 1, 2, , ∞

Thực tế với một số m đủ lớn, cho phép ta có được lời giải đủ chính xác Để xác định các hằng số ta dựa vào điều kiện biên của bài toán Với bài toán cho ở trên, nếu ta chọn hệ trục toạ độ

x, y như hình 2-6 (trục y thuộc mặt cắt nút trái của dầm, trục x trùng với biên dưới) các điều kiện biên được viết:

Ở mặt cắt mút trái của dầm ( x = 0, 0 ≤ y ≤ h):

∫h xy x= dy=R

0

0 0

y = =−

Ở biên dưới (vớiy=0 và0≤ x≤l) ):

)(0

y

y = =−

Với các phương trình từ (a)÷(d) đủ để tìm được giá trị của các hằng số Am,Bm, ,Hm Trong

đó chúng ta lưu ý rằng tại hai đầu dầm, do hai mặt dầm tự do nên ta có hai điều kiện biên là:

σx|x = o = 0 và σx⏐x = l = 0

Để đảm bảo hai điều kiện biên này ta phải có: Em=Fm= Gm=Hm=0 và αm =

l

πm

(e) Thay (e) vào (2-24) ta xác định được các hằng số Am, ,Dm sẽ từ các điều kiện ở trên Nhưng từ các điều kiện cân bằng (c) và (d) ta nhận thấy vế phải của chúng biểu thị tải trọng phân

bố trên bề mặt, người ta có thể biểu diễn gần đúng các tải trọng đó dưới dạng khai triển Fourier theo sin(mπ/l) và cos(mπ/l) Bây giờ để xác định các hệ số của chuỗi ta làm theo qui tắc sau: ta nhân hai vế của phương trình với sin(mπ/l) hoặc cos(mπ/l) và tích phân hai vế từ 0 đến l, bằng cách này ta nhận được các phương trình sau (nhưng để cho tiện trình bày ta chỉ tìm các hằng số A,B,C, D cho số hạng thứ k nào đó trong m):

dx x k x q k

h k hsh D h k hch C h k ch B h k sh

l

ll

ll

π π

dx x k x t m

h k sh l

h k h k ch D

h k ch h k h k sh C h k sh B k h k ch A k

h k

k k

k

∫

−

=+

+

++

++

l

ll

l

ll

ll

lll

0cos)(

2)(

)(

π π

π π

π

π π

π π

π π π

=

l l

ll

ll

0 0

0 0 2 2

cos)(2

sin2

dx x k x t k D

k A

dx x k x q k B

k k

k

π π

π

π π

Từ bốn phương trình trên ta xác định được các hệ số cho số hạng thứ k của chuỗi, đương nhiên khi cho k =1,2, , n ta sẽ thu được tất cả các hệ số của hàm ϕ(x,y) và các biểu thức ứng suất (2-24) Với các biểu thức này ta có thể tính ứng suất ở một điểm bất kỳ trong dầm gây ra do tải trọng phân bố tuỳ ý trên biên Có nhiều tác giả đã vận dụng phương pháp này để giải nhiều bài toán có ý nghĩa thực tiễn

BÀI TẬP

cxyybx

=

a/ Hàm đã cho có phải là hàm Airy không?

b/ Nếu đúng thì hãy xác định tải trọng trên biên của tấm chữ nhật phẳng ABCD có chiều cao AC = h chiều dài AB = l , điểm A (xo,yo), AB//ox, AC//oy như trên hình B -2-1

Hình B -2-1 Hình B -2-2

dycxyybx

=

1) Hàm đã cho có phải là hàm Airy không?

2) Hãy xác định các biểu thức của ứng suất

3) Hãy xác định ứng suất của bài toán phẳng cho trên hình B -2-2

dycxyybx

yêu cầu:

1) Nó có phải là hàm Airy không?

2) Hãy xác định các biểu thức của ứng suất

3) Hãy xác định ứng suất của bài toán phẳng cho trên hình B -2-3

2-5 Cho các biểu thức của ứng suất:

xyx

yarctg

−

=

yx

xyx

yarctg

y

2 2

2 xy

yx

yA

1) Chúng có thể là nghiệm của bài toán đàn hồi phẳng được không?

2) Nếu được hãy xác định các biểu thức ứng suất của bài toán phẳng cho trên hình B -2-4

2-6 Cho các biểu thức của ứng suất:

−

=σ

5

c3

yx2

1yc2

3

2yc3

yc4

q

(c y )xc

Chúng có thể là lời giải của bài toán phẳng cho trên hình B -2-5 được không?

2-7 Cho các biểu thức của ứng suất:

3 2

1) Chúng có thể là nghiệm của bài toán đàn hồi phẳng được không?

2) Nếu được hãy xác định các biểu thức ứng suất của bài toán phẳng cho trên hình B -2- 4

2-8 Cho các ứng suất:

σ = ⎜⎜⎝⎛− − + +C⎟⎟⎠⎞

yx

xyx

yarctg