Tổng hợp câu hỏi phụ Toán học trong mùa thi (có lời giải)

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 2x x −2 biết tiếp tuyến cắt Ox,Oy lần lượt tại A,B mà tam giác OAB thỏa mãn AB = OA √ 2 Giải Cách 1 Gọi M(x o ; y o ),(x o = 2) thuộc đồ thị hàm số. Pt tiếp tuyến d tại M có dạng: y − 2x o x o −2 = −4 (x o −2) 2 (x −x o ) Do tiếp tuyến cắt các trục Ox,Oy tại các điểm A,B và tam giác OAB có AB = OA √ 2 nên tam giác OAB vuông cân tại O. Lúc đó tiếp tuyến d vuông góc với một trong 2 đường phân giác y = x hoặc y = −x +TH1: d vuông góc với đường phân giác y = x Có: −4 (x o −2) 2 = −1 ⇔(x o −2) 2 = 4 ⇔  x o = 0 ⇒ pt d : y = −x (loại) x o = 4 ⇒ pt d : y = −x + 8 +TH2: d vuông góc với đường phân giác y = −x Có −4 (x o −2) 2 .(−1) = −1 pt vô nghiệm. Vậy có 1 tiếp tuyến thỏa yêu cầu bài toán d : y = −x + 8 Cách 2 nhận xét tam giác AOB vuông tại O nên ta có : sin(ABO) = OA AB = 1 √ 2 = sin π 4 nên tam giác AOB vuông cân tại O. phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M = (x o ; y o ) có dạng : y = −4 (x o −2) 2 (x −x o ) + 2x o x o −2 dễ dàng tính được A =  x 2 o 2 ; 0  và B =  0; 2x 2 o (x o −2) 2  yêu cầu bài toán lúc này tương đương với việc tìm x o là nghiệm của phương trình x 2 o 2 = 2x 2 o (x o −2) 2 ⇔ x 3 o (x o −4) = 0 +) với x o = 0 ta có phương trình tiếp tuyến là : y = −x (loại) +) với x o = 4 thì phương trình tiếp tuyến là : y = −x + 8 Bài 2. Tìm các giá trị của m để hàm số y = 1 3 x 3 − 1 2 m.x 2 +  m 2 −3  x có cực đại x 1 , cực tiểu x 2 đồng thời x 1 ; x 2 là độ dài các cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng  5 2 Giải Cách 1 Mxđ: D = R Có y ′ = x 2 −mx + m 2 −3 y ′ = 0 ⇔x 2 −mx + m 2 −3 = 0 Hàm số có cực đại x 1 ,cực tiểu x 2 thỏa yêu cầu bài toán khi và chỉ khi pt y ′ = 0 có 2 nghiệm phân biệt dương, triệt tiêu và đổi dấu qua 2 nghiệm đó ⇔          ∆ > 0 S > 0 P > 0 ⇔          4 −m 2 > 0 m > 0 m 2 −3 > 0 ⇔          −2 < m < 2 m > 0 m < − √ 3 ∨m > √ 3 ⇔ √ 3 < m < 2(*) Theo vi-et có:    x 1 + x 2 = m x 1 x 2 = m 2 −3 Mà x 2 1 + x 2 2 = 5 2 ⇔ 2(x 1 + x 2 ) 2 −4x 1 x 2 = 5 ⇔2m 2 −4(m 2 −3) = 5 ⇔ m = ± √ 14 2 1 www.VNMATH.com www.VNMATH.com www.VNMATH.com Đối chiếu đk (*) ta có giá trị m = √ 14 2 thỏa yêu cầu bài toán Cách 2 Yêu cầu bài toán chính là việc tìm m để hàm số có 2 cực tr ị thỏa mãn  x 2 1 + x 2 2 =  5 2 ta có : y ′ = x 2 −mx + m 2 δ ′ y ′ = 3 > 0 hàm số đã cho luôn có 2 cực trị mặt khác theo bài ra ta có :  x 2 1 + x 2 2 =  5 2 (x 1 + x 2 ) 2 −2x 1 x 2 = 5 2 (1) vì x 1 ; x 2 là nghiệm của phương trình y ′ = 0 nên ta có    x 1 + x 2 = m x 1 x 2 = m 2 −3 thay vào (1) ta được : m 2 = 7 2 vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là :m =  7 2 hoặc m = −  7 2 Bài 3. Tìm tất cả các giá trị m sao cho trên đồ thị (C m ) : y = 1 3 mx 3 + (m −1)x 2 + (4 −3m)x + 1 tồn tại đúng 2 điểm có hoành độ dương mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng (L) : x +2y −3 = 0. Giải Cách 1: Có y ′ = mx 2 + 2(m −1)x + 4 −3m Từ yêu cầu bài toán dẫn đến pt: y ′ ·  − 1 2  = −1 có đúng 2 nghiệm dương phân biệt ⇔ mx 2 + 2(m −1)x + 2 −3m = 0 có 2 nghiệm dương phân biệt. ⇔              m = 0 ∆ ′ > 0 S > 0 P > 0 ⇔                m = 0 4m 2 −4m + 1 > 0 m −1 m < 0 2 −3m m > 0 ⇔                m = 0 m = 1 2 0 < m < 1 0 < m < 2 3 ⇔    0 < m < 1 2 1 2 < m < 2 3 Vậy m ∈  0; 1 2  ∪  1 2 ; 2 3  là các giá trị cần tìm của m Cách 2: Có y ′ = mx 2 + 2(m −1)x + 4 −3m Từ yêu cầu bài toán dẫn đến pt: y ′ ·  − 1 2  = −1 có đúng 2 nghiệm dương phân biệt ⇔ mx 2 + 2(m −1)x + 2 −3m = 0 (1) có 2 nghiệm dương phân biệt Th1: m = 0 từ (1) ta có x = −1 (loại) Th2: m = 1 2 từ (1) ta có x = ±1 (loại) Th3: m = 0;m = 1 2 từ pt (1) có 2 nghiệm x = 1 ∨x = 2 −3m m Điều kiện bài toán dẫn đến: : 2 −3m m > 0 ⇔0 < m < 2 3 Kết hợp với cả 3 trường hợp trên ta có giá trị m cần tìm:m ∈  0; 1 2  ∪  1 2 ; 2 3  Bài 4. Viết phương trình đường thẳng d cắt đồ thị (C) :y = x 3 −3x + 2 tại 3 điểm phân biệt A, B,C sao cho x A = 2 và BC = 2 √ 2 Giải Với x A = 2 ⇒y A = 4 VậyA(2;4) Xem d là đường thẳng đi qua A và có hệ số góc là k. Có pt d : y −y A = k(x −x A ) ⇔y = kx −2k + 4 Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng d : x 3 −3x + 2 = kx −2k + 4 ⇔ (x −2)(x 2 + 2x + 1 −k) = 0 ⇔x = 2 hay g(x) = x 2 + 2x + 1 −k = 0 (∗) Để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A,B,C thì pt(∗) phải có 2 nghiệm phân biệt x B ; x C phân biệt và khác 2: 2 www.VNMATH.com www.VNMATH.com www.VNMATH.com Lúc đó :⇔    ∆ ′ = k > 0 g(2) = 9 −k = 0 ⇔ 0 < k = 9 (∗ ′ ) Theo vi-et ta có :    x B + x C = −2 x B .x C = 1 −k . Mà B,C thuộc d nên y B = kx B −2k + 4; y C = kx C −2k + 4 Có BC = 2 √ 2 ⇔BC 2 = 8 ⇔(x B −x C ) 2 + k 2 (x B −x C ) 2 = 8 ⇔  (x B + x C ) 2 −4x B x C  (1 + k 2 ) = 8 ⇔k 3 + k −2 = 0 ⇔ k = 1 (thỏa đk (∗ ′ )) ⇒ pt d : y = x +2 Vậy đường thẳng d cần tìm có pt: y = x + 2 Bài 5. Cho hàm số y = 4x 3 −6mx 2 + 1, m là tham số.Tìm m để đường thẳng d : y = −x + 1 cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm A(0; 1),B,C và B,C đối xứng qua đường phân giác thứ nhất. Giải Giao của (C) và (d) có hoành độ là nghiệm của phương trình: 4x 3 −6mx 2 + 1 = −x + 1 ⇔x(4x 2 −6mx + 1) = 0 Để pt có 3 n0 phân biệt thì 4x 2 −6mx + 1 = 0 có 2 nghiệm phân biệt ⇒ ∆ ′ = 9m 2 −4 > 0 ⇔ m > 2 3 ,m < −2 3 Gọi B(x 1 ; −x 1 + 1),C(x 2 ; −x 2 + 1) Để B và C đối xứng qua đường phân giác thứ 1 thì:    x 1 = y 2 y 1 = x 2 ⇔    x 1 = −x 2 + 1 x 2 = −x 1 + 1 ⇔ x 1 + x 2 = 1 ⇔ 3 2 m = 1 ⇔m = 2 3 So sánh với đk, thấy không tìm được m thỏa mãn Bài 6. đề thi thử lần 2 LQĐ Bình Định Cho hàm số y = x 4 −2mx 2 + 2m 2 −4,m là tham số thực.Xác định m để hàm số đã cho có 3 cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1 Giải Mxđ: D = R. Có y ′ = 4x 3 −4mx. y ′ = 0 ⇔4x 3 −4mx = 0 ⇔x = 0 ∨x 2 = m. Hàm số có 3 cực trị ⇔ m > 0 (∗) Gọi A(0; 2m 2 −4); B( √ m; m 2 −4);C(− √ m; m 2 −4) là 3 điểm cực trị. Nhận xét thấy B,C đối xứng qua Oy và A thuộc Oy nên ∆ABC cân tại A. Kẻ AH⊥BC có S ∆ABC = 1 2 AH.BC ⇔2 = | y B −y A || 2x B | ⇔ 2 = 2m 2 . √ m ⇔m = 1 Đối chiếu với điều kiên (∗) có m = 1 là giá trị cần tìm. Bài 7. Cho hàm số y = x −2 x + 1 . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết tiếp tuyến cắt Ox,Oy tại A,B sao cho bán kính vòng tròn nội tiếp tam giác OAB lớn nhất Giải Đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng là đường thẳng x = −1 và tiệm cận ngang là đường thẳng y = 1. Giao điểm hai đường tiệm cận I (−1; 1). Giả sử tiếp tuyến cần lập tiếp xúc với đồ thị tại điểm có hoành độ x 0 , phương trình tiếp tuyến có dạng: y = 3 (x 0 + 1) 2 (x −x 0 ) + x 0 −2 x 0 + 1 Tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng x = −1 tại điểm A  −1; x 0 −5 x 0 + 1  , và cắt tiệm cận đứng tại điểm B(2x 0 + 1; 1). Ta có:IA =     x 0 −5 x 0 + 1 −1     = 6 | x 0 + 1 | ; IB = | 2x 0 + 1 −(−1)|= 2|x 0 + 1 | Nên: IA.IB = 6 | x 0 + 1 | .2 | x 0 + 1 | = 12. Do vậy, diện tích tam giác IAB là: S = 1 2 IA.IB = 6. 3 www.VNMATH.com www.VNMATH.com www.VNMATH.com Gọi p là nửa chu vi tam giác IAB, thì bán kính đường tròn nội tiếp tam giác này là:r = S p = 6 p . Bởi vậy, r lớn nhất khi và chỉ khi p nhỏ nhất. Mặt khác, tam giác IAB vuông tại I nên: 2p = IA + IB +AB = IA + IB + √ IA 2 + IB 2 ≥ 2 √ IA.IB+ √ 2IA.IB = = 4 √ 3 + 2 √ 6 Dấu ’=’ xảy ra khi IA = IB ⇔(x 0 + 1) 2 = 3 ⇔x = −1 ± √ 3 - Với x = −1 − √ 3 ta có tiếp tuyến: d 1 : y = x + 2  1 + √ 3  - Với x = −1 + √ 3 ta có tiếp tuyến: d 1 : y = x + 2  1 − √ 3  Bài 8. Cho hàm số y = 2mx + 3 x −m . Gọi I là giao điểm 2 tiệm cận. Tìm m để tiếp tuyến bất kỳ của hàm số cắt hai tiệm cận tại A, B sao cho diện tích tam giác IAB bằng 64 Giải Dễ thấy đồ thị hàm số đã cho có đường tiệm cận đứng là đường thẳng x = m và đường tiệm cận ngang là y = 2m. Tọa độ giao điểm của hai đường tiệm cận là I (m; 2m). Gọi M  x 0 ; 2mx 0 + 3 x 0 −m  (với x 0 = m) là điểm bất kỳ thuộc đồ thị hàm số đã cho. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm này là: y = − 2m 2 + 3 (x 0 −m) 2 (x −x 0 ) + 2mx 0 + 3 x 0 −m Tiếp tuyến này cắt tiệm cận đứng tại A  m; 2mx 0 + 2m 2 + 6 x 0 −m  và cắt tiệm cận ngang tại B(2x 0 −m; 2m). Ta có: IA =     2mx 0 + 2m 2 + 6 x 0 −m −2m     =     4m 2 + 6 x 0 −m     ; IB = | 2x 0 −m −m | = 2 | x 0 −m | Nên diện tích tam giác IAB là: S = 1 2 IA.IB = 4m 2 + 6 Bởi vậy, yêu cầu bài toán tương đương với: 4m 2 + 6 = 64 ⇔ m = ± √ 58 2 Bài 9. Tìm m sao cho đồ thị hàm số y = x 4 −4x 2 + m cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành có phần trên bằng phần dưới Giải Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và Ox:x 4 −4x 2 + m = 0 (1) Đặt t = x 2 ≥ 0. Lúc đó có pt: t 2 −4t +m = 0 (2) Để (C) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt khi pt (1) có 4 nghiệm phân biệt ⇔ (2) có 2 nghiêm phân biệt t > 0 ⇔          ∆ ′ = 4 −m > 0 S = 4 > 0 P = m > 0 ⇒ 0 < m < 4 (i) Gọi t 1 ;t 2 (0 < t 1 < t 2 ) là 2 nghiệm của pt (2). Lúc đó pt(1) có 4 nghiệm phân biệt theo thứ tự tăng dần là: x 1 = − √ t 2 ; x 2 = − √ t 1 ; x 3 = √ t 1 ; x 4 = √ t 2 Do tính đối xứng của đồ thị (C) nên có:  x 3 0 (x 4 −4x 2 + m) dx =  x 4 x 3 (−x 4 + 4x 2 −m) dx ⇒ x 5 4 5 − 4x 3 4 3 + mx 4 = 0 ⇒3x 4 4 −20x 2 4 + 15m = 0 Từ đó có x 4 là nghiệm của hpt:    x 4 4 −4x 2 4 + m = 0 (3) 3x 4 4 −20x 2 4 + 15m = 0 (4) Lấy 3.(3)−(4) ⇒ x 2 4 = 3m 2 Thay x 2 4 = 3m 2 vào (3) có: 9m 2 4 −5m = 0 ⇒ m = 0 ∨m = 20 9 Đối chiếu điều kiện (i) có m = 20 9 là giá trị cần tìm. Bài 10. 4 www.VNMATH.com www.VNMATH.com www.VNMATH.com Cho hàm số y = x 4 −2(1 −m 2 )x 2 + m + 1. Tìm m để hàm số đã cho có ba điểm cực trị và ba điểm cực trị này tạo thành một tam giác có diện tích lớn nhất. Giải y ′ = 4x 3 −4x(1 −m 2 ) = 0 ⇔x = 0,x 2 = 1 −m 2 Hàm số có 3 cực trị ⇔ −1 < m < 1 Khi đó, tọa độ điểm cực đại là A(0;1 + m), tọa độ 2 điểm cực tiểu là B(− √ 1 −m 2 ; √ 1 −m 2 );C( √ 1 −m 2 ; √ 1 −m 2 ) Diện tích tam giác ABC là: S ABC = 1 2 d(A; BC).BC = (1 −m 2 ) 5 2 ≤ 1. Dấu = xảy ra khi m = 0. Đáp số: m = 0 Bài 11. Cho hàm số y = −x + 1 x −3 có đồ thị là (H). Tìm trên (H) điểm M để tiếp tuyến tại M có hệ số góc lớn hơn 1 tạo với đường thẳng ∆ : 3x + 4y −1 = 0 một góc có giá trị bằng 2 √ 5 25 Giải Vì chỉ biết công thức tính cos của góc từ 2 vecto cho trước, với lại bài này cho kết quả cos khá đẹp cos( 2 √ 5 25 ) ≈0,9999 ≈1 nên em nghĩ là sẽ áp dụng công thức tính cos của góc giữa 2 vecto luôn. Gọi vecto chỉ phương của pt tiếp tuyến tại M là: −→ u 1 ( 2 (x −3) 2 ; −1) Vecto chỉ phương của dt ∆ : 3x+4y−1 = 0 là: −→ u 2 (4; −3) Có: cos ( −→ u 1 ; −→ u 2 ) = | 8 (x −3) 2 + 3| 5  4 (x −3) 4 + 1 = 1 ⇔|8+3(x−3) 2 |= 5  4 + (x −3) 4 ⇔(x−3) 2 = 3 2 ⇔ x =? => M =? Bài 12. Cho hàm số y = x + 3 x −2 có đồ thị (H). Tìm m để đường thẳng d : y = −x + m + 1 tại hai điểm phân biệt A,B sao cho  AOB nhọn. Giải Giao của (H) và d có hoành độ là nghiệm của pt: x + 3 x −2 = −x + m +1 ⇔x 2 −(m + 2)x + 2m +5 = 0 Để pt trên có 2 nghiệm pb thì ∆ > 0, x = 2 ⇔    m 2 −4m + 16 > 0 2 2 −2(m + 2) + 2m +5 = 0 ⇒ m =? Gọi A(x 1 ; −x 1 + m + 1),B(x 2 ; −x 2 + m + 1) là 2 giao điểm của (H) và d Để  AOB nhọn thì : AB 2 < OA 2 + AB 2 ⇔2(x 2 −x 1 ) 2 < (−x 1 + m +1) 2 + (−x 2 + m +1) 2 ⇔ −2x 1 x 2 + (m + 1)(x 1 + x 2 ) −(m + 1) 2 < 0 ⇔m > −3 Kết hợp với đk ban đầu để suy ra giá trị của m. Bài 13. Cho hàm số y = x x −1 . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (H) của hàm số đã cho biết tiếp tuyến tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có chu vi bằng 2(2 + √ 2) Giải Cách 1. 2 đường tiệm cận của đồ thị là x = 1,y = 1 Gọi pttt của (H) tại M(x o ; y o ) là: y = −1(x −x o ) (x o −1) 2 + x o x o −1 Khi x = 1 ⇒y = x o + 1 x o −1 ⇒ A(1; x o + 1 x o −1 ). Khi y = 1 ⇒ x = 2x o −1 ⇒B(2x o −1; 1), I(1; 1) 5 www.VNMATH.com www.VNMATH.com www.VNMATH.com ⇒ P (ABC) = IA + IB + AB = x o + 1 x o −1 −1 + 2x o −2 +  (2x o −2) 2 + (1 − x o + 1 x o −1 ) 2 = 2(2 + √ 2) ⇔ 2 + 2(xo −1) 2 +  (x o −1) 4 + 4 = 2(2 + √ 2)(x o −1) ⇔    x o −1 = 0 (loại) −2(1 + √ 2)(x o −1) 2 + (2 + √ 2) 2 (x o −1) −2(2 + √ 2) = 0 Cách 2. - Phương trình tiệm cận đứng: x = 1, phương trình tiệm cận ngang y = 1 - Gọi M(a; a a −1 ), phương trình tiếp tuyến tại M: y = −1 (a −1) 2 (x −a) + a a −1 - Tọa độ giao điểm của tiếp tuyến và tiệm cận đứng là: A(1; a + 1 a −1 ) - Tọa độ giao điểm của tiếp tuyến và tiệm cận ngang là: B(2a −1;1) - Chu vi tam giác IAB là: C = IA +IB + AB = 2 |a −1| + 2|a −1|+ 2  (a −1) 2 + 1 (a −1) 2 ≥ 4 + 2 √ 2, dấu = xảy ra khi |a −1| = 1 tức a = 0;a = 2 - Với a = 0 ⇒ y = −x - Với a = 2 ⇒ y = −x +4 Kết luận: y = −x,y = −x +4 là 2 tiếp tuyến cần tìm. Bài 14. Cho hàm số: y = 2x −m mx + 1 (1) Chứng minh với mọi m = 0 đồ thị hàm số (1) cắt (d) : y = 2x −2m tại 2 điểm phân biệt A,B thuộc một đường (H) cố định. Đường thẳng (d) cắt các trục Ox,Oy lần lượt tại các điểm M, N. Tìm m để S OAB = 3S OMN Giải Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (1) và đường thẳng d: 2x −m mx + 1 = 2x −2m ⇔2mx 2 −2m 2 x −m = 0  x = − 1 m  (2) Do m = 0 nên (2) ⇔ f (x) = 2x 2 −2mx −1 = 0  x = − 1 m  (∗) Để tồn tại 2 điểm A,B thì pt (∗) phải có 2 nghiệm phân biệt x A ; x B khác − 1 m ⇔    ∆ ′ = m 2 + 2 > 0 f (− 1 m ) = 2 m 2 + 1 = 0 ⇔ ∀m = 0 Mặt khác có x A .x B = 1 2 nên A, B luôn thuộc một đường (H) cố định. Kẻ OH⊥AB ⇒OH = d (O,d) = | −2m | √ 5 . Lại có A, B ∈d ⇒ y A = 2x A −2m; y B = 2x B −2m Theo viet có:    x A + x B = m x A .x B = 1 2 . Có: AB =  (x A −x B ) 2 + (y A −y B ) 2 =  5(x A −x B ) 2 =  5(x A + x B ) 2 −20x A x B ⇔ AB = √ 5m 2 + 10 Vì M,N là giao điểm của d với Ox, Oy nên M(m; 0); N(0; 2m) Theo giả thiết :S OAB = 3S OMN ⇔ OH.AB = 3OM.ON ⇔ | −2m | √ 5 . √ 5m 2 + 10 = 3 | x M || y N | ⇔ | −2m | √ 5 . √ 5m 2 + 10 = 3 | m || 2m | ⇔ √ m 2 + 2 = 3 | m | ⇔ m 2 + 2 = 9m 2 ⇔ m = ± 1 2 Vậy với m = ± 1 2 là các giá trị cần tìm . Bài 15. 6 www.VNMATH.com www.VNMATH.com www.VNMATH.com Tìm trên (H) : y = −x + 1 x −2 các điểm A, B sao cho độ dài đoạn thẳng AB bằng 4 và đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng y = x Giải Do AB⊥d : y = x ⇒ pt AB : y = −x + m Phương trình hoành độ giao điểm của (H) và đường thẳng AB: −x + 1 x −2 = −x + m ⇔g(x) = x 2 −(m + 3)x + 2m +1 = 0 (x = 2) (1) Để tồn tại 2 điểm A,B thì pt(1) cần có 2 nghiệm phân biệt x A ; x B và khác 2 ⇔    ∆ g(x) > 0 g(2) = 0 ⇔    (m + 3) 2 −4(2m + 1) > 0 4 −(m + 3)2 +2m +1 = 0 ⇔ (m −1) 2 + 4 > 0;∀m Theo viet có    x A + x B = m + 3 x A .x B = 2m + 1 Lại có: y A = −x A + m; y B = −x B + m Mà AB = 4 ⇔AB 2 = 16 ⇔(x B −x A ) 2 + (y A −y B ) 2 = 16 ⇔(x B −x A ) 2 = 8 ⇔(x B + x A ) 2 −4x A .x B = 8 ⇔ (m + 3) 2 −4(2m + 1) = 0 ⇔ m 2 −2m −3 = 0 ⇔ m = −1 ∨m = 3 +Với m = 3 thay vào pt (1) có:x 2 −6x + 7 = 0 ⇔ x = 3 ± √ 2 ⇒y = ± √ 2. Lúc này tọa độ 2 điểm A,B là A(3 + √ 2; − √ 2); B(3 − √ 2; √ 2) hoặc B(3 + √ 2; − √ 2); A(3 − √ 2; √ 2) +Với m = −1 thay vào pt (1) có: x 2 −2x −1 = 0 ⇔ x = 1 ± √ 2 ⇒ y = −2 ± √ 2. Lúc này tọa độ 2 điểm A,B là A(1 + √ 2; −2 − √ 2); B(1 − √ 2; −2 + √ 2) hoặc B(1 + √ 2; −2 − √ 2); A(1 − √ 2; −2 + √ 2) Vậy A, B là các điểm như trên thỏa yêu cầu bài toán. Bài 16. Tìm tọa độ hai điểm B,C thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị y = 3x −1 x −1 sao cho tam giác ABC vuông cân tại A(2; 1). Giải Xét:x 4 −mx 2 + m + 1 = 0. ∆ = (m −2) 2 => √ ∆ = |m −2| ⇒x 2 = m −1(m > 1), x 2 = 1 Vậy 4 giao điểm của đồ thị (C) với trục hoành là: A(−1;0),B(− √ m −1; 0),C(1; 0),D( √ m −1; 0) Để 4 điểm đó có hoành độ >-2 thì: TH1:− √ m −1 > −1 ⇔m < 2, kết hợp với đk ⇒1 < m < 2 TH2:−2 < − √ m −1 < −1| ⇔ 2 < m < 5 Vậy :m ∈(1;2) ∪(2;5) là giá trị cần tìm. Bài 17. Cho hàm số y = x + 3 x + 2 có đồ thị là (H). Tìm m để đường thẳng d : y = 2x + 3m cắt (H) tại hai điểm phân biệt sao cho −→ OA. −→ OB = −4 với O là gốc tọa độ. Giải - Xét phương trình: x + 3 x + 2 = 2x + 3m ⇒2x 2 + 3(1 + m)x + 6m −3 = 0 (1) có 2 nghiệm phân biệt khác -2 khi ∆ = 9m 2 −30m + 33 > 0 điều này xảy ra với mọi m. - Gọi 2 nghiệm của phương trình (1) là x 1 ,x 2 thì A(x 1 ,2x 1 + 3m),B(x 2 ,2x 2 + 3m) - Có: −→ OA. −→ OB = −4 ⇒x 1 .x 2 + (2x 1 + 3m)(2x 2 + 3m) = −4 ⇒ 12m −15 2 = −4 ⇒m = 7 12 Bài 18. Tìm m để đồ thị hàm số y = x 4 −mx 2 + m −1 cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn −2. Giải Đổi hệ trục tọa độ Oxy thành hệ trục tọa độ IXY bằng phép tịnh tiến −→ OI với I(1; 3) 7 www.VNMATH.com www.VNMATH.com www.VNMATH.com Công thức đổi trục:    x = X +1 y = Y + 3 Trong hệ tọa độ mới pt hàm số được viết lại là :Y = 2 X (1) và điểm A trở thành A(1;−2) Xét 2 điểm B  a; 2 a  ;C  b; 2 b  (a < 0 < b) thuộc đồ thị hàm số (1). Gọi H,K lần lượt là hình chiếu của B,C lên đường thẳng y = −2 ⇒ H(a; −2);K(b; −2) Có  BAH +  CAK = 90 0 =  CAK +  ACK ⇒  BAH =  ACK Vậy ∆AHB = ∆CKA (cạnh huyền_góc nhọn)⇒    AH = CK BH = AK (∗) Lúc đó từ (∗) có hpt:        (1 −a) 2 =  2 + 2 b  2 (2)     2 + 2 a     = | b −1 | (3) Từ (2) có  3 −a + 2 b  −a −1 − 2 b  = 0 ⇔a = 3b + 2 b ∨a = −b −2 b Với a = 3b + 2 b từ (3) có     8b + 4 3b + 2     = | b −1 | ⇒  3b 2 + 9b + 6 = 0(4) 3b 2 + 7b + 2 = 0(5) + Với (4) pt có 2 nghiệm b = −1 ∨b = −2 không thỏa do b > 0 + Với (5) pt có 2 nghiệm b = − 1 3 ∨b = −2 không thỏa do b > 0 Với a = −b −2 b từ (3) có     4 b + 2     = | b −1 | ⇒  b 2 + b −6 = 0(6) b 2 + b + 2 = 0(7) +Với (7) pt vô nghiệm +Với (6) pt có 2 nghiệm b = 2 ∨b = −3 (loại) Khi b = 2 ⇒B(−2; −1);C(2;1) hoặc ngược lại. Lúc đó 2 điểm B,C của bài toán cần tìm là: B(−1;2);C(3;4) hoặc ngược lại. Bài 19. Cho hàm số y = x 3 + 3x 2 + m (1) .Tìm m để hàm số (1) có 2 điểm cực trị A,B sao cho  AOB = 120 o Giải - Phương trình y ′ = 0 ⇔x = 0,x = −2 - Tọa độ 2 điểm cực trị của đồ thị a(0; m),B(−2;m + 4) - Yêu cầu của bài toán dẫn đến giải phương tr ình: −→ OA. −→ OB OA.OB = − 1 2 ⇔ −2m(m + 4) = |m| √ m 2 + 8m + 20 ⇔m = 0, m = −12 + √ 132 3 Đáp số: m = 0,m = −12 + √ 132 3 Bài 20. đề thi thử đại học THPT Thanh Thủy lần 2 tỉnh Phú Thọ Cho hàm số y = 2x −1 x + 1 có đồ thị (C). Tìm m để đường thẳng d : y = x + m cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A,B sao cho AB = 2 √ 2 Giải Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng d: 2x −1 x + 1 = x + m ⇔ f (x) = x 2 + (m −1)x + m +1 = 0 (1) (x = −1) Để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A,B thì phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt x A ,x B khác −1 8 www.VNMATH.com www.VNMATH.com www.VNMATH.com ⇔    ∆ = (m −1) 2 −4(m + 1) > 0 f (−1) = 1 −m +1 + m + 1 = 0 (∗). Theo vi-et có :    x A + x B = 1 −m x A .x B = m + 1 Lại có A,B ∈d ⇒ y A = x A + m; y B = x B + m Do AB = 2 √ 2 ⇔AB 2 = 8 ⇔(x A −x B ) 2 + (y A −y B ) 2 = 8 ⇔ (x A + x B ) 2 −4x A .x B = 4 ⇔(1 −m) 2 −4(m + 1) = 4 ⇔ m 2 −6m −7 = 0 ⇔ m = −1 ∨m = 7 Đối chiếu điều kiện (∗) ta có m = −1; m = 7 là giá trị cần tìm. Bài 21. Cho hàm số y = 3x −2 x + 1 (C). Gọi I là giao của 2 đường tiệm cận của đồ thị. Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị hàm số biết d cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A và B thỏa mãn cos  BAI = 5 √ 26 Giải Xét điểm M(x o ; y o ),(x o = −1) ∈(C) là tiếp điểm của tiếp tuyến d. Phương trình tiếp tuyến tại d có dạng : y − 3x o −2 x o + 1 = 5 (x o + 1) 2 (x −x o ) Do tiếp tuyến d cắt tiệm cận đứng , tiệm cận ngang lần lượt tại A,B và ∆IAB có cos  BAI = 5 √ 26 nên tan 2  BAI = 1 cos 2  BAI −1 = 1 25 ⇒ tan  BAI = 1 | 5 | ⇒ tan  ABI = | 5 | Lại có tan  ABI là hệ số góc của tiếp tuyến d mà y ′ (x o ) = 5 (x o + 1) 2 > 0 nên 5 (x o + 1) 2 = 5 ⇔(x o + 1) 2 = 1 ⇒x o = 0 ∨x o = −2 Với x o = 0 có pt tiếp tuyến d : y = 5x −2 Với x o = −2 có pt tiếp tuyến d : y = 5x + 2 Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa yêu cầu bài toán có pt như trên. Bài 22. Cho hàm số y = x 4 −2mx 2 + 2 có đồ thị (C m ).Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị (C m ) có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có đường tròn ngoại tiếp đi qua điểm D  3 5 ; 9 5  . Giải y ′ = 4x 3 −4mx = 0 ⇔ x = 0,x = ± √ m (m > 0) Vậy các điểm thuộc đường tròn (P) ngoại tiếp các điểm cực trị là: A(0; 2),B(− √ m; −m 2 + 2),C( √ m; −m 2 + 2),D  3 5 ; 9 5  . Gọi I(x; y) là tâm đường tròn(P) ⇒          IA 2 = ID 2 IB 2 = IC 2 IB 2 = IA 2 ⇔          3x −y + 1 = 0 2x √ m = −2x √ m (x + √ m) 2 + (y + m 2 −2) 2 = x 2 + (y −2) 2 ⇔ x = 0,y = 1,m = 0(loại), m = 1. Vậy m = 1 là giá trị cần tìm. Bài 23. Cho hàm số y = x 4 2 −3x 2 + 5 2 có đồ thị (C) và điểm A ∈(C) với x A = a. Tìm các giá trị thực của a biết tiếp tuyến của (C) tại A cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt B,C khác A sao cho AC = 3AB (B nằm giữa A và C). Giải Cách 1 Xét A  a; a 4 2 −3a 2 + 5 2  thuộc đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến tại A : y −  a 4 2 −3a 2 + 5 2  = (2a 3 −6a)(x −a) ⇔y = 2a(a 2 −3)x − 3a 4 2 +3a 2 + 5 2 9 www.VNMATH.com www.VNMATH.com www.VNMATH.com Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và tiếp tuyến tại A. x 4 2 −3x 2 + 5 2 = 2a(a 2 −3)x − 3a 4 2 + 3a 2 + 5 2 ⇔ (x −a) 2 (x 2 + 2ax + 3a 2 −6) = 0 ⇔  x = a f (x) = x 2 + 2ax + 3a 2 −6 = 0 (1) Để tiếp tuyến tại A cắt (C) tại 2 điểm B,C khác A thì pt (1) cần có 2 nghiệm phân biệt x B ; x C khác a ⇔    ∆ ′ = a 2 −(3a 2 −6) > 0 f (a) = 6a 2 −6 = 0 ⇔    − √ 3 < a < √ 3 a = ±1 (∗) Do AB = 3AC ⇒ −→ AC = 3 −→ AB ⇒x C −3x B = −2a (2) Lại theo vi et có:    x B + x C = −2a (3) x B .x C = 3a 2 −6 (4) . Từ (2) và (3) ⇒ x B = 0và x C = −2a. Thế vào (4) có: 3a 2 −6 = 0 ⇔ a = ± √ 2 ( thỏa (∗)) Kiểm tra: +Với a = √ 2 có A  √ 2; − 3 2  ; B  0; 5 2  ;C  −2 √ 2; 21 2  ⇒ AC = 3AB +Với a = − √ 2 có A  − √ 2; − 3 2  ; B  0; 5 2  ;C  2 √ 2; 21 2  ⇒ AC = 3AB Vậy a = ± √ 2 là các giá trị cần tìm của a. Cách 2 Phương tr ình tiếp tuyến của đồ thị (C) hàm số đã cho tại điểm A với x A = a là: y =  2a 3 −6a  (x −a) + a 4 2 −3a 2 + 5 2 PT hoành độ giao điểm của tiếp tuyến này với đồ thị (C): x 4 2 −3x 2 + 5 2 =  2a 3 −6a  (x −a) + a 4 2 −3a 2 + 5 2 ⇔ (x −a) 2  x 2 + 2ax + 3a 2 −6  = 0 Để có 3 giao điểm A,B,C thì phương trình: x 2 + 2ax + 3a 2 −6 = 0 (∗) có hai nghiệm phân biệt khác a ⇔    − √ 3 < a < √ 3 a = ±1 . Khi đó hoành độ B,C là hai nghiệm của phương trình (∗) nên: ⇔    x B + x C = −2a x B .x C = 3a 2 −6 Mặt khác: AC = 3AB (B nằm giữa A và C) ⇔ −→ AC = 3 −→ AB ⇔x C −3x B = −2a Ta có hệ:          x C −3x B = −2a x B + x C = −2a x B .x C = 3a 2 −6 ⇔          x B = 0 x C = −2a 3a 2 −6 = 0 ⇔ a = ± √ 2 thỏa mãn điều kiện. Vậy giá trị cần tìm của m là: a = ± √ 2 Bài 24. Câu I ý 2 đề thi thử đại học Vinh lần 3 Cho hàm số y = 1 4 x 4 −(3m + 1)x 2 + 2(m + 1) (m là tham số). Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có trọng tâm là gốc tọa độ O. Giải y ′ = x 3 −2(3m + 1)x = 0 ⇔ x = 0,x 2 = 2(3m + 1) Hàm số có 3 cực trị khi m > − 1 3 , khi đó tọa độ 3 điểm cực trị của đồ thị là A(0; 2m + 2),B(− √ 6m + 2; −9m 2 −4m + 1),C( √ 6m + 2; −9m 2 −4m + 1) Tam giác ABC có trọng tâm O khi: −18m 2 −6m + 4 = 0 ⇔ m = − 2 3 ,m = 1 3 Đáp số: m = 1 3 10 www.VNMATH.com www.VNMATH.com www.VNMATH.com [...]...www.VNMATH.com Câu I ý 2 đề thi thử đại học lần 3 THPT Trung Giả 1 3 Cho hàm số y = mx + (m − 1)x2 + (3m − 4)x + 1 có đồ thị là (Cm ).Tìm tất cả các giá trị của m sao 3 cho trên (Cm ) có điểm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường...  m> 4m2 (m2 + 1) + (m − 1)2 m3 (4m + 1) > 0 9 Vậy ∀m pt đã cho luôn có một nghiệm duy nhất Bài 38 Trích đề học sinh giỏi của Thái Bình năm 2008 - 2009 Gọi d là đường thẳng qua M(2; 0) và có hệ số góc k Tìm k để d cắt đồ thị (C): y = |x|3 − 3|x| − 2 tại 4 điểm phân biệt Giải Bài 39 Trích đề học sinh giỏi của Thái Bình năm 2009 - 2010 Tìm m để điểm A(3; 5) nằm trên đường thẳng nối 2 điểm cực trị của... đã cho tại 2 điểm M, N thuộc 2 nhánh khác nhau của đồ thị thì pt (1) phải có 2 nghiệm x1 ; x2 thỏa x1 < 1 < x2 ⇔ pt (2) có 2 nghiệm t1 ;t2 thỏa t1 < 0 < t2 ⇔ −3k < 0 ⇔ k > 0 (∗) − → − → Vì điểm A luôn trong đoạn MN và AM = 2AN ⇒ AM = −2AN ⇒ x1 + 2x2 = 3 (3) nằm  x1 + x2 = 2k + 1 (4) k−1 k+2 k Từ (3) và (4) ⇒ x2 = ; x1 = Theo vi-et có : k−2 x x = k k  1 2 (5) k 2 (k + 2)(k − 1) k − 2 = ⇔ 3k − 2... x3 − x + 2x và y′ = x2 − 3x + 2 Hai điểm cực trị có tọa độ C 1; 3 2 6 3 3 9 là J ∈ d nên hai điểm cực trị không đối xứng với nhau qua đường thẳng d / ; 2 12 Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn bài toán Bài 33 Cho hàm số y = x3 − 3x2 + 4 có đồ thị là (C).Chứng minh rằng khi m thay đổi thì đường thẳng d : y = m(x + 1) luôn cắt đồ thị (C) tại một điểm A cố định và tìm m để đường thẳng d cắt (C) tại... = 0 ⇔ x2 − (m + 3) x − 2 (m + 1) = 0 (∗) Có: ∆ = (m + 3)2 + 8 (m + 1) = m2 + 14m + 17 > 0, ∀x ∈ R Nên đồ thị hàm số luôn có hai cực trị có hoành độ x1 và x2 là nghiệm của phương trình (∗) Yêu cầu bài toán tương đương với tìm điều kiện của tham số m để phương trình (∗) có hai nghiệm x1 và x2    x > 1 x − 1 > 0 (x − 1) + (x − 1) > 0 1 1 1 2 thỏa mãn: ⇔ ⇔ x2 > 1 x2 − 1 > 0 (x1 − 1) (x2 − 1) >... đường thẳng d : x + y + 2011 = 0 có → = (1; −1) u b = 0 ⇒ a = 0(l) − − → Vì AB⊥d nên AB.→ = 0 ⇔ 2b(b2 + 4) = 0 ⇔ u b = ±2 ⇒ a = ±2 Vậy có 2 điểm A, B với A(−2; 0), B(2; 4) hoặc ngược lại thỏa yêu cầu bài toán Cách 2 -Điều kiện (1): Phương trình f ′ (x) = k có hai nghiệm phân biệt (Tự tìm)  y = x3 − 3x + 2 -Tọa độ A, B là nghiệm của hệ k = 3x2 − 3 k - Suy ra phương trình đường thẳng AB là y = −2 x+2... d Với −4 < d < 0 thì f (0) = d < 0, f (1) = d + 4 > 0, f (3) = d < 0, f (4) = d + 4 > 0 từ đây f (0) f (1) < 0, f (1) f (3) < 0, f (3) f (4) < 0, từ tính liên tục của hàm số ta có đpcm Bài 37 Trích đề học sinh giỏi của Hà Nội năm 2008 - 2009 Chứng minh rằng với mọi m phương trình x3 + 3(m + 1)x2 + 3(m2 + 1)x + m3 + 1 = 0 luôn có nghiệm duy nhất Giải Xem pt :x3 + 3(m + 1)x2 + 3(m2 + 1)x + m3 + 1 = 0... m < −1 ⇔ m−1 > 0 ⇔  √ x >0 √  1      3 < m < 1+ 2       x2 > 0 m + 1 > 0       m > 1     f (0) < 0 1−m < 0 √ √ √ √ 3; 1 + 2 ⇒ 3 < m < 1 + 2 Vậy các giá trị m thỏa yêu cầu bài toán là m ∈ Bài 27 Tìm m để diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị: y = x3 − 3x2 + 3mx + 3m + 4 và trục hoành có phần nằm phía trên trục hoành bằng phần nằm phía dưới trục hoành Giải Bài 25 Bài 28 −x... của đồ thị hàm số Theo đề ta có: A(3; 5) ∈ (d) : y = 2(−m2 + m + 6)x + m2 + 6m + 1 ⇔ 5 = 6(−m2 + m + 6) + m2 + 6m + 1  m=4 ⇔ 5m2 − 12m − 32 = 0 ⇔  8 Đối chiếu đk ta nhận m = 4 m=− 5 Bài 40 Trích đề học sinh giỏi của Hà Nội năm 2009 - 2010 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = (x − 1)(x3 + x2 + 1) biết tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị tại 2 điểm phân biệt Giải Ta cóy = f (x) = x4 − x2 + . = 1 ∨x = 2 −3m m Điều kiện bài toán dẫn đến: : 2 −3m m > 0 ⇔0 < m < 2 3 Kết hợp với cả 3 trường hợp trên ta có giá trị m cần tìm:m ∈  0; 1 2  ∪  1 2 ; 2 3  Bài 4. Viết phương trình. −2a 3a 2 −6 = 0 ⇔ a = ± √ 2 thỏa mãn điều kiện. Vậy giá trị cần tìm của m là: a = ± √ 2 Bài 24. Câu I ý 2 đề thi thử đại học Vinh lần 3 Cho hàm số y = 1 4 x 4 −(3m + 1)x 2 + 2(m + 1) (m là tham số) = − 2 3 ,m = 1 3 Đáp số: m = 1 3 10 www.VNMATH.com www.VNMATH.com www.VNMATH.com Bài 25. Câu I ý 2 đề thi thử đại học lần 3 THPT Trung Giả Cho hàm số y = 1 3 mx 3 + (m −1)x 2 + (3m −4)x + 1 có