PHƯƠNG PHÁP GIẢI PT,BPT LƯỢNG GIÁC

phương pháp giải toán lượng giác phương pháp giải toán lượng giác 11 phương pháp giải toán lượng giác 10 các phương pháp giải toán lượng giác phương pháp giải toán lượng giác lê hồng đức phương pháp giải toán lượng giác lớp 11 phương pháp giải toán lượng giác lớp 10 phương pháp giải toán lượng giác đại học các phương pháp giải toán lượng giác 11

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG

TRÌNH ðẠI SỐ

A Tóm tắt lí thuyết

I Phương trình lượng giác

1 Các hằng ñẳng thức:

* sin2α +cos2α =1 với mọi α

* tan cotα α =1 với mọi

a.Hai cung ñối nhau: α và −α

1) cos(−α =) cosα 2) sin(−α = −) sinα

3) tan(−α = −) tanα 4) cot(−α = −) cotα

b Hai cung phụ nhau: α và

c Hai cung bù nhau: α và π α−

1) sin(π − α =) sinα 2) cos(π − α = −) cosα

3) tan(π − α = −) tanα 4)cot(π − α = −) cotα

d) Hai cung hơn kém nhau π:α và π α+

1) sin(π + α = −) sinα 2) cos(π + α = −) cosα

3) tan(π + α =) tanα 4)cot(π + α =) cotα

3 Các công thức lượng giác

a Công thức cộng

1) cos(a±b)= cos a cos b∓sin a sin b

2) sin(a±b)=sin a.cos b±cos a.sin b

tan a tan b3) tan(a b)

2

12) sin a.sin b [cos(a b) cos(a b)]

2

13) sin a cos b [sin(a b) sin(a b)]

5 Phương trình lượng giác thường gặp

1 Phương trình bậc hai một hàm số lượng giác: Là phương trình có

dạng

2sin x sin xcos x cos x

Cách giải: ðặt

sin xcos xt

tan xcot x

Cách giải: Chia hai vế pt cho cosk x ≠0 (k là số mũ cao nhất) ta ñược phương trình ẩn là tan x

4 Phương trình lượng giác không mẫu mực

ðể giải phương trình lượng giác không mẫu mực, ta sử dụng các phép biến ñổi lượng giác, ñưa phương trình ñã cho về những dạng phương trình ñã biết

* ðưa phương trình ban ñầu về phương ña thức ñối với một hàm

số lượng giác

* ðưa phương trình ban ñầu về phương trình bậc nhất ñối với sinx

và cosx

* ðưa phương trình ban ñầu về phương trình dạng tích

II Phương trình – bất phương trình

* Nhẩm nghiệm rồi chia ña thức: Nếu x =a là một nghiệm của

phương trình f x( )= 0 thì ta luôn có sự phân thích:

2 2

xx

+ = + − = −

thay vào phương trình ta có: a t( 2 − ± + =2) bt c 0

2 Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt ñối

3 Phương trình – bất phương trình vô tỉ

Cách 1: Biến ñổi tương ñương

*2 nf x( ) =2 ng x( ) ⇔ f x( )=g x( )≥0

* 2

2

( ) 0( )

Cách 2: ðặt ẩn phụ

Dạng 1: F(nf x( ))=0 , với dạng này ta ñặt t =nf x( ) (nếu n chẵn thì phải có ñiều kiệnt ≥ 0) và chuyển về phương trình F t( )=0 giải phương trình này ta tìm ñược t ⇒x Trong dạng này ta thường gặp

Dạng 3:F(n f x( ), ng x( ))=0, trong ñó F a b( , )là một biểu thức ñẳng cấp bậc k Với dạng này ta xét hai trường hợp:

TH1: g x( ) =0 thay vào phương trình ta kiểm tra,

TH2: g x( )≠0 chia hai vế phương trình cho ng xk( ) và ñặt

Dạng 4: a f x ( )+g x( ) f x( )+h x( )= 0 Với phương trình dạng này

ta có thể ñặt t = f x( ), khi ñó ta ñược phương trình theo ẩn t:

at +g x t +h x = , ta giải phương trình này theo t, xem x là tham

số (Tức là trong phương trình vừa có t vừa có x) nên ta thường gọi dạng này là dạng ñặt ẩn phụ không triệt ñể

Dạng 5: F f x ( ),na + f x( ),mb− f x( ) =c (I)

Ta có thể ñặt: u =na + f x( ), v =mb −f x( ), lúc ñó ta có hệ phương trình:

 giải hệ này ta tìm ñược u, v Từ ñây ta có ñược x

Chú ý : Khi tìm ñược u,v ñể tìm x ta chỉ cần giải một trong hai

* Nếu D≠0 thì hệ có nghiệm duy nhất: Dx ; Dy

 giải hệ này ta tìm ñược S, P

Khi ñó x,y là nghiệm của phương trình :X2 −SX +P =0 (1)

c Một số biểu diễn biểu thức ñối xứng qua S và P

* Nếu (x;y) là nghiệm của hệ (I) thì (y;x) cũng là nghiệm của hệ

* Hệ (I) có nghiệm khi (1) có nghiệm hay S2 −4P ≥0

*Xét x=0 thay vào hệ kiểm tra

* Với x ≠0 ñặt y =tx thay vào hệ ta có:

k k

Nội dung của phương pháp này từ một phương trình hoặc kết hợp

hai phương trình của hệ ta biểu diễn ẩn này qua ẩn kia hoặc một biểu thức này qua biểu thức khác và thế vào phương trình còn lại chuyển

về phương trình một ẩn (có thể là ẩn phụ) Mục ñích của việc làm này

là giảm số ẩn Tùy thuộc vào ñặc ñiểm của bài toán mà ta có những cách biến ñổi phù hợp Trong phương pháp này ta cần lưu ý một số dấu hiệu sau

1) Nếu trong hệ phương trình có một phương trình bậc nhất ñối

với một ẩn thì ta rút ẩn ñó qua ẩn kia thế vào phương trình còn lại và chuyển về giải phương trình một ẩn

2) Với hai số thực bất kì x≠0; y ta luôn có y=tx (t là số thực cần tìm) Với cách làm này ta sẽ ñược hệ về phương trình một ẩn t

3) Phương trình f x y( ; )= f y x( ; ) luôn có một cặp nghiệm x =y,

do ñó ta luôn phân tích phương trình ñã cho về dạng:

(x −y g x y) ( ; )=0

4) Trong hệ phương trình nếu biểu thức u(x)xuất hiện ở hai

phương trình thì ta có thể ñặt t =u x( ) ñể làm ñơn giản hình thức bài toán

5) Nếu mỗi vế của hai phương trình là những biểu thức ñồng bậc, ta

có thể ñặt x =ty y ( ≠ 0) và từ hai phương trình của hệ ta rút ra

Ví dụ 1 Giải các phương trình sau

1) cos 3x + cos 2x −cos x − =1 0 ( D – 2006 )

2) 3 cos 4x−8 cos x6 +2 cos x2 + =3 0 (B1 – 2003 )

3) cos 3x cos 2x2 −cos x2 =0 (A – 2005 )

4) 5 sin x − =2 3 1( −sin x tan x) 2 (B – 2004 )

Chú ý: Ta có thể giải bài toán trên bằng cách sau

Phương trình ⇔ cos 3x −cosx − −(1 cos 2 )x =0

2 sin 2 sinx x 2 sin x 0 sin x(2 cosx 1) 0

2) Ta chuyển phương trình về phương trình chỉ chứa cos 2x

Phương trình ⇔ 3(2 cos 2x2 − − +1) (1 cos 2x)3 + +1 cos 2x+3

3) Phương trình ⇔ +(1 cos 6x)cos 2x − −1 cos 2x =0

cos 6x cos 2x 1 0 cos 8x cos 4x 2 0

Ví dụ 2 Giải các phương trình sau

1) 3 cos 5x −2 sin 3 cos 2x x −sinx =0 (D – 2009 )

2) sinx +cos sin 2x x + 3 cos 3x =2(cos 4x +sin3x) (B – 2009 )

3) (1 2 sin ) cos

3(1 2 sin )(1 sin )

−

=+ − (1) (A – 2009 )

2

(1 2 sin− x)sinx +cos sin 2x x + 3 cos 3x =2 cos 4x

cos 2 sinx x cos cos 2x x 3 cos 3x 2 cos 4x

2

xx

(1)⇔(1−2 sin )cosx x = 3(1+2 sin )(1x −sin )x

Ví dụ 3 Giải các phương trình sau

1) 2 sin x(1+cos 2x)+sin 2x = +1 2 cos x ( D – 2008 )

2) 1+ sin x +cos x +sin 2x+cos 2x =0 (B – 2005 )

5) 3 cot x2 +2 2 sin x2 =(2+3 2) cos x

6) 2 sin 2x−cos 2x =7 sin x+2 cos x−4

Lời giải

1) Phương trình ⇔ 4 sin x cos x2 +2 sin x cos x = +1 2 cos x

2 sin x cos x(2 cos x 1) 2 cos x 1

2

3

Chú ý: Một số lưu ý khi tìm nhân tử chung :

* Các biểu thức 1+sin 2x =(s inx+cos x)2;

cos 2x =(cos x−sin x)(cos x+sin x); sin x cos x

cos x; cot x có thừa số (1−sin x)(1+sin x)

2) Phương trình ñã cho tương ñương với:

Phương trình ⇔2 cos2+cos x +sin x+2 sin x cos x = 0

cos x(2 cos 1) sin x(2 cos x 1) 0

(1 cos x)(cos x sin x) 0

4

các nghiệm này thỏa ñiều kiện bài toán nên ñó là những nghiệm cần tìm 4) Ta có: 3

sin(x ) sin (x ) 2 sin(x ) cos x

2 2(sin x cos x)sin x cos x

(sin x cos x)( 2 sin 2x 1)

0sin 2x

41

5sin 2x

3 cos x

2 2 sin x (2 3 2) cos xsin x

cos x

32

này thỏa ñiều kiện bài toán nên ñó là những nghiệm cần tìm

6) Phương trình ñã cho tương ñương với:

2

4 sin x cos x− +1 2 sin x −7 sin x−2 cos x+ =4 0

2 cos x(2 sin x 1) (2 sin x 1)(sin x 3) 0

ta có thể biến ñổi phương trình về dạng :

( sinm x +ncosx +p h)( sinx +t.cosx +q)= 0

Ví dụ 4 Giải các phương trình sau

1) sin 2x cos 3x =sin 5x cos 6x

2) sin 3x2 −cos 4x2 =sin 5x2 −cos 6x2 (B – 2002 )

3) sin x+sin 2x+sin 3x = cos x+cos 2x +cos 3x

3) Phương trình ñã cho tương ñương với

(sin x+sin 3x)+sin 2x =(cos x+cos 3x)+cos 2x

2 sin 2x cos x sin 2x 2 cos 2x cos x cos 2x

Ví dụ 5 Giải các phương trình sau

1) 16 cos cos 2 cos 4 cos 8x x x x =1 (KTQD Hà Nội – 1998 )

2) 2 cos ( cos2 2 ) 1 cos( sin 2 )

(ðH Thái Nguyên – 1998 ) Lời giải

1) Ta thấy sinx = 0 không là nghiệm của phương trình

Nên nhân hai vế của phương trình với sin x ta ñược:

8 sin 2 cos 2 cos 4 cos 8x x x x = sinx

là nghiệm của phương trình ñã cho

2) Phương trình 2 cos ( cos2 2 ) 1 cos( sin 2 )

2 cos 4 sin cos 0

2

x

xx

− ≤ ≤ (*) Phương trình ⇔ x + =4 1 2− x + 1−x

cả hai giá trị này ñều thỏa mãn (**)

Vậy nghiệm của phương trình ñã cho là: 9

0;

4

x = x =

Chú ý:

a) Bài toán trên còn có cách giải khác như sau

* x = 0 là một nghiệm của phương trình

rằng a b = a b! Nên nhớ ñẳng thức này chỉ ñúng khi a b, ≥0 ! Nếu a b, ≤0 thì ab = −a −b

c) Với bất phương trình có dạng như trên ta vẫn giải theo cách bình phương ñã trình bày

* Với x = 0 ta thấy bất phương trình luôn ñúng

* Với x ≠ 0⇒1− x + ≠1 0 Ta có bất phương trình tương ñương với:

Vậy nghiệm của bất phương trình ñã cho là: T = −[ 1; 8)

Ví dụ 7 Giải các phương trình – bất phương trình sau

(thỏa ñiều kiện)

Vây x = 3 là nghiệm duy nhất của phương trình ñã cho

Vậy phương trình ñã cho có hai nghiệm: x =1,x = −2 2

Chú ý: Ta có thể giải bài toán trên theo cách sau

ðặt t = 2x + +3 x +1, t ≥ 0

Phương trình ⇔5 (x +1)(x2 − +x 1) =2(x2 − + +x 1) 2(x +1)

Ví dụ 9 Giải các phương trình sau

22

(2x 3x 1)(4x 10x 3) 0

⇔ + − + + =

b) Dạng tổng quát bài toán trên : ( )f x( )n + =b a af xn ( )−b

ðể giải phương trình này ta ñặt t = f x y( ); =naf x( )−b ta có hệ: n

 ðây là hệ ñối xứng loại II với hai ẩn t và y

3) Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình Chia hai vế phương trình cho x3 ta ñược: 3

x − x + x = x + −x ðặt 1

16

tt

Vậy phương trình ñã cho có ba nghiệm: 16

⇔ + + + − + = phương trình vô nghiệm

Vậy phương trình ñã cho có hai nghiệm: 1

02

;

2 2

02

Phương trình ñã cho có hai nghiệm ⇔(*)có hai nghiệm phân biệt

• Nếu t >1 thì (*) có hai nghiệm x phân biệt

Dẫn ñến phương trình ñã cho có hai nghệm phân biệt ⇔ f t( )có ñúng

3; ( 3)3

Vậy nghiệm của hệ là: ( ; )x y =(3; 3)

Chú ý: Với bài toán trên ta có thể giải các cách khác như sau

Vậy nghiệm của hệ là:( ; )x y =(1;1), ( 3;9)−

4) Ta thấy x = 0 không là nghiệm của hệ nên ta biến ñổi hệ trở thành

2

ya

22

Ví dụ 12 Giải các hệ phương trình sau

2

37

Vậy các nghiệm của hệ là ( ) ( ) (0; 0 , 2;1 , − −1; 2)

Chú ý: Ta có thể giải hệ theo cách khác như sau

Ví dụ 13 Giải các hệ phương trình sau

1)

11

⇔ + − + = ⇔ = + (do ñiều kiện)

Thay (2) vào (1) ta ñược: x − −1 (x−1)2 = −8 x3

Vậy ( ; )x y =(2;1) là nghiệm duy nhất của hệ

4) Vì y =0 không thỏa hệ ñã cho nên hệ ñã cho

5) Nếu x = 0 thay vào hệ ⇒y =0⇒x = =y 0 là một nghiệm của hệ

Với x ≠ 0 ta có hệ ñã cho 2

2 2

= ⇒ ⇔ + = phương trình vô nghiệm

Vậy hệ ñã cho có ba cặp nghiệm: ( ; )x y =(0; 0), (1;2), (2;2)

Ví dụ 14 Tìm tất cả các giá trị của tham số m ñể các hệ sau có nghiệm thực

58

6) sin 2x +cos 2x +3 sinx −cosx − =2 0 (D2 – 2005 )

7) 2 sin( 6 cos6 ) sin cos

11) (2 sin2x−1) tan 22 x +3(2 cos2x −1)=0 (B1 – 2006 )

12) cos 2x +(1+2 cosx)(sinx −cosx)=0 (B2 – 2006 )

13) cos3x +sin3x +2 sin2x = (1 D1 – 2006 )

14) 4 sin3x +4 sin2x +3 sin 2x +6 cosx = (0 D2 – 2006 )

15) (1+sin2x)cosx + +(1 cos2x)sinx = +1 sin 2x (A – 2007 )

16) 2 sin 22 x +sin 7x − =1 sinx (B – 2007 )

23) (1−tanx)(1+sin 2x) = +1 tanx (D2 – 2007 )

24) sin3x − 3 cos3x = sin cosx 2x − 3 sin2xcosx (B – 2008 ) 25) 2 sin (1x +cos 2 )x +sin 2x = +1 2 cos x ( D – 2008 )

26) tanx = cotx +4 cos 22 x (A1 – 2008 )

Bài 4 Tìm tất cả các giá trị tham số m ñể

1) Phương trình x2 +mx + =2 2x +1 có hai nghiệm thực phân biệt (B – 2006 )

, ,1