Những kiến thức cơ bản về mũ và logarit

Những kiến thức cơ bản về mũ và logarit Những kiến thức cơ bản về mũ và logarit Những kiến thức cơ bản về mũ và logarit Những kiến thức cơ bản về mũ và logarit Những kiến thức cơ bản về mũ và logarit Những kiến thức cơ bản về mũ và logarit Những kiến thức cơ bản về mũ và logarit Những kiến thức cơ bản về mũ và logarit Những kiến thức cơ bản về mũ và logarit Những kiến thức cơ bản về mũ và logarit Những kiến thức cơ bản về mũ và logarit Những kiến thức cơ bản về mũ và logarit Những kiến thức cơ bản về mũ và logarit Những kiến thức cơ bản về mũ và logarit Những kiến thức cơ bản về mũ và logarit

Bài giảng số 1: Những kiến thức cơ bản về hàm số mũ – lôgarit

A HỆ THỐNG LÝ THUYẾT:

◙ Hàm số lũy thừa:

Tính chất của lũy thừa:

▪ Về cơ số; khi xét lũy thừa a:

+    : a

xác định  a   +   : a

xác định khi a ≠ 0 +     \ : a xác định khi a > 0

▪ Tính chất: Với a, b > 0; m,n  :

m

n

a

a

  m n m n.

a  a ;    a b m a bm. m



m

 

  

m

n m n

a  a a  m n   n 

▪ 2k x xác định khi x  0 (k  )

▪ 2k1x xác định x   (k  )

▪ Đạo hàm  / 1

x   x x     ;  / 1 /

u   u u u    

 /

1

1

.

n

n n

n x 

     ; (Khi n chẵn, n  1)

.

n

n n

u

n u 

Hàm số mũ:

▪ Hàm số mũ y = a x (a > 0, a ≠ 1) có tập xác định là ;

Tập giá trị là * : (tức là ax > 0, x  − chú ý tính chất này để đặt điều kiện của ẩn phụ sau này);

Hàm số này liên tục trên 

▪ Đạo hàm  /

ln

a  a a (a > 0, a ≠ 1)

▪ Khi a > 1 hàm số y = a x đồng biến trên 

▪ Khi 0 < a < 1 hàm số y = a x nghịch biến trên 

▪ a 0 = 1 a  0 , a 1 = a

▪ Khi a > 1: lim x

  ; lim x 0

 

▪ Khi 0 < a < 1: lim x 0

  

▪ Với a > b > 0 ta có: a x > b x  x > 0 và a x < b x  x < 0

(Vẽ đồ thị của hàm số trong hai trường hợp a > 1 và 0   a 1để nhớ các tính chất )

◙ Hàm số logarit:

 Chú ý: Khi xét logax phải chú ý điều kiện a  0; a  1, x  0.

Trong phần này Ta giả thiết mỗi biểu thức được xét đều có nghĩa (có thể yêu cầu học sinh nêu các điều kiện

để các biểu thức có nghĩa như: Mẫu khác 0, cơ số a, b thỏa 0 < a,b ≠ 1, đối số của logarit phải dương)

▪ Cho 0 < a  1 , x > 0: log a x = y  a y = x

▪ Với 0 < a  1 ta có: aloga n n ( n > 0 ) ; logaam m (m  ); log a1 = 0; logaa  1

▪ loga (x1.x2) = loga x1 + loga x2; 1

2

loga x

x = loga x1 loga x2 ( x1; x2 > 0 )

▪ loga x  = .loga x (x > 0) và 1



 (x > 0, α ≠ 0)

▪ Đổi cơ số: log

log

log

b a

b

x x

a

 hay loga x = log a b.log b x

▪ loga b = 1

logba và logab .logba  1

▪ Hàm số y = loga x xác định và liên tục trên (0 ;+ ∞ )

▪ Đạo hàm  / 1

log

.ln

ax



▪ Khi a > 1 hàm số y = loga x đồng biến trên ( 0 ; + ∞ )

▪ Khi 0 < a < 1 hàm số y = loga x nghịch biến trên ( 0; + ∞ )

▪ Nếu a > 1: lim loga ; lim loga

▪ Nếu 0 < a < 1: lim loga ; lim loga

(Vẽ đồ thị của hàm số trong hai trường hợp a > 1 và 0 < a < 1 để nhớ các tính

chất)

▪ Chú ý đến các công thức:

a b

b  a   a b  và b  logaab (0   a 1)

 Giới hạn đặc biệt

x 1

x 0

1

x



x 0

ln 1

x







x

x 0

e -1

x



 Đạo hàm

1   xα ' = α.xα-1 (x > 0) 2   u ' = α.u u'α α-1

3  n

n n-1

1

x ' =

n x

n n-1

u'

u ' =

n u

5  x ' x

a = a lna.u'

7  x ' x

e = e u'­

log x =

log u =

u.lna

11  ln x =  ' 1 (x > 0)

u

B CÁC VÍ DỤ MẪU

● Loại tính toán:

Ví dụ 1: Tính log 1525 theo a khi biết log 153  a

 Hướng dẫn học sinh phân tích:

log 153  log 3.53  log 33  log 53   1 log 53  a

 Mà 3

5

1 log 5

log 3

 vậy log 53 là cầu nối giữa hai số cần tính

 Hướng dẫn học sinh xây dựng chương trình giải: Tính log 53 theo a sau đó thay vào tính log 1525

Ví dụ 2: Không dùng máy tính hãy so sánh hai số

2,5

12 1

2 va

2

    

 Đưa về cùng một cơ số (ở bài này là 2) sau đó dựa vào tính đơn điệu của hàm số mũ để so sánh 2,5

2,5

1

2 2



 

 

  mà  2, 5   12 nên

2,5

12 1 2

2

       

 

● Loại chứng minh:

Ví dụ 3: Chứng minh x  4  2 3  4  2 3  2

 Cách 1: Phân tích (dễ thấy x > 0) x   2 x2 4 do trong biểu thức chứa căn bậc hai nên ta sẽ bình phương hai vế; nếu chứa căn bậc ba thì có thể lập phương

 Yêu cầu học sinh bình phương rồi rút gọn → kết quả cần tìm

 Cách 2:  Phân tích cho học sinh thấy rằng 42 3 42 3 4 2

Có thể tính 42 3 va 42 3 bằng cách xem chúng là hai nghiệm của hệ

2

xy

  



 

3 1

3 1

x y

  



  



42 3 32 3 1 ( 31) còn 42 3 tính tương tự

Từ đó ta chứng minh được bài toán

Ví dụ 4: Cho các số dương a, b, c trong đó c ≠ 1 Chứng minh alogc b blogc a

 Áp dụng tính chất logmx  logm y   x y nên ta lấy logarit cơ số m dương khác 1 vế trái và chứng minh nó bằng logarit cơ số m của vế phải



log

log

log log log

c

c

b

a c

b







Nên logc b logc a

 Loại toán liên quan đến đạo hàm:

Học sinh phải nắm được các công thức tìm đạo hàm của các hàm số y  ax; y  loga x y ;  x; y  n x

và đạo hàm của hàm số hợp của các hàm số này

 Chú ý cần phân biệt cho học sinh hai công thức:  /

ln

1 .

x   x vì học sinh hay hiểu và sử dụng sai như ví dụ sau đây:

Ví dụ 5: Tìm đạo hàm của hàm số y  xx

 Sau khi yêu cầu học sinh phân tích đề: Hàm số cần tìm đạo hàm có dạng (u.v)/ = u / v + uv / với u  x;

v  xta cần chú ý cho học sinh thấy hàm số u là hàm số mũ còn hàm số v là hàm số lũy thừa từ đó các em áp dụng công thức không sai lầm

Chú ý:

▪ Chỉ ra cho học sinh thấy sự liên quan của các kiến thức:

Ví dụ khi xét hàm số y = ax có  /

ln (0 1)

a a a  a → khi 0 < a < 1 ta có lna < 0 nên y’ < 0, x  hàm

số giảm trên ; khi a > 1 ta có lna > 0 nên y’ > 0, x  hàm số tăng trên 

▪ Phân tích các sai sót mà học sinh thường gặp phải khi giải các bài toán trong chương này như:

+ Không đặt điều kiện xác định của phương trình

+ Vận dụng không đúng các công thức nhất là các công thức về lôgarit

+ Quên so sánh cơ số với số 1 khi giải bpt mũ và lôgarit…

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

1 Tính giá trị của biểu thức A  ( a  1)1  ( b 1)1 khi

  1   1

2 Biết log275  a , log 78  b , log 32  c Tính log 356 theo a, b, c

3 Tính

A

4 Rút gọn biểu thức B  x4 x2: x4 ( x  0)

5 Vẽ đồ thị của các hàm số:

a y  2x b y  log2x

c 1

2

x

2

log

6 Trong các hàm số sau hàm số nào đồng biến, hàm số nào nghịch biến?

x

y      



   ; b)

2 x

y e

 



      ; c) 1

3

x x

y       



  

log

abcd

x



với a, b, c, d, x, abcd dương khác 1

9 Không dùng máy tính hãy chứng minh đẳng thức 375 2375 22

10 Không dùng máy tính hãy so sánh các cặp số sau:

6

log 3  1 va log 2  1

b

log 3 va log 3

9 va 4

d log 54 va log 65

Bài 1: Tính các giới hạn sau

x

x +

x

a lim

1+ x

 

x+1 x 1

b lim 1+

x

 

2 1

1

c lim

2

x x

x x









x+1 3

x +

3x - 4

d lim

3x + 2

 

x

x +1

e lim

2x -1

x

x

2x +1

f lim

x -1

x

x e

lnx -1

g lim

x - e

2x

0 lim e -1 h.

3x

x

x 1

e - e

i lim

x -1



x -x

x 0

e - e

k lim

sinx



sin2x sinx

x 0

l lim

x



1 x x

m lim x e -1



Bài 2 Tính đạo hàm các hàm số sau

1

x y x





2 5 2

x + x - 2

y =

x +1

3

3

1- 2x

y = 1+ 2x

g y = sin3 x + 3

4

 

 

 

 

2 4 2

x + x +1

y =

x - x +1

Bài 3 Tính đạo hàm các hàm số sau

a y = x - 2x + 2 e  2  x b y = x + 2x  2  e-x c y = e-2x.sinx

1

x - x 3

2x x

2x x

+

y =

-e e

e e

g y = 2x.ecosx h

x

2

3

y =

cotx

Bài 4 Tính đạo hàm của các hàm số sau

a y = ln(2x2 + x + 3) b y = log2 (cosx) c y = ex.ln(cosx)

1 2

y = log x - cosx f y = log3(cosx)

g ln 2x +1  

y

2x +1

y

x +1

Bài 5 Chứng minh hàm số đã cho thoả mãn hệ thức được chỉ ra

a Cho

2

x 2

y  x e CMR xy' = (1 - x2)y

b Cho y = (x + 1)ex CMR y' - y = ex

c Cho y = e4x + 2e-x CMR y''' - 13y' - 12y = 0

d Cho y = a.e-x + b.e-2x CMR y'' + 3y' + 2y = 0

e Cho y = e-x.sinx CMR y'' + 2y' + 2y = 0

f Cho y = e-x.cosx CMR y(4) + 4y = 0

g Cho y = esinx CMR y'cosx - ysinx - y'' = 0

h Cho y = e2x.sin5x CMR y'' - 4y' + 29y = 0

y = x

k Cho y = e4x + 2e-x CMR y''' - 13y' -12y = 0

2

2xy

x +1 e

m Cho y =

2

+ x x +1 + ln x + x +1

1+ x

y 1+ x + lnx

q Cho

1+ lnx y

x 1- lnx

Bài 6 Giải phương trình, bất phương trình sau với hàm số đã chỉ ra

x

c f(x) = e2x - 1 + 2.e1 - 2x + 7x - 5 f '(x) = 0

d f(x) = x + ln(x - 5) ; g(x) = ln(x - 1) f'(x) > g'(x)

e f(x) =   1 2x+1

2 ; g(x) = 5

x + 4xln5 f'(x) < g'(x)

3

y  xy   x y  

y = e x +1 2y y  yy  1 0

y = ln e  x +1 

y   x  y  

b Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của y 

i Cho hàm số y = x e-x CMR y  y   y   y   0,   x R

k Cho hai hàm số: f x = cos2xcos x   2 ;   1 2 2

g x sin 2x sin x

2

a Tính f    x , g x   

b Chứng minh rằng: f x     g x     0

l Cho hàm số y=f x =tg3x.tg2x.tgx  

f x = 3tg 3x - 2tg 2x - tg x 