NỘI DUNG BÀI HỌC Chu Bễ toán kinh 1 Cửu chương toán thuật 2 3 Tôn tử toán kinh Những thành tựu toán học khác ở Cổ Trung Quốc 4... Từ thế kỉ thứ VII đến thế kỉ thứ XII, Cửu chương toán
Trang 1Toán học
Cổ Trung
Quốc
Nhóm thực hiện: Nhóm 2
Trang 2NỘI DUNG BÀI HỌC
Chu Bễ toán kinh
1
Cửu chương toán thuật
2
3 Tôn tử toán kinh
Những thành tựu toán học khác ở Cổ Trung Quốc
4
Trang 3I CHU BỄ TOÁN KINH
- Thời Tây Hán đã xuất hiện cuốn Chu bễ toán kinh
- Nội dung chủ yếu bao gồm một số vấn đề về thiên văn, một
số tính chất của tam giác vuông (tương tự như định lí Pitago),
một số tính chất của phân số
- Trong Chu Bễ toán kinh có chỗ trình
bày đối thoại của một vị Hoàng tử với
quan Thượng thư Quan Thượng thư
tâu với vị Hoàng tử rằng tính chất các
số là do hình tròn và hình vuông mà
có Đây là chứng minh cổ nhất của
nhân loại về định lí Pitago (hình 19)
Trang 4Theo Lưu Huy thì tác giả của Cửu
chương toán thuật là Trần Sanh (mất năm
152 TCN) Từ thế kỉ thứ VII đến thế kỉ thứ
XII, Cửu chương toán thuật được dùng làm
sách giáo khoa và trở thành tác phẩm kinh
điển của toán học cổ Trung Quốc
II CỬU CHƯƠNG TOÁN THUẬT
Tác phẩm này trình bày rườm rà và có tính chất rập khuôn Có tất cả 246 bài, bài toán nào cũng nêu giả thiết và
lời giải Sau mỗi nhóm bài toán có nêu thuật tính Thuật tính
này gồm các quy tắc chung hoặc các phép tính thực hiện dần
dần trên những số liệu cụ thể
Trang 5II CỬU CHƯƠNG TOÁN THUẬT
Chương 1: Phép đo ruộng
Quy tắc tính một
số diện tích
hình phẳng
Các phép tính số
học về phân số
Hình chữ nhật với các cạnh dài 15
và 16 bước
Trang 6II CỬU CHƯƠNG TOÁN THUẬT
Chương II: “Tỉ lệ giữa các loại thóc khác nhau”
Trình bày một bản chuẩn để đổi từ loại thóc này sang loại thóc khác
31 bài toán các loại, mỗi loại tuân theo một thuật toán riêng, phản ánh cách thu thuế thời xưa của người Trung Quốc (với những kiến thức toán về quy tắc tam xuất và chia tỉ lệ với số nguyên hay phân)
Trang 7II CỬU CHƯƠNG TOÁN THUẬT
Chương III: “ Phép chia theo
kép
Trang 8II CỬU CHƯƠNG TOÁN THUẬT
Chương IV: “ Thiếu quãng”
Quy tắc khai căn bậc hai và bậc ba
• Xác định cạnh hình chữ nhật biết diện tích và cạnh kia
• Xác định cạnh hình vuông theo diện tích
• Xác định cạnh hình lập phương theo thể tích
Trang 9II CỬU CHƯƠNG TOÁN THUẬT
Chương V: “ Ước tính các
công trình”
Đo thể tích, kích thước cần thiết khi xây dựng tường
thành, đào hào hố, đắp đê đập, xây pháo đài,… với
hình thù khác nhau, trong đó có công thức tính thể tích
những khối khác nhau
Trang 10II CỬU CHƯƠNG TOÁN THUẬT
Chương VI: “ Phân phối tỉ lệ ”
Bài toán tính số lượng thóc
Tính quãng đường (hoặc thời gian) để hai người
đi bộ gặp nhau
Bài toán phân phối thu nhập cho các quan lại
Bài toán tính công của nhiều người có năng suất lao
động khác nhau
Trang 11II CỬU CHƯƠNG TOÁN THUẬT
Chương VI: “ Phân phối tỉ lệ ”
Bài toán: Một đơn vị thanh niên xung phong chuẩn bị
một số gạo đủ cho đơn vị ăn trong 30 ngày Sau 10 ngày
đơn vị nhận thêm 10 người nữa Hỏi số gạo còn lại đó đơn
vị sẽ đủ ăn trong bao nhiêu ngày Biết lúc đầu đơn vị có
90 người
Giải:
Sau 10 ngày số gạo còn đủ cho 90 người ăn trong:
30 - 10 = 20 (ngày)Tổng số người cũ và mới là: 90 + 10 = 100 (người)
90 người ăn số gạo còn lại trong 20 ngày,
1 người ăn số gạo còn lại trong 20 x 90 ngày
100 người ăn số gạo còn lại trong 20 x 90 : 100 = 18 (ngày)
Tóm tắt: 90 người: 30 ngày
Sau 10 ngày, 100 người: ? ngày
Trang 12II CỬU CHƯƠNG TOÁN THUẬT
Chương VII: “ Thừa - Thiếu”
Phương pháp giả sử 2 lần
Bài toán từ dễ
đến khó dẫn tới
các phương
trình tuyến tính
Trang 13II CỬU CHƯƠNG TOÁN THUẬT
Chương VIII: “ Giải ma trận”
Chương này nêu thuật toán tổng quát để giải hệ phương trình
tuyến tính nhiều ẩn
Giả sử cho hệ phương trình tuyến tính:
1 2
1 2
12 22
2
11 21
1
.
.
.
b b b a a a a a a a a a n n n nn n n 1 2 1 2 12 22 11 ' ' ' '
'
0 0
0 b b b a a a a a a n n n nn n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a
2 2 1 1 2 2 2 22 1 21 1 1 2 12 1 11 Trong quá trình biến đổi ma trận của hệ PT, các nhà bác học Trung Quốc đã gặp “số âm” Để cộng trừ chúng, người ta đã áp dụng một quy tắc đặc biệt n n nn n n n n b x a b x a x a b x a x a x a ' '
' '
'
2 2
2 22
1 1
2 12 1
11
Trang 14Bài toán 1:
Cứ 3 bó lúa của ruộng loại nhất, 2 bó lúa ruộng loại nhì, 1 bó lúa ruộng loại ba thì được 39 đấu thóc Cứ 2 bó lúa của ruộng loại
nhất, 3 bó lúa ruộng loại nhì, 1 bó lúa ruộng loại ba thì được 34
đấu thóc Cứ 1 bó lúa của ruộng loại nhất, 2 bó lúa ruộng loại nhì,
3 bó lúa ruộng loại ba thì được 26 đấu thóc Hỏi mỗi bó lúa của
mỗi loại ruộng được bao nhiêu đấu thóc?
II CỬU CHƯƠNG TOÁN THUẬT
Chương VIII: “ Giải ma trận”
Trang 15Bài giải:
Giả sử: Mỗi bó lúa của ruộng lúa loại nhất được x đấu thóc;
mỗi bó lúa của ruộng lúa loại nhì được y đấu thóc; mỗi bó lúa
của ruộng lúa loại ba được z đấu thóc Ta có:
II CỬU CHƯƠNG TOÁN THUẬT
Chương VIII: “ Giải ma trận”
2
34 3
2
39 2
3
z y
x
z y
x
z y
26
1 3
3
2 9
2
3 6
1 2
3
2 7
2
3 3
26
1 1
3
2 5
2
3 0
99
1 1 36
2 5 0
3 0 0
z y x
4
1 9
4
1 4
4
3 2
26
1 1
3
2 3
2
3 2
y z
Lấy cột 2 nhân 3
Lấy cột 2 trừ cột 3 Lấy cột 2 trừ cột 3
Làm tương tự: Lấy cột 1 nhân 3 rồi trừ đi cột 3 Lấy cột 1 nhân 5 và cột 2 nhân 4 sau đó đem cột 1 trừ cột 2 ta được ma trận như trên
99
36
z y z
Trang 16II CỬU CHƯƠNG TOÁN THUẬT
Chương IX: Những bài toán xác định
khoảng cách và chiều cao không tới
được nhờ định lí Cao Thương
Bài số 11: Nói về việc đo kích thước của cánh cửa, trong đó
đã biết đường chéo và hiệu giữa chiều dài và chiều rộng,
dẫn tới hệ hai phương trình:
y
c y
Hoặc tới phương trình bậc hai đủ: 2x2 + 2kx + k2 – c2 = 0
PT này có nghiệm là: x1,2=
2 2
2 2
2 2
k
k c
x
Trang 17II CỬU CHƯƠNG TOÁN THUẬT
Chương IX: Những bài toán xác định
khoảng cách và chiều cao không tới
được nhờ định lí Cao Thương
Trong quyển này có phương pháp tìm bộ
ba số Pitago, nghĩa là tìm nghiệm nguyên
của phương trình x2 + y2 = z2 với đáp số:
x = . ;
Qua “Cửu chương toán thuật” ta thấy rằng trong
nhiều thế kỷ, toán học Trung Quốc đã phát triển theo
hướng tính toán bằng thuật tính và đã tạo nên được
những yếu tố cơ bản cho phương pháp giải Đại số
Trang 18III TÔN TỬ TOÁN KINH
“Tôn Tử toán kinh”
Tôn Tử đã giải được bài toán tìm các số khi chia cho:
3, 5, 7 còn dư 2, 3, 2 Đó là bài toán giải hệ tuyến tính
các đồng dư thức với những môđun nguyên tố từng đôi
với nhau
Châu Loan ở thế kỷ VI đã hiệu đính Tôn Tử toán
kinh và gọi đó là bài toán “ Hàn Tín điểm binh”
Trang 19Tục truyền rằng, ngày xưa, Hàn Tín danh tướng của Lưu Bang
(Hán Cao Tổ) điểm binh theo cách sau đây:
• Bảo lính xếp hàng 3, hàng 5, hàng 7 rồi đếm hàng lẻ
cuối cùng
• Nhân số lẻ hàng 3 cho 70, số lẻ hàng 5 cho 21, nhân số lẻ
hàng 7 cho 15 Cộng các kết quả ấy lại Thêm số đó với một
bội số thích hợp của 105 sẽ được số lính
III TÔN TỬ TOÁN KINH
Trang 20
三 人 同 行 七 十 嬉 人 同 行 七 十 嬉 同 行 七 十 嬉 行 七 十 嬉 七 十 嬉 十 嬉 嬉
五 樹 梅 花 廿 一 枝 樹 梅 花 廿 一 枝 梅 花 廿 一 枝 花 廿 一 枝 廿 一 枝 一 枝 枝
七 十 嬉 子 桃 園 秋 半 月 桃 園 秋 半 月 園 秋 半 月 秋 半 月 半 月 月
共 除 百 零 五 定 為 其 除 百 零 五 定 為 其 百 零 五 定 為 其 零 五 定 為 其 五 樹 梅 花 廿 一 枝 定 為 其 為 其 其
Dịch
Ba người cùng đi ít bẩy mươi
Năm cõi mai hoa hăm mốt cành
Bẩy gã xum vầy vừa nửa tháng
Trừ trăm linh năm biết số thành
III TÔN TỬ TOÁN KINH
Trang 21Nếu ký hiệu số lính là S, số lẻ xếp
hàng 3, hàng 5, hàng 7 tương ứng là a, b, c
Thì S = 70.a + 21.b + 15.c + 105.k
Tìm số S sao cho khi chia S cho 3, cho 5, cho 7 thì số
dư tương ứng là a, b, c (a, b, c, S đều là các số tự
nhiên, a < 3, b < 5, c < 7)
III TÔN TỬ TOÁN KINH
Trang 2335(m-1) = 3(35k - 7n - 5p) 35.2 - 1 = 3 23
III TÔN TỬ TOÁN KINH
Trang 25 Số S bằng 70a + 21b + 15c rồi thêm bớt một bội số của 105
Đó là quy tắc “ Hàn Tín điểm binh”
III TÔN TỬ TOÁN KINH
Trang 26Câu hỏi thảo luận
Trong bài toán “Hàn Tín điểm binh”,
ngoài 3 số 3,5,7 có thể dùng bộ số nào
nữa không?
III TÔN TỬ TOÁN KINH
Trang 27Thời gian thảo luận
III TÔN TỬ TOÁN KINH
Trang 28CHƯA
ĐÚNG
RỒI!
Trang 29ĐÂY CHÍNH LÀ CÂU
TRẢ LỜI ĐÚNG
Trang 30Trả lời:
Có thể dùng 3 số 2, 3, 11 để tính
Vì 2, 3, 11 là những số nguyên tố cùng nhau từng đôi một,
do đó qua 3 số này có thể tìm được 4 số tương tự như:
70,21,15,105 đó là 33, 22, 12 và 66
Bởi vì 33 là bội chung của 3 và 11, chia cho 2 dư 1
22 là bội chung của 2 và 11, chia cho 3 dư 1
12 là bội chung của 2 và 3, chia cho 11 dư 1
66 là bội chung nhỏ nhất của 2,3,11.
III TÔN TỬ TOÁN KINH
Trang 31IV NHỮNG THÀNH TỰU TOÁN HỌC KHÁC
• Số π
- Người Trung Quốc đã biết giá trị số π ngày càng chính xác hơn• Giải hệ phương trình
• Tam giác pascal
- Thế kỷ I TCN, Lưu Hâm tính được π ≈ 3,1547
- Thế kỷ II SCN, Trương Hoành tìm được
- Ông đã sử dụng công thức của ông cho số pi để tính thể tích hình cầu V theo đường kính D:
3 3
9
D D
D V
10
Trang 32Tổ Sung Chi (430 – 501) Ông sinh ra tại Kiến Khang
Năm 464 sau công nguyên, lúc đó ông 35 tuổi và bắt đầu
nghiên cứu trị số Pi.
Hình ảnh Tổ Sung Chi và công trình của ông
IV NHỮNG THÀNH TỰU TOÁN HỌC KHÁC
Trang 3322
113 355
Trên cơ sở của tiền nhân, Tổ Sung Chi miệt mài nghiên
cứu và tính toán tới 7 số đã cho π hai giá trị thích hợp là
.
và
Người Trung Quốc cũng sử dụng biểu đồ tổ hợp phức còn gọi là “hình vuông thần kì”, được mô tả trong các thời kì cổ đại
và được hoàn chỉnh bởi Dương Huy (1238-1398) Ông sử dụng
đa giác đều 3072 cạnh nội tiếp hình tròn và đã tính được
π ≈ 3.14159
IV NHỮNG THÀNH TỰU TOÁN HỌC KHÁC
Trang 34•Giải hệ phương trình
- Trong cửu chương toán thuật người Trung
Quốc đã giải phương trình bậc hai với phương
pháp mà họ gọi là “ thiên tố”
- Ở thế kỷ VII, Vương Hiếu Thông đã dùng phương pháp đó để
giải phương trình bậc ba Vào thế kỷ XIII, Chu Thế Kiệt đã
bằng phương pháp thiên tố, tìm được nghiệm hữu tỷ của phương
trình bậc 4
IV NHỮNG THÀNH TỰU TOÁN HỌC KHÁC
Trang 35•Tam giác pascal
Chu Thế Kiệt (1280 – 1303) cũng tìm ra cái mà
sau này Pascal mới tìm ra và người đời, vì
thiếu thông tin nên đã gọi sai là “ Tam giác
Pascal” (hình bên)
2
1
3 2
1
3 2
Tìm thấy những công thức lấy tổng các cấp số
sau:
IV NHỮNG THÀNH TỰU TOÁN HỌC KHÁC
Trang 36TOÁN CỔ TRUNG QUỐC
Nhìn chung, rất khó đánh giá những đóng góp của người
Trung hoa vào kho tàng toán học của nhân loại từ thời cổ đại
cho đến thế kỷ XIV, XV
Tuy nhiên phương hướng tính toán bằng thuật tính làm
cho nền toán học Cổ Trung Quốc không có được sự xây
dựng suy diễn, hệ thống
Áp lực của nền thống trị phong kiến nặng nề cũng làm
cho toán học Trung Quốc phát triển chậm chạp và đình
đốn dài kể từ thế kỷ XIV, XV
Trang 37KẾT LUẬN ỨNG DỤNG SƯ PHẠM
Qua những kiến thức về “Toán học cổ Trung Quốc”, chúng
ta có thêm nhiều tư liệu, hình ảnh quý giá để giới thiệu cho
học sinh trong quá trình dạy học.
Các tư liệu về cuốn sách Chu Bễ toán kinh sẽ giúp chúng ta
giới thiệu về chứng minh cổ nhất định lý Pitago ở lớp 7
toán tính diện tích, thể tích, tỉ lệ,… và đặc biệt là cách giải hệ phương trình
ở lớp 9, lớp 11, hệ phương trình tuyến tính ở bậc Đại học, Cao đẳng.
Cuốn sách Tôn tử toán kinh cung cấp cho ta cách giải các bài toán phép chia có dư ở bậc tiểu học
Thành tựu về số π, tam giác pascal ở bậc THCS
Từ đó, giáo viên làm giờ học thêm sinh động lý thú khơi dậy
khả năng sáng tạo của học sinh.
Để được như vậy, giáo viên cần phải đọc và tìm hiểu kĩ
những thông tin tư liệu về bài dạy trước khi lên lớp.
Ngoài ra, khuyến khích các em về nhà sưu tầm, nghiên cứu
sách tham khảo, câu đố, câu chuyện vui toán học, các nhà toán học để thêm yêu toán học hơn