bài tập phép tính vi phân hàm nhiều biến

BÀI TẬP CHƯƠNG PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN GV: Lê Nguyễn Kim Hằng 1/ Tính các đạo hàm riêng của các hàm số sau a. arcsin x z y ⎛⎞ = ⎜⎟ ⎝⎠ b. ( ) 222 lnzxxyz=+++ c. ar x y zctg x y ⎛⎞ + = ⎜⎟ − ⎝⎠ d. 2 os 3 y x ct zdt t = + ∫ 2/ Tính các giới hạn sau a. 1 2 22 lim 1 x y xy y x x → → −− + − b. 2 3 lim 1 x x y y x →∞ → ⎛⎞ + ⎜⎟ ⎝⎠ c. 3 22 0 0 lim x y x y x y → → + d. 22 44 3 lim x y x y x y →∞ →∝ + + 3/ Chứng minh rằng hàm số 222 1 u x yz = + + thỏa phương trình 222 222 0 uuu xyz ∂∂∂ ++= ∂∂∂ (phương trình Laplace). 4/ Cho cos os cos sin sin xr c yr zr θ ϕ θ ϕ θ = ⎧ ⎪ = ⎨ ⎪ = ⎩ . Hãy tính định thức x xx r yy y r zz z r ϕ θ ϕ θ ϕ θ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ 5/ Tính vi phân toàn phần cấp 1 và cấp 2 của hàm số a. 32 4 95zxy y=+− b. ( ) 2 ln 3zxy=+ 6/ Tính gần đúng các giá trị sau a. ( ) 44 ln 0,99 1, 03 1+− b. 22 3,02 4,03+ c. ( ) 2,98 2,03 d. 00 sin 29 . os62c 7/ Chứng minh rằng hàm số 22 y zxf x y x ⎛⎞ = −− ⎜⎟ ⎝⎠ thỏa mãn phương trình 22 zz x yzxy xy ∂∂ +=−− ∂∂ 8/ Tính dz dt biết ln sin x z y ⎛⎞ = ⎜⎟ ⎝⎠ , trong đó 22 3, 1xty t = =+ 9/ Tính , zz x y ∂∂ ∂∂ biết 2 lnzu v= , trong đó 22 , x y ux yve = −= 10/ Chứng minh rằng hàm số 222 uxyz = ++ có 2 0du≥ với mọi x, y, z không đồng thời bằng không. 11/ Giả sử z là hàm theo biến x, y xác định bởi phương trình cos cos cos 1 x yy zz x++= . Tính , zz x y ∂ ∂ ∂ ∂ . 12/ Tìm cực trị của các hàm số sau a. () 50 20 0, 0zxy x y xy =++ > > b. 33 15zx xyy=+ + c. 22 2ln 18lnzx y x y=+− − d. 322 3 zx xy xyy = +−− e. ( ) () 22 22 x y zxye −+ =+ f. 22 2 4 yz zx x yz = +++ 13/ Tìm cực trị có điều kiện tương ứng sau a. 22 zx y=+ với 1 23 xy += b. 2zx y=+ với 22 5xy+= c. uxyz=++ với 111 1 x yz ++= d. 23ux y z=+ + với điều kiện 222 14xyz + +=. 14/ Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau a. 22 zx y xyxy=+−++ trên miền D giới hạn bởi các đường thẳng 0, 0 x y== và 3 x y+=− . b. 22 2zx y x=+ − trên hình tròn 22 1xy + ≤ c. 33 3zx y xy=+− trên miền ( ) { } ,0 2,1 2Dxy x y = ≤≤ −≤≤ d. 22 12 16zx y x y=+− + trên hình tròn 22 25xy + ≤ 15/ Tìm trên elip 22 99xy+= các điểm gần nhất và xa nhất đối với đường thẳng 4916 x y+= . 16/ Tìm đạo hàm theo hướng A B J JJG của hàm 23 uxyz= tại điểm A(3,2,1) với ( ) 5, 4, 2B = . 17/ Tìm đạo hàm của ( ) 22 lnzxy=+ tại điểm M(3,4) theo hướng gradient của hàm z tại điểm ấy. 18/ Tìm độ lớn và hướng của gradu với 333 3u x y z xyz=++− tại điểm A(2,1,1). Tại những điểm nào thì grad u vuông góc với trục Oz? gradu triệt tiêu? 19/ Tính các tích phân sau: a. ( ) 22 02 12 x y x ydxdy ≤≤ ≤≤ + ∫∫ b. c. D x ydxdy ∫∫ với D là miền giới hạn bởi các đường 22 ,2 x yx y = =− d. ln D y xdxdy ∫∫ với D là miền giới hạn bởi các đường cong 1, , 2xy y x x = == e. 22 1 D dxdy xy++ ∫∫ với D là nửa hình tròn 22 1xy + ≤ nằm phía trên trục hoành. f. ( ) 3 D x ydxdy+ ∫∫ với D xác định bởi: 22 2 9, 3 3 xy y x + ≤≥+. 20/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong 22 40xxy−+=, 22 40xy y+−= 21/ Tính diện tích phần mặt paraboloit 22 1yxz = −− và 22 1xz + = 22/ Tính thể tích phần khối cầu 222 8xyz + += bên trong mặt trụ 22 4xy+=. 11 3 0 sin( 1) y I dy x dx=− ∫∫ . BÀI TẬP CHƯƠNG PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN GV: Lê Nguyễn Kim Hằng 1/ Tính các đạo hàm riêng của các hàm số sau a c yr zr θ ϕ θ ϕ θ = ⎧ ⎪ = ⎨ ⎪ = ⎩ . Hãy tính định thức x xx r yy y r zz z r ϕ θ ϕ θ ϕ θ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ 5/ Tính vi phân toàn phần cấp 1 và cấp 2 của hàm số a. 32 4 95zxy y=+− b. ( ) 2 ln 3zxy=+ 6/ Tính gần. A(2,1,1). Tại những điểm nào thì grad u vuông góc với trục Oz? gradu triệt tiêu? 19/ Tính các tích phân sau: a. ( ) 22 02 12 x y x ydxdy ≤≤ ≤≤ + ∫∫ b. c. D x ydxdy ∫∫ với D là miền giới hạn