Mô hình toán dành trong kỹ thuật cơ khí

I. KHÁI NIỆM: Sơ lược về phép biến đổi Laplace: Mô hình thường được biểu diễn dưới dạng hệ các phương trình vi phân. Dùng phép biến đổi Laplace > về các PT đại số > giải như Pt đại số. Dùng phép bíến đổi ngược tìm lại các nghiệm của chính hệ PT ban đầu.

Chương 3. MÔ HÌNH TOÁN I. KHÁI NIỆM: Sơ lược về phép biến đổi Laplace: - Mơ hình thường được biểu diễn dưới dạng hệ các phương trình vi phân. - Dùng phép biến đổi Laplace ⇒ về các PT đại số ⇒ giải như Pt đại số. - Dùng phép bíến đổi ngược tìm lại các nghiệm của chính hệ PT ban đầu. II. PHÉP BI ẾN ĐỔI LAPLACE 1.Tìm ảnh của hàm a. Các đònh nghóa cơ bản: Giả sử hàm f(x) thoả mãn các điều kiện sau: - F(t) = 0 khi t < 0 - F(t) < Me Sot khi t > 0 và So là hằng số thực nào đó - Trên đoạn hữu hạn [a,b] bất kỳ của nửa trục dương ot, hàm f(t) thoả mãn các điều kiện Đirilê, tức là: - Bò chặn - Hoặc liên tục, hoặc chỉ có một số hữu hạn điểm gián đoạn loại I; - Có một số hữu hạn cực trò. Các hàm như vậy trong phép tính toán tử gọi là hàm được mô tả theo Laplaxơ hay là hàm nguyên mẫu (nguyên mẫu) Giả sử có p = α + βi là tham số phức, đồng thời Rep = α ≥ S 1 ≥ S o với các điều kiện nói trên, tích phân ( ) dttfe pt ∫ ∞ − 0 hội tụ và là hàm của p ( ) ( ) ( ) tfLpfdttfe pt == ∫ ∞ − 0 tích phân này gọi là tích phân Laplace, còn hàm của biến phức p gọi là biến đổi Laplace của hàm f(t) hay ảnh Laplace f(t) hay ảnh f(t). ký hiệu ( ) pf là ảnh của hàm nguyên mẫu f(t) ( ) pf = L {f(t)} hay ( ) pf →f(t) ta qui ước giá trò của hàm nguyên mẫu f(t) tại điểm gián đoạn loại I t o bằng nửa tổng số các giá trò giới hạn của nó từ phía trái và phía phải của điểm đó. ( ) ( ) ( ) 2 00 ++− = oo o tftLf tf ( ) ( ) pftf ÷ khi thoả mãn điều kiện này sự tương ứng giữa ( ) ( ) tfpf ÷ nguyên mẫu và ảnh có các tính chất sau: ( ) ( ) pftf → có sự tương ứng 1:1 tức là mỗi nguyên mẫu ứng với ảnh duy nhất và ngược lại. ( ) ( ) tfpf → tổ hợp tuyến tính bất kỳ của một số hữu hạn các nguyên mẫu có ảnh là tổ hợp tuyến tính tương ứng các ảnh của chúng. Nếu ( ) ( ) tfpf kk ÷ (k = 1, 2, …… n) thì ( ) ( ) ∑ = = ∑ = = → nk k kk nk k k k tfcpfc 11 Tính chất của phép biến đổi Laplasse. a) Af(t) + Bg(t) → . AF(p) + BF(p) b) f(λt) λ 1 . → F( λ p ) c) e α tf (t) → . F(p - α) d) f ′(t) → . pF(p) - f(0) f (n) (t) → . pnF(p) – p (n – 1) (0) - p ′ (n-2) f′(0) – p (n – 1) (0) nếu f(t) → . F(p); g(t) = ∫ t 0 dt)t(f thì g(t) → . p pF )( e) f(t) → . F(p) thì – tf(t) → . F′(p) Bảng ảnh của các hàm sơ cấp STT F(t) khi t > 0 1 1 p 1 2 !n t n 1 1 + n p ( ) pf 3 t e α α −p 1 4 cosβt 22 β + p p 5 sinβt 22 β β + p 6 t e α .sinβt ( ) 2 2 β α ap p + − 7 t e α .cosβt ( ) 2 2 β +− ap p 8 t n e n t α ! ( ) 1 1 + − n p α 9 t. cosβt ( ) 2 22 22 β β + − p p 10 t. sinβt ( ) 2 22 2 β β + p p Ví dụ 1: Tìm ảnh của hàm f(x) = a t Giải: a = e lna nên a t = e t.lna áp dụng công thức 3 ta được F(p) ( ) ap pf ln 1 − = Ví dụ 2: Tìm ảnh của hàm f(t) = cos 3 t qua phép biến đổi Laplace Giải: Áp dụng công thức Ơle: Cost = 2 itit ee − + Cos 3 t = 8 1 (eit + e-it) 3 = 8 1 (e 3it + 3e 2ite-it + 3eite -2it + e -3it ) = 4 1 cos3t + 4 3 cost = 4 1 2 33 itit ee − + + 4 3 2 itit ee − + = 8 1 (e 3it + 3 eit + 3e -it + e -3it ) = 8 1 ( e 3it + e -3it ) + 8 3 ( eit + e -it ) = 4 1 ( 2 33 itit ee − + ) + 4 3 ( 2 itit ee − + ) = 4 1 cos3t + 4 3 cost Áp dụng công thức (4) ta có: F(p) = 4 1 9+p p + 4 3 1 2 +p p = )9)(1( )7( 22 2 ++ + pp pp 2. Tìm hàm nguyên mẫu theo ảnh Để tìm trong một số trường hợp đơn giản người ta tìm bằng đònh lý thứ nhất và thứ hai. Đònh ký khai triển thứ nhất: F(x) = f(0) + x f !1 )0( ' + 2 '' !2 )0( x f + … Đònh lý này dùng để tìm cực trò Đònh lý khai triển thứ hai: Cho phép tìm nguyên mẫu đối với các ảnh là các hàm phân thức của p (tìm được f(t) nếu F(p) là hàm phân thức) F(t) = )( )( pv pu Trong đó u, v là các đa thức của p với số bậc là m và n tương ứng, m < n. Đa thức v(t) đều có thể khai triển thành các thừa số có dạng: V(p) = (p – p1)k1(s – s2)k2…(s – sr)kr Trong dó k1 + k2 + …+ kr = r. Vì vậy ta có thể khai triển F(p) thành tổng các phân tố sơ cấp dạng: 1 , )( +− − skj pj pjp A j = r,1 , s = j k,1 Hàm F(p) được viết dưới dạng: F(p) = ∑ = ∑ = +− − r i k s sk j is j j pp A 1 1 1 )( Lúc này f(t) được xác đònh theo công thức sau: a) Nếu mẫu số v(p) có nghiệm bội F(t) = ∑ = ∑ = r i k p j j A 1 1 b)Nếu mẫu số có nghiệm đơn f(t) = pjt n j i j e pv pu ∑ =1 )( )( Ví dụ1: Cho F(p) = 5 2 +− pp p .Tìm f(t)? Giải: Ta có: F(p) → . f(t) 52 2 +− pp p = 4)1( 11 2 +− +− p p = 4)1( 1 2 +− − p p + 4)1( 1 2 +−p 4)1( 1 2 +− − p p → . etcos2t (công thức 7) 2 )1( 1 −p = 2 1 4)1( 2 2 +−p → . etsin2t Ví dụ 2: Cho F(p) = )8( 1 3 −p . Tìm f(t) Giải: )8( 1 3 −p = )2( −p A + 42 2 ++ + pp CBp Xác đònh A, B, C )8( 1 3 −p = 8 )2)(()42( 3 2 − −++++ p pCBpppA → 1 = A(p 2 + 2p + 4) + (Bp + C)(p – 2) = Ap 2 + 2pA + 4A + Bp 2 – 2Bp + Cp -2C = (A + B) p 2 + p(2A + C – 2B) + 4A – 2C Ta được hệ:      =− =−+ =+ 124 022 0 CA BCA BA ⇒ giải hệ ta có: A = 12 1 ; B = 12 1 − ; C = 3 1 − ⇒ )8( 1 3 −p = )2(12 1 −p - 12 1 22 )3()1( 3)1( ++ ++ p p → f(t) = 12 1 e 2t - 12 1 e -t { } tt 3sin33cos + c) Phép nhân chập các hàm F(t) = τττ dff t )()1( 2 0 1 − ∫ Phép nhân này không đổi khi ta hoán vò vò trí f 1 và f 2 do đó, tính chập đối xứng với các hàm nhân chập. Ảnh của tính chập 2 nguyên mẫu bằng tích các ảnh của chúng: )()()()1( 212 0 1 pfpfdff t +− ∫ τττ Bài tập : Tìm nguyên hàm mẫu của hàm 23 )2()1( )( +− = pp p pf Giải: Khai triển )( pf thành các phân thức đơn giản có dạng )2(2)2()1( )1()1( )( 2,21,23,1 2 2,1 3 1,1 + + + + − + − + − = p A p A p A p A p A pf Sử dụng công thức (2) { } 9 1 )2( lim)()1(lim !0 1 2 1 3 1 1,1 = + =−= →→ p p pfpA pp { }       + =−= → 2 3 1 2,1 )2( lim)()1(lim !1 1 p p dp d pfp dp d A p =           + −       + = + − + → 3232 1 )21( 2 )21( 1 )2( 2 )2( 1 lim p p p p = 27 1 27 2 9 1 =− { }       + =−= →→ 22 2 2 3 2 2 1 3,1 )2( lim 2 1 )()1(lim !2 1 p p dp d pfp dp d A pp = 27 1 )2( 6 )2( 4 lim 2 1 33 1 − =       + + + − → p p p p { }       − =+= −→−→ 3 2 2 2 1,2 )1( lim)()2(lim !0 1 p p dp d pfpA pp =       − − − −→ 43 2 )1( 3 )1( 1 lim p p p p = 27 1 )3( 6 )3( 1 lim 43 2 =       − − − − −→p Vậy       + + + + − − − + − = 2 1 )2( 2 1 1 )1( 1 )1( 3 27 1 )( 223 p p p pp pf Áp dụng công thức (3) và 8 bảng ảnh của hàm →       ++−+= −− ttttt eteeteettf 222 2 2 3 27 1 )( = tt e t e tt 2 2 27 12 54 223 − + + −+ 3. Áp dụng phép tính toán tử để giải một số phương [...]... đường đánh giá động học quá trình theo các đặc trưng tần số 2 Các mô hình toán học điều khiển bởi cấu trúc dòng trong thiết bò Mọi mô hình toán học của các dòng trong thiết bò khác nhau có thể phân tích thành một số mô hình mẫu Mô hình trộn lý tưởng Trong mô hình này vật chất phân bố đều trong cả dòng, sự phụ thuộc giữa nồng độ của vật chất trong dòng ở cửa vào cv và cửa ra cr: dc r v s v = ( cv − c r... ) dτ = e dτ = dτ v τ Trong đó τ là thời gian lưu lại trung bình của hệ s Mô hình Hàm Chú ý Trộn lý tưởng truyền 1 τ p +1 1 Thiết bò trộn lý tưởng có (τ p + 1) m thể tích bằng nhau v τ= trong đó v: vs' thể tích thiết bò vs’: vận tốc thể tích của chất lỏng vr τ= vs III MÔ HÌNH TUYẾN TÍNH CHUYỂN ĐỘNG CÁC LIÊN HP MÁY NÔNG NGHIỆP Khi tính toán động học và thống kê cần xây dựng mô hình các liên hợp máy... (3.33) trong đó c11, c21 : hệ số chuỗi Furiê α: hằng số thời gian hàm Lage Ví dụ : Lập mô hình toán học mô tả dao động của búa nghiền ở máy nghiền kiểu búa trục ngang Giải: Xem đóa lắp búa là cứng tuyệt đối Bỏ qua lực cản Bỏ qua mô men Lực tác dụng gồm: trong lực P, lực ly tâm Plt ϕ: góc lắc JA: momen quán tính của búa đối với trục đi qua A vuông góc với mặt phẳng quay Ta có phương trình cân bằng mômen... nhiễu đến dao động của hệ ∆y trong thực tế cho phép chọn τ 11 =0 (3.13) có dạng: T22 ∆ + T1∆y + ∆y = k11∆f y  (3.15) khi ∆f = 0 ta có: ∆ + 2n∆y + ∆y + k 2 ∆y = 0 (3.16) y  T 1 n = 12 k= trong đó: T2 2T2 T2 đặc trưng cho chu kỳ dao động tự do của hệ động 2π lực học Tần số dao động tự do là T2 IV MÔ HÌNH TUYẾN TÍNH LIÊN HP MÁY NÔNG NGHIỆP VÀ QUÁ TRÌNH LÀM VIỆC CỦA CHÚNG Mô hình tuyến tính động lực... dạng toán tử Laplace ta có hàm số truyền sau: Fr ( p ) a jϕ W ( p ) = W ( w) = = e Fv ( p ) A a trong đó : tỉ số biên độ dao động của tín hiệu vào A ϕ : góc lệch pha của tín hiệu ra so với tín hiệu vào w: tần số của tín hiệu đưa vào hệ Sau khi xây dựng hàm truyền trong khoảng tần số rộng, ta có đồ thò đặc trưng tần số, sau đó có thể so sánh với đồ thò đặc trưng tần số đã biết của các mô hình điều hình. .. jm ∆qm ) = ∆Qm   trong đó  qj và q : toạ độ tổng quát và vận tốc của nó ∆q và ∆q : sai lệch toạ độ suy rộng và vận tốc  của chúng khỏi giá trò cân bằng ajm , bjm , cjm : hằng số giả thiết phương trình liên kết của hệ không chứa những yếu tố vận tốc của chuyển động, hoặc có chứa j m m yếu tố ấy nhưng có thể phân tích lên được để có phương trình liên kết Bài toán xây dựng mô hình toán học tuyến tính... , ……, fn } là tác động vào Ngoài ra những ngoại lực tổng quát vào hệ không thể biểu diễn bằng giải tích nhưng chúng là những hàm của ngoại lực fi Trong trường hợp đó véc tơ q trong mô hình chuyển động của liên hợp máy được xem như trạng thái pha của nó trong không gian k chiều Ta có : Q = Q( f , f , f , f , , f , f , f , f ) (3.7) phân tích (3.7) ra dãy Taylo ta có m 1 1 2 2 i i n n F ( X1 , X... T2 = c11 c11 c11 c11 phương trình (3.13) mô tả những dao động nhỏ của liên hợp máy, những cơ cấu làm việc dưới tác dụng của các lực và mô men nhiễu khác nhau, chúng được gây bởi: - chuyển động theo bề mặt - lực cản của môi trường (đất, cây trồng,…) các hằng số T2, T1 có thứ nguyên thời gian thể hiện tính chất quán tính (T2) và tính chất chống rung (T1) của hệ Trong chuyển động đều khi vận tốc và gia... hệ Sau khi xây dựng hàm truyền trong khoảng tần số rộng, ta có đồ thò đặc trưng tần số, sau đó có thể so sánh với đồ thò đặc trưng tần số đã biết của các mô hình điều hình phối hợp các mô hình khác nhau (trên cơ sở mô hình cấu trúc) có thể đánh giá được các hàm số truyền thực của các thiết bò thực Ví dụ: lập hàm truyền của thiết bò dòng chảy có cánh khuấy Đặt vs: vận tốc thể tích; cv: thành phần vào... bề mặt làm việc và môi trường tác động nhằm xác đònh tính bền vững, tính ổn đònh khi chuyển động Thường dùng phương pháp Lagrange để xây dựng mô hình Nếu xem sự tuyến tính là gần đúng, xét các chuyển động diễn ra gần vò trí cân bằng phương trình Lagrange hạng hai: d ∂T ∂T − = Q j (j = 1, 2,…… k) (3.4) dt ∂q j ∂q j   Trong đó: T = T ( q j , q j , t ) là biểu thức động năng của hệ trong toạ độ suy rộng . số. 2. Các mô hình toán học điều khiển bởi cấu trúc dòng trong thiết bò Mọi mô hình toán học của các dòng trong thiết bò khác nhau có thể phân tích thành một số mô hình mẫu. Mô hình trộn lý. đó có thể so sánh với đồ thò đặc trưng tần số đã biết của các mô hình điều hình phối hợp các mô hình khác nhau (trên cơ sở mô hình cấu trúc) có thể đánh giá được các hàm số truyền thực của. nhau ( ) m p 1. 1 + τ s r v v = τ III. MÔ HÌNH TUYẾN TÍNH CHUYỂN ĐỘNG CÁC LIÊN HP MÁY NÔNG NGHIỆP Khi tính toán động học và thống kê cần xây dựng mô hình các liên hợp máy nông nghiệp và xem