Chuyên đề lượng giác Luyện thi đại học

Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 70  Chuyên đề 2: LƯNG GIÁC  Vấn đề 1: PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI 1. Phương trình lượng giác cơ bản cosx = cos  x =  + k2 sinx = sin  x k2 x k2             tanx = tan  x =  + k cotx = cot  x =  + k (với k  ) 2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác asin 2 x + bsinx + c = 0. Đặt t = sinx,  t  1 acos 2 x + bcosx + c = 0. Đặt t = cosx,  t  1 atan 2 x + btanx + c = 0. Đặt t = tanx acot 2 x + bcotx + c = 0. Đặt t = cotx 3. Phương trình bậc nhất đối với sinx, cosx asinx + bcosx = c (*) Điều kiện có nghiệm: a 2 + b 2  c 2  Cách 1: Chia hai vế cho 22 ab  0 (*)  22 a ab sinx + 22 b ab cosx = 22 c ab Do 2 22 a ab     + 2 22 b ab     = 1 Nên có thể đặt 22 a ab = cos, 22 b ab = sin Khi đó: (*)  sinxcos + sincosx = 22 c ab  sin(x + ) = 22 c ab  Cách 2: Chia hai vế cho a (giả sử a  0) (*)  sinx + b a cosx = c a Đặt b a = tan. Khi đó: (*)  sinx + sin cos   cosx = c a TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN 71  sinx cos + sin cosx = c a cos  sin(x + ) = c a cos  Cách 3: Đặt ẩn số phụ.  Xét x = (2k + 1) với (k  ) có là nghiệm 0  Xét x  (2k + 1) với (k  ) Đặt t = tan x 2 Khi đó: (*)  a 2 2t 1t + b 2 2 1t 1t   = c  (b + c)t 2 – 2at + c – b = 0 4. Phương trình đối xứng: a(sinx + cosx) + bsinxcosx + c = 0 Đặt t = sinx + cosx = 2 cos x 4      Điều kiện  t  2 Khi đó: t 2 = 1 + 2sinxcosx  sinxcosx = 2 t1 2  Thay vào phương trình ta được phương trình đại số theo t.  Chú ý: a(sinx  cosx) + bsinxcosx + c = 0 Đặt t = sinx – cosx (với t2 ) 5. Phương trình đẳng cấp bậc 2 đối với sinx, cosx asin 2 x + bsinxcosx + ccos 2 x = 0  Xét cosx = 0  x = 2  + k (k  ) có là nghiệm không?  Xét cosx  0. Chia 2 vế cho cos 2 x ta thu được phương trình bậc 2 theo tanx.  Chú ý: Nếu là phương trình đẳng cấp bậc k đối với sinx, cosx thì ta xét cosx = 0 và xét cosx  0 chia 2 vế của phương trình cho cos k x và ta thu được một phương trình bậc k theo tanx. B. ĐỀ THI Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2011 Giải phương trình: 2 1 sin2x cos2x 2sinx.sin2x 1 cot x    . Giải Điều kiện: sinx  0. Khi đó: (1)      2 1 sin2x cos2x 2sinx. 2sinxcosx 1 sin x Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 72       22 sin x 1 sin2x cos2x 2 2sin x.cosx    1 sin2x cos2x 2 2cosx (vì sinx  0)     2 2cos x 2sinxcosx 2 2 cosx 0     cosx 0 cosx sinx 2          cosx 0 sin x 1 4        x k x k2 24 (k  Z) (Thỏa điều kiện sinx  0). Vậy nghiệm của (1) là       x k x k2 24 (k  Z). Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2011 Giải phương trình: sin2xcosx sinxcosx cos2x sinx cosx    Giải sin2xcosx sinxcosx cos2x sinx cosx     2sinx.cos 2 x + sinx.cosx = 2cos 2 x – 1 + sinx + cosx  sinx.cosx(2cosx + 1) = cosx(2cosx + 1) + sinx – 1  cosx (2cosx + 1)(sinx – 1) = sinx – 1  sinx – 1 = 0 hoặc cosx (2cosx + 1) = 1  sinx = 1 hoặc 2cos 2 x + cosx – 1 = 0  sinx = 1 hoặc cosx = –1 hoặc cosx = 1 2  x k2 2     hoặc x k2   hoặc x k2 3       x k2 2     hoặc   2 xk 33 (k Z) Bài 3: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2011 Giải phương trình:      sin2x 2cosx sinx 1 0 tanx 3 Giải      sin2x 2cosx sinx 1 0 tanx 3 . Điều kiện: tanx  3 và cosx  0.     sin2x 2cosx sinx 1 0       2sinxcosx 2cosx sinx 1 0 TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN 73         2cosx sinx 1 sinx 1 0       sinx 1 2cosx 1 0         sinx 1 (Loại vì khi đó cosx = 0) 1 cosx 2      x k2 3 (k Z). So với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là    x k2 3 (k Z). Bài 4: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2011 Giải phương trình: cos4x + 12sin 2 x – 1 = 0. Giải cos4x + 12sin 2 x – 1 = 0  2cos 2 2x – 1 + 6(1 – cos2x) – 1 = 0  cos 2 2x – 3cos2x + 2 = 0  cos2x = 1 hay cos2x = 2 (loại)  2x = k2π  x = kπ (k  Z). Bài 5: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2010 Giải phương trình: (1 sinx cos2x)sin x 1 4 cosx 1 tanx 2          Giải Điều kiện: cosx 0 và tanx ≠ – 1 Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương: (1 sinx cos2x).(sinx cosx) cosx 1 tanx       (1 sinx cos2x).(sinx cosx) cosx cosx sinx cosx      2 1 sinx cos2x 1 sinx cos2x 0 1 2sin x sinx 1 0 sinx 1(loại) hay sinx 2 7 x k2 hay x k2 (k Z) 66                          Bài 6: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2010 Giải phương trình (sin 2x + cos 2x) cosx + 2cos2x – sin x = 0 Giải Phương trình đã cho tương đương: (2sinxcosx + cos2x)cosx + 2cos2x – sinx = 0  cos2x (cosx + 2) + sinx (2cos 2 x – 1) = 0  cos2x (cosx + 2) + sinx.cos2x = 0 Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 74  cos2x (cosx + sinx + 2) = 0  cos2x 0 cosx sinx 2 0 (vn)         2x = k 2   (k  )  x = k 42   (k  ) . Bài 7: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2010 Giải phương trình sin2x cos2x 3sinx cosx 1 0     Giải Phương trình đã cho tương đương: 2 2 2sinxcosx 1 2sin x 3sinx cosx 1 0 cosx(2sinx 1) 2sin x 3sinx 2 0 cosx(2sinx 1) (2sinx 1)(sinx 2) 0 (2sinx 1)(cosx sinx 2) 0                        1 x k2 sinx 6 (k ) 2 5 cosx sinx 2 (VN) x k2 6                          . Bài 8: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2010 Giải phương trình 5x 3x 4cos cos 2(8sinx 1)cosx 5 22    . Giải Phương trình đã cho tương đương: 2(cos4x cosx) 16sinxcosx 2cosx 5     2cos4x 8sin2x 5  2 2 4sin 2x 8sin2x 5    4sin 2 2x – 8sin2x + 3 = 0  3 sin2x 2  (loại ) hay 1 sin2x 2   2x k2 6     hay 5 2x k2 6      xk 12     hay 5 xk 12     (k  ) . Bài 9: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2009 Giải phương trình:      1 2sinx cosx 3 1 2sinx 1 sinx    . TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN 75 Giải Điều kiện: sinx  1 và sinx  1 2  (*) Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương: (1 – 2sinx)cosx =    3 1 2sinx 1 sinx cosx 3sinx sin2x 3cos2x    cos x cos 2x 36                  2 x k2 hoặc x k 2 18 3           (k  ) Kết hợp (*), ta được nghiệm:   2 x k k 18 3      Bài 10: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2009 Giải phương trình: sinx + cosxsin2x +   3 3cos3x 2 cos4x sin x Giải Phương trình đã cho tương đương: (1 – 2sin 2 x)sinx + cosxsin2x + 3cos3x 2cos4x  sinxcos2x + cosxsin2x + 3cos3x 2cos4x  sin3x + 3cos3x 2cos4x cos 3x cos4x 6          4x = 3x k2 hoặc 4x 3x k2 66          (k  ) Vậy: x =   2 k2 ; x k k 6 42 7          . Bài 11: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2009 Giải phương trình: 3cos5x 2sin3xcos2x sinx 0   Giải Phương trình đã cho tương đương:   3cos5x sin5x sinx sinx 0     31 cos5x sin5x sinx 22   sin 5x sinx 3                5x x k2 hay 5x x k2 33 (k  ) Vậy: x =           k hay x k k 18 3 6 2 Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 76 Bài 12: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2009 Giải phương trình (1 + 2sinx) 2 cosx = 1 + sinx + cosx Giải Phương trình đã cho tương đương: (1 + 4sinx + 4sin 2 x)cosx = 1 + sinx + cosx  cosx + 4sinxcosx + 4sin 2 xcosx = 1 + sinx + cosx  1 + sinx = 0 hay 4sinxcosx = 1  sinx = 1 hay sin2x = 1 2 5 x k2 hay x k hay x k 2 12 12               (với k  ) . Bài 13: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2008 Giải phương trình: 1 1 7 4sin x 3 sinx 4 sin x 2             Giải Ta có: 3 sin x cosx 2      Điều kiện: sinx 0 cosx 0       sin2x  0 Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương: 11 4sin x sinx cosx 4              cosx sinx 2 2 sinx cosx sinxcosx         cosx sinx 1 2sin2x 0    xk 4 tanx 1 cosx sinx 0 xk 1 2 sin2x 8 sin2x 2 2 5 xk 8                                        (k  ) . Bài 14: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2008 Giải phương trình: 3 3 2 2 sin x 3cos x sinxcos x 3sin xcosx   Giải 3 3 2 2 sin x 3cos x sinx.cos x 3sin x.cosx   (1) TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN 77 Cách 1: Phương trình đã cho tương đương: 2 2 2 2 sinx(cos x sin x) 3cosx(cos x sin x) 0         22 cos x sin x sinx 3cosx 0    k x cos2x 0 42 (k ) tanx 3 xk 3                    Nghiệm của phương trình là: xk 42   và x k (k ) 3       Cách 2:  cosx = 0 không phải là nghiệm của phương trình (1).  Chia hai vế của phương trình (1) cho cos 3 x ta được: 33 tan x 3 tanx 3tan x      2 xk tanx 3 3 (tanx 3)(tan x 1) 0 k tanx 1 xk 4                            Bài 15: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2008 Giải phương trình: 2sinx(1 + cos2x) + sin2x = 1 + 2cosx. Giải Phương trình đã cho tương đương: 4sinx.cos 2 x + sin2x – 1 – 2cosx = 0  2cosx(2sinxcosx – 1) + (sin2x – 1) = 0  (sin2x – 1)(2cosx + 1) = 0                    1 2 2 sin2x 1haycosx x k hayx k2 hay x k2 (k ) 2 4 3 3 Bài 16: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2008 Giải phương trình: sin3x 3cos3x 2sin2x . Giải Phương trình đã cho tương đương: 13 sin3x cos3x sin2x cos sin3x sin cos3x sin2x 2 2 3 3        sin 3x sin2x 3      Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 78  3x 2x k2 x k2 33 (k ) 4 k2 3x 2x k2 x 3 15 5                           Bài 17: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2007 Giải phương trình: (1 + sin 2 x)cosx + (1 + cos 2 x)sinx = 1 + sin2x Giải Phương trình đã cho tương đương: (sinx + cosx)(1 + sinxcosx) = (sinx + cosx) 2  (sinx + cosx)(1  sinx)(1  cosx) = 0  x k , x k2 , x k2 (k ) 42            . Bài 18: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2007 Giải phương trình: 2sin 2 2x + sin7x – 1 = sinx. Giải Phương trình đã cho tương đương với: sin7x  sinx + 2sin 2 2x  1 = 0  cos4x(2sin3x  1) = 0  cos4x = 0  x =   k k 84    12 sin3x x k 2 18 3      hoặc 52 x k (k ) 18 3     . Bài 19: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2007 Giải phương trình: 2 xx sin cos 3 cosx 2 22       Giải Phương trình đã cho tương đương với: 1 1 sinx 3 cosx 2 cos x 62            x k2 , x k2 (k ) 26          Bài 20: ĐẠI HỌC SÀI GÒN KHỐI A NĂM 2007 Giải phương trình: 2 1 sinx 3tan x 2 2 sinx               Giải Điều kiện: sinx  0 Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương: 2 2 3cot x 2 sinx   2 32 10 sinx sin x    TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN 79    1 1 sinx 11 vô nghiệm sinx 3            x k2 , k 2      Bài 21: ĐẠI HỌC SÀI GÒN KHỐI B NĂM 2007 Giải phương trình: 1 + sinx + cosx + tanx = 0 Giải Phương trình đã cho tương đương với: 1 + sinx + cosx + sinx 0 cosx  (điều kiện: cosx  0)    1 sinx cosx 1 0 cosx        sinx cosx 0 cosx 1       3 xk 4 x k2             (k  ) Bài 22: CAO ĐẲNG XÂY DỰNG SỐ 2 NĂM 2007 Giải phương trình: cos 4 x – sin 4 x + cos4x = 0. Giải Phương trình đã cho tương đương với: cos 2 x – sin 2 x + 2cos 2 2x – 1 = 0  2cos 2 2x + cos2x – 1 = 0  cos2x 1 1 cos2x 2        xk 2 xk 6                (k  ) Bài 23: CAO ĐẲNG KỸ THUẬT CAO THẮNG NĂM 2007 Giải phương trình: 2sin 3 x + 4cos 3 x = 3sinx. Giải Phương trình đã cho tương đương với: 2sin 3 x + 4cos 3 x – 3sinx(sin 2 x + cos 2 x) = 0  sin 3 x + 3sinxcos 2 x – 4cos 3 x = 0 (1) Dễ thấy cosx = 0 không phải là nghiệm của (1) Do đó cosx  0, ta chia hai vế của (1) cho cos 3 x, ta được: (1)  tan 3 x + 3tanx – 4 = 0  (tanx – 1)(tan 2 x + tanx + 4) = 0  tanx = 1 (do tan 2 x + tanx + 4 > 0 với x)  xk 4     (k  ) [...]... k hay x  (k  ), thỏa mãn (1)  k 12 12 Bài 26: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2006 Giải phương trình: cos3x + cos2x  cosx  1 = 0 Giải Phương trình đã cho tương đương với:  2sin 2x.sin x  2sin2 x  0  sin x hay sin 2x  sin x  0  sin x  0 hay 2cosx  1  0 80 TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN  x = k hay x   2  k2 3 (k  ) Bài 27: ĐỀ DỰ BỊ 1 - ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2006 Giải phương trình: cos3x.cox3x... tương đương với: 2cosxcos2xsin3x = sinxcosx  cosx  0 hay2cos2xsin3x  sin x   x = + k (k  ) hay sin5x + sinx = sinx 2  k  x = + k hay x = (k  ) 2 5  Vấn đề 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC TRÊN MỘT MIỀN ĐỀ THI 90 ) TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN Bài 1: Tìm nghiệm thuộc khoảng (0; 2) của phương trình: cos3x  sin3x   5  sin x    cos2x  3 1  2sin 2x   Giải Điều kiện 1 + 2sin2x  0... sin2A + sin2B = 2sinC  2sin(A + B).cos(A – B) = 2sinC  cos (A – B) = 1  A = B   ABC cân tại C Bài 3: ĐỀ DỰ BỊ 2 Xét tam giác ABC có độ dài cạnh AB = c, BC = a, CA = b Tính diện tích tam giác ABC biết rằng: bsinC (bcosC + c.cosB) = 20 94 TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN Giải Tính diện tích tam giác Từ b.sinC(b.cosC + c.cosB) = 20  4R2sinB.sinC(sinBcosC + sinC.cosB) = 20  4R2.sinB.sinC.sinA = 20... đường phân giác: la = bc c Đònh lí đường trung tuyến: m2  a e Diện tích tam giác: 1 1 abc S = a.ha = absinC = = pr = (p – a).ra = p(p  a)(p  b)(p  c) 2 2 4R A B C f Bán kính đường tròn nội tiếp: r = (p – a)tan = (p – b)tan = (p – c)tan 2 2 2 A g Bán kính đường tròn bàng tiếp: ra = p.tan 2 B.ĐỀ THI 93 Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – Bài 1: ĐỀ DỰ BỊ 1 Tìm các góc A, B, C của tam giác ABC... 14] nên x = , x = , x= , x= 2 2 2 2  cosx = 0  cosx = 2 (loại)  x =  Vấn đề 3: ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC A PHƯƠNG PHÁP GIẢI  Phương trình Asinx + Bcosx = C có nghiệm  A2  B2  C2  Sử dụng các phương pháp thường gặp như trong đại số 91 Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – B ĐỀ THI Bài 1: ĐỀ DỰ BỊ 1 Xác đònh m để phương trình 2(sin4x + cos4x) + cos4x + 2sin2x  m =... (k  ) 2 16 2 2 Bài 28: ĐỀ DỰ BỊ 1 - ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2006 Giải phương trình: (2sin2x  1)tan22x + 3(2cos2x  1) = 0 Giải Điều kiện cos2x  0 Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương: cos2xtan22x + 3cos2x = 0  cos2x(tan22x – 3) = 0  cos2x  0  loạ i     tan 2x   3  x    k  k     2 6 2  tan 2x  3  0   1  3cos4x  Bài 29: ĐỀ DỰ BỊ 1 - ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2006 Giải... 42: ĐỀ DỰ BỊ 2 Giải phương trình:  2  3  cos x  2sin2  x      2 4 2 cos x  1 Giải 1 1 2 Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương: Điều kiện: cos x  86 TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN     (2  3)cosx  1  cos  x     2 cosx  1   3 cosx  sin x  0 2      tan x  3  x   k; (k  ) 3 1 4 Kết hợp lại điều kiện cos x  Ta chọn x   m2, m  2 3 Bài 43: ĐỀ... có nghiệm là 1 (2 – a)2 + (2a + 1)2  (3a – 1)2  2a2 – 3a – 2  0    a  2 2  Vấn đề 4: BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC A PHƯƠNG PHÁP GIẢI  Sử dụng công thức trong tam giác tương ứng  Nhận dạng tam giác bằng cách rút gọn hệ thức đã cho hay chứng tỏ hệ thức đó là điều kiện dấu bằng của bất đẳng thức Hệ thức trong tam giác cần chú ý a b c a Đònh lí hàm số sin:    2R sin A sin B sin C b Đònh lí hàm số... x(cos2x  1  cos2x)  cos2x  0  2sin2 x  sin x  1  0   sin x  1 (loạ i)  x  6  k2   k sin x  1  x  5  k2  2  6  Bài 32: ĐỀ DỰ BỊ 2 cos2x  1   Giải phương trình: tan   x   3tan2 x  2   cos2 x 82 TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN Giải Điều kiện: cosx  0 và sinx  0 Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương:  cot x  3tan2 x  2sin2 x 2  1  tan2 x ... Toán học – Bài 24: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2006 Giải phương trình:   2 cos6 x  sin6 x  sin x cosx 2  2sin x 0 Giải 2 (1) 2 Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương:  2(cos6x + sin6x) – sinxcosx = 0 Điều kiện: sin x   3  1  2  1  sin2 2x   sin 2x  0 4   2  3sin2 2x  sin2x  4  0  sin2x = 1  x = Do điều kiện (1) nên: x  5  2m 4 (m    k (k  4 ) ) Bài 25: ĐẠI HỌC KHỐI . giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 70  Chuyên đề 2: LƯNG GIÁC  Vấn đề 1: PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI 1. Phương trình lượng giác cơ bản cosx = cos  x =  + k2 . =  + k cotx = cot  x =  + k (với k  ) 2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác asin 2 x + bsinx + c = 0. Đặt t = sinx,  t  1 acos 2 x + bcosx + c = 0. Đặt t = cosx,. chia 2 vế của phương trình cho cos k x và ta thu được một phương trình bậc k theo tanx. B. ĐỀ THI Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2011 Giải phương trình: 2 1 sin2x cos2x 2sinx.sin2x 1 cot x    .