Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 27 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 97 Chuyên đề 3: ĐẠI SỐ Vấn đề 1: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI 1. 2n 2n B0 A B AB (với n * ) 2. 2n 2n B 0 (hayA 0) A B AB (với n * ) 3. 2n 1 2n 1 A B A B (với n * ) 4. 2 A0 B0 A B C A B C 5. 2 2 A0 B0 A B C C0 A B C B. ĐỀ THI Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2011 Giải phương trình: 2 3 2 x 6 2 x 4 4 x 10 3x (x R). Giải Điều kiện: –2 x 2. Đặt t = 3 2 x 6 2 x t 2 = 9(2 + x) – 36 2 x 2 x + 36(2 – x) = 9(10 – 3x – 2 4 4 x ) Phương trình đã cho trở thành t – 2 t 9 = 0 t = 0 hoặc t = 9. Với t = 0: 3 2 x 6 2 x 0 3 2 x 6 2 x 9((2 + x) = 36(2 – x) 6 x 5 (Thỏa điều kiện–2 x 2) . Với t = 9: 3 2 x 6 2 x 9 3 2 x 6 2 x 9 (*). Do –2 x 2 nên 3 2 x 6 6 2 x 9 9 . Suy ra phương trình (*) vô nghiệm. Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 98 Vậy phương trình đã cho có một nghiệm 6 x 5 . Cách khác: Đặt u = 2x và v = 2x (u 0, v 0) thì : u.v = 2 4x 2 2 u 2 x v 2 x u 2 + 4v 2 = 10 – 3x và u 2 + v 2 = 4 Do đó phương trình đã cho trở thành 22 22 3u 6v 4uv u 4v (1) u v 4 (2) (1) 3u – 6v = u 2 + 4v 2 – 4uv 3(u – 2v) = (u – 2v) 2 u – 2v = 0 hoặc 3 = u – 2v ª Với u = 2v thế vào (2) ta được 2 4 v 5 2 v 5 4 u 5 Suy ra: 4 2x 5 2 2x 5 16 2x 5 4 2x 5 6 x 5 ª Với u = 3 + 2v thế vào (2) ta được (3 + 2v) 2 + v 2 = 4 5v 2 +12v +5 = 0 Phương trình này vô nghiệm vì v 0 . Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2010 Giải phương trình 2 3x 1 6 x 3x 14x 8 0 (x ). Giải Điều kiện: 1 x 6 3 Với điều kiện 1 x 6, 3 phương trình đã cho tương đương: 2 3x 1 4 1 6 x 3x 14x 5 0 3x 15 x 5 (x 5)(3x 1) 0 3x 1 4 1 6 x x – 5 = 0 hay 31 (3x 1) 0 3x 1 4 1 6 x Nhận xét: 1 x 3 nên 3x + 1 0 Do đó 31 (3x 1) 0 3x 1 4 1 6 x vô nghiệm Vậy phương trình đã cho chỉ có một nghiệm x = 5. Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 99 Bài 3: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2009 Giải phương trình: 3 2 3x 2 3 6 5x 8 0 x . Giải Điều kiện x 6 5 . Khi đó đặt 3 u 3x 2 và v 6 5x, v 0 (*) Ta có 3 2 u 3x 2 v 6 5x 32 5u 3v 8 Phương trình đã cho trở thành hệ: 32 2u 3v 8 5u 3v 8 2 3 8 2u v 3 8 2u 5u 3 8 3 32 8 2u v 3 15u 4u 32u 40 0 2 8 2u v 3 u 2 15u 26u 20 0 u = 2 và v = 4 (nhận) Thế u = 2 và v = 4 vào (*), ta được: 3 3x 2 2 6 5x 4 3x 2 8 6 5x 16 x = 2 (nhận) Vậy phương trình có nghiệm x = 2 Bài 4: ĐẠI HỌC SÀI GÒN KHỐI D NĂM 2007 Giải phương trình: 22 3 x 5x 10 5x x Giải Đặt t = 2 x 5x 10 (với t 0 ) suy ra t 2 = x 2 – 5x + 10 5x – x 2 = 10 t 2 Phương trình đã cho trở thành: 3t = 10 t 2 t 5 loại t2 Vậy 2 x 5x 10 = 2 x 2 5x + 10 = 4 x3 x2 . Bài 5: CAO ĐẲNG TÀI CHÍNH – HẢI QUAN NĂM 2007 Giải phương trình: 3x 7 x 1 = 2. Giải Điều kiện: x 1 Với điều kiện x 1, phương trình đã cho tương đương: Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 100 3x 7 x 1 + 2 3x + 7 = x + 5 + 4 x1 x + 1 = 2 x1 (x + 1) 2 = 4(x + 1) x1 x3 (thỏa x 1) Bài 6: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2006 Giải phương trình: 2 2x 1 x 3x 1 0 (x ). Giải Đặt t = 2 2 t1 2x 1 (t 0) t = 2x 1 x = 2 . Phương trình đã cho trở thành: 42 t 4t 4t 1 0 22 (t 1) (t 2t 1) 0 t 1, t 2 1 (nhận) Với t = 1 ta có x = 1. Với t = 21 , ta có x = 2 2 Vậy phương trình có nghiệm: x = 1; x = 2 2 Bài 7: ĐỀ DỰ BỊ 1 - ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2006 Giải phương trình: 2 3x 2 x 1 4x 9 2 3x 5x 2 (1) Giải Đặt t = 3x 2 x 1 t 0 suy ra 22 t 4x 3 2 3x 5x 2 22 4x 2 3x 5x 2 t 3. Khi đó: (1) trở thành: t = t 2 – 6 t 2 – t – 6 = 0 t 2 loại t 3 nhận Khi đó: (1) 3x 2 x 1 3 (*) Điều kiện: 3x 2 0 x1 x 1 0 (a) Với điều kiện x 1, phương trình (*) tương đương: 3x – 2 + x – 1 + 2 3x 2 x 1 9 3x 2 x 1 6 2x 2 2 6 2x 0 x3 3x 2 x 1 6 2x x 19x 34 0 x3 x2 x2 x 17 thoả điều kiện (a) Vậy nghiệm của phương trình là x = 2. Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 101 Bài 8: ĐỀ DỰ BỊ 2 - ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2006 Giải phương trình: x + 2 7x = 2 2 x 1 x 8x 7 1 (x ) Giải Điều kiện 2 7 x 0 x 1 0 x 8x 7 0 1 x 7 Với điều kiện 1 x 7, phương trình đã cho tương đương: x – 1 – 2 x 1 2 7 x x 1 7 x = 0 x 1 x 1 2 7 x x 1 2 = 0 x 1 2 x 1 7 x = 0 x 1 2 x 5 x4 x 1 7 x Bài 9: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2005 Giải phương trình sau: 2 x 2 2 x 1 x 1 4 Giải Điều kiện: x 1 Phương trình đã cho tương đương với 2 2 x 1 1 x 1 4 2 x 1 1 x 1 4 x 1 2 x 3 nhận Bài 10: ĐỀ DỰ BỊ 1 ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2005 Giải phương trình: 3x 3 5 x 2x 4 . (1) Giải Điều kiện: 3x 3 0 5 x 0 2 x 5 2x 4 0 (a) Với điều kiện 2 x 5, phương trình (1) tương đương: 3x 3 2x 4 5 x 2 3x 3 2x 4 5 x 2 (2x 4)(5 x) (2x 4)(5 x) x 2 (2x 4)(5 x) (x 2) (x 2) 2(5 x) (x 2) 0 x 2 x 4 thỏa điều kiện (a) Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 102 Bài 11: Chứng minh rằng phương trình sau có đúng một nghiệm: x 5 x 2 2x 1 = 0. Giải Ta có x 5 x 2 2x 1 = 0 (1) (1) x 5 = (x + 1) 2 điều kiện x 0 Với 0 x < 1 thì VT < 1 và VP 1 (1) vô nghiệm Do đó chỉ xét x 1 Xét f(x) = x 5 x 2 2x 1, x 1 f'(x) = 5x 4 2x 2 = 2x (x 3 1) + 2(x 4 1) + x 4 > 0, x 1 Do đó f(x) tăng trên [1; +), f liên tục Và f(1); f(2) < 0 nên f(x) = 0 luôn có nghiệm duy nhất. Bài 12: Giải phương trình: 2 x 4 x 4 2x 12 2 x 16 . Giải Điều kiện: x 4 0 x4 x 4 0 Đặt t = x 4 x 4 t 0 t 2 = 2x + 2 2 x 16 Phương trình (1) trở thành: t 2 – t – 12 = 0 t4 t 3 (loại) Với t = 4: x 4 x 4 4 2x + 2 2 x 16 16 và x 4 2 x 16 8 x và x 4 2 2 4 x 8 4 x 8 x5 x5 x 16 8 x . Vấn đề 2: BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI 1. 2 B 0 A B A 0 A B 2. 2 B 0 B 0 A B hay A 0 A B 3. B 0 A B A B Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 103 B. ĐỀ THI Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2010 Giải bất phương trình: 2 xx 1 1 2(x x 1) Giải Điều kiện x 0. Khi đó: 2 xx 1 1 2(x x 1) 2 2 x x 1 2(x x 1) 0 1 2(x x 1) (*) Nhận xét: Mẫu số: 2 2 1 3 3 1 2(x x 1) 1 2 x 1 0 2 4 2 Do đó bất phương trình (*) trở thành: 2 x x 1 2(x x 1) ≤ 0 2 2(x x 1) x x 1 2 2 x x 1 0 2(x x 1) x x 1 22 x x 1 0 2(x x 1) x x 1 2x x 2x 2 x 2 x x 1 0 x x 1 2x x 2 x 0 2 x x 1 0 (x 1) 2 x(x 1) x 0 2 x x 1 0 (x 1 x) 0 x x 1 0 x 1 x 0 x (1 x) 1 0 x 1 x 2 0 x 1 x (1 x) 2 0 x 1 x 3x 1 0 0 x 1 35 x 2 35 x 2 Cách khác: Điều kiện: x 0. Vì 2 1 2(x x 1) 0 nên Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 104 2 xx 1 1 2(x x 1) 2 x x 1 2(x x 1) (1) • x = 0: (1) không thỏa. • x > 0: Chia hai vế của bất phương trình (1) cho x ta được (1) 11 x 1 2 x 1 x x 11 2 x 1 x 1 x x Đặt 2 11 t x x t 2 x x (1) trở thành: 2 22 t1 2(t 1) t 1 2t 2 t 2t 1 (*) (*) 2 t1 t 2t 1 0 2 t1 t 1 0 t = 1 Do đó: 1 x 1 x x 1 0 x 15 x 6 2 5 3 5 2 x 42 15 x (loại) 2 . Bài 2: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2009 Giải bất phương trình: x 1 2 x 2 5x 1 x Giải x 1 2 x 2 5x 1 2 x2 x2 x2 2 x 3 x 1 x 2 2 x x 6 0 2 x 3. Bài 3: CAO ĐẲNG KỸ THUẬT CAO THẮNG NĂM 2007 Giải bất phương trình: 22 5x 10x 1 7 2x x . (1) Giải 22 5x 10x 1 7 2x x Điều kiện để căn bậc hai có nghóa là: 5x 2 + 10x + 1 0 5 2 5 5 2 5 x hoặc x 55 (*) Với điều kiện đó ta có: (1) Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 105 22 5 5x 10x 1 36 5x 10x 1 (*) Đặt 2 t 5x 10x 1, t 0 (*) trở thành t 2 + 5t – 36 0 t 4 (nhận) t 9 (loại) Với t 4, ta có: 2 5x 10x 1 4 x 2 + 2x – 3 0 x 3 x 1 (những giá trò này đều thỏa điều kiện (*)). Bài 4: CAO ĐẲNG BÁN CÔNG HOA SEN NĂM 2007 Giải bất phương trình: 2 x 4x > x – 3. (1) Giải Điều kiện: x 2 – 4x 0 x 0 x 4 Trường hợp 1: x – 3 < 0 x < 3: (1) đúng so sánh với điều kiện được x 0 Trường hợp 2: x 3 (1) x 2 – 4x > x 2 – 6x + 9 x > 9 2 So với điều kiện x 3 ta nhận x > 9 2 Kết luận: nghiệm x 0; x > 9 2 Bài 5: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2005 Giải bất phương trình: 5x 1 x 1 2x 4 Giải Điều kiện: 5x 1 0 x 1 0 x 2 2x 4 0 Khi đó bất phương trình đã cho tương đương với 5x 1 2x 4 x 1 5x 1 2x 4 x 1 2 (2x 4)(x 1) x + 2 > 22 (2x 4)(x 1) x 4x 4 2x 6x 4 2 x 10x 0 0 x 10 Kết hợp với điều kiện ta có: 2 x < 10 là nghiệm của bất phương trình đã cho. Bài 6: ĐỀ DỰ BỊ 2 Giải bất phương trình: 2 8x 6x 1 4x 1 0 Giải 2 8x 6x 1 4x 1 0 2 8x 6x 1 4x 1 Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 106 2 22 2 11 xx 42 8x 6x 1 0 1 4x 1 0 x 4 8x 6x 1 (4x 1) 8x 2x 0 11 xx 11 42 x x . 1 42 x 0 x 4 Bài 7: ĐỀ DỰ BỊ 1 Giải bất phương trình: 2x 7 5 x 3x 2 (1) Giải Điều kiện 2x 7 0 5 x 0 3x 2 0 2 x5 3 (a) (1) 2x 7 3x 2 5 x 2x 7 3x 2 5 x 2 3x 2 5 x 3x 2 5 x 2 (3x – 2)(5 – x) 4 3x 2 – 17x + 14 0 x 1 x 14 3 So với điều kiện (a) ta có nghiệm 2 14 x 1 hay x 5 33 Bài 8: Giải bất phương trình: 2 2 x 16 7x x3 x 3 x 3 Giải Điều kiện 2 x3 x 3 0 x 4 x4 x 16 0 x4 Bất phương trình đã cho tương đương với 22 2 x 16 x 3 7 x 2 x 16 10 2x 2 2 2 10 2x 0 10 2x 0 V 2 x 16 10 2x x 16 0 [...]... u = 118 x 0,v y 0 (*) Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – u2 v uv2 6 Đưa về hệ: 4 2 2 4 u v u v 20 u 1 u 2 Giải hệ này ta được ; v 2 v 1 Nghiệm của hệ đã cho (x; y) = (4; 1) hay (x; y) = (1; 4) PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH Vấn đề 4: BẤT PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA THAM SỐ A ĐỀ THI Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2011 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm 2x3 ... x Bài 12: ĐỀ DỰ BỊ 2 - ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2006 (x y)(x2 y2 ) 13 Giải hệ phương trình: 2 2 (x y)(x y ) 25 (x, y ) Giải 2 2 (x y)(x y ) 13 (x y)(x 2 y 2 ) 13 (1) 2 2 2 (x y)(x y ) 25 (x y)(x y) 25 (2) (x y)3 1 x y 1 2 x y 5 (x y) 25 (3; 2) hoặc (2; 3) Bài 13: ĐỀ DỰ BỊ 1 - ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2006... (1) trừ (2) vế theo vế ta được : (y x) h(x, y) = 0 h(x, y) 0 (a) (b) (a) và (1) Kết hợp: (b) và (1) Dạng 4: Hệ tổng quát: Thường biến đổi để nhận ra ẩn số phụ, sau đó dùng phương pháp thế để giải tiếp B ĐỀ THI Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2011 5x2 y 4xy2 3y3 2 x y 0 Giải hệ phương trình: 2 2 2 xy x y 2 x y 2 Ta có : (2) xy x y 2 2x (1) (2)... t 2 2 t 2 3 t 1 16 2 t 2 t 4 11 t 114 Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 0 t 11 0 t 11 2 2 t 3 2 4(t t 4) (11 t) 3t 26t 105 0 Với t = 3 ta có x + y = 6, xy = 9 Suy ra nghiệm của hệ là: (x; y) = (3; 3) Bài 11: ĐỀ DỰ BỊ 1 - ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2006 x2 1 y(y x) 4y Giải hệ phương trình: (x, y 2 (x 1)(y x 2)... f'(u) = 2u + 1; f’(u) = 0 u = 2 Bảng biến thi n u 1 2 0 f'(u) + 0 1 1 4 f(u) 0 0 Nhờ bảng biến thi n ta chọn 0 m 1 4 Bài 7: ĐỀ DỰ BỊ 2 5 Cho phương trình x2 m2 x2 4 2 m3 0 3 Chứng minh rằng với mọi m 0 phương trình luôn có nghiệm Giải 5 x2 m 2 x2 4 2 m 3 0 3 122 (1) Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – Đặt t x2 4 2 t2 = x2 + 4 x2... là: 4; 4 Bài 8: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2008 xy x y x2 2y2 Giải hệ phương trình: x 2y y x 1 2x 2y (x, y ) Giải 2 xy x y x 2y2 Hệ phương trình: x 2y y x 1 2x 2y (1) (2) (x,y ) x 1 Điều kiện: y 0 (1) xy + y2 + x + y – (x2 – y2) = 0 y(x + y) + x + y – (x + y)(x – y) = 0 113 Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – y x (x + y)(2y... Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm: 2 10 2 10 x x x 1 x 1 5 5 y 1 y 1 10 10 y 5 y 5 2 109 Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2010 (4x2 1)x (y 3) 5 2y 0 (1) Giải hệ phương trình: (x, y 2 2 (2) 4x y 2 3 4x 7 ) Giải Điều kiện: x 3 Đặt u = 2x; v 5 2y 4 Phương trình (1) trở... 2x)2 = 2 x2 + 2x – 3 = 0 x = 1 hay x = –3 Khi x = 1 thì y = –1 thỏa mãn (*); khi x = –3 thì y = 7 (thỏa mãn (*)) 110 Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – x 1 x 3 Vậy nghiệm của hệ phương trình là hay y 1 y 7 Bài 4: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2009 xy x 1 7y Giải hệ phương trình: 2 2 x, y 2 x y xy 1 13y Giải Vì y = 0 không thỏa mãn hệ đã cho, nên x 1 x ... trình: 2 2 2 x xy y 7(x y) (x, y ) 115 Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – Giải Đặt u = x y, v = xy u2 3u v 0 u 0 u 1 Ta có: 2 v 0 v 2 v 2u u 0 x 0 v 0 y 0 u 1 x 2 x 1 hoặ c v 1 y 1 y 2 Bài 14: DỰ BỊ 1 - ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2005 x2 y2 x y 4 Giải hệ phương trình: x x y 1 y ... x 3y x 12y x 1 x 3 1 hay y 1 y 3 1 Hệ có 2 nghiệm (x; y) = (1; ) ; (x; y) = (3; 1) 3 Bài 5: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2009 x x y 1 3 0 Giải hệ phương trình x, y 5 2 x y 2 1 0 x 111 Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – Giải Điều kiện x 0 x(x y) x 3 Hệ đã cho tương đương: 2 2 2 x (x y) x 5 (*) Đặt t = x(x + y) Hệ . Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 97 Chuyên đề 3: ĐẠI SỐ Vấn đề 1: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI 1. 2n 2n B0 A. (1) Dạng 4: Hệ tổng quát: Thường biến đổi để nhận ra ẩn số phụ, sau đó dùng phương pháp thế để giải tiếp. B. ĐỀ THI Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2011 Giải hệ phương trình: . Với t = 21 , ta có x = 2 2 Vậy phương trình có nghiệm: x = 1; x = 2 2 Bài 7: ĐỀ DỰ BỊ 1 - ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2006 Giải phương trình: 2 3x 2 x 1 4x 9 2 3x 5x 2