Vài đề thi thử ĐH môn TOÁN được đánh giá là khá sát với đề ĐH
ne t ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2013 TÀI LIỆU TỐN THPT Mơn: TỐN NGÀY 12.10.2012 http://www.k2pi.net ĐỀ SỐ PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm) Câu (2 điểm) Cho hàm số y = 2x + x −1 (C ) Câu (2 điểm) k2 pi a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (c) b) Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận Xác định tọa độ điểm M có hồnh độ dương nằm đồ thị (C ) cho tiếp tuyến M cắt hai đường tiệm cận (C ) A, B đồng thời hai điểm với điểm I tạo thành tam giác nội tiếp đường trịn có bán kính 10 cos 2x + + cos2 x tan x = + sin2 x cos x x + y 25 − 4x y = 105 + 4x + 17y b) Giải hệ phương trình 4x + 4y + 4x − 4y = a) Giải phương trình Câu (1 điểm) Tính tích phân I= π + tan2 x x − (x − tan x) cos2 x + cos 2x dx ww Câu (1 điểm) Cho hình chóp S.ABC D có đáy ABC D hình bình hành, mặt phẳng (SB D) vng góc với đáy, đường thẳng S A, SD hợp với đáy góc 30o Biết AD = a 6, B D = 2a góc ADB = 45o Tính thể tích khối chóp S.ABC D khoảng cách từ đỉnh C đến mặt phẳng (S AD) theo a Câu (1 điểm) Cho số thực không âm x, y thỏa mãn : x 2x + 2y − + y y − + = Tìm giá trị lớn 2 nhỏ biểu thức : P = x y − x + + x y − y + PHẦN RIÊNG (3 điểm): Thí sinh làm hai phần A B A Theo chương trình chuẩn /w Câu 6a (2 điểm) a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đề-các vng góc Ox y , cho hình vng ABC D có đỉnh A (−1; 2) , C (3; −2) Gọi E trung điểm cạnh AD, B M đường thẳng vuông góc với C E M ; N trung điểm của B M P giao điểm AN với D M Biết phương trình đường thẳng B M : 2x − y − = Tìm tọa độ điểm P b) Trong khơng gian với hệ tọa độ Đề-các vng góc Ox y z , cho mặt cầu (S) : x + y + z − 2x − 4y + x +1 y +2 z −1 = = Xác định tọa độ điểm M đường thẳng d 1 cho từ M kẻ tiếp tuyến M A, M B, MC đến mặt cầu (S) ( A, B,C tiếp điểm ) Sao cho AM B = 60o ; B MC = 90o ; C M A = 120o 6z − 13 = đường thẳng d : Câu 7a (1 điểm) htt p:/ Cho số phức z ; z đồng thời thỏa mãn điều kiện: z + 3z z = (−1 + i ) z z1 + z1 + z2 2z − z = −3 + 2i Tìm mơ-đun số phức w = z2 B Theo chương trình nâng cao Câu 6b (2 điểm) a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đề-các vng góc Ox y cho tam giác ABC vuông A ngoại tiếp hình chữ nhật M N PQ Biết điểm M (−3; −1) N (2; −1) thuộc cạnh BC , Q thuộc cạnh AB , P thuộc cạnh AC , đường thẳng AB có phương trình: x − y + = Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC b) Trong khơng gian với hệ tọa độ Đề-các vng góc Ox y z , cho mặt cầu (S) : (x − 2)2 + y − + (z − 2)2 = 12 điểm A (4; 4; 0) Xác định tọa độ điểm B thuộc mặt cầu (S) biết tam giác BO A cân B có diện tích Câu 7b (1 điểm) Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, lập số chẵn có chữ số khác nhỏ 4321 đồng thời chữ số ln có mặt đứng cạnh ———————————————–Hết—————————————————- Cho hàm số y = 2x + x −1 (C ) ne t Câu a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (c) b) Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận Xác định tọa độ điểm M có hồnh độ dương nằm đồ thị (C ) cho tiếp tuyến M cắt hai đường tiệm cận (C ) A, B đồng thời hai điểm với điểm I tạo thành tam giác nội tiếp đường trịn có bán kính 10 a) Lời giải (hungchng): đạo hàm y = D, −3 −3 2x + = Và ta có phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số M : y − (x − x ) (∆) x0 − (x − 1)2 Không giảm tính tổng quát ta giả sử A, B giao điểm ∆ với tiệm cận đứng, tiệm cận ngang với đồ thị (C ) 2(x + 2) Suy A 1; , B (2x − 1; 2) Và I A = , I B = 2|x − 1| x0 − |x − 1| Vì hai tiệm cận vng góc với nên I A I B vng góc hay ∆I AB vng I Do bán kính đường trịn ngoại tiếp ∆I AB = AB Vậy để ∆I AB có bán kính đường trịn ngoại tiếp 10 AB = 10 Mà theo định lí Pitago I A + I B = AB nên I A + I B = 40 36 Hay + 4(x − 1)2 = 40 ⇐⇒ [(x − 1)2 − 1][(x − 1)2 − 9] = (x − 1)2 Suy x = x = (do x > 0) (thỏa mãn) * Nếu x = → y = Suy M (2; 5) * Nếu x = → y = Suy M (4; 3) Vậy có điểm M thỏa mãn M (2; 5) M (4; 3) htt p:/ / ww Hàm số: y = Câu 2.a Giải phương trình cos 2x + + cos2 x tan x = + sin2 x cos x Lời giải (Love Math): ĐK : cos x = PT tương đương với : cos 2x + (sin x − cos x) + sin x cos x(cos x − sin x) = ⇔ (cos x − sin x)(cos x + sin x + sin x cos x − 1) = ne t cos x − sin x = cos x + sin x + sin x cos x − = PT thứ đặt sin x + cos x = t , |t | ≤ π Giải ta x = k2π, x = + k2.π(k ∈ Z ) x + y 25 − 4x y = 105 + 4x + 17y Câu 2.b Giải hệ phương trình 4x + 4y + 4x − 4y = w k2 pi Lời giải (hahahaha1): −6b + 9b = 6a + 14a − 20(1) 3a − 3b + Đặt x = ;y = Lúc hệ trở thành: 2 a + b2 = Ta có (1) ⇔ 3b (3 − 2b) = (a − 1)(6a + 6a + 20) ⇔ 3(1 − a )(3 − 2b) = (a − 1)(6a + 6a + 20) ⇔ (a − 1)(6a + 6a + 20 + − 6b + 9a − 6ab) = +) với a = ⇒ b = ⇒ x = 1; y = +) Với 6a + 29 + 15a − 6b − 6ab = (2) ta có: V T (2) ≥ 6a + 29 − 15 − − = 6a + > nên TH pt vô nghiệm Vậy phương trình có nghiệm (x; y) = 1; Lời giải (Hồng Vinh): Từ pt(2) ta tìm −2 ≤ x ≤ 1, −1 ≤ y ≤ 17 + 21y 17 Thay 4x − 4y = − 4x − 4y ta : 4y − 21y + 18y + 4x + 18x = khảo sát hai hàm số : f (x) = 4x + 18x, −2 ≤ x ≤ g (y) = 4y − 21y + 18y, −1 ≤ y ≤ 17 Dấu "=" xảy x = 1, y = Ta có : f (x) + g (y) ≤ Vậy hệ có nghiệm 1, Câu Tính tích phân Lời giải (hungchng): ww Biến đổi pt(1) thành (x + y)[25 − 4(x y + x − y)] = I= π + tan2 x x − (x − tan x) cos2 x + cos 2x p:/ / + tan2 x x − (x − tan x) cos2 x + cos 2x = = = = dx x + x tan2 x − x cos2 x + tan x cos2 x + cos 2x x sin2 x + x tan2 x sin x cos x + + cos 2x + cos 2x 2 x tan x(cos x + 1) sin 2x + x −1 + cos 2(3 + cos 2x) x tan2 x sin 2x + 2(3 + cos 2x) htt 1 Do I = − x + x tan x + ln | cos x| − ln |3 + cos 2x| 2 π = π π2 1 − + ln − ln 64 4 Câu Cho hình chóp S.ABC D có đáy ABC D hình bình hành, mặt phẳng (SB D) vng góc với đáy, đường thẳng S A, SD hợp với đáy góc 30o Biết AD = a 6, B D = 2a góc ADB = 45o Tính thể tích khối chóp S.ABC D khoảng cách từ đỉnh C đến mặt phẳng (S AD) theo a Lời giải (dan_dhv): T K A D H w k2 pi C B ne t S Gọi O tâm khối chóp Hạ SH ⊥ B D ⇒ SH ⊥ (ABC D) suy S AH = SD H = 30o suy H A = H D nên tam giác AH D vuông cân H ⇒ H A = H D = AD = a ⇒ SH = H D tan(30o ) = a Ta có Diện tích đáy S = AD.B D sin(45o ) = 2a nên VS.ABC D = Ta có: d (C ; (S AD)) = 2d (O; (S AD)) = 2a 3 d (H ; (S AD)) Gọi K trung điểm AD AD a = 2 1 a 15 + = ⇒ HT = Áp dụng hệ thức lượng tam giác SHK ta có : 2 SH HK HT a 15 2a Vây d (C ; (S AD)) = = 5 suy H K ⊥ AD ⇒ AD ⊥ (SH K ) Hạ H T ⊥ SK suy H T = d (H ; (S AD)) Ta có : H K = ww Câu Cho số thực không âm x, y thỏa mãn : x 2x + 2y − + y y − +3 = Tìm giá trị lớn 2 nhỏ biểu thức : P = x y − x + + x y − y + Lời giải (hahahaha1): Giả thiết viết lại thành: (x + y − 1)(x + y − 2) = −(x − 1)2 Từ ta có được: ≤ x + y ≤ Mặt khác giả thiết viết lại dạng: 2(x − 1)2 + (y − 1)2 = x + y − 2x y ⇒ x + y ≥ 2x y ⇒ ≥ x y p:/ / MIN Ta lại có biểu thức P viết thành: a − 2ab + 2b − 2a + 2b + = P ⇐⇒ a − 2a(b + 1) + 2b + 2b + − P = (1) Trong a = x + y (1 ≤ a ≤ 2); b = x y (2 ≥ a ≥ 2b) Coi (1) phương trình bậc theo a để tồn a; b ta phải có: ∆ ≥ ⇔ P ≥ b2 + ⇒ P ≥ Vậy P = đạt a = 1; b = ⇒ x = 1; y = MAX Xét hàm số f (a) = a − 2a(b + 1) + 2b + 2b + Ta chi làm TH nhỏ sau: ta xét hàm số [2b; 2] Dễ thấy hàm số đạt max f (2) f (2b) (mà f (2) = f (2b) = 2(b − b + 1) Do đó: f (a) ≤ 2(b − b + 1) = 2[b(b − 1) + 1] ≤ Vậy TH max P = x = y = 1 +) Nếu b ≤ ta xét hàm số [1; 2] Hàm số đạt max f (2) (vì f (2) ≥ f (1)) nên ta có giá trị max TH Kết luận: max P = x = y = htt +) Nếu b ≥ −1 −1 D x N w k2 pi E ne t Câu 6a.a Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đề-các vng góc Ox y , cho hình vng ABC D có đỉnh A (−1; 2) , C (3; −2) Gọi E trung điểm cạnh AD, B M đường thẳng vng góc với C E M ; N trung điểm của B M P giao điểm AN với D M Biết phương trình đường thẳng B M : 2x − y − = Tìm tọa độ điểm P Lời giải (hungchng): A y B 2 P M −2 C −3 Gọi I trung điểm AC nên I (1; 0), B thỏa AB = C B B ∈ B M nên tọa độ B thỏa (x + 1)2 + (y − 2)2 = (x − 3)2 + (y + 2)2 y = x −1 ⇐⇒ 2x − y − = ⇐⇒ y = 2x − B (3; 2) suy D(−1; −2) (vì I trung điểm B D ) − → Theo giả thiết E trung điểm AD nên E (−1; 0) C E = (−4; 2) 11 ; − N ; 5 5 ww x +1 = y −2 16/5 P ∈ AN P ∈ D M nên tọa độ P thỏa x + −8/5 y +2 = 12/5 4/5 19 ;− Vậy P 5 y =2 x = ⇐⇒ y = − x +1 = y M ∈ C E M ∈ B M nên tọa độ M thỏa −4 2x − y − = suy M x =3 x = 19 ⇐⇒ y = − Câu 6a.b Trong không gian với hệ tọa độ Đề-các vng góc Ox y z , cho mặt cầu (S) : x + y + x +1 y +2 z −1 = = Xác định tọa độ điểm M 1 đường thẳng d cho từ M kẻ tiếp tuyến M A, M B, MC đến mặt cầu (S) ( A, B,C tiếp điểm ) Sao cho AM B = 60o ; B MC = 90o ; C M A = 120o p:/ / z − 2x − 4y + 6z − 13 = đường thẳng d : Lời giải (dan_dhv): M d a K B htt A H a C O Gọi O tâm mặt cầu Do A, B,C tiếp điểm kẻ từ M đến mặt cầu nên ta có M A = M B = MC = a A, B,C nội tiếp đường tròn Từ gt ⇒ AB = a, BC = a 2, AC = a suy tam giác ABC vuông B Gọi H trung điểm AC K trung điểm AB AB ⊥ M K AB ⊥ H K ⇒ AB ⊥ M H ; M H ⊥ AC ⇒ M H ⊥ (ABC ) ne t Ta có Suy M , H ,O thẳng hàng MC tiếp tuyến nên MC ⊥ OC ,OC = R = 27 Áp dụng hệ thức lượng tam giác OMC ta có : 1 + = ⇒ a = ⇒ MO = M ∈ d ⇒ M (t − 1; t − 2; t + 1);O(1; 2; −3) a 27 3a suy (t − 2)2 + (t − 4)2 + (t + 4)2 = 36 ⇒ t = 0; t = −2 suy M (−1; −2; 1); ; ; 3 w k2 pi Khi C H = a Câu 7a Cho số phức z ; z đồng thời thỏa mãn điều kiện : z + 3z z = (−1 + i ) z z1 + z1 + z2 2z − z = −3 + 2i Tìm mơ-đun số phức w = z2 Lời giải (Love Math): z z + 3z z = −1 + i + 3z = −1 + i z + 3z z = (−1 + i ) z z2 ⇒ ⇒ z2 2z − z = −3 + 2i 2z − z = −3 + 2i 2z − z = −3 + 2i z1 z1 ⇒ + 3z − (2z − z ) = (−1 + i ) − (−3 + 2i ) ⇒ + z + z = − i ⇒ |w| = z2 z2 ww Câu 6b.a Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đề-các vng góc Ox y cho tam giác ABC vng A ngoại tiếp hình chữ nhật M N PQ Biết điểm M (−3; −1) N (2; −1) thuộc cạnh BC , Q thuộc cạnh AB , P thuộc cạnh AC , đường thẳng AB có phương trình : x − y + = Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC Lời giải (dan_dhv): A Q M N C p:/ / B P Phương trình đường thẳng d vng góc BC qua M (−3; −1) x + = 0; −→ − − − → suy tọa độ Q Q(−3; 2) Ta có M N = QP ⇒ P (2; 2) − Đường thẳng AC qua P (2; 2) nhận → = (1; 1) làm véctơ pháp tuyến nên có phương trình: x+y −4 = n Vậy A −1 ; ; B (−6; −1);C (5; −1) 2 Trong không gian với hệ tọa độ Đề-các vng góc Ox y z , cho mặt cầu (S) : (x − 2)2 + y − + (z − 2)2 = 12 điểm A (4; 4; 0) Xác định tọa độ điểm B thuộc mặt cầu (S) biết tam giác BO A cân B có diện tích Lời giải (dan_dhv): Nhận thấy: A,O thuộc mặt cầu Gọi M trung điểm AO suy M (2; 2; 0) − − → −→ − Gọi B (a, b, c) Ta có : O A(4; 4; 0); M B (a − 2; b − 2; c) − − → −→ − Do tam giác ABO cân B nên O A ⊥ M B ⇒ a + b = (1) htt Câu 6b.b 1 2 Do B ∈ (I ; R) nên (a − 2)2 + (b − 2)2 + (c − 2)2 = 12 Ta có : = S ABO = AO.B M = 2B M ⇒ B M = ⇒ (a − 2)2 + (b − 2)2 + c = (3) (2) 23 ;2− 23 −1 ; ;B 2− 23 ;2+ 23 −1 ; ; ne t Từ (1)(2)(3) ta suy B + Lời giải (miketu): Gọi B (a, b, c) B ∈ (s) ⇐⇒ (a − 2)2 + (b − 2)2 + (c − 2)2 = 12 (1) Tam giác ABO cân B ⇐⇒ B A = BO ⇐⇒ B A = BO ⇐⇒ (4 − a)2 + (4 − b)2 + c = a + b + c w k2 pi − −→ − − → Lại có: S ABO = |[O A; OB ]| = ⇐⇒ 2c + (b − a)2 = (3) 23 23 −1 23 23 −1 Từ (1)(2)(3) ta suy B + ;2− ; ;B 2− ;2+ ; ; 8 8 (2) htt p:/ / ww Câu 7b Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, lập số chẵn có chữ số khác nhỏ 4321 đồng thời chữ số ln có mặt đứng cạnh Lời giải (Tú Anh): Giả sử số : abcd TH1: a, b chữ số Sẽ có 2! cách chọn a, b Lúc chọn d có : cách chọn c có cách TH có : 2.4.4 = 32 số TH2 : b, c chữ số Sẽ có 2! cách chọn b, c +) Nếu d = chọn a có : cách TH có : 2.1.2 = số +) Nếu d = chọn d có : cách, chọn a có : cách TH có : 2.2.2 = số Vậy có : 32 + + = 44 số ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2013 TÀI LIỆU TOÁN THPT http://www.k2pi.net Mơn: TỐN NGÀY 12.10.2012 ĐỀ SỐ PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm) 2x + , có đồ thị (C ) x −1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C ) b) Xác định tất điểm M đồ thị (C ) cho đồ thị hàm số (C ) tiếp xúc với đường tròn tâm I (1; 2) M Câu (2 điểm) Cho hàm số y = Câu (2 điểm) cos 3x cos x − = sin 5x sin 3x cos 5x cos 3x b) Giải bất phương trình x +6 x 2x + 26x + − ≥ x 2x + x + 33 a) Giải phương trình e x − ln x + Câu (1 điểm) Tính tích phân Câu (1 điểm) Cho lăng trụ đứng ABC A B 1C có BC = 2AB AB ⊥ BC Gọi M , N trung điểm A B I= x x + ln x dx BC Khoảng cách hai đường thẳng AM B 1C 2a Góc hai mặt phẳng (AB 1C ) (BCC B ) 60o Tính thể tích khối chóp M ABC bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp B ANC theo a Câu (1 điểm) Cho số thực x, y, z không âm cho số đồng thời Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = (x y + y z + zx) 1 + + x2 + y y + z2 z2 + x2 PHẦN RIÊNG (3 điểm): Thí sinh làm hai phần A B A Theo chương trình chuẩn Câu 6A (2 điểm) a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vng góc Oxy, cho đường trịn (I ) : x + y − 4x + 2y − 11 = đường thẳng d : 4x−3y+9 = Gọi A, B hai điểm thuộc đường thẳng d , C điểm thuộc đường tròn (C ) Biết điểm H 22 11 ; 5 trung điểm cạnh AB Xác định tọa độ 5 điểm A, B,C biết diện tích tứ giác AH I K 24 hồnh độ điểm A dương b) Trong khơng gian với hệ tọa độ vng góc Ox y z , cho hai điểm A (−1; −3; −2) ; B (0; −2; 2) mặt cầu (S) : (x + 1)2 + y + +(z + 3)2 = 14 Gọi (P ) mặt phẳng qua A đồng thời cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường trịn có bán kính nhỏ Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P ) cho tam giác ABM vuông cân A giao điểm AC với đường tròn (I ), điểm K − ; Câu 7A (1 điểm) Tìm n ∈ N ∗ thỏa mãn: n 3.C n + 4C n + 5C n + + (n + 3)C n = (n + 6) 35 n + 2013 12 B Theo chương trình nâng cao Câu 6B (2 điểm) a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vng góc Ox y cho điểm A (1; 0) đường tròn (C ) : x + y = 2; (C ) : x + y = Tìm tọa độ điểm B C nằm (C ) (C ) để tam giác ABC có diện tích lớn b) Trong khơng gian với hệ tọa độ vng góc Ox y z , cho đường tròn (C ) : x + y + z + 4x − 6y + 4z + = có x + 2y − 2z − = x −3 y +2 z +1 = = Lập phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng AI , bán −1 x −1 y −3 z +2 kính R = 26 tiếp xúc với đường thẳng ∆ : = = , biết A thuộc đường tròn (C ) đường −2 thẳng d vng góc với đường thẳng AI tâm I đường thẳng d : Câu 7B (1 điểm) Cho số phức z ; z đồng thời thỏa mãn điều kiện : z + 2z số thực, 2z − z số ảo 2 3z + z = − 5i Tìm Mơ đun số phức w = z + 3z z ———————————————–Hết—————————————————- TỔNG HỢP LỜI GIẢI TRÊN DIỄN ĐÀN 2x + , có đồ thị (C ) x −1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C ) b) Xác định tất điểm M đồ thị (C ) cho đồ thị hàm số (C ) tiếp xúc với đường tròn tâm I (1; 2) M Câu Cho hàm số y = a) Lời giải (hungchng): TXĐ D = R\{1}; đạo hàm y = D, −4 Với điều kiện ta đặt t = x, t > Lúc bất phương trình cho tương đương với bất phương trình : t (t + 6) 2t + 26t + ≥ 2t + 3t + 33t + (1) Tiếp tục đặt u = 2t + 26t + 8, u ≥ 2 Khi bất phương trình (1) viết lại thành bất phương trình tương đương sau : t (t + 6) 2x + 26t + ≥ (2t + 26t + 8) + 3t + 7t − ⇔ t (t + 6)u ≥ u + 3t + 7t − ⇔ u − (t + 6t )u + 3t + 7t − ≤ (2) Để ý ta xem phương trình (2) phương trình bậc hai theo u phương trình (2) có biệt số ∆ = (t + 6t )2 − 4(3t + 7t − 4) = (t + 4)2 Khi cách suy nghiệm kết hợp nhân tử ta đưa bất phương trình (2) bất phương trình sau : u − t − 3t − · (u − t + 2) ≤ (3) Ta có: 24n n +1 n+ 24(n−1) n n+ 24(n−2) n −1 n n + + n = = Từ giả thiết ta có: 24 (n + 1) n n+ 24(n−1) n n−1 + n 24(n−2) n −1 n−2 + + n n n−1 4(n−2) + n 24(n−1) + n+1 24n n+1 + n+1 + + n+1 n+1 n+1 4.2 + + n−1 24(n−1) + n 24n + n+1 24(n+1) n+1 + n+1 + n+1 n+1 n+1 n+1 (1 + 24 )n+1 − = (17n+1 − 1) 16(n + 1) (17n+1 − 1) = 1305 ⇐⇒ n = 16(n + 1) Vậy ta có khai triển: 7x + 24 (n + 1) 24n n +1 = n +1 = 8y = 9 (7x) + (7x) + + 8y m 9−m (7x) 8y m + + 9 8y Ta có số hạng tổng quát thứ m + là: Tm+1 = m 9−m (7x) Tm+1 chứa x y −3 khi: 8y m = 9−m = −m = −3 76 Vậy hệ số số hạng chứa x y −3 là: 3 10 79−m 8m m 9−m −m y , x (0 ≤ m ≤ 9, m ∈ N ) ⇐⇒ m = http://www.k2pi.net −1 ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2013 TÀI LIỆU TỐN THPT Mơn: TỐN NGÀY 23-02-2013 http://www.k2pi.net ĐỀ SỐ PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm) Câu (2 điểm) Cho hàm số y = x −2 (C ) x +1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C ) b) Tìm (C ) điểm M mà tiếp tuyến đồ thị cắt đường tiệm cận (C ) hai điểm phân biệt A, B cho tam giác I AB có bán kính đường trịn ngoại tiếp đường trịn nội tiếp ( I giao điểm hai đường tiệm cận) bán kính Câu (2 điểm) sin 2x sin x + (cos x + 1) (cos x + 2) =1 sin 2x + cos 2x + sin x + cos x + x + y +1 xy = x2 + y b) Giải hệ phương trình : 3 x + y xy − y = 4x y 4x y + x − a) Giải phương trình : Câu (1 điểm) Tính tích phân : I= π x (7 − cos 2x) + dx cos x + Câu (1 điểm) Cho hình chóp tứ giác S.ABC D có đáy ABC D hình thoi tâm O , O A = 2OB = 2a Cạnh SO vng góc với mặt phẳng đáy Một mặt phẳng (α) qua A vng góc với SC cắt cạnh SB, SC , SD B ,C , D Gọi M trung điểm AB Tính thể tích khối chóp S.ABC D góc đường thẳng SM với mặt phẳng (α), biết B C D Câu (1 điểm) Cho số thực x, y, z thuộc đoạn [1; 3] Tìm giá trị nhỏ biểu thức : T= 25 y + z 12x + 2012 x y + y z + zx PHẦN RIÊNG (3 điểm): Thí sinh làm hai phần A B A Theo chương trình chuẩn Câu 6A (2 điểm) a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đề-các Ox y cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (C ) : (x − 2)2 + (y − 3)2 = 45 Đường trịn (C ) có tâm K (−1; −3) cắt đường tròn (C ) theo dây cung song song với AC Biết diện tích tứ giác AIC K = 30 2, chu vi tam giác ABC 10 10 I tâm đường trịn (C ) Hãy tìm điểm B có hồnh độ âm b) Trong khơng gian với hệ tọa độ Đề-các Ox y z cho tam giác ABC có C (3; 2; 3) Phương trình đường x −2 y −3 z −3 x −1 y −4 z −3 = = , phương trình đường phân giác B D : = = Tính 1 −2 −2 chu vi tam giác ABC cao AH : Câu 7A (1 điểm) Giải phương trình : 2x + 4x + 3x +3x = x2 + x + B Theo chương trình nâng cao Câu 6B (2 điểm) a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đề-các Oxy cho tam giác ABC cân A , phương trình cạnh bên AC : x + y − = Trên tia đối tia C A lấy điểm E Phân giác góc B AC cắt B E D Đường thẳng d qua D song song với AB cắt BC F Tìm tọa độ giao điểm M AF B E biết phương trình đường thẳng AF : 2x + y − = I (−1; −3) trung điểm DF b) Trong không gian với hệ tọa độ Đề-các Oxyz cho tứ diện ABC D có A(2; 0; 0), B (0; 2; 0),C (0; 0; 2), D(2; 2; 2) mặt cầu (S) : (x − 1)2 + (y − 2)2 + (z − 3)2 = 16 Gọi M điểm có tọa độ nguyên nằm tứ diện Viết phương trình mặt phẳng (α) qua M cắt (S) theo đường trịn có chu vi bé Câu 7B (1 điểm) Cho số phức z , z thỏa mãn : z số ảo z − z |z |2 số ảo ; z số thực z + z |z |2 số thực Tính |z |2012 + |z |2013 ———————————————–Hết—————————————————- TỔNG HỢP LỜI GIẢI TRÊN DIỄN ĐÀN Câu Cho hàm số y = x −2 x +1 (C ) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C ) b) Tìm (C ) điểm M mà tiếp tuyến đồ thị cắt đường tiệm cận (C ) hai điểm phân biệt A, B cho tam giác I AB có bán kính đường trịn ngoại tiếp kính đường trịn nội tiếp (I giao điểm hai đường tiệm cận) bán a) Lời giải (hungchng): x −2 có tập xác định: D = R\{−1} x +1 * Đạo hàm y = (x + 1)2 > ∀x ∈ D , Hàm số đồng biến (−∞; −1), (−1; +∞) lim + y = −∞; lim − y = +∞; x = −1 Hàm số y = * Đồ thị x→−1 x→−1 phương trình tiệm cận dọc lim y = 1; lim y = 1; y = phương trình x→−∞ x→+∞ tiệm cận ngang * Bảng biến thiên x −∞ y + y −1 + +∞ +∞ −4 −3 −2 −1 −2 −∞ −3 Tiếp tuyến điểm M x ; y ∈ (C ) có dạng ∆ : y = Giao điểm hai tiệm cận I (−1; 1) x − 4x − + (x + 1)2 (x + 1)2 3x Giao điểm ∆ với tiệm cận đứng tiệm cận ngang A −1; , |x + 1| −1 b) Lời giải (hbtoanag): Khi I A = I B = 2|x + 1|, AB = (x + 1)2 + (x + 1)2 x0 − B (2x + 1; 1) x0 + I A.I B.AB 4R AB ⇐⇒ 4pRr = I A.I B.AB ⇐⇒ pR = 12AB ⇐⇒ p = 3AB ⇐⇒ AB.p = 30 5 9 ⇐⇒ (x + 1)2 + + |x + 1| + (x + 1)2 + = 15 (x + 1)2 |x + 1| (x + 1)2 Đặt t = |x + 1| + , t ≥ 3, phương trình trở thành |x + 1| t − t + t − = 15 ⇐⇒ t − = 15 t − t − ⇐⇒ t − = 5t ⇐⇒ t = Giải phương trình |x + 1| + = ta nghiệm x = 1, x = −3, x = , x = − |x + 1| 2 Vậy có bốn điểm thỏa u cầu tốn M1 1; −1 , M2 −3; , M3 ; −1 , M4 − ; 2 Diện tích tam giác I AB S = pr = Câu 2.a Giải phương trình : Lời giải (Mai Tuấn Long): sin 2x sin x + (cos x + 1) (cos x + 2) =1 sin 2x + cos 2x + sin x + cos x + http://www.k2pi.net 2 sin x + cos x = ĐK: cos x = − (cos x + 1)(2 − cos x)(2 cos x + 1) = ⇐⇒ (sin x − 1)2 = (2 sin x + cos x)(2 cos x + 1) π ⇐⇒ sin x = ⇐⇒ x = + k2π, (k ∈ Z)(TMĐK) π Vậy PT có nghiệm: x = + k2π, (k ∈ Z) PT ⇐⇒ Câu 2.b Giải hệ phương trình : Lời giải (nthoangcute): Đầu tiên, ta có: x + y +1 xy = x2 + y x + y x y − y = 4x y 4x y + x − 2 x + y x y − y − x y x y + x − = −x y x y − + x y(x + y) − y (−1 + x)2 − x y x y − Ta chứng minh hay cần chứng minh: x3 + y x y − y − x y x3 y + x − ≤ 2 x2 y x y − − x2 y x + y + x2 y x y − ≥ ⇐⇒ 16x y ≥ (x + y)2 Đặt s = x + y, p = x y Giả thiết có: p = s2 s +3 3s (5s + 3)(s − 1) ≥0 (s + 3)2 s (s − 1) Theo Cauchy ta có: s − 4p = ≥0 s +3 Do BĐT chứng minh HPT có nghiệm (x, y) = (0, 0); , 2 BĐT cần chứng minh tương đương với: Lời giải (Lê Đình Mẫn): Phân tích ý tưởng cho tốn: Đầu tiên, ta biến đổi chút xíu P T (2) sau: P T (2) ⇐⇒ x y(x + y)(x − x y + y ) − y = 4x y (4x y + x − 1) (3) Để ý P T (3) có lượng biểu thức có chút tương đồng với P T (1) Cho nên ta thay đổi hình thức P T (1) lại xem Khi P T (1) ⇐⇒ (x + y)x y = x − x y + y Hãy quan sát mối tương đồng nhận thấy điều đặc biệt không Vậy lại không sử dụng phép nhỉ! Nhưng đừng vội Để ý P T (3) số hạng có chứa y thực phép sau để đơn giản hố lượng y Và ta có P T (3) ⇐⇒ x y (x + y)2 − y = 4x y (4x y + x − 1) (4) Đến đây, để giản ước lượng y đầu giải ta xét trường hợp Từ hệ ban đầu có + TH1: Nếu y = =⇒ x = ngược lại Do (0; 0) nghiệm hệ ban đầu + TH2: Xét x y = Lúc P T (4) ⇐⇒ (2x − 1)2 = x [(x + y)2 − 16x y ] Bây tốn quy giải hệ phương trình sau (x + y + 1)x y = x + y (1) (2x − 1)2 = x [(x + y)2 − 16x y ] http://www.k2pi.net (5) Hệ gọn tiếp tục với phép Ta có P T (1) ⇐⇒ (x + y + 3)x y = (x + y)2 =⇒ x + y + = nên P T (1) ⇐⇒ x y = (x + y)2 , thay vào P T (5) ta x + y +3 (2x − 1)2 = x (x + y)2 − 16 (x + y)4 (x + y + 3)2 ⇐⇒ (2x − 1)2 = 3x (x + y)2 [1 − (x + y)][5(x + y) + 3] (x + y + 3)2 (6) Đến đây, nên suy nghĩ hướng giải hệ lại khơng phải đối xứng hồn 1 ; nên 2 tồn? Nhưng dễ dàng đốn hệ có nghiệm sử dụng đánh giá: (x + y)2 ≥ 4x y ∀x, y ∈ R Ta có xy = (x + y)2 x + y −1 (x + y)2 x+y ≥1 ≤ ⇐⇒ ≥ ⇐⇒ x + y < −3 x + y +3 x + y +3 Suy [1 − (x + y)][5(x + y) + 3] ≤ Do 3x (x + y)2 [1 − (x + y)][5(x + y) + 3] P T (6) ⇐⇒ (2x − 1) = = ⇐⇒ x = y = (x + y + 3) 2 1 ; 2 Tóm lại, hệ phương trình ban đầu có nghiệm (0; 0) Câu Tính tích phân : I= π x (7 − cos 2x) + dx cos x + Lời giải (Mai Tuấn Long): I= = π 2x − cos2 x + cos x + π 4x dx − 2 = 2x − 2x sin x = π π dx = π x d(sin x) + +2 π 2x(2 − cos x) dx + π d(tan x ) π dx cos x + tan2 x + π sin x dx + π2 π −π+2+ d(tan x ) tan2 x + Câu Cho hình chóp tứ giác S.ABC D có đáy ABC D hình thoi tâm O , O A = 2OB = 2a Cạnh SO vuông góc với mặt phẳng đáy Một mặt phẳng (α) qua A vng góc với SC cắt cạnh SB, SC , SD B ,C , D Gọi M trung điểm AB Tính thể tích khối chóp S.ABC D góc đường thẳng SM với mặt phẳng (α), biết B C D Lời giải (dan_dhv): S C I D O B D M C O B A http://www.k2pi.net Trong (S AC ), từ A vẽ AC ⊥ SC Ta có B D ⊥ AC =⇒ B D ⊥ SC =⇒ (α)//B D B D ⊥ SO Gọi O giao SO AC (α) giao (SB D) = B D //B D(B ∈ SB ; D ∈ SD) SB SC SD Gọi I điểm SC thõa mãn: B I B C Suy ra: = = =⇒ D I C D SB SI SD Do tam giác B C D tam giác suy Tam giác I B D tam giác cạnh B D = 2a BD Ta có: B D ⊥ OI suy OI đường cao tam giác I DB =⇒ OI = =a Ta có SC ⊥ (α) =⇒ SC ⊥ (I B D) =⇒ SC ⊥ OI =⇒ AC OI Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông SOC ta có: 1 1 1 + = =⇒ = 2− 2= =⇒ SO = 2a 2 2 SO OC IO SO 3a 4a 12a 2 Diện tích đáy AC B D = 4a Thể tích khối chóp S.ABC D là: V = SO.S ABC D = Ta có: SC = SO + OC = 4a = S A = AC =⇒ S AC Suy C trung điểm SC Hay O trọng tâm tam giác S AC Ta có: AC = SO = 2a =⇒ AO = 3a AC = 3 4a 2a B D = BD = =⇒ B O = =⇒ AB = 3 AO + OB = C B + AC AB − SC Ta có : SC ⊥ (α) =⇒ g (SM ; (α)) = g (SMC ) = ϕ Vậy tan ϕ = = MC C M trung điểm tam giác C B A , suy C M = Câu Lời giải (nthoangcute): Ta xét f (x) = − Vậy 25 y + z 25 y + z 12x + 2012 x y + y z + zx y + z x + 503 y + 503 z 25 25 y + z 54 + 1509 y + 503 y z + 1509 z − 503 z g (y) = 27 + 1509 y + 503 y z + 1509 z 54 + 1509 y + 503 y z + 1509 z − 503 z = 54 + 1509 y + 503 y z + 503z(3 − z) > 25 (1+z)2 g (y) ≥ g (1) = = h(z) 16 384+503z 25 (1 + z)(265 + 503z) h (z) = >0 16 (384 + 503z)2 25 h(z) ≥ h(1) = 3548 25 T≥ 3548 Lời giải (hbtoanag): Ta có 7a 0, ∀x ∈ [1; 3] Do m(x) đồng biến [1; 3], 25t suy T (x) nghịch biến [1; 3] Suy T (x) ≥ T (3) = = f (t ), với t = y +z ∈ [2; 6] 108 + 6036t + 503t 150900t + 540t > 0, ∀t ∈ [2; 6] nên f đồng biến [2; 6], Lại có f (t ) = 108 + 6036t + 503t 25 25 f (t ) ≥ f (2) = Cuối T = x = 3; y = z = 3548 3548 Xét hàm có Lời giải (Miền cát trắng): Ta có đặt t = T≥ 25(y + z)2 12x + 2012x(y + z) + 2012 (y + z) ≥ 25 12 x 25 , xét hàm số f (t ) = ············ + 2012t + 503 y +z 12t x x + 2012 + 503 (y + z) y +z Lời giải (tivi): Do tử không xuất biến x nên T nhỏ x = Hay T= 25 y + z 108 + 2012 3y + 3z + y z ≥ 25(y + z)2 108 + 6036(y + z) + 503(y + z)2 Đặt t = (y + z), t ∈ [2, 6] 25t T≥ = f (t ) 503t + 6036t + 108 Khảo sát hàm f (t ), ta giá trị nhỏ T 25 t = hay y = z = 1, x = 3548 Câu 6A.a Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đề-các Ox y cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (C ) : (x − 2) + (y − 3)2 = 45 Đường trịn (C ) có tâm K (−1; −3) cắt đường tròn (C ) theo dây cung song song với AC Biết diện tích tứ giác AIC K = 30 2, chu vi tam giác ABC 10 10 I tâm đường trịn (C ) Hãy tìm điểm B có hồnh độ âm Lời giải (Lê Đình Mẫn): B A I A M E C K N Tâm (C ) I (2; 3) Ta có R (C ) = I K = Kiểm chứng K (−1; −3) ∈ (C ) Gọi M N = (C ) ∩ (C ) Suy M N ⊥ I K Mà AC M N =⇒ AC ⊥ I K http://www.k2pi.net I K AC = 30 =⇒ AC = 10 Lại có AB + BC +C A = 10 10 =⇒ B A + BC = 10 (1) Bây ta tìm tọa độ A, C Kẻ A A đường kính (C ), 1 A A − AC = (6 5)2 − (4 10)2 = gọi E = I K ∩ AC Suy I E = A C = 2 − → − → Suy I K = I E =⇒ E (1; 1) Phương trình đường thẳng AC qua E (1; 1) vng góc với I K có phương trình: x + 2y − = Như A, C giao điểm AC (C ), suy A(1 − 2; + 2), C (1 + 2; − 2) Do S AIC K = Cuối cùng, cần giải hệ gồm PT(1) PT (C ) ta tìm B − 3; 12+3 Câu 6A.b Trong không gian với hệ tọa độ Đề-các Ox y z cho tam giác ABC có C (3; 2; 3) x −2 y −3 z −3 = = , phương trình đường phân giác 1 −2 x −1 y −4 z −3 BD : = = Tính chu vi tam giác ABC −2 Phương trình đường cao AH : Lời giải (Mai Tuấn Long): − = (1; 1; −2) véc tơ phương AH H ∈ AH =⇒ H = (2 + a; + a; − 2a) → u1 −→ − −→ − =⇒ C H = (a − 1; + a; −2a) H ∈ BC =⇒ C H u = =⇒ a = =⇒ H = (2; 3; 3) x = − t =⇒ BC có PT: y = + t , (t ∈ R) z =3 − = (1; −2; 1) véc tơ phương B D B = BC B D =⇒ B = (1; 4; 3) → u2 − → → I ∈ B D =⇒ I = (1 + b; − 2b; + b) I H ⊥ B D =⇒ I H −2 = =⇒ I = ( ; 3; ) u −− −→ H1 điểm đối xứng H qua B D =⇒ I trung điểm H H1 =⇒ H1 = (1; 3; 4) =⇒ B H1 = (0; −1; 1) x = H1 ∈ AB =⇒ AB có PT: y = − s , (s ∈ R) z = 3+s A = AB ∩ AH =⇒ A = (1; 2; 5) =⇒ AB = AC = BC = 2; =⇒ C ABC = AB + AC + BC = Câu 7A Giải phương trình : Lời giải (Mai Tuấn Long): 2x + 4x + 3x +3x = x2 + x + 3 ⇐⇒ (x + 3x + 2) + (x + x + 3) 3x +3x+2 = x + x + 2x + 4x + = (x + 3x + 2) + (x + x + 3) > x + 3x + < ⇐⇒ 3x +3x+2 < =⇒ V T = (x + 3x + 2) + (x + x + 3) 3x +3x+2 < (x + 3x + 2) + (x + x + 3) < x + x + = V P Nếu: x + 3x + > ⇐⇒ 3x +3x+2 > =⇒ V T = (x + 3x + 2) + (x + x + 3) 3x +3x+2 > (x + 3x + 2) + (x + x + 3) > x + x + = V P x = −1 Nếu: x + 3x + = ⇐⇒ =⇒ V T = V P x = −2 x = −1 Vậy PT có hai nghiệm: x = −2 PT Ta có: Nếu: Câu 6B.a Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đề-các Oxy cho tam giác ABC cân A , phương trình cạnh bên AC : x + y − = Trên tia đối tia C A lấy điểm E Phân giác góc B AC cắt B E D Đường thẳng d qua D song song với AB cắt BC F Tìm tọa độ giao điểm M AF B E biết phương trình đường thẳng AF : 2x + y − = I (−1; −3) trung điểm DF Lời giải (Sv_ĐhY_013): http://www.k2pi.net Cho P trung điểm BC Ta có: DF AB =⇒ AM P B AM PC AF FC = =⇒ = =⇒ = =⇒ P M AC =⇒ P M EC =⇒ M B = M E MF PF MF PF MF PF Kẻ đường thẳng M P giao AB trung điểm J , cắt (d ) I ta chứng minh I ≡ I IF ID = =⇒ I trung điểm DF JB JA Vậy P M qua trung điểm I DF Cuối M giao điểm P I AF suy M (9; −13) Dùng định lý Ta lét ((d ) song song AB ) : Câu 6B.b Trong không gian với hệ tọa độ Đề-các Oxyz cho tứ diện ABC D có A(2; 0; 0), B (0; 2; 0),C (0; 0; 2), D(2; 2; 2) mặt cầu (S) : (x − 1)2 + (y − 2)2 + (z − 3)2 = 16 Gọi M điểm có tọa độ nguyên nằm tứ diện Viết phương trình mặt phẳng (α) qua M cắt (S) theo đường trịn có chu vi bé Lời giải (Mai Tuấn Long): Mặt cầu (S) có tâm I (1; 2; 3) bán kính R = Điểm M thuộc miền tứ diện có tọa độ nguyên =⇒ có nhất: M = (1; 1; 1) −→ − I M = (0; −1; −2) =⇒ I M = < R nên M nằm mặt cầu (S) Mặt phẳng (α) cắt (S) theo đường trịn có chu vi nhỏ khoảng cách từ I đến (α) −→ − lớn I M =⇒ (α) mặt phẳng qua M nhận I M véc tơ pháp tuyến Vậy (α) có PT: y + 2z − = Câu 7B Cho số phức z , z thỏa mãn : z số ảo z − z |z |2 số ảo ; z số thực z + z |z |2 số thực Tính |z |2012 + |z |2013 Lời giải (dan_dhv): Ta có z − z |z |2 số ảo ⇐⇒ z − z |z |2 = − z − z |z |2 ⇐⇒ z − z (|z |)2 = −z + z (|z |)2 ⇐⇒ z + z 1 − (|z |)2 ⇐⇒ (|z |)2 = ⇐⇒ |z | = (Do z không số ảo nên z = −z ) z + z |z |2 số thực ⇐⇒ z + z |z |2 = z + z |z |2 ⇐⇒ z + z |z |2 = z + z |z |2 ⇐⇒ z − z − |z |2 ⇐⇒ |z | = (Do z khơng phải số thực Khi z = z ) Vậy P = |z |2012 + |z |2013 = http://www.k2pi.net TÀI LIỆU TOÁN THPT ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2013 http://www.k2pi.net Mơn: TỐN NGÀY 16.03.2013 ĐỀ SỐ 10 PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm) n i p k t e Câu (2 điểm) Cho hàm số y = x − (m + 2)x + 3m có đồ thị (C m ) hai điểm C (5; 2), D(−1; −7) a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số cho m = b) Tìm giá trị m để (C m ) có hai điểm cực trị A, B cho diện tích tam giác ABC diện tích tứ giác ABC D Câu (2 điểm) a) Giải phương trình b) Giải hệ phương trình π sin4 x + cos4 x = sin 2x + + sin 4x y 2y + y + 3x = x (x − 1) (x + 1) w w Câu (1 điểm) Tính tích phân I= x y4 + x − y3 − y + = y2 + π 1−x + x2 −π lần (y > 0) (sin x + cos x) dx Câu (1 điểm) Cho hình lăng trụ ABC D.A B C D có đáy ABC D hình thoi cạnh a Gọi H hình chiếu điểm A mặt phẳng (A B C D ) bờ B D chứa A Biết rằng, khoảng cách từ H đến trung w ww 2a Tính thể tích khối lăng trụ ABC D.A B C D bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp D A C D điểm B D a ; khoảng cách hai đường thẳng C D A B Câu (1 điểm) Cho a, b, c số thực thỏa mãn 2c(a +b )+b(ab +c)+c(ac +b) > b(b +c )+2ac(1+2b) với < ac, bc < 6, c ∈ [2; 3] Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P= 2a − 2b 2b − 2a − − − + (a − 3)(1 − b)(a − b) b −1 a −3 a −b PHẦN RIÊNG (3 điểm): Thí sinh làm hai phần A B A Theo chương trình chuẩn Câu 6A (2 điểm) a) Trong hệ trục tọa độ Đề-các vuông Ox y cho tam giác ABC có B (2; 3) C (2; 7) Tìm điểm A cho đường cao AH tam giác ABC có độ dài lần bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC b) Trong không gian tọa độ Ox y z cho hình thoi ABC D có A(−1; −4; 1), B (3; 6; −5), C thuộc mặt phẳng (S) : x + 2y + z + = Tìm điểm D viết phương trình đường chéo B D biết hình thoi có diện tích S = 133 w k2 p Câu 7A (1 điểm) Giải phương trình 3x −1 + (x − 1)3x+1 = B Theo chương trình nâng cao i.n Câu 6B (2 điểm) a) Trong hệ trục tọa độ Đề-các vuông Ox y ,cho điểm A (4; 5) ; B (3; 0) ;C (2; 2) Gọi H ; I trực tâm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , trung trực AH cắt AB AC M N Phân giác góc I M N cắt AC P Tính diện tích tam giác M N P Biết điểm B có tung độ dương b) Trong khơng gian tọa độ Ox y z cho hình chóp S.ABC D , với S(3 2; 0; 2) Đáy ABC D hình vng, điểm M (5; 2; 1), N (1; − 2; 5), P (4; −2 2; 2) thuộc ba cạnh AB, C D, AD Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC D Biết AP = 2DP Câu 7B (1 điểm) Giải bất phương trình (3 − x)3 x−3 ≥ 3x −5x+6 x −2 −1 et ———————————————–Hết————————————————— TỔNG HỢP LỜI GIẢI TRÊN DIỄN ĐÀN Câu Cho hàm số y = x − (m + 2)x + 3m có đồ thị (C m ) hai điểm C (5; 2), D(−1; −7) a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số cho m = t e b) Tìm giá trị m để (C m ) có hai điểm cực trị A, B cho diện tích tam giác ABC n i p k tích tứ giác ABC D a) Lời giải (hungchng) m = hàm số y = x − 4x + có tập xác định D = R; đạo hàm y = 3x − 8x; lim y = −∞; x→−∞ −∞ y lim y = +∞; x→+∞ Bảng biến thiên x y = ⇐⇒ + − +∞ + w w y −∞ Đồ thị x = =⇒ y = x = =⇒ y = − 94 27 lần diện − 94 27 +∞ w ww Hàm số đồng biến (−∞; 0); ( ; +∞); nghịch biến (0; ) Điểm cực đại (0; 6) Điểm cực tiểu ( ; − 94 ) 27 b) Lời giải (hbtoanag) Ta có y = 3x − 2(m + 2)x Hàm số có hai cực trị phân biệt ⇐⇒ y = có hai nghiệm phân biệt ⇐⇒ m = −2, (1) Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị y = − (m + 2)2 x + 3m Phương trình đường thẳng C D : 3x − 2y − 11 = Tứ giác AC B D tồn A, B nằm khác phía qua đường thẳng C D , C , D nằm khác phía qua đường thẳng AB ⇐⇒ Ta có t AB = (3x A − 2y A − 11)(3x B − 2y B − 11) < 0, (2) 2 tC D = (m + 2)2 x D + yC − 3m (m + 2)2 x D + y D − 3m < 0, (3) 9 w k2 p S AC B D = S ABC + S AB D ⇐⇒ 4 S ABC = S AB D ⇐⇒ d (C , AB ) = d (D, AB ) 3 10(m + 2)2 2(m + 2)2 + − 3m = + + 3m 9 m=1 46m + 157m + 445 = 0, (vn) 19 , thỏa mãn (1) ⇐⇒ ⇐⇒ 34m − 53m + 19 = m= 34 ⇐⇒ i.n Ta kiểm tra lại lại điều kiện (2), (3) Với m = A (0; 3) , B (2; −1) tính t AB = 255 > 0, khơng thỏa mãn (2) nên m = không nhận 19 57 29 3958 19 A 0; ,B ;− tính tC D > 0, không thỏa mãn (2) nên m = không nhận 34 34 17 4913 34 Vậy khơng tồn m thỏa mãn u cầu tốn Với m = Câu 2.a Giải phương trình sin4 x + cos4 x = sin 2x + π + sin 4x Lời giải (Con phố quen) Từ phương trình cho ý vào ba điều quan trọng sau: et + Thứ đẳng thức lượng giác quan trọng : sin4 x + cos4 x = − sin2 x cos2 x = − sin2 2x + Thứ hai công thức cộng : sin 2x + π = sin 2x + cos 2x 2 http://www.k2pi.net + Thứ ba công thức nhân đôi sin : sin 4x = sin 2x cos 2x Quan sát thấy với cách định hướng này, vế trái phương trình ta thu tích sau : + sin 2x cos 2x 2 n i p k t e Đặc biệt xuất vế phải phương trình với bậc hai sin2 2x với biểu thức bậc sin 2x bên vế trái ta dễ dàng thu phương trình bậc hai sin 2x : sin2 2x + sin 2x − = ⇐⇒ 2 + sin 2x · 2 sin 2x − = Tới đây, ý tưởng giải trọn vẹn Phương trình cho biến đổi tương với phương trình : 1− 1 sin2 2x = sin 2x + 2 3 + sin 2x cos 2x ⇐⇒ sin2 2x + sin 2x − + 2 2 w w + sin 2x · 2 ⇐⇒ + sin 2x cos 2x = ⇐⇒ 2 sin 2x − + + sin 2x = nên từ (1) ta có : 2 Vì w ww sin 2x + cos 2x − = sin 2x + cos 2x = 2 sin 2x + cos 2x − = ⇐⇒ y 2y + y + 3x = x (x − 1) Giải hệ phương trình x y4 + x − y3 − y + = y2 + (x + 1) (y > 0) Lời giải (hieubuidinh) Ta có giả thiết điều kiện x ≥ 0; y > (∗) Phương trình thứ hai viết lại thành (y − x)((x + 1)(y + 1) + 3(y + x)) = Từ (∗) , kết hợp với (1), suy y = x Thay vào phương trình thữ ta có y − y − 6y − 5y − = Hay (y − 3y − 1)(y + 2y + 1) = (2) Chú ý tới (*) , từ (2) ta có y − 3y − = (3) Ta nghĩ tới lượng giác hóa! Đặt y = cos t , với t ∈ [0; π] (∗∗) Ta có (3) trở thành: (1) π π π π π = ⇐⇒ 2x + = + k2π ⇐⇒ 2x = + k2π ⇐⇒ x = + kπ , (k ∈ Z) 6 ⇐⇒ sin 2x + Câu 2.b + sin 2x · 2 + sin 2x cos 2x = 2 w k2 p cos 3t = (1) (4) Từ đõ ta có nghiệm (4) thỏa mãn (∗∗) : t = π ; t = 5π ; t = 7π 9 Vậy cho có nghiệm: (x; y) = (2 cos( π ); cos2 ( π ), ((2 cos( 5π ); cos2 ( 5π ), (2 cos( 7π ); cos2 ( 7π ) 9 9 9 Câu Tính tích phân Lời giải (dan_dhv) I= π −π Đặt x = −t =⇒ dx = − dt Khi I = Do 2I = = Đặt u = sin x dv = 4x dx (1 + x )2 http://www.k2pi.net π −π π −π 1−x + x2 π (sin x + cos x) dx 1+t 1+ t2 −π (cos t − sin t ) dt (1 − x)2 (1 + x)2 + cos x dx + (1 + x )2 (1 + x )2 cos x dx − + x2 du = cos x dx v= −2 π −π 4x sin x dx (1 + x )2 Khi x2 + 2x sin x =⇒ 2I = + x2 π −π π −π π −π i.n (1 − x)2 (1 + x)2 − sin x dx (1 + x )2 (1 + x )2 4x sin x −2x sin x dx = )2 (1 + x + x2 x sin x =⇒ I = + x2 π −π = π −π + π −π et cos x dx x2 + 16 π2 + 16 Câu Cho hình lăng trụ ABC D.A B C D có đáy ABC D hình thoi cạnh a Gọi H hình chiếu điểm A mặt phẳng (A B C D ) bờ B D chứa A Biết rằng, khoảng cách từ H đến trung điểm B D a ; khoảng cách hai đường thẳng C D A B ABC D.A B C D bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp D A C D t e 2a Tính thể tích khối lăng trụ n i p k Lời giải ( ) XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX Cho a, b, c số thực thỏa mãn 2c(a + b ) + b(ab + c) + c(ac + b) > b(b + c ) + 2ac(1 + 2b) với < ac, bc < 6, c ∈ [2; 3] Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Câu P= 2a − 2b 2b − 2a − − − + (a − 3)(1 − b)(a − b) b −1 a −3 a −b Lời giải (Lê Đình Mẫn) Quan sát biểu thức P nhận thấy biến c giả thiết thừa Vậy, biến c cho giả thiết có mục đích gì? Tạm thời Bằng phép đặt ta đưa biểu thức P dạng đối xứng với ba biến x = a − b, y = b − 1, z = − a =⇒ x + y + z = Khi w w P =2 x y z + abc + + y z x Phải giả thiết nhằm mục đích cho biết điều kiện biến x, y, z ? w ww < a, b < ≤ hay y, z > Đó sở để ta có định hướng phân tích c c giả thiết thứ ba để có x = a − b > Thật Từ hai giả thiết đầu suy ≤ 2c(a + b ) + b(ab + c) + c(ac + b) > b(b + c ) + 2ac(1 + 2b) ⇐⇒ (a − b)[(b − c)2 + c(a − 1)] > ⇐⇒ a − b > Qua suy luận trên, ta có tốn tương đương sau: Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = Tìm GTNN biểu thức P =2 x y z + + +9 xyz y z x Sử dụng bất đẳng thức AM −G M ta có x x x y + + ≥3 , y y z xyz y y z y + + ≥3 , z z x xyz w k2 p Suy x y z x +y +z + + ≥ = y z x xyz z z x z + + ≥3 x x y xyz xyz Tiếp tục sử dụng AM −G M ta có P ≥ 12 Vậy P = 12 ⇐⇒ x = y = z = ⇐⇒ a = , b = 3 Câu 6A.a Trong hệ trục tọa độ Đề-các vuông Ox y cho tam giác ABC có B (2; 3) C (2; 7) Tìm điểm A cho đường cao AH tam giác ABC có độ dài lần bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC Lời giải (hthtb22) Bán kính đường trịn nội tiếp tam giác gấp độ dài đường cao ⇐⇒ Gọi điểm A(x; y) Như vậy: ⇐⇒ (x − 2)2 + (y − 3)2 + (x − 2)2 + (y − 3)2 i.n 2S 2S =3 ⇐⇒ b + c = 2a a a +b +c (x − 2)2 + (y − 7)2 = 2 Vậy A ∈ (E ) : et (x − 2)2 + (y − 7)2 = 64 − (x − 2) − (y − 3) − (x − 2) − (y − 7)2 ⇐⇒ (x − 2)2 + (y − 3)2 (x − 2)2 + (y − 7)2 = (x − 2)2 + y − 10y − 2 x2 y + =1 16 12 http://www.k2pi.net Câu 6A.b Trong không gian tọa độ Ox y z cho hình thoi ABC D có A(−1; −4; 1), B (3; 6; −5), C thuộc mặt phẳng (S) : x + 2y + z + = Tìm điểm D viết phương trình đường chéo B D biết hình thoi có diện tích S = 133 Lời giải (dan_dhv) − → Gọi I tâm hình thoi Khi I (1; 1; −2) AC (2; 5; −3); AC = 152 =⇒ B D = n i p k Phương trình mặt phẳng qua I vng góc AC : 2x + 5y − 3y − 13 = Toạ độ B nghiệm hệ 2x + 5y − 3y − 13 = D(−3; −1; −8) B (5; 3; 4); =⇒ 92 B ( 17 ; 103 ; 121 ); D( 25 ; −61 ; −176 ) 21 21 21 21 121 x + 2y + z − 15 = (x − 1)2 + (y − 1)2 + (z + 2)2 = 56 w w Câu 7A Giải phương trình w ww 3x −1 t e 4S ABC D = 244 =⇒ B I = 56 AC x −1 y −1 z +2 = = x −1 y −1 z +2 =⇒ B D : = = −42 −67 =⇒ B D : + (x − 1)3x+1 = Lời giải (hbtoanag) Xét hàm f (x) = 3x −1 + (x − 1)3x+1 − R Ta có f (x) = 2x.3x −1 ln + 2x.3x+1 + (x − 1)3x+1 ln 3, 2 f (x) = 2.3x −1 ln + 4x 3x −1 ln2 + 2.3x+1 + 2x.3x+1 ln + 2x.3x+1 ln + (x − 1)3x+1 ln2 = 2.3x −1 ln + 4x 3x −1 ln2 + 2.3x+1 + 4x.3x+1 ln + (x − 1)3x+1 ln2 > 2.3x −1 ln + 4x 3x −1 ln2 + 2.3x+1 + 2x.3x+1 ln2 + (x − 1)3x+1 ln2 2 ∀x ∈ R = 2.3x −1 ln + 4x 3x −1 ln2 + 2.3x+1 + 3x+1 (ln2 3)(x − 1)2 > 0, Do f (x) = có không nghiệm, dẫn tới f (x) = có khơng q hai nghiệm Nhận thấy f (±1) = nên phương trình có hai nghiệm x = ±1 w k2 p Lời giải (Mai Tuấn Long) Với x ∈ (−∞; −1) ∪ (1; +∞) =⇒ x − > =⇒ Với x ∈ (−1; 1) =⇒ x − < =⇒ Với x = ±1 =⇒ V T = = V P Vậy PT có hai nghiệm: x = ±1 3x −1 1 (x − 1)3x+1 > (x − 1)3x+1 < =⇒ V T > = V P =⇒ V T < = V P i.n Câu 6B.a Trong hệ trục tọa độ Đề-các vuông Ox y ,cho điểm A (4; 5) ; B (3; 0) ;C (2; 2) Gọi H ; I trực tâm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , trung trực AH cắt AB AC M N Phân giác góc I M N cắt AC P Tính diện tích tam giác M N P Biết điểm B có tung độ dương Lời giải ( ) XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX et Câu 6B.b Trong không gian tọa độ Ox y z cho hình chóp S.ABC D , với S(3 2; 0; 2) Đáy ABC D hình vng, điểm M (5; 2; 1), N (1; − 2; 5), P (4; −2 2; 2) thuộc ba cạnh AB, C D, AD Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC D Biết AP = 2DP Lời giải (dan_dhv) http://www.k2pi.net n i p k t e −→ − −→ − −→ − − −→ Ta có N M (4; 2; −4) = 2(2; 2; −2); N P (3; 2; −3); M P (1; 2; −1) =⇒ −ABC D (1; 0; 1) =⇒ (ABC D) : x + z − = n− − x = + t Phương trình đường thẳng qua S vng (ABC D) : y = z = + t w w Gọi I hình chiếu S I (3; 0; 3) trùng với trung điểm M N − →−→ − − Lại có M P N P = hay tam giác M N P vng P Do trung điểm I M N tâm hình vng Ta có AP = 2DP =⇒ AP = 2AM Áp dụng Pytago vào tam giác vng AMP ta có : w ww 5AP = 20 =⇒ AP = =⇒ AD = =⇒ AI = AP + AM = M P = 20 =⇒ Ta có SI = 3(2 − 2) =⇒ S A = SI + AI = 36(2 − 2) Trong mặt phẳng (S AC ) đường trung trực S A cắt SI J Khi I tâm mặt cầu Áp dụng tứ giác nội tiếp : SK S A = S J SI =⇒ R = S J = Ta có S A2 = 6J ∈ SI =⇒ J (3 + t ; 0; + t ) 2SI J S = 2t = 62 = R =⇒ t = 2; t = −3 =⇒ J (6 2; 0; 2); J (0; 0; 0) Nhận thấy I J < I J nên ta chọn J Vậy pt mặt cầu : x + y + z = 36 Câu 7B w k2 p (3 − x)3x−3 ≥ Giải bất phương trình Lời giải (hbtoanag) Điều kiện x = Bất phương trình tương đương (i) Nếu x − 5x + > (ii) Nếu x − 5x + < x −5x+6 3x −5x+6 −1 > (x − 5x + 6).3 3x −5x+6 x−3 −1 < (x − 5x + 6).3 x−3 >0 x−3 i.n + (x − 5x + 6)3x−3 − < Do + (x − 5x + 6)3 − = có hai nghiệm x = 2, x = Lập bảng xét dấu nhận tập nghiệm S = (−∞; 3)\{2} et http://www.k2pi.net ... +) Nếu d = chọn a có : cách TH có : 2.1.2 = số +) Nếu d = chọn d có : cách, chọn a có : cách TH có : 2.2.2 = số Vậy có : 32 + + = 44 số ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2013 TÀI LIỆU TOÁN THPT http://www.k2pi.net... q lần Lời giải (angel): Ta có 9.106 số tự nhiên có chữ số Giả sử số tự nhiên có chữ số thỏa mãn yêu cầu toán a a a Do a1 = nên có C cách để đặt chữ số 0, sau có C cách để đặt chữ số Và có A cách... chữ số ln có mặt đứng cạnh Lời giải (Tú Anh): Giả sử số : abcd TH1: a, b chữ số Sẽ có 2! cách chọn a, b Lúc chọn d có : cách chọn c có cách TH có : 2.4.4 = 32 số TH2 : b, c chữ số Sẽ có 2! cách