KINH NGHIỆM học TOÁN

1. Kiến thức cần nắm vững 1.1. Định nghĩa bất đẳng thức: Với hai số a, b bất kỳ ta nói rằng a b a -b 0 a b a -b 0 1.2. Tính chất: 1. a > b ; b >c a > c 2. a >b a + c > b + c 3. a > b ; c > 0 ac > bc a > b ; c < 0 ac < bc 5. a > b ; c > d a + c > b + d a > b ; c < d a - c < b - d 6. a > b 0 ac > bd 7. a > b > 0 ; 0 < c < d c a > d b 8. a > b > 0 a n > b n a > b a n > b n (n lẻ) a b a n > b n ( n chẵn ) 9. Nếu m > n >0 thì a >1 a m > a n a =1 a m = a n 0 < a < 1 a m < a n 10. a > b , ab > 0 a 1 < b 1 1.3. Các hằng bất đẳng thức: 1. a 2 0 với mọi a. Dấu bằng xy ra a = 0 2. a 0 với mọi a. Dấu bằng xy ra a = 0 3. a a với mọi a. Dấu bằng xy ra a 0 4. ba + a + b với mọi a,b. Dấu bằng xy ra ab 0 5. ba a - b với mọi a,b. Dấu bằng xy ra ab > 0 và a b II. Nội dung: 1. Ph ơng pháp sử dụng định nghĩa : 1.1. Phơng pháp giải: Muốn chứng minh A > B hãy xét hiện A - B. Nếu hiện A - B dơng thì khẳng định đợc A > B là bất đẳng thức cần chứng minh. 1.2. Ví dụ áp dụng: Ví dụ 1: Cho a,b,c > 0. chứng minh rằng (a + b + c) ( a 1 + b 1 + c 1 ) 9 Giải: Xét hiệu H = (a + b + c) ( a 1 + b 1 + c 1 ) - 9 = ( b a + a b - 2) + ( c a + a c - 2) + ( c b + b c - 2) = ( ) ( ) ( ) bc cb ac ca ab ba 222 + + Do a,b,c > 0 H 0 Theo định nghĩa bất đẳng thức: (a + b + c) ( a 1 + b 1 + c 1 ) 9 Dấu = xẩy ra H = 0 a = b = c Ví dụ2: Cho a > 0, b > 0. chứng minh rằng: 3 33 22 + + baba Giải: Xét hiệu: A = 3 33 22 + + baba Bỏ ngoặc, phân tích thành nhân tử ta đợc: A = 8 3 (a + b) (a - b) 2 Vì a > 0 , b > 0 a + b > 0 mà (a - b) 2 0 A 0 Theo định nghĩa 2 33 ba + 3 2 + ba Dấu bằng xẩy ra a = b 1.3. Bài tập tơng tự: Bài 1: Chứng minh: b a + a b 2 với ab > 0 Bài 2: Chứng minh: x 2 + y 2 + z 2 xy + yz + xz 2. Ph ơng pháp sử dụng tính chất 2.1. Phơng pháp giải: Sử dụng một hay nhiều tính chất đã nêu ở 2.2 để biến đổi. Từ đó khẳng định bất đẳng thức cần chứng minh 2.2. Ví dụ áp dụng: Ví dụ 1: Cho a, b > 2. Chứng minh ab > a + b Giải: Ta có: a > 2 , b > 0 ab > 2b (1) (Tính chất 3) b > 2 , a > 0 ab > 2a (2) (Tính chất 3) Từ (1) và (2) 2ab > 2 (a + b) (Tính chất 4) ab > a + b (Tính chất 3) Ví dụ 2: Cho x 0, y 0, z 0. Chứng minh rằng: (x + y) (y + z) (z + x) 8xyz Giải: Ta có: (x-y) 2 0 x 2 - 2xy +y 2 0 x 2 + 2xy +y 2 4xy (Tính chất 2) (x+y) 2 4xy (1) Tơng tự ta có: (y+z) 2 4yz (2) (x+z) 2 4xz (3) Nhân từng vế (1),(2),(3) [(x+y)(y+z)(x+z)] 2 (8xyz ) 2 (Tính chất 6) (x+y)(y+z)(x+z) 8xyz (Tính chất 8) 2.3. Bài tập tơng tự: Bài 1: Cho a + b > 1. Chứng minh rằng a 4 +b 4 > 8 1 Bài 2: Chứng minh rằng: 2 2 b a + 2 2 c b + 2 2 a c b c + a b + c a Bài 3: Cho x + y = 2. Chứng minh : x 4 + y 4 2 3. Ph ơng pháp phân tích : ( Biến đổi tơng đơng) 3.1. Phơng pháp giải: Xuất phát từ bất đẳng thức cần chứng minh ta biến đổi nó tơng đơng với một bất đẳng thức khác mà ta đã biết là đúng từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh là đúng. 3.2. Ví dụ áp dụng: Ví dụ 1: Chứng minh rằng: (a + b) 2 2 (a 2 + b 2 ) với mọi a , b. Giải: (a + b) 2 2(a 2 + b 2 ) (1) a 2 +2ab +b 2 - 2a 2 - 2b 2 0 -(a 2 - 2ab + b 2 ) 0 -( a - b) 2 0 (2) Bất đẳng thức (2) luôn đúng bất đẳng thức (1) đúng (đpcm) Ví dụ 2: Cho 2 số a, b thoả mãn: a + b = 1 Chứng minh: a 3 + b 3 +ab 2 1 (1) Giải: (1) a 3 + b 3 +ab - 2 1 0 (a + b) (a 2 - ab + b 2 ) +ab - 2 1 0 a 2 - ab + b 2 + ab - 2 1 0 (vì a + b = 1) a 2 + b 2 - 2 1 0 2a 2 + 2b 2 - 1 0 2a 2 + 2(1 - a) 2 - 1 0 ( vì b = 1 - a) 4 (a - ) 0 2 1 2 (2) Bất đẳng thức (2) luôn đúng mà các phép biến đổi trên là tơng đơng )1( đúng Dấu bằng xảy ra a = 2 1 = b 3.3. Bài tập tơng tự Bài 1: Với mọi a, b chứng minh a 4 + b 4 a 3 b + ab 3 Bài 2: Cho a > 0, b > 0. Chứng minh a b ba b a Bài 3: Chứng minh x 4 + y 4 2 6 2 6 x y y x + với x 0,0 y 4. Ph ơng pháp tổng hợp 4.1. Phơng pháp giải: Từ một bất đẳng thức đã biết là đúng, dùng các phép biến đổi tơng đơng biến đổi bất đẳng thức đó về bất đẳng thức cần chứng minh. Phơng pháp giải này làm cho học sinh thấy khó ở chỗ là không biết nên bắt đầu từ bất đẳng thức nào nhng nếu biết phơng pháp giải này ngợc với phơng pháp phân tích thì cũng rất dễ tìm ra bất đẳng thức xuất phát. 4.2. Ví dụ áp dụng Ví dụ 1: Cho a, b 0. Chứng minh ab ba 2 2 + (Bất đẳng thức Côsi) Giải: Theo giả thiết a, b 0 ab 0 ab xác định. Ta có: ( a - b) 2 0 a 2 - 2ab +b 2 0 a 2 + 2ab +b 2 4ab ( a - b) 2 4ab a + b 2 ab (vì a + b 0 ) ab ba + 2 (đpcm) Dấu = xảy ra a = b. Ví dụ 2: Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng: ( ) ( ) 22 2222 dbcadcba ++++++ Giải: Ta có: (ad - bd) 2 0 a 2 d 2 - 2adbc + b 2 c 2 0 a 2 d 2 - 2adbc + b 2 c 2 + a 2 c 2 + b 2 d 2 a 2 c 2 + b 2 d 2 a 2 d 2 - 2adbc + b 2 c 2 + a 2 c 2 + b 2 d 2 a 2 c 2 + 2acbd + b 2 d 2 a 2 (c 2 + d 2 ) + b 2 (c 2 + d 2 ) (ac + bd) 2 ( )( ) ++ 2222 dcba ac + bd ( vì ac + bd > 0) a 2 + b 2 + 2 ( )( ) 2222 dcba ++ + c 2 + d 2 2ac + 2bd + a 2 + b 2 + c 2 +d 2 ( ( )( ) 2222 dcba ++ ) 2 (a + c) 2 + (b + d) 2 ( ) ( ) 22 2222 dbcadcba ++++++ (đpcm) Dấu = xảy ra d c b a = Chú ý: với a, b, c, d >0 thì các phép biến đổi trong cách giải trên là tơng đơng. 4.3. Bài tập tơng tự: Chứng minh các bất đẳng thức Bài 1: a 2 + b 2 + c 2 ab + bc + ca với mọi a, b Bài 2: (x-y) 2 + (y -z) 2 + (z -x) 2 3(x 2 + y 2 +z 2 ) với mọi x, y, z Bài 3: 3 33 22 + + baba với a > 0 , b > 0 5. Ph ơng pháp phản chứng : 5.1. Phơng pháp giải: Nếu bài toán yêu cầu chứng minh bất đẳng thức A B ( hoặc A < B) thì ta giả sử A < B (hoặc A B). Từ điều mà ta vừa giả sử cùng với giả thiết của bài toán ta suy ra một điều mâu thuẫn với giả thiết với các kiến thức đã học. Cuối cùng ta khẳng định kết luận của bài toán A B ( hoặc A < B) là đúng. Giải nh vậy gọi là phơng pháp phản chứng. 5.2. Ví dụ áp dụng Ví dụ 1: Cho a 2 + b 2 2 . Chứng minh: a + b 2 Giải: Giả sử: a + b > 2 a 2 + 2ab + b 2 > 4 (1) Ta có: (a - b) 2 0 a 2 - 2ab + b 2 0 2ab a 2 + b 2 a 2 + b 2 + 2ab 2(a 2 + b 2 ) Mặt khác theo giả thiết ta có: a 2 + b 2 2 2(a 2 + b 2 ) 4 Suy ra: a 2 + b 2 + 2ab 4 (2) mâu thuẫn với (1). Vậy phải có a + b 2 Ví dụ 2: Chứng minh rằng: Nếu a + b + c > 0; abc >0 , ab + bc + ac > 0 thì a > 0, b > 0, c > 0. Giải: giả sử a 0 Nếu a = 0 thì abc = 0 trái với giả thiết abc > 0 Nếu a < 0 : do a + b + c > 0 nên b + c > 0 Do abc > 0 nên bc < 0 a(b + c) + bc < 0 Hay ab + ac + bc < 0 trái với giả thiết ab + ac + bc > 0 Vậy a > 0. Tơng tự ta chứng minh đợc b > 0, c > 0 5.3. Bài tập tơng tự: Bài 1: chứng minh rằng: Nếu a 3; b 3; a 2 + b 2 25 thì a + b 7 Bài 2: Cho a 3 + b 3 = 2. Chứng minh a + b 2 6. Ph ơng pháp xét các khoảng giá trị của biến 6.1. Phơng pháp giải: Có những bài toán yêu cầu chứng minh bất đẳng thức A(x) > 0 mà không cho thêm giả thiết nào nữa ta có thể suy nghĩ theo cách giải sau: Nếu biểu thức A(x) viết đợc về dạng tổng các hạng tử nx(x-a) thì ta xét các khoảng giá trị của biến x chẳng hạn nh x a và x < a để sử dụng định nghĩa bất đẳng thức x a 0 ax hay x < a x -a < 0. Trong trờng hợp bất đẳng thức cần chứng minh cha có dạng A(x) > 0 hay A(x) < 0 trớc hết ta chuyển vế để đa về dạng đó. 6.2. Ví dụ áp dụng: Ví dụ 1: Chứng minh x 10 -x 9 +x 4 - x+ 1 >0 Giải: Xét A = x 10 -x 9 +x 4 - x+ 1 = x 9 (x-1) + x(x 3 -1) +1 (1) Hoặc A = x 10 + x 4 (1-x 5 ) +(1-x) (2) + Nếu x 1 x 9 > 0; x-1 0; x 3 +1 0 Nên từ (1) A > 0 + Nếu x < 1 1-x 5 > 0; 1-x > 0 mà x 10 0 và x 4 0 nên từ (2) A > 0. Ví dụ 2: Chứng minh 12x 4 + 8x 3 +11x 2 +7x+10 >0 Giải: xét B = 12x 4 + 8x 3 +11x 2 +7x+10 (1) Hoặc B= 10(x 4 + x 3 +x 2 +x+1) + 2x 4 +x 2 -2x 3 -3x (2) + Nếu x 0 thì từ (1) B > 0 ( vì x 4 + x 3 +x 2 +x+1 >0 tơng tự ví dụ 1 và 2x 4 +x 2 > 0; -2x 3 -3x > 0 ( do x<0) Vậy B > 0 (đpcm) 6.3. Bài tập tơng tự Bài 1: chứngminh x 8 +x 4 +1 > x 7 + x Bài 2: Chứngminh x 6 - x 5 + x 4 - x 3 +x 2 - x + 1 > 0 Bài 3: Chứng minh x 6 - x 5 + x 4 - x 3 +x 2 - x + 4 3 > 0 7. Ph ơng pháp làm trội ( hoặc làm giảm) 7.1. Phơng pháp giải: Để chứng minh A < B ta làm trội A thành C (A < C) rồi chứng minh C B (biểu thức C đóng vai trò trung gian để so sánh A và B) Tơng tự đối với phơng pháp làm giảm 7.2. Ví dụ áp dụng: Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n 2 ta có: A = 4 11 3 1 2 1 333 <+++ n Giải: Làm trội mỗi phân số ở A bằng cách giảm mẫu Ta có: ( ) ( ) ( ) 11 1 1 111 233 + = = < kkk kkkkk Do đó: A < ( ) ( ) 11 1 4.3.2 1 3.2.1 11 33 1 22 1 333 + +++= ++ + nnn nn Đặt C = ( ) ( ) 11 1 4.3.2 1 3.2.1 1 + +++ nnn = ( ) ( ) + +++ 1 1 1 1 4.3 1 3.2 1 3.2 1 2.1 1 2 1 nnnn = ( ) ( ) 4 1 12 1 4 1 1 1 2 1 2 1 < + = + nnnn Vậy: 4 11 3 1 2 1 333 <+++ n Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n 2 ta có: A = 1+ n n < +++ 12 1 3 1 2 1 Giải: A= ++++ ++++ ++++ ++ 12 1 2 1 15 1 9 1 2 1 7 1 6 1 5 1 2 1 3 1 2 1 1 132 nn ở mỗi nhóm trong A ta làm trội bằng cách thay các phân số bởi phân số lớn nhất trong nhóm, ta đợc A< 1 132 2. 2 1 8. 2 1 4. .2 1 2. 2 1 1 +++++ n n = 1 1 1 n n + + + = 1 4 2 43 Vậy A < n (đpcm) 7.3. Bài tập tơng tự Bài 1: Cho A = 199 200 5 6 . 3 4 . 1 2 Chứng minh 14 < A < 20 Bài 2: Chứng minh: 2 13 1 3 1 2 1 1 1 < + ++ + + + + + nnnn Với n nguyên dơng 8. Ph ơng pháp sử dụng các bất đẳng thức kinh điển ( bất đẳng côsi và bất đẳng thức bunhiacốpxki) 8.1. Phơng pháp giải: Để chứng minh một bất đẳng thức nào đó ngoài các cách đã giới thiệu ta có thể sử dụng các bất đẳng thức kinh điển. Trong phạm vi chơng trình THCS , tôi xin giới thiệu và hớng dẫn học sinh vận dụng bất đẳng thức Côsi và bất đẳng thức Bunhiacốpxki để chứng minh các bất đẳng thức khác. a. Bất đẳng thức Côsi: * Cho a,b khụng õm .Ta cú: abba 2+ ng thc xy ra khi v ch khi: a=b C/m: abba 2+ ( ) ( ) abba 2 22 + ( ) ( ) 02 22 + baba ( ) 0 2 ba Bt ny ỳng nờn pcm l ỳng ng thc xy ra khi a=b * Cho a,b,c khụng õm. Ta cú: 3 3 abccba ++ ng thc xy ra khi v ch khi a=b=c [...]... ( 2 2 ( a1b1 + a 2 b2 + + a n bn ) 2 a12 + a 2 + + a n 2 1 2 2 + b 2 + + bn ) Dấu = xảy ra ' = 0 phơng trình f(x) =0 có nghiệm kép a a1 a 2 = = = n b1 b2 bn 10 Phơng pháp đồ thị và hình học 10.1 Phơng pháp giải: Vận dụng các kiến thức hình học để chứng minh các bài toán về bất đẳng thức đại số 10.2 Ví dụ áp dụng: Ví dụ 1: Chứng minh rằng với a, b ta có: a + b < a + b B Giải: Xét ABC có Â =... dấu với a với mọi giá trị của x, trừ khi x= b thì 2a b ); 2a f(x) = 0 (nghĩa là a.f(x) 0, af(x) = 0 khi x= - Nếu > 0 thì f(x) cùng dấu với a khi x nằm trong khoảng hai nghiệm (x 1, x2) và khác dấu với a khi x nằm trong khoảng hai nghiệm 9.2 Ví dụ áp dụng a 2 + b 2 = 1 Ví dụ 1: Cho bốn số thực a, b, c, d thoả mãn hệ điều kiện c + d = 6 Chứng minh rằng: c2 + d2-2ac -2bd 18 - 6 2 (1) Giải: c + d = . trình f(x) =0 có nghiệm kép n n b a b a b a === 2 2 1 1 10. Ph ơng pháp đồ thị và hình học 10.1. Phơng pháp giải: Vận dụng các kiến thức hình học để chứng minh các bài toán về bất đẳng. bài toán ta suy ra một điều mâu thuẫn với giả thiết với các kiến thức đã học. Cuối cùng ta khẳng định kết luận của bài toán A B ( hoặc A < B) là đúng. Giải nh vậy gọi là phơng pháp phản. thức kinh điển ( bất đẳng côsi và bất đẳng thức bunhiacốpxki) 8.1. Phơng pháp giải: Để chứng minh một bất đẳng thức nào đó ngoài các cách đã giới thiệu ta có thể sử dụng các bất đẳng thức kinh