Chương 1LÝ THUYẾT TÁN XẠ LƯỢNG TỬ PROBLEM 11.6 Show that the ground state of hydrogen Equation 4.80 satisfies the integral form of the Schrõdinger, for the appropriate V and E note that
Trang 1Mục lục
1.1 Problem 11.6 (paper 367) 2
Trang 2Chương 1
LÝ THUYẾT TÁN XẠ LƯỢNG TỬ
PROBLEM 11.6
Show that the ground state of hydrogen (Equation 4.80) satisfies the integral form of the Schrõdinger, for the appropriate V and E (note that E is negative, so k = iκ, where
κ ≡
√
−2mE
~ )
Phiên dịch đề bài
Chứng minh rằng trạng thái cơ bản của hidrogen (phương tình 4.80) thỏa mãn dạng tích phân của phương trình Schrõdinger với V và E có giá trị thích hợp (lưu ý E < 0, nên
k = iκ, trong đó κ ≡
√
−2mE
~ )
Bài làm
Nghiệm tổng quát của phương trình Schrõdinger có dạng:
ψ (−→r ) = ψ0(−→r ) − m
2π~2
Z eik|−→r −−→r 0|
|−→r −−→r0|V (−→r0) ψ (−→r0) d3r0
Theo công thức (4.80) hàm sóng trong trạng thái cơ bản của hydrogen có dạng
ψ = √1
πa3.e−r/a Trong đó:
a = 4πε0~
2
me2 ⇒ e2 = 4πε0~
2
ma Xét trong hệ đơn vị SI, biểu thức thế năng tương tác có dạng:
V = − e
2
4πε0r ⇒ V = −
1 4πε0r.
4πε0~2
ma = −
~2
ma.
1 r
Từ (4.71), ta lấy giá trị n = 0, khi đó ta có:
κ = me
2
4πε0~2.1
n =
1
an =
1 a
Ta có
k =
√ 2mE
~ =
p
i2(−2mE)
i√−2mE
~ = iκ =
i a
Trang 3− m 2π~2
e
|−→r −−→r0|V (−→ro) ψ (−→r0) d3r0 = ψ (−→r ) Xét vế trái của phương trình trên, đặt là I, ta có:
V T = I =
− m 2π~2
Z eik|− →r −− →r
0|
|−→r −−→r0|.V (−→r0) ψ (−→r0) d3r0
⇒ I =
− m 2π~2
− ~2
ma
1
√
πa3
Z
e−|~r−−→r0|/a
|~r −−→r0| 1
r0
.e−r0 /a
d3r0
=
1 2πa
1
√
πa3
ZZZ e−
√
r 2 +r2−2rr0 cos θ/a
p
r2+ r2
0− 2rr0 cos θ.
1
r0
.e−r0 /a
.r20sin θdr0dθdφ
Tích phân theo φ: Z 2π
0
dφ = 2π Khi đó:
I = 1
a
√
πa3
Z ∞ 0
r0.e−r0 /a
Z π 0
e−
√
r 2 +r 2 −2rr0 cos θ/a
p
r2+ r02− 2rr0 cos θ sin θdθ
!
dr0
Trước hết ta tính tích phân theo θ, ta có:
J =
Z π
0
e−
√
r 2 +r 2 −2rr0 cos θ/a
p
r2+ r2
0− 2rr0 cos θsin θdθ = −
Z π 0
e−
√
r 2 +r 2 −2rr0 cos θ/a
p
r2 + r2
0 − 2rr0 cos θd (cos θ) đặt
t =
q
r2+ r20− 2rr0 cos θ ⇒ t2= r2 + r02− 2rr0 cos θ
⇒ 2tdt = −2rr0.d (cos θ) ⇒ d (cos θ) = −tdt
rr0
Suy ra:
J = −
Z e−t/a
t
−tdt
rr0
= 1
rr0
Z
e−t/adt = − a
rr0
Z
d e−t/a
⇒ J = − a
rr0
Z π 0
d
e−
√
r 2 +r 2 −2rr0 cos θ/a
= − a
rr0
e−
√
r 2 +r 2 −2rr0 cos θ/a
π 0
⇒ J = −rra
0
e−(r+r0 )/a
− e−|r−r0 |/a
Trang 4a πa 0
⇒ I = − 1
r
√
πa3
Z ∞ 0
e−r0 /a
.
e−(r+r0 )/a
− e−|r−r0 |/a
dr0
⇒ I = − 1
r
√
πa3
e−r/a
Z ∞ 0
e−2r0 /a
dr0−
Z ∞ 0
e−r0 /a
.e−|r−r0 |/a
.dr0
⇒ I = − 1
r
√
πa3
e−r/a
Z ∞ 0
e−2r0 /a
dr0− e−r/a
Z r 0
dr0− er/a
Z ∞ r
e−2r0 /a
dr0
⇒ I = − 1
r
√
πa3
e−r/a a
2
− r.e−r/a − er/a e
−2r0/a
−2/a
∞ r
⇒ I = −1
r
√
πa3
h
e−r/a a
2
− r.e−r/a + a
2.e
r/a
0 − e−2r/ai
⇒ I = −1
r
√
πa3
a
2.e
−r/a
− r.e−r/a − a
2.e
−r/a
= √1
πa3.e−r/a = ψ (−→r ) = V P Vậy trạng thái cơ bản của hydrogen thỏa mãn dạng tích phân của phương trình Schrõdinger với E và V có giá trị thích hợp