1. Trang chủ
  2. » Khoa Học Tự Nhiên

tuyển tập đề thi vào 10 trường thpt nguyễn trãi

47 587 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 47
Dung lượng 898,14 KB

Nội dung

Phạm Minh Hoàng- Cựu học sinh Trường THCS Phong Châu- Phù Ninh- Phú Thọ Đề 54:Thi chuyên Nguyễn Trãi(1997-1998) Câu 1: 1/ Tìm các số tự nhiên a, b thỏa mãn: ()() 22 11ab a b = −++ . 2/ Tìm các số tự nhiên x, y, z thỏa mãn: 333 42xyz0 − −=. Câu 2 1/ Tính tổng: 22 22 2 2 11 11 1 1 1 1 1 2 3 3 4 1997 1998 S =++++++++ + . 2/ Tính giá trị biểu thức : 24 1 A xxx=+ ++ với 111 .2 .2 288 x =+− . Câu 3: Ba đường phân giác trong các góc A, B, C cắt đường tròn ngoại tiếp tại A 1 , B 1 , C 1 . ABCΔ Chứng minh rằng: AA 1 + BB 1 + CC 1 > AB + BC + CA. Câu 4: Cho hình bình hành ABCD, đường phân giác cắt cạnh BC và CD tại M và N. n BAD 1/ Chứng minh rằng: Tâm đường tròn ngoại tiếp CMN Δ nằm trên đường tròn ngoại tiếp CBD Δ . 2/ Gọi K là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp CMN Δ và đường tròn ngoại tiếp . Chứng minh rằng: . CBDΔ n 0 90AKC = Câu 5: Chứng minh: 2 11 . 1997 1998 abbc ca cab −−− ⎛⎞ ++ ≤ − ⎜⎟ ⎝⎠ Trong đó 1997 , , 1998abc ≤ ≤ . Hướng dẫn giải: Câu 1: 1/ Theo bài ra ta có: ()( 2 1ab a b=− ++ ) 2 1 0. trong đó: ,;0,9;ab ab a ∈ Ν≤≤≠ 167 Phạm Minh Hoàng- Cựu học sinh Trường THCS Phong Châu- Phù Ninh- Phú Thọ ()() 22 10 2 1 2 1 .12 . 1 2 aba a b b aabb ⇒+=−++++ ⇒−=++ 168 2 0 5 6 Vì là số chẵn là số chẵn. () .1bb++ a⇒ +/ Nếu ( không có nghiệm nguyên ) () 2.122abb=⇒ ++= +/ Nếu () 5 4.1232 6 b abb b b = ⎡ =⇒ ++= ⇒ ⇒= ⎢ =− ⎣ +/ Nếu ( không có nghiệm nguyên ) () 6.123abb=⇒ ++= +/ Nếu () 5 8 . 1 2 32 5 6 b abb b b = ⎡ =⇒ ++= ⇒ ⇒= ⎢ =− ⎣ Vậy hoặc . 4, 5ab== 8, 5ab== 2/ Theo bài ra ta có: ( ) 333 3 4201 2 2 x yz x x−−= ⇒ ⇒## . Đặt thay vào (1) ta có: ( 11 2xxx=∈ ) Ν ( ) 333 333 3 11 842042 02 2 2 x yz xyz z z−−=⇒−−= ⇒ ⇒## . Đặt , thay vào (2) ta có : ( 11 2zzz=∈ ) Ν 2 () 333 3 3 11 428 0324 2 x yz yyy−−= ⇒ ⇒ ⇒### ) Ν 0 . Đặt , thay vào (3) ta có : ( 11 2yyy=∈ 333 111 42xyz − −= . Quá trình lập luận cứ tiếp diễn ta sẽ có: 2, 2, 2 nnn x yz### trong đó n là số tự nhiên lớn tùy ý 0.xyz⇒=== Thử lại, thấy thỏa mãn phương trình đã cho. 0xyz=== Vậy là nghiệm duy nhất. 0xyz=== Câu 2 1/ Xem đề 26- câu 1.a Phạm Minh Hoàng- Cựu học sinh Trường THCS Phong Châu- Phù Ninh- Phú Thọ 2/ Ta có: 111 .2 .20 288 x =+−> . Và : () () () 2 2 2 42 2 4 2 4 1 824.2 8 1 8 2 16. 2 8 42.2 2. 2. 1 1 821 21 11 8 3 1 8 x x xx xx xx x xx x xx x xx += + ⎛⎞ ⇒+ = + ⎜⎟ ⎝⎠ ⇒+ = ⇒=− ⇒=−+ −+ ⇒++= ++ + ⇒++= Ta có: () () 2 2 1 24 2 2 3 32.2. 3 1 3 12 8 2. 2 2. 2 2. 2 x xxxxx Ax x x x x + +++−++ =+ ++=+ =+ = = =. Vậy 2A = . Câu 3: Theo định lý Ptoleme ta có: () ( ) () 1 1111 1 . AB AC BA AA BC BA AC CA AB BA AB AC AA BC + =+= +⇒= 1 Lại có: () 11 1 2 22 BA CA BC BA + => B C A Từ (1) và (2) () 1 * 2 AB AC AA + ⇒> Hoàn toàn tương tự ta có : () 1 ** 2 BA BC BB + > và () 1 *** 2 CA CB CC + > 169 A 1 Phạm Minh Hoàng- Cựu học sinh Trường THCS Phong Châu- Phù Ninh- Phú Thọ Cộng các BĐT (*), (**), (***) theo vế ta được: AA 1 + BB 1 + CC 1 > AB +AC +BC (đpcm) Câu 4: 1 2 1 K N I D A O C B M Gọi đường tròn ngoại tiếp CMN là Δ ( ) O . 1/ Ta có: m l m 11 NAA== 2 . AND⇒Δ cân ở D D NADBC⇒== . Có: n n n n n n n n n nn 2 B CO BCD DCO CMN CNM DCO CMN DCO CON DCO DNO=+=++= +=+= Xét & D NO BCOΔΔ có: n n () DN BC ON OC DNO BCO c g c BCO DNO ⎧ = ⎪ =⇒Δ=Δ ⎨ ⎪ = ⎩ n n ODN OBC=⇒Tứ giác CODB nội tiếp (đpcm). 170 Phạm Minh Hoàng- Cựu học sinh Trường THCS Phong Châu- Phù Ninh- Phú Thọ 2/ Gọi I là giao điểm của AC và BD ( ) 1OCB OND OB OD OI BDΔ=Δ⇒=⇒⊥ ⇒ OI là trung trực của đoạn BD. OI là đường thẳng nối tâm đường tròn (CMN) và đường tròn (CBD). ⇒ (CMN) cắt (CBD) tại C và K ( ) 2KC OI⇒⊥ . () () 1 2 KC BD⇒& ⇒Tứ giác CBDK là hình thang cân ( hình thang nội tiếp là hình thang cân) n n n () *KDB CBD ADB DK BC AD ⎧ == ⎪ ⇒ ⎨ == ⎪ ⎩ Từ (*) suy ra DB là phân giác góc ADK. ⇒ AK vuông góc DB mà n 0 90 .DB KC AK KC AKC⇒⊥⇒ =& Câu 5: Ta có: ( ) ( ) ( ) ab bc ca abbc ca A c a b abc −−− −−− =++= . Không mất tính tổng quát, giả sử .abc≥≥ ()()() ( ) ( ) ( ) ( ) ()()()()()( ) . . . . 1998 1. 1 . 1998 1998 . . 1998 1998 . 1997 . 1998 1997 1998 1998. .1997 11 111 1 2. . 1997 1998 1997.1998 1997 1998 1997.1998. 11 1997 1998 ab bc ac bc ac bc c bb A abc a bc bc bbc c bb bc b bb bb −−− −− − − ⎛⎞ ⎛ ⎞ ==−≤− ⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎠ ⎝ ⎠ −− − −− − =≤ ⎛⎞ =+− +≤+− = ⎜⎟ ⎝⎠ ⎛ =− 2 ().dpcm ⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ = = Dấu ‘’=’’ xảy ra 1998 1998.1997 1997 a b c = ⎧ ⎪ ⇔= ⎨ ⎪ = ⎩ 171 Phạm Minh Hoàng- Cựu học sinh Trường THCS Phong Châu- Phù Ninh- Phú Thọ Đề 55:Thi chuyên Nguyễn Trãi (1998–1999) Câu 1 : Giải hệ phương trình : 2 2 2 xy y yz z zx x −= ⎧ ⎪ −= ⎨ ⎪ −= ⎩ Câu 2: Cho dãy số được cho theo quy luật sau: 123 ,,, , n aaa a 121 1 11 1 1; ; ; . nn n aaa aa aa − 1 − ==+ =+ Chứng minh rằng: 145 17 21a < < . Câu 3 : Cho không cân, BD và CE là hai đường phân giác trong của góc B và góc C cắt nhau tại I sao cho : ID = IE. ABCΔ 1/ Tính n ?BAC = 2/ Chứng minh rằng: 31 . 1 A BBCCA ABBC BCAC =+ ++ + + Câu 4: Cho , M là một điểm bất kỳ nằm trong tam giác. AM, BM, CM lần lượt cắt BC, CA, AB tại P,Q,R. ABCΔ Tìm giá trị nhỏ nhất của: A MBMCM T M PMQM =++ R . Hướng dẫn giải: Câu 1 : Ta có () 2 1 2 2 2 1 2 2 1 y x xy y y zz z I y zx x x z ⎧ = ⎪ − −= ⎧ ⎪ ⎪⎪ −= ⇔ = ⎨⎨ − ⎪⎪ −= ⎩ ⎪ = ⎪ ⎩− + Nếu 1 x > : Suy ra N 22 11 1 11 z xz zy = =>⇒>⇒>⇒> −− 1. y Không giảm tính tổng quá, giả sử { } max , , x xyz= . Ta có: 172 Phạm Minh Hoàng- Cựu học sinh Trường THCS Phong Châu- Phù Ninh- Phú Thọ N N 22 0011 11 y z y zy xy = = <≤⇒≤⇒<−≤ −− z− N N 22 22 11 11 x z zx zx yz yz yz = = ⇒≥⇒≥⇒=⇒=⇒= −− −− Vậy ta có . x yz== Hệ (I) trở thành: 2 2 1 1 x x x x ⎧ = ⎪ ⇔= − ⎨ ⎪ > ⎩ + Nếu 22 100 11 xy z x xyz <⇒ = < ⇒ = < ⇒ = < −− 2 0 1 − Vậy ta có: . ,, 0xyz< Không giảm tính tổng quát, giả sử { } max , , x xyz= . Ta có: N N 22 11 11 y z yz y z xy = = ≤ ⇒ ≤ ⇒ −≤ −< −− 0 . N N 22 22 11 11 x z zx zx yz yz yz = = ⇒≥⇒≥⇒=⇒=⇒= −− −− Vậy ta có . x yz== Hệ (I) trở thành: 2 1 1 1 x x x x ⎧ = ⎪ ⇔=− − ⎨ ⎪ < ⎩ Kết luận: Hệ phương trình có hai nghiệm 1 2 xyz xyz = ==− ⎡ ⎢ = == ⎣ Câu 2: Dễ thấy 0, i aii>∀∈Ν≥1. Theo bài ra ta có: 173 Phạm Minh Hoàng- Cựu học sinh Trường THCS Phong Châu- Phù Ninh- Phú Thọ () () () 2 1 22 21 2 1 22 145 144 2 144 11 1 22 1 2 145 a aa a aa a = =++ =++ Cộng (1), (2), (3)… , (145) theo vế ta được: 145 144 144 22 2 145 22 11 1 11 289 289 ii ii i ii aa a aa == = ⎛⎞ =++⇒=+ ⎜⎟ ⎝⎠ ∑∑ ∑ 2 145 145 289 17aa⇒>⇒> . Lại có: () () 2 2 1 12 12 i i ai i a >∀≥ ⇒ <∀≥ 144 144 2 2 145 145 22 12 143 / 1 11 289 290 290 1 1 1 441 21 21 ii ii cs aa aa == =+ =+ <++++<=⇒< ∑∑   . Vậy ta có (đpcm). 145 17 21a<< Câu 3: 1/ Hạ () ,, I LACIKBCLACKAB⊥⊥∈∈ . Vì I là tâm đường tròn nội tiếp ABC IL IKΔ⇒= Vì không cân nên ABCΔ [ ] [ ] ( ) ;;;;L ADK BELALDKBKE∈∈≠≠≠≠ hoặc [ ] [ ] () ;;;;LCDK AELCLDKAKE∈∈≠≠≠≠ . +) Xét [ ] [ ] ;LADKBE∈∈ .Ta có: () n n l l l l l l l l ll l l 0 0 22 3 90 22 2 2 60 IEK IDL ch cgv CB IEK IDL A C CB AABC A A Δ=Δ − ⇒=⇒+=+ ++ ⇒=+⇒ = = ⇒= 174 Phạm Minh Hoàng- Cựu học sinh Trường THCS Phong Châu- Phù Ninh- Phú Thọ +) Nếu [ ] [ ] ;LCDK AE∈∈ : Tương tự trên. Tóm lại ta có: n 0 60BAC = . 2/ Đặt ;;. A BcBCaCAb=== Theo định lý hàm số cos ta có: l ()()()() ()()()() ()() ()( ) ()( ()( ) ) 22 2 0 22 2 2. , 60 . 1 1 1 11111 311 () b c bcCosA a A b c bc a bab cca ca ab bc caab abc ac abc ab ac ab abc ac abc ab abc ac abc ab abc abc acabc ababc dpcm abc ac ab +− = = ⇒+−= ⇒+++=+ + ⇒= + ++ ++ − + ++ − + ⇒= + ++ ++ − + ++ − + ⇒= + ++ + ++ + ++ ⇒=−+− ++ + ++ + ++ ⇒=+ ++ + + Câu 4 : Đặt ( ) 222 ;; ,, AMB AMC AMC S a S b S c abc=== 0> . B C A P M Ta có: () 2 2 22 22 2 22 2 1 BMP MCP BMP MCP A Ma b ab ab MP S S S S c AM a b MP c ++ === = + + ⇒= Tương tự ta có: () () 22 22 22 2; 3 BM a c CM b c MQ b MR a ++ == Công (1), (2), (3) theo vế ta được: 175 Phạm Minh Hoàng- Cựu học sinh Trường THCS Phong Châu- Phù Ninh- Phú Thọ 22 22 22 22 22 22 222 2222 2 2 ab bc ac a b b c a c T cabccaab ab bc a c aba bcc ca ca b b cab cab +++ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ =++=+++++ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ≥++++ + ≥+++++ ⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ b 22 22 22 33 33 33 22 22 3. 3. 3. 3. 2. . 3. 2 aba bcc a c a c cab cab c a c a ⎛⎞⎛⎞ ≥+=+≥ = ⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠ Dấu ‘’=’’ xảy ra M là trọng tâm 222 abc a b c⇔==⇔ = = ⇔ ABC Δ . Chú ý: Ở bài này đã sử dụng liên tiếp BĐT : ()() 22 22 2 2 ,,,a b c d ac bd abcdR++ + ≥ + ++ ∀ ∈ Chứng minh: Trong hệ tọa độ Oxy lấy ( ) ( ) ;; ; M ab N c d − − . Ta có: OM hay : ON MN+≥ ()()()( ) ()() ()() 22 22 22 22 22 2 2 00 00ab cdacb ab cd ac bd −+−+ +++ ≥ +++ ⇔+++≥+++ d Dấu ‘’=’’ xảy ra bị suy biến, O nằm trên đoạn MN. OMN⇔Δ 176 [...]... Minh Hoàng- Cựu học sinh Trường THCS Phong Châu- Phù Ninh- Phú Thọ 9 ∑ a + 3a i =1 i 5 9 ⇒ 45 + 3a5 9 ⇒ 3a5 9 ⇒ a5 3 ( dpcm ) Cách xếp: 198 Phạm Minh Hoàng- Cựu học sinh Trường THCS Phong Châu- Phù Ninh- Phú Thọ Đề 60: Thi Chuyên Nguyễn Trãi (2003 – 2004) Câu 1: Cho hai số dương a và b Xét tập hợp T bao gồm các số có dạng : T = {ax + by; x + y = 1; x > 0; y > 0} 2ab và ab đều thuộc tâph hợp T a+b... ⎩b = d Thật vậy: Ta có: a + 2.b = c + 2.d ⇒ ( a − c ) = 2 ( d − b ) Nếu d ≠ b ⇒ a ≠ c ⇒ 2 = a−c ∈ Q (Vô lý) d −b Vậy d = b ⇒ a = c Câu 5: Xem câu 10 đề 12 181 Phạm Minh Hoàng- Cựu học sinh Trường THCS Phong Châu- Phù Ninh- Phú Thọ Đề 57 :Thi chuyên Nguyễn Trãi( 2000-2001) Câu 1: Tính giá trị biểu thức: A = 1995.1996.1997.1999.2000.2001 + 36 Câu 2: 1) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: x − 5 y + 2 + y −... 1800 + β ) = 1800 − 2α + β ⇒ ΔPO1O = ΔQO2O ( c.g.c ) ⇒ OP = OQ ⇒ PM = QN B C P M I O1 O A N O2 D 186 Q Phạm Minh Hoàng- Cựu học sinh Trường THCS Phong Châu- Phù Ninh- Phú Thọ Đề 58 :Thi Chuyên Nguyễn Trãi( 2001- 2002) ⎛ Câu 1: Chứng minh rằng biểu thức: A = ⎜ ⎝ Không phụ thuộc vào x và y Câu 2: xy + x+ y ⎞ ⎛ − x ⎟+⎜ 2 ⎠ ⎝ 1) Giải phương trình: ( x 2 − 1) + 4 ( x − 1) = 12 ( x + 1) 2 2 2) Xác định các giá... ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ 2 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ Vậy ta có đpcm * Nhận xét: Đây là một bài toán hay, xuất phát từ bài toán quen thuộc ( bổ đề nói ở trên), chúng ta đã có một lời giải rất đẹp 191 Phạm Minh Hoàng- Cựu học sinh Trường THCS Phong Châu- Phù Ninh- Phú Thọ Đề 59: Thi Chuyên Nguyễn Trãi (2002-2003) Câu 1: Cho đa thức f ( x ) có bậc 2000 thỏa mã điều kiện f ( n ) = Tính f ( 2002 ) 1 với n = 1, 2,3, , 2000,...Phạm Minh Hoàng- Cựu học sinh Trường THCS Phong Châu- Phù Ninh- Phú Thọ Đề 56 :Thi chuyên Nguyễn Trãi( 1999-2000) ⎧ x 2 + 3 xy + 2 y 2 − x + y − 6 = 0 (1) ⎪ Câu 1: Giải hệ phương trình ⎨ 2 2 ⎪ x + xy − 2 y + 8 x + 10 y + 12 = 0 ( 2 ) ⎩ Câu 2: Tìm các số nguyên k, m, n đôi một khác nhau và đồng thời khác 0 để đa thức: x ( x... chính phương với n ≥ 4 Thật vậy: giả sử ∃k ≥ 4 : uk là số chính phương Tức là: uk = 144 4 = A2 ( A ∈ *) kc / s 4 ⇒ 10 + 44 4 = A2 ⇒ A chẵn Đặt A=2t ( t ∈ *) k kc / s 4 ⇒ 10 + 44 4 = 4t 2 ⇒ 5k 2k − 2 + 11 1 = t 2 k kc / s 4 k −2 Ta có: 5 2 k ≡ 0 ( mod 4 ) ∀k ≥ 4 kc / s1 Và: 11 1 = 111 100 + 8 + 3 chia cho 4 dư 3 kc / s1 ⇒ t = 5 2 2 k k − 2 c / s1 k −2 + 111 1 chia cho 4 dư 3 ( vô lí) kc / s1 Tóm lại... 2 〉1 ⇒ a + b + c + d là hợp số ( đpcm) Trở lại bài toán: Ta có: n = a 2 + b 2 = c 2 + d 2 2 2 2 2 190 〉1 Phạm Minh Hoàng- Cựu học sinh Trường THCS Phong Châu- Phù Ninh- Phú Thọ a 2 − d 2 c2 − b2 a −d a + d c −b c +b = ⇒ = (2) 4 4 2 2 2 2 Từ (1) và (2) áp dụng bổ đề ta có: ⇒ a 2 − d 2 = c2 − b2 ⇒ 2 2 2 2 ⎛ a −d ⎞ ⎛ a + d ⎞ ⎛ c −b ⎞ ⎛ c +b ⎞ ⎟ là hợp số ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ +⎜ ⎟ +⎜ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ Có:... y − 6 = 0 (1) ⎪ Câu 1: Theo bài ra ta có: ⎨ 2 2 ⎪ x + xy − 2 y + 8 x + 10 y + 12 = 0 ( 2 ) ⎩ Nhân (1) với 2 rồi cộng với (2) theo vế ta được: 3 x 2 + ( 7 y + 6 ) x + 2 y 2 + 12 y = 0 y+6 ⎡ ⎢x = − 3 ⇔ ( 3x + y + 6 ) ( x + 2 y ) = 0 ⇔ ⎢ ⎣ x = −2 y Bài toán đã trở nên đơn giản, bạn đọc tự giải tiếp 177 Phạm Minh Hoàng- Cựu học sinh Trường THCS Phong Châu- Phù Ninh- Phú Thọ Câu 2: Giả sử x ( x − k ) (... 1) Cho tam giác nhọn ABC có BAC = 600 và nội tiếp đường trong đường tròn tâm O H là trực tâm ΔABC CMR: OH = AB − AC 2) Cho ba số k , m, n ∈ * đồng thời thỏa mãn 2) Cho ΔABC đều và một đường tròn có bán kính bằng cạnh của tam giác đều đó đồng thời đi qua các đỉnh B và C sao cho đỉnh A nằm ngoài đường tròn; M là điểm nằm trên đường tròn ( M ≠ B, M ≠ C ) CMR: MA,MB,MC là độ dài ba cạnh của một tam giác... u1 = 14; u2 = 144; u3 = 1444; ; un = 144 4 ( có n chữ số 4) Tìm các số hạng của dãy số là số chính phương 2) Lấy các số nguyên từ 1 đến 9 xếp vào các ô vuông nhỏ của một hình vuông 3x3 ô ( mỗi số chỉ lấy một lần) sao cho tổng mỗi hàng, mỗi cột, mỗi đường chéo đều là bội của 9 CMR: Chữ số nằm ở ô trung tâm hình vuông là bội của 3 Hãy chỉ ra một cách sắp xếp có số ở ô trung tâm là 6 Hướng dẫn giải: Câu . lý). Vậy . db ac=⇒= Câu 5: Xem câu 10 đề 12. 181 Phạm Minh Hoàng- Cựu học sinh Trường THCS Phong Châu- Phù Ninh- Phú Thọ Đề 57 :Thi chuyên Nguyễn Trãi( 2000-2001) Câu 1: Tính giá. Minh Hoàng- Cựu học sinh Trường THCS Phong Châu- Phù Ninh- Phú Thọ Đề 56 :Thi chuyên Nguyễn Trãi( 1999-2000) Câu 1: Giải hệ phương trình ( ) () 22 22 32 601 2 8 10 12 0 2 xxyyxy xxyy x y ⎧ ++−+−= ⎪ ⎨ +−. Phạm Minh Hoàng- Cựu học sinh Trường THCS Phong Châu- Phù Ninh- Phú Thọ Đề 54 :Thi chuyên Nguyễn Trãi( 1997-1998) Câu 1: 1/ Tìm các số tự nhiên a, b thỏa mãn:

Ngày đăng: 21/11/2014, 21:38

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w