Không gian Hyperbolic đầy luận án thạc sĩ

ĐẠI HỌC THÁI NGUN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRƯƠNG THANH TÙNG KHƠNG GIAN HYPERBOLIC ĐẦY LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC Thái Ngun - 2013 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRƯƠNG THANH TÙNG KHƠNG GIAN HYPERBOLIC ĐẦY Chun ngành: Giải tích Mã số : 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Thị Tuyết Mai Thái Ngun - 2013 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ i Mục lục LỜI MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chương 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1. Khơng gian phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2. Khơng gian phân thớ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3. Giả khoảng cách Kobayashi trên khơng gian phức . . . . . . 8 1.4. Khơng gian phức Hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.5. Một số kết quả bổ trợ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Chương 2. KHƠNG GIAN PHỨC HYPERBOLIC ĐẦY . . . 27 2.1. Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2. Một số tính chất của khơng gian phức Hyperbolic đầy . . . 29 2.3. Một số định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . 45 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 1 LỜI MỞ ĐẦU Lý thuyết các khơng gian phức được S. Kobayashi đưa ra đầu những 70 của thế kỉ 20, là một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của giải tích phức. Sau đó, lý thuyết này đã thu hút sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà tốn học trên thế giới. Một số kết quả sâu sắc và đẹp đẽ của lý thuyết này đã được chứng minh bởi S. Kobayashi, M. Kwack, J. Noguchi, S. Lang, Những cơng trình nghiên cứu đó đã thúc đẩy hướng nghiên cứu này phát triển mạnh mẽ và đã hình thành nên một chun ngành mới của giải tích tốn học đó là giải tích phức hyperbolic. Có thể nói giải tích phức hyperbolic đang là một lĩnh vực nghiên cứu nằm ở chỗ giao nhau của nhiều ngành tốn học lớn: Hình học vi phân phức, giải tích phức, hình học đại số và lý thuyết số. Một trong những khơng gian phức Hyerbolic được đưa ra là khơng gian phức Hyperbolic đầy, cụ thể là: Cho G là một miền tuỳ ý trong C n được trang bị khoảng cách liên tục d G . Một miền G được gọi là d G - đầy đủ nếu mọi dãy d G - Cauchy {z v } v∈N ⊂ G hội tụ tới z 0 ∈ G, tức là: z v − z 0  → v→∞ 0 . Hơn thế nữa, cũng có khái niệm quan trọng khác được mượn từ hình học vi phân, như là: miền G là hyper- bolic đầy khi và chỉ khi mỗi hình cầu đóng trong (G, d G ) là compact. Nếu ta thay lần lượt khoảng cách liên tục d G bằng các khoảng cách Carathéodory, Bergman hay Kobayashi, thì ta được các khơng gian đầy đủ tương ứng. Trong khn khổ của luận văn, chúng tơi xin trình bày các kết quả liên quan đến khơng gian phức hyperbolic đầy theo khoảng cách Kobayashi. Nội dung luận văn bao gồm 2 chương. Trong chương 1, trình bày một số kiến thức cơ sở có liên quan chặt chẽ đến nội dung chính của luận văn như: khơng gian phức, giả khoảng cách Kobayashi, khơng gian phức Hyperbolic và một số kết quả bổ trợ khác. Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 2 Chương 2 là nội dung chính của luận văn. Trong chương này, chúng tơi trình bày các khái niệm, tính chất và các định lý liên quan đến khơng gian phức Hyperbolic đầy theo khoảng cách Kobayashi. Cuối cùng là phần kết luận của luận văn trình bày tóm tắt các kết quả đã đạt được. Luận văn khơng thể tránh khỏi các thiếu sót, hạn chế, rất mong nhận được ý kiến đóng góp của các độc giả. Luận văn được hồn thành dưới sự giúp đỡ tận tình của TS. Nguyễn Thị Tuyết Mai. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Cơ. Nhận dịp này, em cũng xin chân thành cảm ơn các Thầy, Cơ đã giảng dạy cho em các kiến thức khoa học trong suốt q trình học tập tại trường. Xin chân thành cảm ơn Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Ngun đã tạo điều kiện thuận lợi cho việc học tập của chúng tơi. Cuối cùng, tơi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và đồng nghiệp, những người ln động viên và giúp đỡ tơi trong q trình học tập và hồn thành khố luận. Thái Ngun, tháng 8 năm 2013 Người thực hiện Trương Thanh Tùng Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 3 Chương 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1. Khơng gian phức 1.1.1. Ánh xạ chỉnh hình [1] Giả sử X là một tập mở trong C n và f : X → C là một hàm số. Hàm f được gọi là khả vi phức tại x 0 ∈ X nếu tồn tại ánh xạ tuyến tính λ : C n → C sao cho lim |h|→0 |f (x 0 + h) − f (x 0 ) − λ (h)| |h| = 0, trong đó h = (h 1 , , h n ) ∈ C n và |h| =  n  i=1 |h i | 2  1/2 . Hàm f được gọi là chỉnh hình tại x 0 ∈ X nếu f khả vi phức trong một lân cận nào đó của x 0 và được gọi là chỉnh hình trên X nếu f chỉnh hình tại mọi điểm thuộc X. Một ánh xạ f : X → C m có thể viết dưới dạng f = (f 1 , , f m ), trong đó f i = π i ◦ f : X → C, i = 1, , m là các hàm tọa độ. Khi đó f được gọi là chỉnh hình trên X nếu f i chỉnh hình trên X với mọi i = 1, , m. Ánh xạ f : X → f (X) ⊂ C n được gọi là song chỉnh hình nếu f là song ánh, chỉnh hình và f −1 cũng là song ánh chỉnh hình. 1.1.2. Đa tạp phức [1] 1.1.2.1. Định nghĩa Giả sử X là một khơng gian tơpơ Hausdorff. Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 4 Cặp (U, ϕ) được gọi là một bản đồ địa phương của X, trong đó U là tập mở trong X và ϕ : U → C n là ánh xạ, nếu các điều kiện sau được thỏa mãn: i) ϕ (U) là tập mở trong C n . ii) ϕ : U → ϕ (U) là một đồng phơi. Họ A = {(U i , ϕ i )} i∈I các bản đồ địa phương của X được gọi là một tập bản đồ giải tích (atlas) của X nếu các điều kiện sau được thỏa mãn: i) {U i } i∈I là một phủ mở của X. ii) Với mọi U i , U j mà U i ∩ U j = φ, ánh xạ ϕ i ◦ ϕ −1 i : ϕ i (U i ∩ U j ) → ϕ j (U i ∩ U j ) là ánh xạ chỉnh hình. Xét họ các atlas trên X. Hai atlas A 1 , A 2 được gọi là tương đương nếu hợp A 1 ∪ A 2 là một atlas. Đây là một quan hệ tương đương trên tập các atlas. Mỗi lớp tương đương xác định một cấu trúc khả vi phức trên X, và X cùng với cấu trúc khả vi phức trên nó được gọi là một đa tạp phức n chiều. 1.1.2.2. Ánh xạ chỉnh hình giữa các đa tạp phức Giả sử M, N là các đa tạp phức. Ánh xạ liên tục f : M → N được gọi là chỉnh hình trên M nếu với mọi bản đồ địa phương (U, ϕ) và mọi bản đồ địa phương (V, ψ) của N sao cho f (U) ⊂ V thì ánh xạ ψ ◦ f ◦ ϕ −1 : ϕ (U) → ψ (V ) là ánh xạ chỉnh hình. Giả sử f : M → N là song ánh giữa các đa tạp phức. Nếu f và f −1 là các ánh xạ chỉnh hình thì f được gọi là ánh xạ song chỉnh hình giữa M và N. 1.1.2.3. Khơng gian tiếp xúc và phân thớ tiếp xúc của đa tạp phức Giả sử M là một đa tạp phức m chiều và D là đĩa đơn vị trong C. Giả sử (U, φ, D m ) là bản đồ địa phương quanh x, tức là U là một lân cận của x và φ : U → D m là ánh xạ song chỉnh hình. Đặt φ =  z 1 , , z m  . Khi đó  z 1 , , z m  là một hệ toạ độ chỉnh hình địa phương quanh x. Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 5 Đặt z α = x α + iy α , trong đó x α và y α là các giá trị thực. Khi đó  x 1 , , x m , y 1 , , y m  là hệ toạ độ địa phương thực quanh x, ở đó M được xem như là đa tạp khả vi thực 2m chiều. Giả sử T x M là khơng gian tiếp xúc của M tại x. Khi đó T x M là khơng gian véctơ thực 2m chiều và  ∂ ∂x 1  x , ,  ∂ ∂x m  x ,  ∂ ∂y 1  x , ,  ∂ ∂y m  x  (1) là một cơ sở của T x M. Kí hiệu T x M⊗ R C là phức hố của T x M. Khi đó (1) cũng là một cơ sở của khơng gian phức T x M⊗ R C. Đặt ∂ ∂z j = 1 2  ∂ ∂x j − i ∂ ∂y j  , 1 ≤ j ≤ m. Ta kí hiệu T x M =    m  j=1 ξ j  ∂ ∂z j  x ; ξ j ∈ C    . Khi đó T x M là một khơng gian con tuyến tính m chiều của T x M⊗ R C, mà độc lập với cách chọn hệ toạ độ chỉnh hình địa phương  z 1 , , z m  . Ta gọi T x M là khơng gian tiếp xúc của đa tạp phức M tại x. Đặt T M =  x∈M T x M(hợp rời). Ta định nghĩa phép chiếu π : T M → M xác định bởi: π (T x M) = x. Khi đó T M có cấu trúc của đa tạp phức 2m chiều sao cho π là ánh xạ chỉnh hình. Cụ thể hơn, giả sử  z 1 , , z m  là hệ toạ độ chỉnh hình địa phương xác định trên một tập con mở U của M. Khi đó ta có π −1 (U) =    m  j=1 ξ j  ∂ ∂z j  x ; x ∈ U, ξ j ∈ C    . Ánh xạ m  j=1 ξ j  ∂ ∂z j  x ∈ π −1 (U) →  z 1 (x) , , z m (x) , ξ 1 , , ξ m  ∈ C 2m Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 6 là một hệ toạ độ chỉnh hình địa phương của T M. Ta gọi T M là phân thớ tiếp xúc chỉnh hình của đa tạp phức M. 1.1.2.4. Hàm độ dài Giả sử Z là đa tạp thực và E là phân thớ véctơ phức trên Z. Hàm độ dài trên E là một hàm H từ E vào tập các số thực khơng âm thoả mãn i) H(v) = 0 khi và chỉ khi v = 0. ii) Với mỗi số phức c ∈ C, ta có H (cv) = |c| H (v) . iii) H là hàm liên tục. Ta cũng kí hiệu H(v) bởi |v| H hoặc |v| nếu H đã xác định. 1.1.3. Khơng gian phức [1] Giả sử Z là đa tạp phức. Một khơng gian phức đóng trong X là một tập con đóng của Z mà về mặt địa phương được xác định bởi hữu hạn các phương trình giải tích. Tức là, với x 0 ∈ X tồn tại lân cận mở V của x trong Z và hữu hạn các hàm chỉnh hình ϕ 1 , , ϕ m trên V sao cho X ∩ V = {x ∈ V |ϕ i (x) = 0, i = 1, , m} . Giả sử X là một khơng gian con phức trong đa tạp phức Z. Hàm f : X → C được gọi là chỉnh hình nếu với mỗi điểm x ∈ X tồn tại một lân cận U (x) ⊂ Z và một hàm chỉnh hình ˆ f trên U sao cho ˆ f | U∩X = f | U∩X . Giả sử f : X → Y là ánh xạ giữa hai khơng gian phức X và Y . f được gọi là chỉnh hình nếu với mỗi hàm chỉnh hình g trên một tập con mở V của Y , hàm hợp g ◦ f là hàm chỉnh hình trên f −1 (V ) . Kí hiệu Hol (X, Y ) là tập các ánh xạ chỉnh hình từ X vào Y được trang bị tơpơ compact mở. 1.1.4. Phủ chỉnh hình [1] Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 7 Giả sử X, ˜ X là các khơng gian phức. Khi đó ánh xạ chỉnh hình π : ˜ X → X được gọi là phủ chỉnh hình nếu với mọi x ∈ X, có một lân cận mở U chứa x mà π −1 (U) là hợp rời rạc những tập mở U α của ˜ X, tức là: π −1 (U) =  α∈I U α , U α là các tập mở trong ˜ X và U α ∩ U β = φ nếu α, β ∈ I, α = β thỏa mãn π | U α : U α → U là song ánh chỉnh hình. Khi đó ˜ X gọi là khơng gian phủ, X gọi là đáy của phủ và với mỗi x ∈ X, π −1 (x) gọi là thớ trên x của phủ π. 1.2. Khơng gian phân thớ 1.2.1. Phân thớ véctơ [1] Ánh xạ liên tục π : E → X giữa các khơng gian Hausdorff được gọi là phân thớ K - véctơ bậc r nếu các điều kiện sau được thỏa mãn i) Với mỗi p ∈ X, E p := π −1 (p) là K - khơng gian véctơ r chiều (E p được gọi là thớ trên p); ii) Với mỗi p ∈ X tồn tại lân cận U của p và một đồng phơi h : π −1 (U) → U × K r thỏa mãn h (E p ) ⊂ {p} × K r , và h p , xác định bởi phép hợp thành h p : E p h → {p} × K r proj → K r , là một đẳng cấu K - khơng gian véctơ (cặp (U,h) được gọi là một tầm thường hóa địa phương). Đối với một K - phân thớ véctơ π : E → X, E được gọi là khơng gian tồn thể, X được gọi là khơng gian đáy, và ta thường nói E là một phân thớ véctơ trên X. Ta còn ký hiệu phân thớ véctơ trên X là (E, π, X). 1.2.2. Phân thớ chỉnh hình [1] Nếu E, X là các khơng gian phức và π là ánh xạ tồn ánh chỉnh hình, và phép đồng phơi h là ánh xạ song chỉnh hình thì phân thớ véctơ gọi là phân thớ chỉnh hình. Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ [...]... đó suy ra X là hyperbolic đầy Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 32 Mệnh đề 2.3 ([1]) a) Các đĩa và đa đĩa là hyperbolic đầy b) Tích hữu hạn các khơng gian hyperbolic đầy là hyperbolic đầy c) Một khơng gian con đóng của khơng gian hyperbolic đầy là khơng gian hyperbolic đầy d) Giả sử π : X → Y là ánh xạ chỉnh hình giữa các khơng gian phức Giả sử Y là hyperbolic đầy và với mỗi... tính chất của khơng gian phức Hyperbolic a) Nếu X, Y là các khơng gian phức thì X × Y là khơng gian hyperbolic nếu và chỉ nếu cả X và Y đều là khơng gian hyperbolic b) Giả sử X là khơng gian con phức của khơng gian phức Y Nếu Y là hyperbolic thì X cũng là hyperbolic Hay nói cách khác, khơng gian con của một khơng gian hyperbolic là hyperbolic m Ví dụ 1.1 Đĩa Dr và đa đĩa Dr là hyperbolic Ví dụ 1.2... cho π −1 (U ) là hyperbolic đầy Khi đó X là hyperbolic đầy ˜ e) Giả sử π : X → X là ánh xạ phủ chỉnh hình Khi đó X là hyperbolic ˜ đầy nếu và chỉ nếu X là hyperbolic đầy Chứng minh Ba khẳng định đầu là hiển nhiên, còn d) là trường hợp riêng của mệnh đề (2.2), với dY = dY ˜ Ta chứng minh e): Nếu X là hyperbolic đầy thì X cũng là hyperbolic đầy theo d) ˜ Ngược lại, giả sử X là hyperbolic đầy Ta sẽ dùng... Nếu X, Y là các hyperbolic đầy thì X cũng là hyperbolic đầy Chứng minh Giả sử Gf là đồ thị của ánh xạ chỉnh hình f : X → Y , Gf là khơng gian con phức đóng của X × Y Giả sử f là ánh xạ thu hẹp của f đến X và Gf là đồ thị của f Khi đó Gf = Gf ∩ (X × Y ) Do đó, Gf là tập đóng trong X × Y Mặt khác, do X , Y là các hyperbolic đầy nên X × Y cũng là hyperbolic đầy Do đó, Gf là hyperbolic đầy Vì phép chiếu... hình từ Gf lên X nên X là hyperbolic đầy Mệnh đề 2.5 ([5]) Giả sử X, Xi , i ∈ I là các khơng gian con phức của Xi Nếu Xi , i ∈ I là các hyperbolic đầy khơng gian phức Y sao cho X = i∈I thì X cũng là hyperbolic đầy ˜ Định lý 2.1 ([1]) Giả sử X, π, X là phân thớ chỉnh hình với thớ F Khi ˜ đó X là hyperbolic (đầy) nếu X và F là hyperbolic (đầy) ˜ Chứng minh Giả sử X và F là hyperbolic Lấy p, q ∈ X Nếu... số thực dương R mà tồn tại ánh xạ chỉnh hình f : DR → X sao cho f (0) = f∗ (e) = v 1.4.4 Định lý Brody đối với tính hyperbolic của khơng gian phức [1] Định nghĩa 1.9 Giả sử X là một khơng gian phức Ta nói rằng X là hyperbolic Brody nếu mỗi ánh xạ chỉnh hình f : C → X đều là ánh xạ hằng Định lý 1.9 Nếu X là khơng gian phức hyperbolic thì mọi ánh xạ chỉnh hình f : C → X đều là ánh xạ hằng Số hóa bởi trung... (2.1), X là hyperbolic đầy Ví dụ 2.3 Vì khơng gian phủ tồn thể của D∗ = D\ {0} qua ánh xạ z → e2πiz là nửa mặt phẳng trên nên D∗ = D\ {0} là hyperbolic đầy Ví dụ 2.4 C\ {0, 1} là hyperbolic đầy với giả khoảng cách Kobayashi Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 33 Mệnh đề 2.4 ([5]) Giả sử X, Y là các khơng gian phức và f : X → Y là ánh xạ chỉnh hình Giả sử Y là khơng gian con phức... sinh tơ pơ trên Y và nếu Y đầy đối với dY thì (X, π) là đầy tương đối trong Y Ví dụ 2.1 Giả sử p là điểm tụ của miền Ω với nhóm các tự đẳng cấu khơng compact trong Cn Nếu Ω là miền giả lồi nửa chính quy gần p thì Ω là hyperbolic đầy Ví dụ 2.2 Giả sử X là khơng gian phức hyperbolic đầy và f là một hàm chỉnh hình bị chặn Khi đó tập mở Xf = {x ∈ X |f (x) = 0} là hyperbolic đầy Chứng minh Bằng cách nhân... ([1]) Khơng gian phức X được gọi là khơng gian hyperbolic Kobayashi nếu giả khoảng cách Kobayashi dX là khoảng cách trên X, tức là dX (p, q) = 0 ⇔ p = q ∀p, q ∈ X Từ đây về sau, ta kí hiệu khơng gian hyperbolic theo định nghĩa trên là k - hyperbolic Nhận xét Từ định nghĩa (1.5) và tính chất giảm khoảng cách qua các ánh xạ chỉnh hình của giả khoảng cách Kobayashi, ta có tính hyperbolic của khơng gian phức... ([1]) Giả sử X, Y là các khơng gian phức Giả sử dY là hàm khoảng cách trên Y sinh ra tơ pơ của Y và π : X → Y là ánh xạ chỉnh hình Giả sử i) (X, π) là đầy tương đối trong Y ii) π là giảm khoảng cách từ dX tới dY iii) Với mỗi y ∈ Y có một lân cận U sao cho π −1 (U ) là hyperbolic đầy Khi đó X là hyperbolic đầy Chứng minh Theo định lý (1.6), ta chỉ cần chứng minh X là đầy Lấy {xn } là dãy dX - Cauchy . khơng gian hyperbolic. b) Giả sử X là khơng gian con phức của khơng gian phức Y . Nếu Y là hyperbolic thì X cũng là hyperbolic. Hay nói cách khác, khơng gian con của một khơng gian hyperbolic là hyperbolic. Ví. được các khơng gian đầy đủ tương ứng. Trong khn khổ của luận văn, chúng tơi xin trình bày các kết quả liên quan đến khơng gian phức hyperbolic đầy theo khoảng cách Kobayashi. Nội dung luận văn bao. nói rằng X là hyperbolic Brody nếu mỗi ánh xạ chỉnh hình f : C → X đều là ánh xạ hằng. Định lý 1.9. Nếu X là khơng gian phức hyperbolic thì mọi ánh xạ chỉnh hình f : C → X đều là ánh xạ hằng. Số