Định nghĩa 2.1 ([1]). Giả sử X là khơng gian phức với khoảng cách d. Dãy
{xn} ⊂ X được gọi là dãy cơ bản (hay dãy Cauchy) đối với khoảng cách d
nếu với mỗi ε > 0, tồn tại n0 ∈ N sao cho với mọi m, n > n0 ta cĩ
d(xn, xm) < ε
.
Định nghĩa 2.2 ([1]). Khơng gian phức X được gọi là hyperbolic đầy nếu
X là hyperbolic và đầy đối với khoảng cách Kobayashi dX, tức là mọi dãy
Cauchy đối với khoảng cách dX đều hội tụ.
Nhận xét.
+ Tính hyperbolic đầy là một bất biến song chỉnh hình do tính chất giảm của khoảng cách Kobayashi qua các ánh xạ chỉnh hình.
+ Nếu X là hyperbolic và compact thì X là hyperbolic đầy. Thật vậy, giả sử {xn} là dãy Cauchy đối với khoảng cách dX trong X. Mặt khác, do
X compact, nên tồn tại dãy con {xnk} của {xn} hội tụ về phần tử x0 ∈ X. Suy ra {xn} hội tụ.
Định nghĩa 2.3 ([1]). Giả sử π : X → Y là ánh xạ giữa các khơng gian
phức. Ta nĩi (X, π) là hyperbolic đầy tương đối trong Y nếu X là k - hy-
perbolic và với mỗi dãy dX-Cauchy {xn} ⊂ X ta cĩ {π(xn)} hội tụ tới một
điểm trong Y.
Chú ý rằng sự hội tụ trong Y là hội tụ đối với tơpơ của Y, mà khơng phụ thuộc vào việc chọn khoảng cách sinh ra tơpơ đĩ.
Nhận xét.
+ Nếu X là k - hyperbolic và compact tương đối trong Y thì (X, π) là hyperbolic đầy tương đối trong Y.
+ Nếu π là ánh xạ giảm khoảng cách từ dX tới hàm khoảng cách d0Y, với
d0Y là hàm khoảng cách cảm sinh tơ pơ trên Y và nếu Y đầy đối với d0Y thì
(X, π) là đầy tương đối trong Y.
Ví dụ 2.1. Giả sử p là điểm tụ của miền Ω với nhĩm các tự đẳng cấu
khơng compact trong Cn. Nếu Ω là miền giả lồi nửa chính quy gần p thì Ω
là hyperbolic đầy.
Ví dụ 2.2. Giả sử X là khơng gian phức hyperbolic đầy và f là một hàm chỉnh hình bị chặn. Khi đĩ tập mở
Xf = {x ∈ X |f (x) 6= 0}
là hyperbolic đầy.
Chứng minh. Bằng cách nhân f với một số dương đủ nhỏ ta cĩ thể giả thiết
f : X →D biếnX vào đĩa đơn vị D. Đặt U = Xf. Lấy{xn} là dãy Cauchy trong U. Vì dU ≥ dX trên U, nên {xn} là dãy Cauchy đối với dX và do đĩ hội tụ theo dX tới điểm x ∈ X. Ta cần chứng minh x ∈ U. Ta cĩ
dD(f (xn), f (xm)) ≤dD∗(f (xn), f (xm)) ≤ dU (xn, xm) →0
khi m, n → ∞. Do đĩ {f (xn)} là dãy Cauchy trong D∗ ứng với dD∗, nên hội tụ tới một điểm f (x) ∈ D∗ (vì D∗ là hyperbolic đầy). Vì vậy, {f (xn)}
cũng hội tụ tới f (x) theo dD (vì dD ≤ dD∗), do đĩ f (x) 6= 0. Vì dU liên tục đối với tơ pơ trên U,