tương giao hai đồ thị

Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Luyn thi i hc, Cao đng 2009 CHUYÊN  LUYN THI TT NGHIP THPT VÀ LUYN THI I HC, CAO NG 2009 Môn: TOÁN Chuyên đ: S TNG GIAO I. MC ÍCH CHUYÊN  - Các bn s nm vng phng pháp làm v s tng giao gia hai đng cong - Giúp các bn làm tt bài tp v dng này. II. KIN THC C BN 1. Phng pháp làm bài -  tìm giao đim ca mt đng cong y = F(x) nói chung (ca lp các hàm đa thc nói riêng) vi mt đng cong y = G(x) nào đó; phng pháp chung ta quy v xét s tn ti nghim ca phng trình F(x) = G(x) (1). Nhìn chung (1) đu là các phng trình bc cao (có bc ≥ 3). Nu có th, các bn tìm mi cách h bc ca (1). Ta luôn s dng kt qu sau: Nu x = a là mt nghim đoán đc ca (1) thì (1) đa đc v dng sau: (x - a)H(x) = 0 Trong đó phng trình H(x) = 0 có bc gim đi 1 so vi phng trình gc (1). - Nu s dng các kt qu v giá tr ln nht, nh nht ca hàm bc 3, ta có kt qu thông dng sau: Xét phng trình sau: F(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d = 0, a ≠ 0 (2). Khi đó: 1. (2) có 3 nghim phân bit khi và ch khi F(x) có cc đi, cc tiu và Y max Y min < 0. 2. . (2) có 2 nghim phân bit khi và ch khi F(x) có cc đi, cc tiu và Y max Y min = 0. 3. . (2) có 1 nghim khi và ch khi: - Hoc là F(x) không có cc đi , cc tiu. - hoc là F(x) có cc đi, cc tiu và Y max Y min > 0. Cn nhn mnh rng vi bài toán ngoài vic đòi hi tính giao nhau ca các đng cong bc ba vi mt đng cong khác có bc không quá ba, ta còn quan tâm đn tính cht ca các giao đim thì kt qu va dn ra  trên ch có th xem nh mt điu kin cn. Nó cha đ sc mnh đ gii hoàn toàn bài toán.  gii quyt trn vn, ta cn s dng thêm các kin thc khác. Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 1 Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Luyn thi i hc, Cao đng 2009 Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 2 2. S tng giao hàm đa thc vi trc Ox. VD1 : Cho h đng cong ph thuc tham s m: y = x 3 – 3(m+1)x 2 + 2(m 2 + 4m + 1)x – 4m(m+1). Tìm m đ đng cong ct trc hoành ti 3 đim phân bit có hoành đ > 1. Bài gii: ng cong ct trc hoành ti 3 đim phân bit có hoành đ > 1 khi và ch khi phng trình x 3 – 3(m+1)x 2 + 2(m 2 + 4m + 1)x – 4m(m+1) = 0 (1) có 3 nghim phân bit > 1. Do x = 2 là nghim ca (1), nên(1) có th vit di dng sau: (x - 2)[x 2 – 3(m+1)x + 2m(m + 1)] = 0 (2)  (2) có 3 nghim phân bit > 1, thì điu kin cn và đ là phng trình x 2 – 3(m+1)x + 2m(m + 1) = 0 có 2 nghim phân bit > 1 và khác 2. Theo đnh lý đo v tam thc bc 2, điu đó xy ra khi: 0 (1) 0 1 2 (2) 0 af s f Δ> ⎧ ⎪ > ⎪ ⎪ ⎨ > ⎪ ⎪ ≠ ⎪ ⎩ <=> 2 2 2 210 20 3!2 242 mm mm m mm ⎧ −+> ⎪ ⎪ −> ⎨ +> ⎪ ⎪ 0 − +≠ ⎩ <=> 1 2 1 m m ⎧ > ⎪ ⎨ ⎪ ≠ ⎩ Vy các giá tr cn tìm ca m là: 1 1 2 m < < và m > 1. Nhn xét : - nh lý đo v du tam thc bc hai nói chung là công c hu hiu đ gii các bài toán thuc loi này. - Tuy nhiên trong VD trên (2) có th vit di dng: (x - 2)(x – 2m)(x – m - 1) = 0 <=> x = 2, x= 2m, x = m + 1. Vì th ta cn có: 21,22 11; 12 21 mm mm mm >≠ ⎧ ⎪ +> +≠ ⎨ ⎪ ≠+ ⎩ <=> 1 2 1 m m ⎧ > ⎪ ⎨ ⎪ ≠ ⎩ ó là cách gii trc tip không thông qua đnh lý đo v du tam thc bc hai. VD2 : Bin lun theo m s giao đim vi trc hoành ca đng cong: y = x 3 – 3x 2 + 3(1 – m )x + 3m+1. Bài gii: Ta có y’ = 3x 2 – 6x + 3(1 –m ) = 3(x 2 – 2x +1 –m ). ng cong có cc tr <=> PT: y’ = 3(x 2 – 2x +1 –m ) = 0 có 2 nghim phân bit <=>  ’ = 1 – (1 – m ) = m > 0 (1) Ta có nhn xét sau: x 3 – 3x 2 + 3(1 – m )x + 3m+1 = (x 2 – 2x +1 –m )(x - 1) + 2 (-mx + 1 + m). Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Luyn thi i hc, Cao đng 2009 Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 3 Hay: y = 1 3 y’ (x - 1) + 2 (-mx +1+m) (2) ng thc (2) chng t rng: Nu(x 1 , y 1 ) và (x 2 , y 2 ) là các đim cc tr ca hàm s thì: 11 22 2( 1 ) 2( 1 ) ymxm ymx =− ++ ⎧ ⎨ =− ++ ⎩ m Bây gi ta bin lun s giao đim ca đng cong vi trc hoành nh sau: 1. ng cong ct trc hoành ti 1 đim duy nht khi: a. Hoc là đng cong không có cc đi, cc tiu. <=> ’ ≤ 0 <=> m ≤ 0 b. Hoc là có cc đi, cc tiu nhng y 1 y 2 > 0. iu đó xy ra khi: 12 0 0 m yy > ⎧ ⎨ > ⎩ ⇔ 22 12 1 2 0 (1 )( ) (1 ) 0 m mxx m m x x m > ⎧ ⎪ ⎨ −+ +++ > ⎪ ⎩ (3) (4) Do x 1, x 2 là hai nghim ca phng trình x 2 – 2x + 1 – m = 0, nên x 1 + x 2 = 2; x 1 x 2 = 1 – m Thay vào (4) và có: (3),(4) ⇔ 3 0 10 m m > ⎧ ⎪ ⎨ −+> ⎪ ⎩ ⇔ 0 < m < 1 Kt hp li ta có: ng cong ct trc hoành ti mt đim duy nht khi m<1 2. ng cong ct trc hoành ti 2 đim khi đng cong có cc tr và y 1 y 2 =0 iu này xy ra khi: 12 0 0 m yy > ⎧ ⎨ = ⎩ ⇔ 3 0 10 m m > ⎧ ⎪ ⎨ −+= ⎪ ⎩ ⇔ m=1 3. Tng t đng cong ct trc hoành ti 3 đim khi m > 1. VD3 : Cho đng cong y = x 3 – 3x 2 +( 2m - 2 )x + m - 3. Tìm m đ đng cong ct trc hoành ti 3 đim phân bit có hoành đ x 1 , x 2 , x 3 tho mãn điu kin: x 1 < -1 <x 2 < x 3 Bài gii: iu kin cn : Gi s m là giá tr tho mãn yêu cu bài toán. Khi đó ta có: F(x) = x 3 – 3x 2 +( 2m - 2 )x + m – 3= (x – x 1 )(x – x 2 )(x – x 3 ). Ta gi thit: x 1 < -1 <x 2 < x 3 ta suy ra F(-1) > 0. => -m – 5 > 0 => m < -5 Vy m < -5 là điu kin cn đ tho mãn điu kin đ ra. iu kin đ : gi s m < -5. Ta có: F(-1) = -m – 5 > 0 F(0) = m – 3 < 0 (Do m < -5). Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Luyn thi i hc, Cao đng 2009 Vì ,nên tn ti b<-1 ,sao cho F(b)<0 lim ( ) x Fx →−∞ =−∞ Vì: , nên tn ti a>0 , sao cho F(a)>0. lim ( ) x Fx →+∞ =+∞ T tính liên tc ca F(x) và do F(b) < 0; F(-1) > 0; F(0) < 0; F(a) > 0; nên tn ti x 1 , x 2 , x 3 tho mãn: x 1 < -1 <x 2 < x 3 khi và ch khi m < -5. Nhn xét: Ba Vd trên cho ta các cách gii khác nhau, và đó cng chính là các cách thng gp nht: - H bc phng trình ri dùng đnh lý đo v du tam thc bc 2. - S dng vi mi liên h vi giá tr ln nht và nh nht ca hàm s. - S dng các kin thc khác. ó chính là các lc đ chung nht đ xét các bài toán v đim ct đi vi các đng cong đa thc bc ba. VD4 : Cho đng cong y = x 3 - 3 mx 2 + 2m (m - 4)x + 9m 2 – m . Tìm m đ đng cong chn trên trc hoành 2 đon bng nhau. Bài gii iu kin cn: Gi s đng cong chn trên trc hoành hai đon bng nhau, tc là đng cong ct trc hoành ti 3 đim phân bit A, B, C sao cho: BA = BC Gi s x 1 , x 2 , x 3 tng ng là hoành đ ca A, B, C Khi đó ta có: x 2 - x 1 = x 3 - x 2 => x 3 + x 1 = 2x 2 => x 1 + x 2 + x 3 = 3 x 2 Vì x 1 , x 2 , x 3 là 3 nghim ca phng trình bc 3 x 3 - 3mx 2 + 2m(m - 4)x + 9m 2 - m = 0 (1) nên theo đnh lý Viet vi (1), và có x 1 + x 2 + x 3 = 3 m T đó có 3m = 3x 2 => x 2 = m Do m là nghim ca (1), nên thay vào (1) ta có m 3 - 3m 3 + 2m 2 (m - 4) + 9m 2 - m = 0 <=> m 2 - m = 0 <=> 0 1 m m = ⎡ ⎢ = ⎣ Vy điu kin cn là: m = 0 hoc m = 1 iu kin đ: -Nu m = 0 => đng cong tr thành y = x 3 Rõ ràng y = x 3 ch ct trc hoành ti mt đim => loi trng hp này - Nu m = 1 => y = x 3 - 3x 2 - 6x + 8 T y = 0 <=> (x - 1) (x 2 - 2x - 8) = 0 Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 4 Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Luyn thi i hc, Cao đng 2009 <=> x 1 = 1, x 2 = -2, x 3 = 4 Rõ ràng đng cong ct trc hoành ti ba đim có hoành đ x 1, x 2 , x 3 sao cho: x 2 - x 1 = x 3 - x 2 , tc là chn trên trc hoành 3 đon bng nhau. Vy m = 1 là giá tr ca tham s m cn tìm. 3. S tng giao ca hàm phân thc. Các bài toán thuc loi này thng có dng sau: Tìm điu kin đ đng cong (C) biu din hàm phân thc và mt đng (C’) cho trc ct nhau và hoành đ các giao đim tha mãn mt điu kin cho trc nao đó. Hãy xét các thí d sau đây: Thí d 1. Chng minh rng đng cong y = 2 2 1 x x x + + và đng thng y = -x - 3 ct nhau ti 2 đim phân bit đi xng vi nhau qua đng thng y = x . Gii: Xét phng trình 2 2 1 x x x + + = - x - 3 vi điu kin x 1 ≠ − ú x 2 + 2x = - x 2 - 4x = 3 ú 2x 2 + 6x + 3 = 0 (1) Rõ ràng (1) có hai nghim phân bit (vì ' Δ = 3 > 0) Gi M 1 (x 1 , -x 1 - 3) và M 2 (x 2 , -x 2 - 3) là hai giao đim ca hai đng trên. ng thng qua M 1 M 2 có h s góc k = 21 21 (3)(3) 1 xx xx −−−−− =− − . Vì vy, M 1 M 2 nm trên đng thng vuông góc vi y = x Gi I là trung đim M 1 M 2 , thì to đ (x 0 , y 0 ) ca I là x 0 = 12 2 x x + y 0 = 12 21 (3)( 3) 1 xx xx −−+− − = − − Do x 1 , x 2 là hai nghim ca (1), nên theo đnh lí Viet, ta có x 1 + x 2 = - 3 . Thay vào (2) ta có: x 0 = y 0 = 3 2 − iu đó chng t rng I nm trên đng thng y = x Nói cách khác, M, N đi xng vi nhau qua đng thng y = x. ó là đ.pc.m. Thí d 2. Cho y = 2 3 1 x x + + (C) Vit phng trình đng thng (d) đi qua M(2, 2 5 ) sao cho (d) và (C) ct nhau ti hai đim phân bit A và B, sao cho M là trung đim ca AB. Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 5 Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Luyn thi i hc, Cao đng 2009 Gii : Vì y = 2 3 1 x x + + là đng cong thun tuý (ng vói mt x ch có mt y tng ng), nên đng thng x = 2 không th ct (C) ti hai đim phân bit, cho nên đng thng cn tìm phi có dng y = k(x - 2) + 2 5 (d) Trc ht ta tìm k đ (d) và (C) ct nhau ti hai đim phân bit. Mun vy xét phng trình: 2 3 1 x x + + = k(x - 2) + 2 5 ú 5(1 - k)x 2 + (5k - 2) + 10k + 13 = 0 (1) ( do x=-1 không phi là nghim ca 2 3x + ).  (1) có hai nghim phân bit ta cn có (5k - 2) 2 + - 20(1- k) (10k + 3)> 0 (2) Khi đó (1) có hai nghim phân bit x 1 , x 2 và hai giao đim ca (C) vi (d) là: I(x 1 , k(x 1 - 2) + 2 5 ) và J(x 2 , k(x 2 - 2) + 2 5 Rõ ràng M, I, J cùng nm trên (d), do đó M là trung đim ca IJ nu nh 2x M = x I + x J ú 4 = x 1 + x 2 ú 4 = 52 5( 1) k k − − ú 20k - 20 = 5k - 2 ú k = 6 5 (3) Thay (3) vào (2) thy đúng. Vy k = 6 5 là giá tr duy nht ca tham s m tho mãn yêu cu đ ra. Thí d 3: Cho y = 2 1 1 x x x + − − (C) Tìm m đ (C) ct y = -x + m ti hai đim phân bit A và B. Chng minh rng khi y A, B thuc cùng 1 nhánh ca đ th (C). Gii :  y = -x + m ct (C) ti hai đim phân bit, điu kin là phng trình: 2 1 1 x x x +− − = -x + m có hai nghim phân bit ≠ 1. Vì x = 1 không phi là nghim ca x 2 + x - 1, nên điu đó xy ra khi phng trình x 2 + x - 1 = (x - 1)(-x + m) (1) có hai nghim phân bit. Ta có th vit li (1) di dng sau : f(x) = 2x 2 - mx + m - 1 = 0 (2) . (1) có hai nghim phân bit khi Δ = m 2 - 8m + 8 > 0 Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 6 Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Luyn thi i hc, Cao đng 2009 ú m < 4 - 2 2 hoc m > 4 + 2 2 (3) Vi điu kin (3) ta có: af(1) = 2 > 0 . Vy 1 ∉ [ ] 12 , x x ,  đây x 1, x 2 là hai nghim ca (2). iu này chng t rng c hai giao đim A, B gia (C) và y = -x + m nm v cùng mt phía ca đng thng x = 1, tc là A, B thuc cùng mt nhánh ca đ th ca (C) => đpcm. III. CNG C KIN THC Bài tp 1: Cho y = 2 8xmx xm + − − (C m ) Tìm m đ C m ct trc hoành ti hai đim phân bit A, B sao cho các tip tuyn vi (C m ) ti A và B vuông góc vi nhau. Gii : ng cong (C m ) và trc hoành Ox ct nhau ti hai đim phân bit (mà ta s gi là A, B) khi và ch khi h sau 2 8xmx x m +− − = 0 x m ≠ có hai nghim phân bit. iu này xy ra khi và ch khi h f(x) = x 2 + mx - 8 = 0 f((m) 0 ≠ có hai nghim phân bit , tc là: Δ = m 2 + 32 > 0 . (1) T (1) suy ra vi mi m, C m và Ox luôn ct nhau ti hai đim phân bit A, B. Gi x 1 , x 2 tng ng là hoành đ ca A và B thì x 1 , x 2 là hai nghim phân bit ca phng trình x 2 + mx - 8 = 0 . (2) Ta có y ’ = 22 2 28 () x mx m xm −+− − = 1 + 2 2 82 () m x m − − . Tip tuyn vi (C m ) ti A, B tng ng có h s góc là k 1 = 1 + 2 2 1 82 () m x m − − k 2 = 1 + 2 2 2 82 () m x m − − .  hai tip tuyn này vuông góc vi nhau, ta cn có k 1 , k 2 = - 1 1 + (8 - 2m 2 ) ⇔ 22 12 11 ()()xm x m ⎡ ⎤ + ⎢ ⎥ −− ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ + 22 22 12 (8 2 ) ()( ) m x mxm − −− ⇔ 1 + (8 - 2m 2 ) [] 22 11 12 2 12 1( ) 22 ()( ) x xmxx m xmx m +− + + −− + 22 2 12 (8 2 ) ()( ) m xmx m − ⎡ ⎤ −− ⎣ ⎦ . Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 7 Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Luyn thi i hc, Cao đng 2009 Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 8 Áp dng đnh lý Viet vi (2), ta có x 1 + x 2 = - m; x 1 x 2 = - 8, suy ra 2 1 x + 2 2 x = (x 1 + x 2 ) 2 - 2x 1 x 2 = m 2 + 16 , (x 1 - m) (x 2 - m) = x 1 x 2 - m (x 1 + x 2 ) + m 2 = - 8 + 2m 2 . Thay li vào trên và có k 1 k 2 = - 1 1 + (8 - 2m 2 ) ⇔ 22 22 16 4 (2 8) mm m ++ − + 22 2 (8 2 ) (2 8) m m − − 2 = -1 ⇔ 3 - 2 2 51 28 m m + − 6 = 0 m = ⇔ ± 40 . Vy có hai giá tr cn tìm ca tham s m là m = ± 2 10 . Bài tp 2: (i hc, Cao đng khi D nm 2003) Tìm m đ đng thng y = mx + 2 - 2m ct đng cong y = 2 24 2 xx x − + − ti hai đim phân bit. Bài gii ng cong y = 2 24 2 xx x −+ − và y = mx + 2 - m ct ti hai đim phân bit khi và ch khi phng trình: 2 24 2 2 xx m m −+ =+− − m có hai nghim phân bit, tc là phng trình x 2 - 2x + 4 = (m - 2) (mx + 2 - m) ú (m - 1) (x - 2) 2 = 4 có hai nghim phân bit ≠ 2 iu đó xy ra khi và ch khi m - 1 > 0 ú m > 1 Bài tp 3: (i hc, Cao đng khi A - 2004) Cho y = 2 33 2( 1) x x x −+− − (C) Tìm m đ đng thng y = m ct (C) ti hai đim A, B sao cho AB = 1 Bài gii Xét phng trình 2 33 2( 1) xx m x −+− = − (1) Do x = 1 không phi là nghim ca - x 2 + 3x - 3, nên (1) ú - x 2 + 3x - 3 = 2m(x-1) ú x 2 + (2m -3)x + 3 - 2m = 0 (2) Gi x 1 , x 2 là hai nghim phân bit ca (2).  có điu này ta cn có Δ = (2m - 3) 2 - 4(3 - 2m) > 0 ú 4m 2 - 4m - 3 > 0 ú m > 3 2 Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Luyn thi i hc, Cao đng 2009 Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 9 hoc m < - 1 2 (3) Ta có giao đim A, B là A (x 1 , m) . B (x 2 , m) T đó AB = 1 ú 21 1xx−= ú (x 2 - x 1 ) 2 = 1 ú (x 2 + x 1 ) 2 - 4x 1 x 2 = 1 (4) Áp dng đnh lí Viet đi vi (2), thì x 1 + x 2 = 3 - 2m, x 1 x 2 = 3 - 2m Thay li vào (4) ta có: (3 - 2m) 2 - 4 (3 - 2m) = 1 ú m 2 - m - 1 = 0 ú m = 15 2 ± (5) Kt hp (3), (5) suy ra m = 15 2 ± Vy có hai giá tr ca tham s m tho mãn đu bài . IV. BÀI TP V NHÀ Bài tp 1. Chng minh rng vi mi m, đng thng y = 1 2 x - m luôn ct (c) ti hai đim phân bit A và B. Tìm m sao cho AB là nh nht. áp s: nên AB = 10 khi m = -2 Bài tp 2. Tìm m đ (C) : y = 2 x xm xm −++ + ct đng thng (d) y = x - 1 ti 2 đim phân bit. áp s: m < - 6 - 42 hoc m > - 6 + 42 (vì m ≠ 0) Bài tp 3 :Tìm m đ đ th hàm s y = 2 1 1 x mx x + − + ct y = m ti 2 đim phân bit A, B sao cho . AB OB⊥ áp s: m = 15 2 −± Bài tp 4:Cho đng cong y = x 3 - x 2 + 18mx - 2m Tìm m đ đng cong ct trc hoành ti 3 đim phân bit có hoành đ x 1 , x 2 ,x 3 ,sao cho x 1 < 0 < x 2 < x 3. áp s: m < 0 Bài tp 5: Cho hàm s . Gi (d) là đng thng đi qua đim M(0;-1) và có h s góc là k. Tìm k đ đng thng (d) ct (C) to 3 đim phân bit. 32 23yx x=−−1 Bài tp 6: Cho hàm s : 2 24 2 xx y x −+ = − (1) và đng thng (d): y = mx+2-2m. Tìm m đ đng thng (d) ct đ th hàm s (1) ti hai đim phân bit T Toán Trung tâm BDVH Hocmai.vn Ngun: Hocmai.vn . 2x 2 + 6x + 3 = 0 (1) Rõ ràng (1) có hai nghim phân bit (vì ' Δ = 3 > 0) Gi M 1 (x 1 , -x 1 - 3) và M 2 (x 2 , -x 2 - 3) là hai giao đim ca hai đng trên. ng thng qua M 1 M 2 . nghim ca 2 3x + ).  (1) có hai nghim phân bit ta cn có (5k - 2) 2 + - 20(1- k) (10k + 3)> 0 (2) Khi đó (1) có hai nghim phân bit x 1 , x 2 và hai giao đim ca (C) vi (d) là:. HC, CAO NG 2009 Môn: TOÁN Chuyên đ: S TNG GIAO I. MC ÍCH CHUYÊN  - Các bn s nm vng phng pháp làm v s tng giao gia hai đng cong - Giúp các bn làm tt bài tp v dng