CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC - TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

CHUYÊN ĐỀ 6. CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC - TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Chuyên đề Giải Tích lớp 12 Lê Ngọc Sơn_THPT Phan Chu Trinh CHUYÊN ĐỀ 9 SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ VỚI ĐƯỜNG THẲNG I KIẾN THỨC CƠ BẢN  Cho hàm số y = f (x ) có đồ thị (C ) , hàm số y = g(x ) có đồ thị (C ) Để tìm giao điểm của (C ) (C ) ta xét phương trình hồnh độ giao điểm f (x ) = g(x )  f (x ) - g(x ) = (1) Nếu ta nhẩm được x là 1 nghiệm của phương trình (1) thì ta ln phân tích được : f (x ) - g(x ) = (x - x )h(x )  Đối với tốn biện luận theo tham số m để phương trình f (x, m) = g(x, m)  f (x, m) - g(x, m) = (2) có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước ta có một số hướng giải quyết như sau:  Nếu nhẩm được x là một nghiệm của (2) ta thực hiện phân tích: f (x , m ) - g(x , m ) = (x - x )h(x , m )  Nếu không nhẩm được nghiệm ta thực hiện cô lập tham số m bằng cách biến đổi đưa về: f (x, m) - g(x, m) =  h(m) = F (x ) Sau ta lập bảng biến thiên y = F (x ) để đưa kết luận (Thông thường y = h(m) thường là hàm bậc nhất theo m  đồ thị là một đường thẳng song song với Ox ) II PHÂN LOẠI CÁC DẠNG BÀI TẬP  Dạng 1: Tương giao của đồ thị hàm số bậc 3 với một đường thẳng  Bài tập 1 Cho hàm số y = x - mx + mx - Với giá trị nào của m thì đồ thị cắt Ox tại 3 điểm phân biệt  Hướng dẫn: + Phương trình hồnh độ giao điểm: éx - = x - mx + mx - =  x - - mx (x - 1) =  êê êë f (x ) = x + (1 - m ) x + = ( ) 55 Chuyên đề Giải Tích lớp 12 Lê Ngọc Sơn_THPT Phan Chu Trinh ìD = m - 2m - > ìm > ï ï + YCBT  f (x ) = có 2 nghiệm phân biệt khác 1  ï ï í í ï f (1) = m - ¹ ïm < -1 ï ï ỵ ï ỵ  Bài tập 2 Cho hàm số y = x - (m + 1) x + mx (C ) và đường thẳng d : y = - x Với giá trị nào của m thì đường thẳng d cắt đồ thị (C ) tại 3 điểm phân biệt có hồnh độ dương  Hướng dẫn: + Phương trình hồnh độ giao điểm: éx = x - (m + 1) x + mx = - x  êê êë f (x ) = x - mx + = + YCBT  f (x ) = có 2 nghiệm dương phân biệt x 1, x khác 1: ìD = m - > ï ï ï ï f (1) = - m ¹ ï ï  m >2 í ïx + x = m > ï ï ïx x = > ï ï ỵ  Bài tập 3 Cho hàm số y = x - mx - x + m + Với giá trị nào của m thì đồ thị cắt Ox tại 3 3 2 điểm phân biệt có hồnh độ x 1, x , x thỏa mãn x + x + x > 15  Hướng dẫn: + Phương trình hồnh độ giao điểm: x - mx - x + m + =  3 éx = ê ê f (x ) = x + - 3m x - - 3m = ( ) êë 2 2 + Điều kiện x + x + x > 15  x + x + > 15  (x + x ) - 2x 1x - 14 > (1) + YCBT  f (x ) = có 2 nghiệm phân biệt x 1, x khác thỏa mãn (1) ì ï ì9m + 6m + > ï ï ï ïD > ém < -1 ï ï ï f (1) ¹ í  ïm ¹  êê í ï ï êëm > ï ï9m - > ï ï ï(x + x ) - 2x 1x - 14 > ï ỵ ï ỵ  Bài tập 4 Tìm m để đồ thị (C m ) : y = f (x ) = x - x + 18mx - 2m cắt Õ x < < x < x  Hướng dẫn 56 Chuyên đề Giải Tích lớp 12 Lê Ngọc Sơn_THPT Phan Chu Trinh -x + x = 2m 9x - + Xét phương trình x - x + 18mx - 2m =  g(x ) = + Ta có g '(x ) = -2x (3x - 1)2  g '(x ) =  (9x - 1)2 éx = ê ê êx = êë + Ta có bảng biến thiên: x -¥ 0 + g '(x ) g(x ) - - +¥ - +¥ -¥ -¥ -¥ + Dựa và bảng biến thiên f (x ) = có nghiệm thỏa mãn x < < x < x  m <  Bài tập 5 Tìm m để đồ thị (C m ) : y = x - x + m cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt  Hướng dẫn 1 + Phương trình hồnh độ giao điểm: x - x + m =  -m = x - x = f (x ) 3 + Xét hàm số f (x ) = x - x  f '(x ) = x -  f '(x ) =  x = 1 Ta có bảng biến thiên: x g '(x ) -¥ -1 + 0 g(x ) -¥ +¥ - + +¥ - 2 + Dựa vào bảng biến thiên ta có YCBT  - < m < 3  Bài tập áp dụng  Bài tập 1 Cho hàm số y = x - 4x + 4x (C) Với giá trị nào của k thì đường thẳng y = kx cắt (C ) tại 3 điểm phân biệt  Bài tập 2 Cho hàm số y = x - mx2 + (2m + 1) x - m - (Cm ) Tìm các giá trị m để (C m ) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hồnh độ dương 57 Chuyên đề Giải Tích lớp 12 Lê Ngọc Sơn_THPT Phan Chu Trinh  Bài tập 3 (ĐH A‐2011) Cho hàm số y = x - 2x2 + (1 - m) x + m Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biệt có hồnh độ x 1, x , x thỏa mãn x1 + x + x <  Bài tập 4 Với giá trị nào của m thì phương trình mx + 3mx2 + = có 3 nghiệm phân biệt  Bài tập 5 Cho hàm số y = x + 3x - Qua I (-1; -2) vẽ đường thẳng d có hệ số góc k Với giá trị nào của k thì d cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm phân biệt I , A, B Chứng minh rằng khi đó ta có IA = IB  Bài tập 6 Tìm m để y = x - 3mx2 + (3m - 1) x + 6m - cắt trục hoành tại tại 3 điểm phân biệt có hồnh độ x1, x2, x thỏa mãn x1 + x2 + x2 + x1x2 x = 20 ( ) ( )  Bài tập 7 Tìm m để (Cm ) : y = x - 2mx + 2m2 - x + m - m2 cắt trục hồnh tại tại 3 điểm phân biệt có hồnh độ lớn hơn 1  Bài tập Tìm m để (C ) : y = x m - 2x2 - (3m - 1) x + m + cắt đường thẳng D : y = (1 - m) x + m - tại 3 điểm phân biệt thỏa mãn x1 < x2 < < x  Bài tập 9 Tìm m Ỵ  để đồ thị hàm số (Cm ) : y = x - 3mx2 - 3x + 3m + cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hồnh độ x1, x2, x thỏa mãn x1 + x2 + x2 ³ 15  Bài tập 10 Tìm m Ỵ  để đường thẳng d : y = -x + cắt đồ thị (Cm ) : y = 4x - 6mx2 + tại 3 điểm A (0;1), B,C sao cho: a) B,C đối xứng nhau qua y = x     b) OB.OC = -4  Bài tập 11 Tìm m Ỵ  để đường thẳng y = 2mx cắt đồ thị y = -x + (2m + 1) x2 tại 3 điểm phân biệt A, B,C sao cho OA2 + OB2 + OC2 nhỏ nhất  Bài tập 12 Giả sử d là đường thẳng đi qua A (-2; 0) có hệ số góc là k Tìm tất cá các tham số k Ỵ  sao cho đường thẳng d cắt đồ thị y = -x + 3x - điểm phân biệt A, B, M cho ổ2 ữ ỗ ữ DOBM cú trng tõm l G ỗ ; -8ữ ữ ỗ3 ố ứ  Bài tập 13 Viết phương trình đường thẳng d cắt đồ thị y = x + 3x - ti 2 im phõn bit ổ1 ổ7 ữ ỗ ữ P,Q sao cho MNPQ l hỡnh bỡnh hnh vi M ỗ ;2ữ, N ỗ ;2ữ ỗ ữ ố ữ ỗ2 ữ ỗ ữ è ø ø 58 Chuyên đề Giải Tích lớp 12 Lê Ngọc Sơn_THPT Phan Chu Trinh  Bài tập 14 Tìm m Î  để đường thẳng y = -x + cắt đồ thị y = x + mx + điểm A (0;1), B,C sao cho x2 + x2 + x2 = A B C  Bài tập 15 Tìm m Ỵ  để đường thẳng y = mx + cắt đồ thị y = x - 3x + điểm A (0;2), B,C sao cho BC =  Bài tập 16 Tìm m Ỵ  để đường thẳng y = mx + m cắt đồ thị y = x - 3x + tại 3 điểm A (-1; 0), B,C sao cho SDOBC =  Bài tập 17 Tìm m Ỵ  để đường thẳng y = x + cắt đồ thị y = x + 2mx2 + (m + 3) x + tại 3 điểm A (0; 4), B,C sao cho SDKBC = với K (1; 3) Bài  tập 18 Tìm m Ỵ  để đường y = -x + thẳng cắt y = x + 2mx + (m - 1) x + tại 3 điểm A (0;2), B,C sao cho SDMBC = với M (1;3) đồ thị  Dạng 2: Tương giao của đồ thị hàm số bậc 4 với một đường thẳng  Bài tập 1 Cho hàm số (C m ) : y = x - 2mx + 3m - Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hồnh: a) Tại 4 điểm phân biệt b) Tại 2 điểm phân biệt c) Tại 3 điểm phân biệt  Hướng dẫn + Xét phương trình hồnh độ giao điểm: ( ) x - 2mx + 3m - =  x - = m 2x -  m = + Ta có f '(x ) = ( (2x x4 -2 = f (x ) 2x - ) 4x x - 3x + 2 ) -3 é êx = ê Do đó f '(x ) =  êx = 1 ê êx =  ëê + Bảng biến thiên: x -¥ +¥ f '(x ) f (x ) +¥ - - - + + +¥ -1 - + - - + +¥ +¥ 59 Chun đề Giải Tích lớp 12 Lê Ngọc Sơn_THPT Phan Chu Trinh 2 -¥ -¥ Dựa vào bảng biến thiên ta có: ém > ê a) Phương trình có 4 nghiệm phân biệt  ê ê ï ï ï ï ï í í  ïêëm > í ï f (1) ¹ ïm ¹ ï ù ù ù ợ ù ùm ù î ï ï ï î + Gọi A (x1; x1 + 1), B (x ; x + 1) Do d1 ^ d  AB ^ d1 Để A, B đối xứng với nhau qua d1 ta có: x1 + x + 2 =- x1 + x2 +  m = (Thỏa mãn điều kiện) 2x + có đồ thị (C ) và đường thẳng d : y = -x + m Tìm các giá trị x +1 m để d cắt (C ) tại 2 điểm phân biệt A, B Chứng minh rằng khi đó trung điểm I AB ln  Bài tập 6 Cho hàm số y = chạy trên một đường thẳng cố định khi m thay đổi  Hướng dẫn + Phương trình hồnh độ giao điểm: 2x + = -x + m  f (x ) = x + (3 - m ) x + - m = x +1 ì ï = m - + > 0, "m ïD ( ) + Ta có: ï  f (x ) = ln có 2 nghiệm phân biệt í ï f (-1) = -1 ¹ 0, "m ï ï î ì ï ïx = x A + x B = m - ï + Gọi I (x ; y ) là trung điểm của AB ta có: í 2  y = x + (đpcm) ï ïy = -x + m ï ï ỵ  Bài tập (ĐH A ‐ 2004) Cho hàm số y = -x + 3x - có đồ thị (C ) đường thẳng (x - 1) d : y = m Tìm các giá trị của m để d cắt (C ) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho AB =  Hướng dẫn 62 Chuyên đề Giải Tích lớp 12 Lê Ngọc Sơn_THPT Phan Chu Trinh + Phương trình hồnh độ giao điểm: f (x ) = x + (2m - 3) x + 3m - = Phương trình có ìD = 4m - 4m - > ï nghiệm phân biệt khác  ï  m < - v m > í ï f (1) = ¹ 2 ï ï ỵ + Gọi A (x 1; m ), B (x ; m )  x - x = m  (x + x ) - 4x 1x =  m = 1 x2 - x -1 có đồ thị (C ) và đường thẳng d : y = mx - Tìm các giá x +1 trị của m để d cắt (C ) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho A, B cùng thuộc 1 nhánh của (C )  Bài tập 8 Cho hàm số y =  Hướng dẫn + Phương trình hồnh độ giao điểm: x2 - x -1 = mx -  x +1 éx = ê ê - m x = m ) êë( ìm ¹ ï m Khi đó ta có x1 = 0, x = + Để d cắt (C ) tại 2 điểm phân biệt A, B ï í ùm 1-m ù ợ + YCBT m > -1  m < Kết hợp các đk ta được ¹ m < 1-m  Bài tập Cho hàm số y = x2 + có đồ thị (C ) Viết phương trình đường thẳng d qua x +1 ổ 2ử M ỗ2; ữ sao cho d ct (C ) ti 2 im phõn bit A, B v M l trung im ca AB ỗ ữ ỗ 5ữ ố ữ ứ Hng dn + Xột trng hp d qua M có dạng: x = (Khơng thỏa mãn) + Gọi hệ số góc của d k Ta có d : y = k (x - 2) + Phương trình hồnh độ giao điểm: x2 + = k (x - 2) +  f (x ) = (5 - 5k ) x + (5k - 2) x + 10k + 13 = x +1 + Để d cắt (C ) tại 2 điểm phân biệt A, B thì phương trình f (x ) = phải có 2 nghiệm phân biệt khác - ìk ¹ ï ìk ¹ ï ï ï ï ï ï 47 ï v m >  íD >  ïm < í ï ï ï f (-1) ¹ ï ï ï20 ¹ ï ï ỵ ï ï ỵ (1) 63 Chun đề Giải Tích lớp 12 Lê Ngọc Sơn_THPT Phan Chu Trinh + Để M là trung điểm của AB ta có xA + xB = xM  - 5k =  k = (Thỏa mãn (1)) (5 - 5k )  Bài tập áp dụng  Bài tập 1.(B_2009) Tìm m để đường thẳng y = -x + m và đường cong y = x2 -1 cắt nhau tại x 2 điểm phân biệt A, B sao cho AB=4  Bài tập 2.(A_2003) Tìm m để y = mx + x + m có đồ thị cắt Ox điểm phân biệt có x -1 hồnh độ dương  Bài tập 3.(D_2009) Tìm m để đường thẳng y = -2x + m cắt (C ) : y = x2 + x -1 tại 2 điểm x phân biệt A, B sao cho trung điểm của AB nằm trên trục tung  Bài tập 4 Tìm m để đường thẳng y = -2x + m cắt đường cong y = 2x + tại 2 điểm phân x +1 biệt A, B sao cho SOAB = (O là gốc tọa độ)  Bài tập 5 Tìm m để d : 2x - y + m = cắt (C ) : y = 2x - tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho x +1 AB £  Bài tập 11 Tìm m để d : y = mx + - m cắt (C ) : y = x + 4x + hai điểm phân biệt x +2 cùng thuộc một nhánh của (C )  Bài tập 12 Tìm m để d : y = -x + m cắt (C ) : y = 2x + tại hai điểm phân biệt A, B ở về 2 x +1 phía của (C )  Bài tập 13 Cho (C m ) : y = mx + (m + 3) x + x -2 A, B thỏa mãn AB có độ dài nhỏ nhất  Bài tập 14 Cho hàm số y = Tìm m để (C m ) cắt Ox tại hai điểm phân biệt x - 2x + có đồ thị (C ) Viết phương trình đường thẳng d đi qua x -2 M (5;10) hệ số góc là m sao cho d cắt (C ) tại 2 điểm phân biệt A, B M là trung điểm của AB  Bài tập 15 Tìm m để d : y = 5x + cắt đồ thị (C ) : y = x + (m - 2) x + m + x +1 tại 2 điểm phân biệt A, B đối xứng nhau qua đường thẳng d1 : x + 5y + = 64 Chuyên đề Giải Tích lớp 12 Lê Ngọc Sơn_THPT Phan Chu Trinh  Bài tập 16 Cho y = x (C ) Tìm m để đường thẳng D : y = mx - m - cắt (C ) tại 1 điểm 1-x phân biệt A, B sao cho MA2 + MB đạt giá trị nhỏ nhất, với M (-1;1) x - 2a + (C) và đường thẳng d : y = 2x + m Tìm m sao cho x-2 ỉ 4ư (C) ct d ti 2 im phõn bit A, B sao cho I ỗ2; ữ l trng tõm tam giỏc OAB ỗ ữ ç 3÷ è ÷ ø  Bài tập 17 Cho hàm số y = 2x + (C) và đường thẳng d : y = kx + 2k + Tìm k sao cho (C) x +1 cắt d tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho khoảng cách từ A và B đến trục hoành bằng nhau  Bài tập 18 Cho hàm số y = 1+ x (C) và đường thẳng d : y = x + 2m Tìm k sao cho (C) cắt - 2x ỉ1 1ư ÷ d tại 2 điểm phân biệt A, B cùng với điểm I ỗ ; - ữ to thnh mt tam giỏc cú din tớch bng 1 ỗ ỗ2 ữ ÷ è ø  Bài tập 19 Cho hàm số y =  Bài tập 20 Cho hàm số y = mx + (Cm ) Tìm m để trên đồ thị (C m ) có 2 điểm P,Q cách đều x -1 2 điểm A (-3; 4), B (3; -2) và diện tích tứ giác APBQ 24  Bài tập 21 Giả sử d là đường thẳng đi qua A (0;1) và có hệ số góc m Tìm tất cả tham số thực m để đường thẳng d cắt đồ thị (C): y = x-3 tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho: x -2 a) AB = 10 ổ2 ữ b) G ỗ ; 4ữ la trng tõm tam giỏc OAB ỗ ỗ3 ữ ữ ố ứ Bi tp 22 Gọi d là đường thẳng đi qua A (-2;2) có hệ số góc là m Tìm m Ỵ  để đường thẳng d cắt đồ thị (C): y = 2x + : x -1 a) Tại 2 điểm phân biệt b) Tại 2 điểm thuộc 2 nhánh của (C) c) Giả sử d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt B,C Tìm m Ỵ  để: + Khoảng cách giữa B,C 42 ỉ 11ư ÷ + G ỗ- ; ữ l trng tõm tam giỏc OBC ỗ ữ ỗ 2÷ è ø 65 Chun đề Giải Tích lớp 12 Lê Ngọc Sơn_THPT Phan Chu Trinh  Bài tập 23 Cho hàm số y = x (C) Tìm m Ỵ  sao cho đường thẳng d: y = mx - m - cắt 1- x (C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho MA2 + MB2 đạt giá trị nhỏ nhất với M (-1;1)  Bài tập 24 Tìm m để đường thẳng d: y = -2x + m cắt đồ thị y = 3x - tại 2 điểm phân biệt 2x + M, N thuộc 2 nhánh khác nhau sao cho MN ngắn nhất  Bài tập 25 Tìm m để đường thẳng d: y = mx + cắt đồ thị y = 2x + tại 2 điểm phân biệt x+2 M, N sao cho tam giác OMN vuông tại O  Bài tập 26 Gọi D đường thẳng qua A (0; -2) có hệ số góc k Tìm k để D cắt đồ thị y= 2x - tại 2 điểm phân biệt M, N sao cho A là trung điểm của MN x +1  Bài tập 27 Tìm m để D : y = m cắt đồ thị y = x2 + x - tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho độ x +1 dài AB ngắn nhất ỉ 3ư x - 3x + ữ Bi tp 28 Vit phng trỡnh ng thng qua A ỗ1; - ữ v ct th y = ti 2 ỗ ữ ỗ 2ữ x -2 è ø      điểm phân biệt B,C sao cho AB + 2AC = 66 ... sao cho SDMBC = với M (1;3) đồ thị  Dạng 2: Tương giao của đồ thị hàm số bậc 4 với một đường thẳng  Bài tập 1 Cho hàm số (C m ) : y = x - 2mx + 3m - Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hồnh: a) Tại 4 điểm phân biệt... + Phương trình hồnh độ giao điểm: x - x + m =  -m = x - x = f (x ) 3 + Xét hàm số f (x ) = x - x  f ''(x ) = x -  f ''(x ) =  x = 1 Ta có bảng biến thi? ?n: x g ''(x ) -? ? -1 + 0 g(x ) -? ? +¥ - + +¥ - 2 + Dựa vào bảng biến thi? ?n ta có YCBT... + Ta có bảng biến thi? ?n: x -? ? 0 + g ''(x ) g(x ) - - +¥ - +¥ -? ? -? ? -? ? + Dựa và bảng biến thi? ?n f (x ) = có nghiệm thỏa mãn x < < x < x  m <  Bài tập 5 Tìm m để đồ thị (C m ) : y = x - x + m cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt