Bài tập hình học nâng cao lớp 7

CHỦ ĐỀ TỰ CHỌN TOÁN 7- LOẠI NÂNG CAO (Dành cho lớp chọn) Tên c/ đề: CÁC TRƯỜNG HP BẰNG NHAU TAM GIÁC- MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN KHÁC &Ư/ DỤNG Thời lượng: 10 tiết (Chia nhỏ BT đối với lớp thường ) GV: Nguyễn Tấn Ngọc ( THCS Nhơn Mỹ, An Nhơn) Thời gian thực hiện: Tháng 01& 02-2008. A. LÝ THUYẾT CƠ BẢN: I. Các trường hợp bằng nhau tam giác thường: 1.1 ⇒      = = = '' ' '' CAAC AA BAAB ''' CBAABC ∆=∆ (c-g-c) 1.2 ''' '' '' '' CBAABC ACCA CBBC BAAB ∆=∆⇒      = = = (c-c-c) 1.3 ''' ' '' ' CBAABC BB BAAB AA ∆=∆⇒      = = = (g-c-g). II. Các trường hợp bằng nhau tam giác vuông: Cho △ABC; △A'B'C' lần lượt vuông tại A và A' nếu : 1.4    ∆=∆⇒ = = ''' ' '' CBAABC BB CBBC (Cạnh huyền - góc nhọn). 1.5 ''' '' '' CBAABC BAAB CBBC ∆=∆⇒    = = (Cạnh huyền - cạnh góc vuông). 1.6 ''' '' '' CBAABC CAAC BAAB ∆=∆⇒    = = (Cạnh góc vuông - cạnh góc vuông). 1.7 ''' ' '' CBAABC BB BAAB ∆=∆⇒    = = (Cạnh góc vuông - góc nhọn). 1.8 △ABC vuông tại A  AB 2 + AC 2 = BC 2 ( Đònh lý Py-Ta-Go). 1.9 △ABC vuông tại A  AM = 2 BC ( trong đó M là trung điểm BC ). 1.10 △ABC cân tại A ; AH là đường cao ( H ∈ BC )      = = = ⇒ BA CAHBAH CHBH ( tính chất tam giác cân ) 1.11 Nếu tam giác thõa đồng thời hai trong bốn đường: Đường cao, đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực thì tam giác đó cân. 1.12 △ABC đều       == == == 0 0 60; 60 AACAB BA CABCAB ( có thể thay ∠A bỡi ∠C ) 1.13 △ABC vuông tại A và có ABBC C B .2 30 60 0 0 =⇒    = = (nửa tam giác đều). 1 1.14 △ABC vuông tại A và BC = 2. AB => B = 60 0 và C = 30 0 (nửat/gđều). 1.15 Bất kỳ tam giác nào cũng có: - Ba đường cao đồng quy (tại trực tâm). - Ba đường trung tuyến đồng quy (tại trọng tâm). - Ba đường trung trực đồng quy ( tại tâm đường tròn đi qua ba đỉnh t/giác). - Ba đường phân giác đồng quy (điểm đó cách đều ba cạnh tam giác). 1.16 Cho △ABC ta luôn có bất đẳng thức: ACAB − < BC < AB + AC . 1.17 Với ba diểm A , B , C tùy ý ta luôn có: AB + BC ≥ AC ( Dấu"="  B ∈ [ ] AC ) (Bất đẳng thức ba đểm ). 1.18 Với △ABC thì : A > B  BC > AC . 1.19 Cho A nằm bên ngoài đường thẳng a , AH ⊥ a tại H ; B ∈ a thì: AH ≤ AB (Dấu "="  B ≡ H ). 1.20 Nếu ba đoạn thẳng AB ; BC ; CA tỉ lệ thuận với các số a ; b ; c thì: AB : BC : CA = a : b : c  c CA b BC a AB == . 1.21 Nếu △ABC có M và N lần lượt là trung điểm AB và AC thì đoạn thẳng MN gọi là đường trung bình của △ABC khi đó luôn có MN // BC và MN = 2 BC . 1.22 Tam giác cân , góc ở đỉnh không đổi thì cạnh đáy nhỏ nhất ( lớn nhất ) khi chỉ khi cạnh bên nhỏ nhất ( lớn nhất ). B. CÁC BÀI TẬP ĐIỂN HÌNH CÙNG HƯỚNG DẪN VẮN TẮT: Bài 1: Cho △ABC có M là trung điểm BC và BC = 2. AB . Gọi D là trung điểm của BM . CMR: AC = 2.AD . ( HD: Vẽ E sao cho D là trung điểm AE ; C/m: △AME = △AMC (c-g-c). Bài 2: Cho △ABC có ∠ ABC = 30 0 ; ∠ BAC = 130 0 . Đường phân giác ngoài ở đỉnh A cắt phân giác trong ở đỉnh B tại D. Hai đường thẳng CD và AB cắt nhau tại E . CMR: CA = CE . ( HD: CD là phân giác ngoài ở đỉnh C của △ABC => ∠ ACD = 80 0 và ∠ CAE = 50 0 ). Bài 3: Cho △ABC có E là trung điểm BC sao cho ∠EAB = 15 0 ; ∠EAC = 30 0 . Tính ∠ACB ? (HD: Vẽ F sao cho AE là trung trực của CF => △ACF đều; gọi I là trung điểm FC => △BFC vuông tại F => △BFA cân tại F => △BFC vuông cân tại F => ∠C = 105 0 ). Bài 4: Cho △ABC cân tại A và ∠A = 80 0 . Gọi M là điểm nằm trong tam giác sao cho ∠MBC = 10 0 ; ∠MCB = 30 0 . Tính ∠AMB ? ( HD: Vẽ △BCD đều, D nằm trong △ABC => △ABD = △MBC (g-c-g) => △ABM cân có ∠ABM = 40 0 ). GV: Nguyễn Tấn Ngọc 2 Bài 5: Cho △ABC cân tại A và ∠A = 100 0 . Gọi M là điểm nằm trong tam giác sao cho ∠MBC = 20 0 ; ∠MCB = 30 0 . Tính ∠AMB ? (Giải tương tự BT4). Bài 6: Cho △ABC có AB < AC ; gọi D là điểm tùy ý nằm giữa A và B. Gọi E là điểm nằm giữa A và C sao cho CE = BD . Gọi M và N lần lượt là trung điểm BC và DE . Đường thẳng MN lần lượt cắt các đường thẳng AB và AC tại P và Q . CMR: △APQ cân. (HD: Gọi I là trung điểm BE … ) Bài 7: Cho △ABC có ∠A = 15 0 và ∠B = 45 0 . Trên tia đối của tia CB lấy D sao cho CD = 2.CB . Tính ∠ADC ? (HD: Kẽ DE ⊥ AC tại E => △DEC là nửa tam giác đều => △BCE cân => △AEB cân và △AED vuông cân). Bài 8: Cho △ABC có hiệu∠C - ∠B = 90 0 ; AD và AE lần lượt là các đường phân giác trong và phân giác ngoài của tam giác ( D, E ∈ BC ). CMR: AD = AE . (HD: Kẽ AH ⊥ BC tại H c/m: ∠DAH = ( ∠C - ∠B ): 2 => △DAE vuông cân). Bài 9: Cho △ABC có AH là đường cao. Về phía ngoài tam giác vẽ △ABD vuông cân tại B, vẽ △ACE vuông cân tại C . CMR: AH ; BE ; CD đồng quy. (HD: Trên tia đối của tia AH lấy điểm K sao cho AK = BC => △ABK = △ BDC (c-g-c) => CD ⊥ BK ). Bài 10: Cho P nằm bên trong △ABC sao cho ∠PAC = ∠PBC . Gọi M , L lần lượt là hình chiếu của P lên AC và BC . Gọi D là trung điểm AB . CMR: DL = DM. (HD: Gọi I , K lần lượt là trung điểm PA và PB => △DIM = △DKL (c-g-c)). Bài 11: Cho △ABC vuông tại A và AC = 3.AB. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho 3.AE = 2.AC . CMR: ∠AEB + ∠ACB = 45 0 . (HD: Gọi D là trung điểm AE ; vẽ hình vuông ADKH ( H không trùng B) => △BKC vuông cân => △BAE = △KDC ). Bài 12: Cho △ABC nhọn; AH là đường cao ( H ∈ BC ) . Vẽ M sao cho AB là trung trực đoạn HM , vẽ N sao cho AC là trung trực đoạn HN. Đường thẳng MN lần lượt cắt các cạnh AB ; AC tại E và F . CMR: AH ; BF ; CE đồng quy. (HD: HA là phân giác góc ∠EHF ; c/m: HB và EB là các đường phân giác ngoài △HEF => FB là phân giác trong △HEF ). Bài 13: Cho hình thang vuông ABEC ( ∠A = ∠C = 1v) và ∠ABC = 75 0 ; CE = 2.CA . Tính ∠BEC ? (HD: Bên trong △BEC vẽ △BMC đều ; H là hình chiếu của M lên CE => △CME cân => △CME = △BME (c-g-c) => ∠BEC = 30 0 ). Bài 14: Cho △ABC cân tại A và ∠BAC = 20 0 . Trên cạnh AB lấy E sao cho AE = BC . Tính ∠BEC ? (HD: Bên trong △ABC vẽ △BIC đều ). 3 Bài 15: Cho hình thang ABCD có ∠A = ∠D = 1v ; CD = 2.AB . Gọi H là hình chiếu của D lên AC ; M là trung điểm của HC . Tính ∠BMD . (HD: Gọi I là trung điểm HD ; c/m: I là trực tâm △… ). Bài 16: Cho D nằm bên trong △ABC đều sao cho ∠DAB + ∠DCB = 60 0 và DC = 2.DA . Tính ∠ADB và ∠CDB ? (HD: Vẽ △BDE đều sao cho E và D nằm khác phía đối với AB => △ADE (?)). Bài 17: Cho hình thang ABCD ( AB // CD ); AC ⊥ BD . Qua I là trung điểm BC kẽ đường thẳng song song AD cắt DC tại M . CMR: △BMD cân. (HD: Vẽ K sao cho I là trung điểm AK ; gọi R là trung điểm AD ). Bài 18: Cho △ABC cân tại C ; CM là đường trung tuyến ; AD là đường phân giác trong sao cho AD = 2.CM . Tính ∠ACB ? (HD: Gọi I là trung điểm AD => CDMI là hình thang cân ). Bài 19: Cho △ABC vuông cân ở B và M là điểm nằm bên trong tam giác sao cho MA : MB : MC = 1 : 2 : 3 . Tính ∠AMB ? (HD: Vẽ △BME vuông cân tại B ; E và M nằm khác phía dối với AB => AE = CM => △AME vuông tại M ). Bài 20: Cho △ABC đều và M nằm bên trong tam giác sao cho MA:MB:MC = 3 : 4 : 5 . Tính ∠AMB ? (HD: Giải tương tự BT19 ). Bài 21: Cho hình chữ nhật ABCD có độ dài đường chéo bằng 1 . Trên các cạnh AB ; BC ; CD ; DA lần lượt lấy M ; N ; P ; Q . CMR: MN + NP + PQ + QM ≥2.(HD: Gọi I ; J ; K lần lượt là trung điểm PQ ; PM ; MN- dùng đường gấp khúc) Bài 22: Cho △ABC cân tại A ; gọi M là điểm tùy ý nằm giữa B và C . Đường thẳng qua M và vuông góc với AB cắt đường thẳng qua C và vuông góc AC ở điểm K . Gọi I là trung điểm của MB . Tính ∠AIK ? (HD:Vẽ F sao cho I là trung điểm KF ). Bài 23: Cho hình thang ABCD ; trong đó ∠A = ∠D = 1v ; O là trung điểm AD sao cho AC ⊥ BO . CMR: BD ⊥ CO. (HD: Vẽ E sao cho O là trung điểm BE ) Bài 24: Cho △ABC có AB = 3cm , AC = 5cm và trung tuyến AM = 2cm ( M ∈ BC ) . Tính số đo ∠BAM ? (HD: Vẽ D sao cho M là trung điểm AD - Dùng Py- ta- go). Bài 25: Cho △ABC cân tại A , M là điểm nằm trong tam giác sao cho ∠AMB > ∠AMC . So sánh độ dài hai đoạn thẳng MB và MC. (HD: Trên nửa mặt phẳng không chứa B bờ AC vẽ tia AD sao cho ∠CAD = ∠MAB và AD = AM ; Dùng t/g cân và quan hệ góc cạnh đối diện trong t/g ) . Bài 26: Cho △ABC cân tại A ; M là điểm thay đổi luôn nằm giữa B và C . Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của M lên AB , AC . Đònh vò trí của M để độ dài DE nhỏ nhất . (HD: Gọi I là trung điểm AM - Dùng t/g cân góc ở đỉnh không đổi, GV: Nguyễn Tấn Ngọc 4 cạnh đáy nhỏ nhất  cạnh bên nhỏ nhất - Quan hệ đường vuông góc và đường xiên ) Bài 27: Cho ∆ ABC cân tại A có · BAC 90 ° ≥ . Lấy điểm M nằm giữa A và C , hạ AH và CK cùng vuông góc với BM ( H, K ∈ BM ) sao cho BH = HK + KC . Tính độ lớn của · BAC . (HD: Trên tia đối của tia KH xác đònh D sao cho DK = KC ) Bài 28: Cho · · 0 0 ABC có ABC = 40 , ACB = 30∆ ; trên nửa mặt phẳng không chứa điểm B có bờ là đường thẳng AC xác đònh điểm D sao cho DAC ∆ cân tại D và · 0 ADC = 80 . CMR: ABD∆ là tam giác cân . (HD: Kẽ AK ⊥ BC tại K ; DH ⊥ AC tại H AKH đều AKB = AHD (g-c-g)⇒ ∆ ⇒ ∆ ∆ ) B.G.H DUYỆT TỔ DUYỆT G.V BỘ MÔN Nguyễn Tấn Ngọc 5 GV: Nguyeãn Taán Ngoïc 6 7 . TỰ CHỌN TOÁN 7- LOẠI NÂNG CAO (Dành cho lớp chọn) Tên c/ đề: CÁC TRƯỜNG HP BẰNG NHAU TAM GIÁC- MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN KHÁC &Ư/ DỤNG Thời lượng: 10 tiết (Chia nhỏ BT đối với lớp thường ) . nhỏ nhất ( lớn nhất ) khi chỉ khi cạnh bên nhỏ nhất ( lớn nhất ). B. CÁC BÀI TẬP ĐIỂN HÌNH CÙNG HƯỚNG DẪN VẮN TẮT: Bài 1: Cho △ABC có M là trung điểm BC và BC = 2. AB . Gọi D là trung điểm. FB là phân giác trong △HEF ). Bài 13: Cho hình thang vuông ABEC ( ∠A = ∠C = 1v) và ∠ABC = 75 0 ; CE = 2.CA . Tính ∠BEC ? (HD: Bên trong △BEC vẽ △BMC đều ; H là hình chiếu của M lên CE =>