Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu Bài 5: Cho tam giác ABC có góc A nhọn và nội tiếp đường tròn O; R.. Vẽ nửa đường tròn đường kính BC với tâm là E cắt các đoạn AB, AC lần lượ
Trang 1Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu
MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC ÔN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN
Bài 1: (LHP 2001 – 2002)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O và có trực tâm H Lấy điểm M thuộc cung nhỏ BC
a) Xác định vị trí của M để tứ giác BHCM là hình bình hành
b) Với M bất kì thuộc cung nhỏ BC, gọi N, E lần lượt là các điểm đối xứng của M qua AB, AC Chứng minh N, H, E thẳng hàng
c) Xác định vị trí M sao cho NE có độ dài nhỏ nhất
Bài 2: (NK 2003 – 2004 CD)
Cho dây cung BC trên đường tròn tâm O, điểm A chuyển động trên cung lớn BC Hai đường cao AE, BF của tam giác ABC cắt nhau tại H
a) Chứng minh: CE.CB = CF.CA
b) AE kéo dài cắt (O) tại H’ Chứng minh H và H’ đối xứng với nhau qua BC Xác định quĩ tích của H
Bài 3: (NK 2005 – 2006 AB)
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp trong đường tròn (O) Gọi M là chân đường cao kẻ
từ A của tam giác ABC Đường thẳng AM cắt (O) tại I ( I khác A) Gọi H là điểm đối xứng của I qua BC
a) Chứng minh rằng H là trực tâm của tam giác ABC
b) Gọi N là giao điểm của BH và AC P là một điểm thuộc cạnh AB sao cho
PMBNMC Chứng minh rằng C, H, P thẳng hàng
c) Giả sử BH = 2HN và AH = HI Chứng minh rằng tam giác BAC đều
Bài 4: (NK 2006 – 2007 CD)
Cho tam giác ABC nhọn, có trực tâm H Các đường thẳng BH và CH lần lượt cắt AC,
AB tại M và N, NHM 120o
a) Chứng minh AMN ABC Tính MN
BC
b) Tính AH
BC
Trang 2Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu
Bài 5:
Cho tam giác ABC có góc A nhọn và nội tiếp đường tròn (O; R) Vẽ nửa đường tròn đường kính BC với tâm là E cắt các đoạn AB, AC lần lượt tại M, N Gọi H, K lần lượt là trực tâm của tam giác ABC và tam giác AMN Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN
a) Chứng minh ba điểm A, K, O thẳng hàng và ba điểm A, I, H thẳng hàng
b) Chứng minh ba đường thẳng KH, MN và IE đồng qui
Bài 6:
Cho BC là dây cung cố định của đường tròn (O; R), gọi A là điểm di động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC nhọn Các đường cao BD, CE của tam giác ABC cắt nhau tại H Dựng đường tròn tâm H bán kính HA cắt AB, AC lần lượt tại M, N Chứng minh rằng:
a) Đường thẳng qua A vuông góc với MN luôn đi qua một điểm cố định
b) Đường thẳng qua H vuông góc với MN đi qua một điểm cố định
Bài 7:
Cho tam giác ABC nhọn có BAC 60o nội tiếp đường tròn (O; R) Hai đường cao
BD, CE cắt nhau tại H Gọi N là trung điểm của AC
a) Tính DE và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác HDE
b) Tứ giác EHON là hình gì? Tại sao?
Bài 8:(NK 2004 – 2005 AB)
Cho tam giác ABC, gọi I và O là tâm đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác Gọi P, Q là điểm đối xứng của I và O qua BC Chứng minh rằng Q thuộc (O) khi và chỉ khi P thuộc (O)
Bài 9:
Cho tam giác ABC nhọn có BAC 45onội tiếp đường tròn (O; R) Hai đường cao BE
và CF cắt nhau tại H M N là trung điểm của BC và AH
a) Chứng minh B, F, O, E, C cùng thuộc một đường tròn
b) Tính BC theo R
c) Tứ giác BFOE là hình gì?
d) Gọi M là trung điểm của AH Chứng minh OH, EF và MN đồng qui
Bài 10*:
Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn ngoại tiếp (O) lần lượt tại A’, B’, C’
a) Chứng minh rằng OA B C
Trang 3Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu
b) Chứng minh AA BB CC 4
c) Thử chứng minh điều sau đây S ABC S A B C AB2BC2 AC2 9R2
Bài 11:
Cho đường tròn (O; R) và một điểm A ở ngoài đường tròn sao cho OA = 3R Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB và AC đến đường tròn (O) với B, C là hai tiếp điểm
a) Chứng minh tứ giác OBAC nội tiếp
b) Từ B vẽ đường thẳng song song với AC, cắt đường tròn (O) tại điểm D ( khác B) Đường thẳng AD cắt đường tròn (O) Tại E (Khác D) và tia BE cắt AC tại F Chứng minh rằng F là trung điểm AC
c) Chứng minh tia đối của tia EC là tia phân giác của góc BEA
d) Gọi H là giao điểm của BC và OA Chứng minh HB là phân giác của góc EHD
Bài 12:
Từ điểm M nằm ngoài đường tròn tâm O bán kính R vẽ hai tiếp tyến MA, MB (A, B
là hai tiếp điểm) và một đường thẳng qua M cắt (O) tại C và D Gọi I là trung điểm của
CD Gọi E, F, K lần lượt là giao điểm của đường thẳng AB với các đường thẳng MO,
MD và OI
a) Chứng minh R2 OE OM OI OK
b) Chứng minh 5 điểm M, A, B, O, I cùng thuộc một đường tròn
c) Khi CAD nhỏ hơn CBD , chứng minh DEC 2DBC
Bài 13:
Cho đường tròn (O) và một điểm I nằm trong đường tròn Dây AB thay đổi qua I và không phải đường kính Tiếp tuyến tại A và B cắt nhau tại P Chứng minh P luôn thuộc một đường thẳng cố định
Bài 14:(THTT 8/2007)
Cho đường tròn (O) và một điểm I nằm trong đường tròn Dây AB và CD thay đổi qua I và không phải đường kính Tiếp tuyến tại A và B cắt nhau tại P, tiếp tuyến tại C và
D cắt nhau tại Q Chứng minh OI vuông góc với PQ
Bài 15:
Từ một điểm P nằm ngoài đường tròn (O), kẻ hai tia tiếp tuyến PE và PF tới đường tròn ( E, F là hai tiếp điểm) Một cát tuyến thay đổi đi qua P, cắt đường tròn tại hai điểm
A, B ( A nằm giữa P và B ) cắt EF tại Q
a) Khi cát tuyến qua O, chứng minh PA QA
PB QB (1)
Trang 4Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu
b) Đẳng thức (1) còn đúng không khi cát tuyến không đi qua O Chứng minh điều đó
Bài 16 (THTT 12/2007)
Từ một điểm P ở ngoài đường tròn tâm O kẻ hai tiếp tuyến PA, PB của đường tròn với A, B là hai tiếp điểm Gọi M là giao điểm của OP và AB Kẻ dây cung CD đi qua M (CD không đi qua O) Hai tiếp tuyến của đường tròn tại C và D cắt nhau tại Q Tính độ lớn của góc OPQ
Bài 17:
Cho đường tròn (O) và một điểm P nằm ngoài đường tròn Từ P vẽ hai tiếp tuyến PA,
PB của đường tròn (A, B là hai tiếp điểm) PO cắt (O) tại I và K ( K nằm giữa P và O) và cắt AB tại H Gọi D là điểm đối xứng của B qua O, C là giao điểm của PD và (O)
a) Chứng minh tức giác BHCP nội tiếp
b) Chứng minh AC CH
c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác ACH cắt IC tại M AM cắt IB tại Q Chứng minh
M là trung điểm AQ
Bài 18:
Cho đường tròn (O; R), qua điểm K ở bên ngoài đường tròn, kẻ các tiếp tuyến KB,
KD ( B, D là các tiếp điểm), kẻ cát tuyến KAC (A nằm giữa K và C)
a) Chứng minh rằng hai tam giác KDA và KCD đồng dạng
b) Chứng minh AB CD = AD BC
c) Kẻ dây CN song song với BD Chứng minh AN đi qua trung điểm BD
Bài 19:
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) M là một điểm trên cung nhỏ AC Gọi D,
E, F lần lượt là các điểm đối xứng của M qua BC, AC và AB
a) Chứng minh rằng D, E, F thẳng hàng
b) Chứng minh rằng đường thẳng đi qua DEF luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi trên cung nhỏ AC
Bài 20:
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) M là một điểm trên cung nhỏ AC Gọi I,
K là hình chiếu của M trên AB và BC Gọi P, Q là trung điểm của IK và AB Chứng minh MPPQ
Bài 21: (NK 2004 – 2005 CT)
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp trong đường tròn (O) và điểm M là một điểm thay đổi trên cung nhỏ BC N là điểm đối xứng của M qua trung điểm I của AB
a) Chứng minh trực tâm K của tam giác NAB thuộc một đường cố định
Trang 5Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu
b) Giả sử NK cắt AB tại D, hạ NE vuông góc với BC Gọi H là trực tâm của tam giác ABC Chứng minh rằng DE đi qua trung điểm HK
Bài 22: (NK 2007 – 2008 CT)
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) P là một điểm trên cung BC không chứa
A Hạ AM, AN lần lượt vuông góc với PB, PC
a) Chứng minh rằng MN luôn đi qua một điểm cố định khi P thay đổi
b) Xác định vị trí điểm P sao cho biểu thức AM PB + AN PC đạt giá trị lớn nhất
Bài 23: (10 chuyên HCM 2005 – 2006 )
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; R) Điểm M lưu động trên cung nhỏ BC Từ M kẻ các đường thẳng MH, MK lần lượt vuông góc với AB, AC ( H thuộc AB, K thuộc AC)
a) Chứng minh hai tam giác MBC và MHK đồng dạng
b) Tìm vị trí của M để độ dài HK lớn nhất
Bài 24:
Cho đường tròn (O) và đường thẳng d không cắt nó Điểm M thay đổi trên đổi d, kẻ các tiếp tuyến MT, MH đến đường tròn (O) với T, H là các tiếp điểm Gọi A là hình chiếu vuông góc của O trên d và E, F là hình chiếu của A trên Mt, MH Chứng minh rằng:
a) Đường thẳng TH đi qua một điểm cố định
b) Đường thẳng EF đi qua một điểm cố định
Bài 25:
Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu của D trên AB, BC, AC Chứng minh rằng ABCD là tứ giác nội tiếp khi và chỉ khi M, N, P thẳng hàng
Bài 26: (LHP 2002 – 2003)
Cho tam giác ABC, M là một điểm trên cung BC không chứa A Gọi P, Q lần lượt là các điểm đối xứng của M qua AB, AC
a) Chứng minh DE đi qua trực tâm H của tam giác ABC
b) Tìm vị trí của M để DE đạt giá trị lớn nhất