Phương trình và bất phương trình luận án thạc sĩ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Nguyễn Hữu Cần PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP MÃ SỐ: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Đàm Văn Nhỉ Thái Nguyên - 2012 1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Công trình được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Đàm Văn Nhỉ Phản biện 1: PGS.TS. Lê Thị Thanh Nhàn. Phản biện 2: PGS.TS. Nông Quốc Chinh. Luận văn đã được bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại: Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Ngày 01 tháng 12 năm 2012 Có thể tìm hiểu tại Thư viện Đại học Thái Nguyên 2Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 Mục lục Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Chương 1. Phương trình đại số 7 1.1. Mở rộng trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.1. Mở rộng đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.2. Mở rộng đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2. Tính đóng đại số của trường C . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.1. Tính đóng đại số của trường C . . . . . . . . . . 15 1.2.2. Giải phương trình đa thức . . . . . . . . . . . . . 21 1.3. Phương trình đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Chương 2. Ứng dụng của phương trình đại số 30 2.1. Ứng dụng của phương trình đại số và mở rộng trường . . 30 2.1.1. Đa thức bất khả qui và số đại số trên Q . . . . . 30 2.1.2. Tính chia hết của một vài đa thức đặc biệt . . . . 36 2.1.3. Ứng dụng tính đóng đại số của C . . . . . . . . . 40 2.2. Ứng dụng của phương trình đại số trong Hình học . . . . 45 2.2.1. Điểm và đường dựng được . . . . . . . . . . . . . 45 2.2.2. Không thể gấp đôi một hình lập phương . . . . . 47 2.2.3. Không thể cầu phương hình tròn . . . . . . . . . 47 2.2.4. Không thể chia một góc tùy ý thành ba góc nhỏ bằng nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.2.5. Dựng đa giác đều n cạnh với ϕ(n) = 2 m . . . . . 49 2.2.6. Bài toán dựng tam giác . . . . . . . . . . . . . . 53 Chương 3. Ứng dụng vào giải Toán ở Trung học phổ thông 56 3Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 3.1. Xây dựng phương trình đa thức bậc cao qua đẳng thức lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.2. Xây dựng phương trình vô tỷ qua phương trình lượng giác 58 3.3. Xây dựng bất đẳng thức qua bất đẳng thức đã biết . . . 63 3.4. Xây dựng hệ phương trình qua số phức . . . . . . . . . . 66 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 Mở đầu Trong Toán học việc vận dụng các công cụ của Toán học cao cấp để giải quyết các vấn đề của Toán học sơ cấp luôn luôn là điều thú vị và có ý nghĩa sâu sắc. Chúng ta biết rằng các bài toán sơ cấp chủ yếu được xét trên trường Q hoặc trường R thì đây là các bài toán rất khó. Khi chúng ta nhúng Q hoặc R vào C thì các bài toán này sẽ trở lên dễ đi rất nhiều. Như chúng ta đã biết các vấn đề liên quan đến phương trình là một phần quan trọng của Đại số và giải tích. Khi tiếp cận vấn đề này các em học sinh giỏi, sinh viên và khá nhiều thầy cô giáo phổ thông thường gặp nhiều khó khăn trong giải quyết các bài toán khó. Trong luận văn này, chúng tôi trình bày lại khái niệm phương trình đại số, mở rộng trường, chứng minh lại tính đóng của C . . . để giải quyết vấn đề đó. Trong các kỳ thi Olympic Toán Quốc tế, thi học sinh giỏi Quốc gia, thi Olympic sinh viên giữa các trường Đại học, cao đẳng, những bài toán liên quan đến phương trình đại số cũng hay được đề cập và thường rất khó, đòi hỏi người học, người làm toán phải có kiến thức rộng và sâu sắc về mở rộng trường mới dễ dàng tìm ra được lời giải hay và chính xác. Chẳng hạn, chúng ta xét hai ví dụ: Ví dụ 0.0.1. mặt phẳng Oxy, một hệ các điểm A n (x n , y n ) được xác định như sau:  A 0 (x 0 = 3, y 0 = 3), A 1 (x 1 = 8, y 1 = 5), A 2 (x 2 = 58, y 2 = 45), với n ≥ 2 A n+2 (x n+2 = 8x n+1 − 3x n − 3x n−1 , y +2 = 5y n+1 + 10y n − 7y n−1 ). Ta có  x n = C 0 n y n + C 1 n y n−1 + ···+ C n−1 n y 1 + C n n y 0 y n = C 0 n x n − C 1 n x n−1 + ···+ (−1) n−1 C n−1 n x 1 + (−1) n C n n x 0 . Ví dụ 0.0.2. Cho f = cos u + C 1 n cos(u + α)x + ···+ C n n cos(u + nα)x n . Giải phương trình f(x) = 0. 5Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 Ví dụ 0.0.1 là bài toán về dãy các số nguyên và Ví dụ 0.0.2 là giải phương trình trên R, việc giải hai bài toán này trên Z hoặc R là rất khó khăn. Nhưng nếu chúng ta giải quyết nó trên tập C thì dễ dàng tìm được lời giải. Vì thế, một phương pháp để giải quyết những bài toán trên Q hoặc R là xét bài toán trên một mở rộng trường F của Q hoặc R mà ở đó bài toán sẽ dễ dàng hơn và nhiều khi còn giúp chúng ta tìm ra kết quả mới. Để phục vụ cho công tác bồi dưỡng học sinh giỏi và việc trao đổi kinh nghiệm giữa các thầy cô giáo dạy học sinh giỏi quan tâm và tìm hiểu thêm về phần này, được sự chỉ dạy, hướng dẫn tận tình của thầy Đàm Văn Nhỉ, chúng tôi đã tìm hiểu và viết đề tài " Phương trình và bất phương trình". Đề tài giải quyết các vấn đề trọng tâm: Chương 1. Phương trình đại số Chương này tập trung trình bày về mở rộng trường, mở rộng đại số, chứng minh lại Định lý cơ bản của Đại số, định nghĩa phương trình đại số và chứng minh lại Định lý không điểm của Hilbert. Chương 2. Ứng dụng của phương trình đại số Trong chương này, chúng tôi trình bày một vài ứng dụng của mở rộng trường, phương trình đại số và tính đóng của C để tìm hoặc chứng minh một đa thức bất khả qui, xét tính chia hết của vài đa thức đặc biệt, phân tích đa thức thành nhân tử, giải phương trình và các ứng dụng trong Hình học. Chương 3. Ứng dụng vào giải Toán ở Trung học phổ thông Trong chương này, chúng tôi xin giới thiệu một vài ứng dụng của công thức Moivre để xây dựng các phương trình, hệ phương trình, bất đẳng thức. Thông qua đó rèn luyện tư duy linh hoạt, tính sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông. Luận văn này được hoàn thành với sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của PGS.TS. Đàm Văn Nhỉ - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn và giải đáp các thắc mắc của tác giả trong suốt quá trình làm luận văn. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy. 6Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 Em xin trân trọng cảm ơn các Thầy (Cô) trong Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, phòng Đào tạo Trường Đại học Khoa học cùng các thầy cô tham gia giảng dạy khóa Cao học 2010-2012. Đồng thời tôi xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Toán K4C trường Đại học Khoa học đã động viên giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và làm luận văn này. Tôi xin cảm ơn Sở Giáo dục - Đào tạo Tỉnh Bắc Ninh, Ban Giám hiệu, các đồng nghiệp trường THPT Tiên Du số 1- Huyện Tiên Du - Tỉnh Bắc Ninh đã tạo điều kiện cho tôi học tập và hoàn thành kế hoạch học tâp. Tuy nhiên, do sự hiểu biết của bản thân còn hạn chế và khuôn khổ của luận văn thạc sĩ, nên trong quá trình nghiên cứu chắc sẽ không tránh khỏi những thiếu sót, chúng tôi rất mong được sự chỉ dạy và đóng góp ý kiến của quý Thầy Cô và bạn đọc. Tôi xin chân thành cảm ơn. Thái Nguyên, ngày 01 tháng 12 năm 2012 Tác giả Nguyễn Hữu Cần 7Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6 Các ký hiệu sử dụng N được ký hiệu cho tập các số tự nhiên. N ∗ được ký hiệu cho tập các số tự nhiên dương. Z được ký hiệu cho vành các số nguyên. Q được ký hiệu cho trường các số hữu tỷ. R được ký hiệu cho trường các số thực. C được ký hiệu cho trường các số phức. K được ký hiệu cho một trong ba trường Q, R hoặc C. Các ký hiệu viết tắt HSG được ký hiệu cho học sinh giỏi. ∆ABC được ký hiệu cho tam giác ABC. A, B, C được ký hiệu cho các góc ở đỉnh A, B, C của ∆ABC. a, b, c được ký hiệu cho độ dại các cạnh tương ứng của ∆ABC. h a , h b , h c được ký hiệu cho độ dài các đường cao kẻ từ A,B,C của ∆ABC. m a , m b , m c được ký hiệu cho độ dài các đường trung tuyến kẻ từ A,B,C của ∆ABC. 8Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 7 Chương 1 Phương trình đại số Chương này tập trung trình bày về mở rộng trường, mở rộng đại số, chứng minh lại Định lý cơ bản của Đại số, định nghĩa phương trình đại số và chứng minh lại Định lý không điểm của Hilbert. 1.1. Mở rộng trường Định nghĩa 1.1.1. Cho hai trường F và K. Trường F được gọi là một mở rộng của K nếu K là một vành con của F. Nếu trường F là một mở rộng của trường K thì F được coi như là một không gian véctơ trên K. Số chiều của không gian này được gọi là bậc mở rộng của F trên K và được kí hiệu qua [F : K]. Trường F được gọi là mở rộng bậc hữu hạn (vô hạn) của K nếu bậc mở rộng của nó là hữu hạn (vô hạn). Một tháp các trường là một dãy các trường K 1 , K 2 , . . . , K n sao cho K 1 ⊂ K 2 ⊂ ··· ⊂ K n , K i+1 là mở rộng của K i với i = 1, 2, . . . , n − 1. Ví dụ 1.1.1. 1) Vì C là một không gian véctơ trên R với một cở sở {1, i} và số chiều bằng 2 nên trường số phức C là một mở rộng bậc 2 của trường số thực R. 2) Vì trường Q[ √ 2] = {a + b √ 2|a, b ∈ Q} = Q( √ 2) là một không gian véctơ trên Q với cơ sở {1, √ 2} nên trường Q[ √ 2] là một mở rộng bậc 2 của trường các số hữu tỉ Q. Tương tự trường Q[i] = {a + bi|a, b ∈ Q} là một mở rộng bậc 2 của trường Q. Định lý 1.1.1. Cho một tháp các trường K ⊂ E ⊂ F . Khi đó F là một mở rộng bậc hữu hạn của K nếu và chỉ nếu F là một mở rộng bậc hữu 9Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 8 hạn của E và E là một mở rộng bậc hữu hạn của K. Hơn nữa, ta còn có [F : K] = [F : E].[E : K]. Chứng minh: Giả sử [F : E] = s và [E : K] = r. Khi đó tồn tại một cơ sở {v 1 , v 2 , . . . , v s } của F trên E và một cơ sở {w 1 , w 2 , . . . , w r } của E trên K. Ta chỉ cần chứng minh rằng {v i w j |1 ≤ i ≤ s, 1 ≤ j ≤ r} là một cơ sở của F trên K. Thật vậy, do F = Ev 1 + Ev 2 + ··· + Ev s và E = Kw 1 +Kw 2 +···+Kw r , nên F =  Kv i w j và rút ra {v i w j |1 ≤ i ≤ s, 1 ≤ j ≤ r} là một hệ sinh của K-không gian véctơ F . Bây giờ giả sử rằng 0 =  a ij v i w j =  i (  j a ij w j )v i . Do {v 1 , v 2 , . . . , v s } là một cơ sở của E- không gian véctơ F , nên  j a ij w j = 0. Tiếp đến, do {w 1 , w 2 , . . . , w r } là một cơ sở của K-không gian véctơ E, nên kéo theo các a ij = 0. Vậy hệ {v i w j |1 ≤ i ≤ s, 1 ≤ j ≤ r} là độc lập tuyến tính trên K và do đó hệ này là một cơ sở của K-không gian véctơ F . Ta nhận được [F : K] = rs = [F : E][E : K]. Hệ quả 1.1.1. Cho một tháp các trường K = K 1 ⊂ K 2 ⊂ ··· ⊂ K n = F . Khi đó nếu F là một mở rộng bậc hữu hạn của K thì [F : K] = [F : K n−1 ] . . . [K 2 : K 1 ]. Cho F là một trường và X ⊂ F. Khi đó giao của tất cả các trường con của F chứa X được gọi là trường con của F sinh bởi tập X. Nếu F là một mở rộng của K và X ⊂ F thì trường con sinh bởi X ∪ K được gọi là trường con sinh bởi X trên K và kí hiệu là K(X). Trong trường hợp X là một tập hữu hạn gồm n phần tử u 1 , u 2 , . . . , u n thì ta viết K(X) = K(u 1 , u 2 , . . . , u n ). Trường K(u 1 , u 2 , . . . , u n ) được gọi là một mở rộng hữu hạn sinh của K. 1.1.1. Mở rộng đơn Định nghĩa 1.1.2. Giả sử F là một mở rộng của K. F được gọi là một mở rộng đơn của K nếu như tồn tại một phần tử u ∈ F sao cho F = K(u), còn u được gọi là phần tử nguyên thủy của F. Ví dụ 1.1.2. 10Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... dụng của phương trình đại số Trong chương này, chúng tôi trình bày một vài ứng dụng của mở rộng trường, phương trình đại số và tính đóng của C để tìm hoặc chứng minh một đa thức bất khả qui, xét tính chia hết của vài đa thức đặc biệt, phân tích đa thức thành nhân tử, giải phương trình và các ứng dụng trong Hình học 2.1 2.1.1 Ứng dụng của phương trình đại số và mở rộng trường Đa thức bất khả qui và số... của phương trình Tóm lại, phương trình có ba nghiệm là 2 cos 200 , −2 cos 400 và −2 cos 800 Ví dụ 1.2.8 Giải phương trình x4 + x2 + 1 = 0 Giải: Phương trình tương đương (x2 + 1)2 = x2 suy ra x2 − x + 1 = 0(∗) hoặc x2 + x + 1 = 0(∗∗) √ 1±i 3 Giải (∗) ta nhận được nghiệm x1,2 = và (∗∗) nhận được 2 √ −1 ± i 3 Vậy phương trình có bốn nghiệm trong C là nghiệm x3,4 = √ √ 2 1 ± i 3 −1 ± i 3 , 2 2 1.3 Phương. .. phưng trình bậc ba với ẩn z Gọi z0 là một nghiệm của phương trình này Khi đó (y 2 +z0 ) = (sy +t)2 Giải phương trình này ta sẽ suy ra được bốn nghiệm của ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 Ví dụ 1.2.7 Giải phương trình x3 − 3x − 1 = 0 x x 1 1 Giải: Phương trình tương đương 4( )3 − 3( ) = Ta có = cos 600 = 2 2 2 2 0 0 0 0 3 0 cos(60 ± 360 ) mà cos 60 = cos 3.20 = 4 cos 20 − 3 cos 200 , do đó x phương trình. .. 2010π 2 π )(4+cot ) (4+cot )= < (4+cot 2011 2011 4022 4022 4022 i) Từ p(x) = (x + i)n − (x − i)n và cot 1.2.2 Giải phương trình đa thức Giải phương trình ax2 + bx + c = 0 Phương trình ax2 + bx + c = 0 √ −b ± b2 − 4ac b c có hai nghiệm x1,2 = Khi đó x1 + x2 = − , x1 x2 = 2a a a 3 2 Giải phương trình bậc ba ax + bx + cx + d = 0 Trước tiên đưa f (x) = ax3 +bx2 +cx+d về dạng g(x) = x3 +ux2 +vx+t... hệ phương trình K(a1 , , an ) = { xi − ai = 0, i = 1, , n n n Ngoài ra, không gian K1 và tập rỗng ∅ cũng là các tập đại số vì K1 là tập nghiệm của phương trình 0 = 0 còn tập ∅ là tập nghiệm của phương trình 1 = 0 Cho S là một tập các đa thức trong K[x] Ta gọi hệ phương trình f (x) = 0, f ∈ S là hệ phương trình của S n Định nghĩa 1.3.3 Tập hợp V (S) := {(a) ∈ K1 |f (a) = 0, ∀f ∈ S} n được gọi là... 1.2.4 Tính cos +cos +cos và π+ 2π 3π 7 7 7 4 4 4 cos 7 cos 7 cos 7 π π Bài giải: Từ hệ thức −1 = cos π + i sin π = (cos + i sin )7 suy ra 7 7 π 7 5 3 cos là nghiệm của phương trình 64x − 112x + 56x − 7x + 1 = 0 7 π hay (x + 1)(8x3 − 4x2 − 4x + 1)2 = 0 Như vậy cos là một nghiệm của 7 3π 5π phương trình 8x3 − 4x2 − 4x + 1 = 0 Tương tự cos và cos cũng 7 7 3π π và là nghiệm của phương trình 8x3 − 4x2 − 4x... phá ra một số định lý toán học quan trọng một cách độc lập; năm 1795 Gauss viết luận án tiến sĩ và đã đưa ra quy luật thuận nghịch bậc hai thuộc lý thuyết đại số; năm 1796, Gauss đã có đột phá toán học đầu tiên khi ông chứng minh rằng mọi đa giác đều với số cạnh bằng số nguyên tố Fermat (và, do đó, mọi đa giác đều với số cạnh bằng tích của các số nguyên tố Fermat khác nhau và lũy thừa của 2) đều có... phương trình có bốn nghiệm trong C là nghiệm x3,4 = √ √ 2 1 ± i 3 −1 ± i 3 , 2 2 1.3 Phương trình đại số Định nghĩa 1.3.1 Cho trường K và f (x) := f (x1 , , xn ) ∈ K[x1 , , xn ] Khi đó phương trình f (x) = 0 được gọi là phương trình đại số trên K Định nghĩa 1.3.2 Cho K1 là một trường tùy ý chứa trường K và n là một số nguyên dương Ta gọi tập n K1 = {(a1 , , an )|ai ∈ K} 24Số hóa bởi Trung tâm... bậc n > 0 đều có n nghiệm trong C và các đa thức bất khả quy trong C[x] là các đa thức bậc nhất Bổ đề 1.2.4 Cho f (x) ∈ R[x]\R f (x) là đa thức bất khả quy khi và chỉ khi hoặc f (x) = ax + b với a = 0 hoặc f (x) = ax2 + bx + c với a = 0 và b2 − 4ac < 0 Chứng minh: Hiển nhiên, nếu f (x) = ax + b với a = 0 hoặc f (x) = ax2 + bx + c với a = 0 và b2 − 4ac < 0 thì f (x) là bất khả quy Ta chứng minh điều ngược... Đa thức bất khả qui và số đại số trên Q Trước khi trình bày một số ứng dụng của khái niệm phương trình đại số và mở rộng trường, chúng ta chứng minh lại một số kết quả sau Bổ đề 2.1.1 Cho đa thức f (x) = a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an−1 + an ∈ p Z[x], a0 = 0 Nếu số hữu tỷ với (p, q) = 1 là nghiệm của phương trình q f (x) = 0 thì (i) p là một ước của an và q là một ước của a0 (ii) p − mq là một ước của . tìm hiểu và viết đề tài " Phương trình và bất phương trình& quot;. Đề tài giải quyết các vấn đề trọng tâm: Chương 1. Phương trình đại số Chương này tập trung trình bày về mở rộng trường, mở. . . . . . 56 3.2. Xây dựng phương trình vô tỷ qua phương trình lượng giác 58 3.3. Xây dựng bất đẳng thức qua bất đẳng thức đã biết . . . 63 3.4. Xây dựng hệ phương trình qua số phức . . . . nghĩa phương trình đại số và chứng minh lại Định lý không điểm của Hilbert. Chương 2. Ứng dụng của phương trình đại số Trong chương này, chúng tôi trình bày một vài ứng dụng của mở rộng trường, phương