2.Các hằng đẳng thức đáng nhớ: (A +B)2 = A2 + 2AB + B2 (A B)2 = A2 2AB + B2 A2 B2 = (A + B)(A B) (A +B)3 = A3 + 3A2B +3AB2 + B3 (A B)3 = A3 3A2B +3AB2 B3 A3 B3 = (A B)(A2 +AB + B2) A3 + B3 = (A + B)(A2 AB +B2) Chú ý: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc +2ca (a b + c)2 = a2 + b2 + c2 2ab 2bc + 2ca A2 + B2 = (A +B)2 2AB A2 + B2 = (A B)2 + 2AB
Trang 1Luyện thi vào lớp 10 Năm học: 2013 -2014
n x x x
3.Biến đổi đồng nhất các phân thức đại số:
- Cộng hai phân thức cùng mẫu thức:
M
B A M
B M
- Cộng và trừ hai phân thức khác mẫu thức:
MN
BM AN N
C A
D A C
D B
A D
C B
A
- Đổi dấu của phân thức:
B
A B
Trang 2Luyện thi vào lớp 10 Năm học: 2013 -2014
4 Bốn tính chất của luỹ thừa bậc hai:
0,
0(
)(
)
;0(
)(
)0(
)0,
0.(.1
)0,
0(
)0,
0(
)0(
2 2
2 2 2
B A B
A B
A
B A
C B A
C
B A A
B A
B A C B A C
B B
B A B
A
B B
A B A B B
A
B A
B A
B A
B A B
A
B B A B A
2
2 B A A B A
A B
A± = + − ± − − (A > 0, B > 0; A 2 –B > 0 )
B: CÁC BÀI TOÁN:
1 Tính giá trị của biểu thức:
Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau:
Trang 3Luyện thi vào lớp 10 Năm học: 2013 -2014
Bài 5: Cho biểu thức A=
y x
y x
+
− )(2
; với x > 0; y > 0 Rút gọn biểu thức A, rồi tính giá trị của biểuthức khi x = 3 ; y = (1 - 3 )2 kq: A = 2
13:324
12
1:31
5152
1
714
10352
3
1015
−
−
−+
+
b)
124
2482)32)(
12
Bài 6: Rút gọn
a)
283
2
146
+
+
b)
432
168632
++
++++
kq:a)
2
2 b) 1+ 2
3 Chứng minh đẳng thức:
Bài 1: Chứng minh:
y x xy
y x x y
(
với x >0 và y > 0;
Bài 2: Chứng minh rằng:
11
1
3
++
=
−
−
x x x
x
với x≥0 và x≠1
Bài 3: a) Chứng minh hằng đẳng thức:
52457
1.3
2162
Trang 4Luyện thi vào lớp 10 Năm học: 2013 -2014
x x
x
x
3
13
1
42:31
23
a) Với giá trị nào của x thì giá trị của biểu thức A được xác định Rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị của A với x = 6019
c) Với giá trị nào của x thì A < 0 ?
d) Với giá trị nào của x thì A có giá trị nguyên ?
HD: a) A xác định khi x≠0 ; x≠-1 ; x≠
2
1
A =
x
x x x
x x
x
x x x x
x
3
13
1
42:)
1(3
)1(96)1)(
2
+
−+
+
−+++
=
x
x x x
x x
x
x
3
13
1
)21(2:)1(3
8
+
−+
−
=
x
x x x
x x
x
x x
3
13
)21(2
1
)1(3
)21)(
21(
−
++
−+
=
3
13
)1(3
3
13
213
13
x x x
x x x x
x x x x
b) A = 2006 c) A < 0 khi x -1 < 0, tức là x < 1 Kết hợp với các điều kiện nêu trên, biểu thức A nhận
số trị âm với mọi giá trị của x < 1 trừ các giá trị
2
1 , 0 , -1
d) A có giá trị nguyên khi x -1 : 3 tức là x -1 = 3k (k Z∈ ) Suy ra x có dạng 3k + 1 thì
A có giá trị nguyên
Bài 2: Cho hai biểu thức:
B =
y x
xy y
(x > 0,y > 0)a) Rút gọn B và C
31
1
+
−
++
−+ x x x x
x
b) Cm D - 1 ≤0 ⇒D ≤1
Bài 4: Cho E =
32
a) Tìm điều kiện của x để E có nghĩa
b) Rút gọn E bằng cách loại dấu căn ở mẫu thức
c) Tính giá trị của E tại x = 23 -12 3
HD: a) đk của x để E có nghĩa là: x ≥ 2 , x ≠11
Trang 5Luyện thi vào lớp 10 Năm học: 2013 -2014
Bài 5: Cho F =
12
221
a) Tìm điều kiện của x để F có nghĩa
0221
02
x
x x
012222
x
x x
0)12(
2
2
x x
221
2211
222
2211
2
22
x x
x x
x x
x
x x
)32
1(neu -
)3(
1
Vo
x
x neu
Bài 6: Xét biểu thức
G =
x
x x
x x
−
−
3
122
36
5
92
a) Tìm điều kiện của x để G có nghĩa
b) Rút gọn G
c) Tìm các giá trị của x sao cho G < 1
d) Tính giá trị nguyên của x sao cho G cũng là số nguyên
−
+
−+
−
−
x
x x
x x
x
x
3
122
36
5
92
92
x x
x
)3)(
2(
)12)(
2()3)(
3(
x x
x x
x x
)3)(
2(
)1)(
2(
x x
c) G < 1 ⇔ x +1< 1 ⇔ x+1- 1< 0
Trang 6Luyện thi vào lớp 10 Năm học: 2013 -2014
93
030
x x
d) Ta có G =
3
413
1
−+
=
−
+
x x
Trang 7Luyện thi vào lớp 10 Năm học: 2013 -2014
1
a
a a a
a a
152
Bài 5: Tìm x, biết: a) 3+ x =3 b) 3 x =36 kq: a) x = 36 b) x = 144
Bài 6: Rút gọn biểu thức:
a)
53
535
323
)52(
4)
52(
11
4
1
Bài 8: ( Dành cho HSG).Tìm số x nguyên để biểu thức
433
1
−+
x x
x
Do x nguyên nên x là số vô tỉ hoặc là số nguyên.
•Với x là số vô tỉ thì x−3 là số vô tỉ nên
3
4
−
Trang 8Luyện thi vào lớp 10 Năm học: 2013 -2014
•Với x là số nguyên thì x−3là nguyên Vậy để
3
4
−
Mặt khác, theo định nghĩa căn bậc hai thì x≥0 và x ≥0
Vậy giá trị x nguyên cần tìm phải không âm và phải thoả mãn điều kiện x ≥0và x−3là ước của 4 Tathấy 4 có các số là: ±4 ;±2; ±1
Với ước là 4, ta có x−3= 4; suy ra x = 49;
Với ước là -4, ta có x−3=−4; không tồn tại x;
Với ước là 2, ta có x−3= 2 ; suy ra x = 25;
Với ước là -2, ta có x−3=−2; suy ra x =1;
Với ước là 1, ta có x−3=1; suy ra x = 16;
Với ước là -1, ta có x−3=−1; suy ra x = 4
Bài 9: Cho biểu thức
H =
ab
a b b a b
a
ab b
−
−+ ) 4
a) Tìm điều kiện để H có nghĩa
b) Khi H có nghĩa, Chứng tỏ giá trị của H không phụ thuộc vào a
HD: a) Điều kiện để H có nghĩa là a > 0 , b > 0 và a≠b
b) H = -2 b Vậy giá trị của H không phụ thuộc vào a mà chỉ phụ thuộc vào b.
Bài 10: Cho biểu thức
x x
x x
3
13:9
41)2(2
3
+
−
=++
−
x
x x
x
có giá trị âm
Do 2( x+2) dương nên 4 - x phải âm.Ta tìm được x > 16.
Bài 11: Chứng minh các đẳng thức sau:
)52(
4)
52(
Trang 9Luyện thi vào lớp 10 Năm học: 2013 -2014
−
−+
−
b b a
b b
ab c
b
a
11
11
32)32
(
+
−+
−
+
xy
xy y x xy
y x xy
y x
1
21
:1
1
a) Rút gọn K;
b) Tính giá trị của K với x =
32
1
11
12
2
1
x x x
x x x x
2
12
2
x x
x x x
x
Trang 10Luyện thi vào lớp 10 Năm học: 2013 -2014
a) Rút gọn M;
b)Tìm gía trị của x để M > 0
HD: a) Đkxđ:
x M
x x
)3(232
58−
429221
9)
1(221
91
1
911
≥
−++
+
=
++
−
=+
+
=
x
x x
x
x
x x
52
−
−+
x x x
21
12
:
11
1
a) Rút gọn Q;
b) Tính gía trị của Q với x = 7 - 4 3 ;
c) Chứng minh rằng Q > 1
Trang 11Luyện thi vào lớp 10 Năm học: 2013 -2014
−
−
−
13
23
1:19
83
1
11
3
1
m
m m
m m
b) R = 1 ⇔m =1
Bài 21: Cho biểu thức:
S =
x x
x x x
x
−
−+
−
21
a) Tìm điều kiện của x để biểu thức S xác định;
x x
x
.1
21
2T
1x0;
x
b) T =1
Trang 12Luyện thi vào lớp 10 Năm học: 2013 -2014
§2 CÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
- Nếu a = 0 thì phương trình (*) có dạng 0x + b = 0
• Nếu b≠0 thì phương trình (*) vô nghiệm
• Nếu b = 0 thì phương trình (*) có vô số nghiệm
2 Phương trình bậc hai một ẩn số :
a) Xét phương trình ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠0) có biệt thức ∆ = b2 - 4ac
- Nếu ∆> 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
3) Tìm hai số biết tổng và tích của chúng: Nếu hai số u và v có tổng u + v = S và tích u.v = P thì u và
v là nghiệm của phương trình bậc hai x2 - Sx + P = 0 (điều kiện S2 - 4P≥ 0)
3 Một số dạng toán liên quan đến phương trình ax 2 + bx + c = 0 (1) trong đó a, b, c phụ thuộc vào tham số m.
Dạng 1: Định giá trị của tham số m để phương trình (1) có nghiệm.
Phương pháp giải: Có hai khả năng để pt (1) có nghiệm:
Dạng 2: Tim điều kiện của tham số m để phương trình (1) có hai nghiêm phân biệt.
Phương pháp giải:Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔
Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình (1) có 1 nghiệm.
Phương pháp giải: Có hai khả năng xảy ra để phương trình (1) có 1 nghiệm:
Trang 13Luyện thi vào lớp 10 Năm học: 2013 -2014
Dạng 4:
a) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu.
Phương pháp giải: Pt (1) có hai nghiệm cùng dấu
P
a
Giải tìm m
b) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có hai nghiệm cùng dương.
Phương pháp giải: Pt (1) có hai nghiệm cùng dương
S P
a
Giải tìm m
c) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có hai nghiệm cùng âm.
Phương pháp giải: Pt (1) có hai nghiệm cùng âm
S P
a
Giải tìm m
d) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu.
Phương pháp giải: Pt (1) có hai nghiệm trái dấu
0
c a hoac P
a
Giải tìm m
e) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có hai nghiệm đối nhau.
Phương pháp giải: Pt (1) có hai nghiệm đối nhau
S P
S P
S P
Trang 14
Luyện thi vào lớp 10 Năm học: 2013 -2014
Dạng 6: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình (1) có hai nghiệm x 1 , x 2 thoả mản một trong các điều kiện sau:
a) a1x1 + b1x2 = c1 b) x1 + x2 = k
2 1
11
d) x1 + x2 ≥h e) x1 + x2 = t
Phương pháp giải:
a) Trường hợp: a 1 x 1 + b 1 x 2 = c 1 :
Điều kiện để phương trình có hai nghiệm x1 và x2 : ∆≥0 (*)
Giải hệ (1) và (3) tìm x1 và x2 thay vào (2) giảitìm m Chọn m thoả mãn điều kiện (*)
b) Trường hợp x 1 + x 2 = k
k x x x
2
1 ) 2( (4) Thay S và P vào(4) ta được: S2 -2P = k giải tìm m Chọn m thoảmãn (*)
nc b x
nx x x n x
x + = ⇔ 1 + 2 = 1 2 ⇔− =
2 1
11
(5) Giải tìm m Chọn m thoả mãn (*).
d) Trường hợp: x 1 + x 2 ≥h⇔S2 −2P−h≥0 (6) giải tìm m thoả mãn (*).
e) Trường hợp x 1 + x 2 = t ⇔S3−3PS =t (7) giải tìm m Chọn m thoả mãn (*).
Dạng 7:
a) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m
phương pháp giải: Ta chứng minh ∆≥0với mọi giá trị của m
b) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số m
phương pháp giải: Ta chứng minh ∆>0với mọi giá trị của m
c) Chứng minh rằng phương trình (1) vô nghiệm với mọi giá trị của tham số m
phương pháp giải: Ta chứng minh ∆<0với mọi giá trị của m
x
22
31
122
+
−
− x x x
x x
=
=
−
=+
=
)3(
)2(
)1(
1 2 1 1 1
2 1
2 1
c x b x a
a
c x x P
a
b x x S
Trang 15Luyện thi vào lớp 10 Năm học: 2013 -2014
Tìm các giá trị của a để cho hai phương trình trên có ít nhất một nghiệm chung
HD: Gọi x0 là nghiệm chung của hai phương trình;
a = 1: cả hai phương trình trở thành x2 + x + 1 = 0 có∆= 1 - 4 = -3 < 0 Phương trình vô nghiệm , a =1(loại)
x0 = 1 thay vào (1) ta có 12 +1 + a = 0 ⇔a = -2, a = -2 cả hai phương trình có một nghiệm chung là 1.Vậy a = - 2 là giá trị cần tìm
Bài 2: Cho phương trình x2 - (2m - 3)x + m2 -3m = 0
a) Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có hai nghiệm khi m thay đổi
b) Định m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn: 1< x1 < x2 < 6
HD: a) ∆ = (2m - 3)2 - 4(m2 - 3m) = 4m2 -12m + 9 - 4m2 +12m = 9, ∆= 9 > 0 Phương trình luônluôn có hai nghiệm phân biệt khi m thay đổi
2
33
2
332
67
b) Điều kiện m ≥ -
6
7 ; m ≠ -1
=
1
3
1
)2(2
2 1
2 1
m
m x x P
m
m x
x S
.Do đó: (4x1+1)(4x2+1) = 18 ⇔
1
)2(81
)3(
+
+++
−
⇔
m
m m
1
m m
Vậy m = 7 thì phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn (4x1+1)(4x2+1) = 18
Bài 4: Cho phương trình x2 - (2m+1)x + m2 + m - 6 = 0
a) Định m để phương trình có hai nghiệm đều âm
Trang 16Luyện thi vào lớp 10 Năm học: 2013 -2014
b) Định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x13−x23 =50.
2
51
03
m
m
32
=++
⇔
=++
⇔
)2( 107
33
)1( 10733
1073
2 2
m m
m m
m m
Giải (1) ta được:
2
51
;2
−
=
−+
12)(
02
2 1 2 1
2 1 2 1
m x
x x mx
x x x x
a) Tìm phương trình bậc hai đã nói
b) Với giá trị nào của m thì phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt đều dương
HD: a) Từ giả thiết, ta tìm được:
12
)12(2
−
++
=
∆
⇔
)4( 02
12
)3( 02
12
2
)2( 0)
2(
)3)(
12
2
1
;3
m m
m m
2
m m
)
Trang 17Luyện thi vào lớp 10 Năm học: 2013 -2014
−
−
−
321
321
.Vậy phương trình có bốnnghiệm: -1 - 2 3; -2; 0 ; -1 + 2 3
b)
4
254
252
55
11422
5
2 , 1
Bài 7: Chứng minh rằng: x2 - 2(m -1)x + m - 3 = 0 luôn có nghiệm với mọi m Tìm m để phương trình đó
có hai nghiệm là hai số đối nhau
4
7)2
3(433
)1(
Pt có hai nghiệm đối nhau
03
m
m
11
•Nếu m < 0 pt có hai nghiệm trái dấu tức là không thể có hai nghiệm dương,
•Nếu m > 0 thì S = -(m+1) < 0 nên pt có hai nghiệm âm tức là không thể có hai nghiệm dương
•Nếu m = 0 thì pt có hai nghiệm trái dấu: x = 0 và x = -1 Vậy với mọi m pt luôn có nghiệm nhưng khôngthể có hai nghiệm dương
Bài 10: Cho phương trình (m-2)x2 – 3x + m + 2 = 0
a) Giải phương trình (1) với m = 1
b) Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm
Bài 11: Định giá trị của tham số m để phương trình x2 + m(m + 1)x + 5m + 20=0
Trang 18Luyện thi vào lớp 10 Năm học: 2013 -2014
Có một nghiệm x1= -5 Tìm nghiệm kia
Bài 12: Cho phương trình x2 + mx + 3 = 0
a) Định m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt
b) Với giá trị nào của m thì pt có một nghiệm bằng 1 Tìm nghiệm kia
Bài 13: Cho phương trình x2 – 8x + m + 5 = 0
a) Xác định mọi giá trị của tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
b) Với giá trị nào thì phương trình có một nghiệm gấp ba lần nghiệm kia? Tìm các nghiệm của phươngtrình trong trường hợp này
Bài 14: a) Định m để phương trình chỉ có một nghiệm mx2 + 2(m-1)x +2 = 0
b) Tìm nghiệm của phương trình trong các trường hợp đó
Bài 15: Cho phương trình x2 + (m + 1)x + 5 – m = 0
a) Tìm m để phương trình có một nghiệm bằng -1 Tìm nghiệm kia
b) Giải phương trình khi m = -6
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
d) Với m tìm được ở câu c) Viết hệ thức giữa x1 và x2 độc lập đối với m
Bài 16: Cho phương trình x2 + (4m + 1 )x + 2(m – 4) = 0
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn điều kiện x2 – x1 = 17
b) Tìm m để biểu thức A = (x1 – x2)2 có giá trị nhỏ nhất
c) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghịêm không phụ thuộc m
Bài 17: Cho phương trình : x2 – 2(m + 3)x + 4m -1 = 0
a) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm dương
b) Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m
Trang 19Luyện thi vào lớp 10 Năm học: 2013 -2014
Bài18: Chứng minh rằng phương trình x2 - (m - 2)x - 2m = 0 luôn luôn có nghiệm với mọi tham số m
Bài 19: Với giá trị nào của a, tổng các nghiệm của phương trình
x2 + (2 - a - a2)x -a2 = 0 bằng không?
Bài 20: Cho phương trình ẩn x: x2 - (2m - 3)x + m2 - 3m = 0
a) Chứng minh rằng với mọi m phương trình đã cho luôn có hai nghiệm Tìm các nghiệm của phươngtrình đã cho theo m
b) Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu
c) Gọi x1,x2 là hai nghiệm của phương trình đã cho Tìm m sao cho x1 + x2 đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 21: Cho phương trình ẩn x: 2x2 + (2m - 1)x + m -1 = 0
a) Chứng minh rằng với mọi m phương trình đã cho luôn có nghiệm Tìm m để phương trình đã cho cómột nghiệm x = 2
b) Tìm m để cả hai nghiệm của phương trình đều là số âm
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn điều kiện:
Bài 25: Cho phương trình bậc hai: x2 - 2(m -1)x + 2m - 5 = 0
a) Chứng minh rằng với mọi m phương trình luôn có nghiệm
b) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu Khi đó hai nghiệm mang dấu gì?
Trang 20Luyện thi vào lớp 10 Năm học: 2013 -2014
Bài 26: Cho phương trình bậc hai: x2 - 2(m + 2)x +2m +3 = 0
a) Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có nghiệm với mọi giá trị của m
b) Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn (4x1 + 1)(4x2 +1) = 25
Bài 27: Cho phương trình x2 - 5x + 6 = 0 Hãy lập một phương trình bậc hai có các nghiệm là tổng vàtích các nghiệm của phương trình đã cho
Bài 28: Gọi hai nghiệm của phương trình bậc hai x2 + (m - 3)x -1 = 0 là x1, x2 Tìm giá trị nhỏ nhất của
x1 + x2
Bài 29: Cho phương trình bậc hai ẩn x: x2 - 2(m + 1)x + m2 +3 = 0
a) Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm
b) Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn:
Trang 21Luyện thi vào lớp 10 Năm học: 2013 -2014
5
35
2
2
=+
−++
−
+
x x
x x
x
x
104
+
− x x x x
x x b)Tìm GTNN và GTLN của các biểu thức:
1/ Q =
1
34
2 +
−
x x
2/ R=
32
12
x x
x x
=+
)2( '''
)1(
c y b x a
c by ax
(*)Mỗi nghiệm của hệ phương trình (*) là một cặp số (x0,y0) đồng thời nghiệm đúng cả hai phương trình(1) và (2)
a) Giải hệ phương trình (*) bằng phương pháp thế:
- Rút x (hoặc y) từ một trong hai phương trình của hệ
- Thay x (hoặc y) theo y (hoặc x) vào phương trình kia
- Giải phương trình bậc nhất ẩn y (hoặc x) , tìm giá trị của y (hoặc x) rồi thay giá trị này vào một tronghai phương trình của hệ để tìm x (hoặc y)
b) Giải hệ phương trình (*) bằng phương pháp cộng đại số:
- Bằng phép biến đổi tương đương để đi đến một ẩn cùng tênở hai phương trình có hệ số bằng nhau vềgiá trị tuyệt đối
- Cộng vế theo vế nếu hai hệ số đó đối nhau, trừ vế với vế nếu hai hệ số đó bằng nhau
- Đưa hệ đã cho tương đương với hệ gồm một phương trình của ẩn và một trong hai phương trình của
hệ đã cho
B Các bài toán về hệ phương trình:
Bài 1: Giải hệ phương trình:
3
52
=
−
++
181
213
51
112
y x
y x
Bài 2: Giải các hệ phương trình:
