PT đường phân giác năm 2006

Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập – Tự do – Hạnh phúc Trong chương trình toán THPT, mà cụ thể là phân môn Hình Học 12, các em học sinh được tiếp cận với Phương pháp tọa độ trong

Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

Trong chương trình toán THPT, mà cụ thể là phân môn Hình Học 12, các

em học sinh được tiếp cận với Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và trong không gian Với Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng các em được trang bị một số kiến thức và bài toán cơ bản về lập phương trình một đường thẳng như: lập phương trình đường thẳng qua 2 điểm, lập phương trình đường thẳng qua 1 điểm và có 1 véc tơ chỉ phương, lập phương trình đường thẳng qua 1 điểm và có 1 véc tơ pháp tuyến,… Do vậy nếu gặp một bài toán đã có đầy đủ giả thiết của các bài toán cơ bản thì các em chỉ cần áp dụng công thức là có ngay kết quả, song trong thực tế các

kỳ thi hết cấp và thi tuyển sinh vào Đại học - Cao đẳng - THCN, các em có thể gặp phải 1 lớp các bài toán về phương trình đường phân giác như: phân giác của góc nhọn(hay tù) của góc tạo bởi 2 đường thẳng cắt nhau, phân giác của góc tạo bởi 2 đường thẳng cắt nhau và chứa điểm Mo, phân giác trong và ngoài của 1 góc của tam giác,…và thực tế là khi gặp các bài toán dạng này chỉ có 1 số ít các em học sinh biết phương pháp giải, song cách trình bày và các lời giải còn chưa gọn gàng, sáng sủa Tại sao lại như vậy?

Lý do chính ở đây là trong chương trình SGK Hình Học 12 hiện hành, kiến thức về phương trình đường phân giác được nhắc đến rất ít, nó chỉ được đề cập đến

ở phần 3.áp dụng (tiết 5, chương I, dòng 7-16 trang 19) khi nói về phương trình

phân giác của 2 đường thẳng cắt nhau Mặt khác nếu như trong các giờ dạy của mình, các thầy cô giáo không đưa thêm các bài tập dạng này và phương pháp giải tương ứng thì các em học sinh không thể giải được 1 lớp các bài toán nói trên

Với lý do đó, cùng với kinh nghiệm của mình sau 1 thời gian giảng dạy và bồi dưỡng kiến thức cho học sinh tôi đã tổng kết, hệ thống hóa lại các kiến thức cơ

bản cùng với các kết quả đã chứng minh được thành 1 chuyên đề về “Phương trình các đường phân giác trong mặt phẳng” để cùng trao đổi với các bạn đồng

nghiệp và làm tài liệu tham khảo cho các em học sinh

Hy vọng đề tài nhỏ này ra đời sẽ giúp các bạn đồng nghiệp cùng các em học sinh có một cái nhìn toàn diện cũng như phương pháp giải 1 lớp các bài toán về lập phương trình đường phân giác trong mặt phẳng

3 Phạm vi và thời gian thực hiện đề tài:

Đề tài được sử dụng để giảng dạy và bồi dưỡng cho các em học sinh khối 12

hệ THPT và làm tài liệu tham khảo cho các thầy cô giảng dạy môn Toán Các thầy

cô và học sinh có thể sử dụng các bài toán trong đề tài này ngay sau khi học xong bài 5, chương I- Hình học 12

Trong đề tài này mỗi bài toán được đưa vào khá nhiều phương pháp giải

khác nhau (có những lời giải hay và ấn tượng mà có lẽ chưa xuất hiện trong bất

kỳ 1 cuốn sách tham khảo nào như cách giải 2 bài toán 2, cách giải 2 bài toán 3, cách giải 4 và 5 bài toán 4) Sau mỗi bài toán tác giả đều có những nhận xét giúp

bạn đọc có thể chọn ra cho mình những phương pháp giải tối ưu nhất, để có được những lời giải gọn gàng và sáng sủa nhất./

Phần thứ hai Quá trình thực hiện đề tài

I Khảo sát thực tế:

Khi giảng dạy trên lớp cũng như bồi dưỡng học sinh, tôi đã đưa vào một số bài toán sau( các câu hỏi trong mỗi bài toán được đưa ra theo trật tự: giải xong câu hỏi này sẽ đặt vấn đề để có câu hỏi tiếp theo) nhằm kiểm tra kiến thức của các em học sinh

Bài toán 1: Cho 2 đường thẳng cắt nhau d1, d2 có phương trình lần lượt là:

3x+2y-3 = 0; 2x+3y+1= 0 a) Lập phương trình 2 đường phân giác của góc tạo bởi 2 đường thẳng d1, d2 b) Lập phương trình đường phân giác của góc nhọn tạo bởi 2 đư?ng thẳng d1, d2 c) Lập phương trình đường phân giác của góc tạo bởi d1, d2 và chứa điểm M0(0, 1)

Bài toán 2: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có A(2, 3), B(4, -1), C(4, 5)

a) Viết phương trình đường phân giác trong của góc A của tam giác ABC

b) Tìm tọa độ tâm I đường tròn nội tiếp tam giác ABC

* Với bài toán 1: Khi câu hỏi a) được đưa ra thì nói chung các em đã biết áp dụng

ngay công thức mà thầy cô đã trang bị( có trong SGK Hình Học 12) và cho đáp án

đúng 2 phương trình cần tìm là: x-y- 4 = 0 (l 1 ) ; 5x+5y-2= 0 (l 2 )

Nhưng khi câu hỏi b) được đưa ra thì các em học sinh bắt đầu lúng túng và phân vân không biết trong 2 đường l1, l2 ở trên thì đường nào là phân giác của góc nhọn

đây? ( Đáp án đúng của câu hỏi này là: 5x+5y-2=0 (l 2 ) )

- Cũng giống như câu hỏi b), câu hỏi c) cũng làm cho các em học sinh khá là bối

dối, tôi đã vẽ hình minh họa(trực quan), gợi mở tư duy…( đáp án đúng của câu hỏi này là:5x+5y-2=0 (l 2 ) )

* Với bài toán 2: ở câu hỏi a) các em cũng đã nêu ý tưởng là đi lập phương trình 2

cạnh AB, AC, sau đó lập phương trình 2 đường phân giác của góc A, nhưng khi được hỏi đường nào là phân giác cần tìm thì các em lại không trả lời được, một số

em cũng có ý kiến là đi xác định tọa độ chân đường phân giác trong của góc A,

nhưng hỏi phương pháp thì các em lại không thể thực hiện( đáp án đúng của câu hỏi này là: x-2=0 )

- Với câu hỏi b) các em đều biết rằng tâm đường tròn nội tiếp tam giác là điểm đồng quy của 3 đường phân giác trong của các góc trong tam giác, do vậy chỉ cần biết 2 trong 3 đường phân giác trong là sẽ tìm được tọa độ tâm I Song nếu không lập được phương trình các đường phân giác(do không biết phương pháp) hoặc đã lập được nhưng các phương trình này lại phức tạp, cồng kềnh( thường các hệ số là các số vô tỷ), do vậy việc xác định tọa độ tâm I sẽ không dễ dàng gì? Một số học sinh cũng đã hỏi thêm rằng có phương pháp nào để xác định tâm I nữa không? có ngắn hơn không?

Đến đây hẳn các bạn đọc cũng đã nhận thấy rằng việc hệ thống kiến thức cùng với việc đưa ra và giải quyết 1 lớp các bài toán về phương trình đường phân giác trong mặt phẳng là thật cần thiết phải không?

II Nội dung của đề tài:

1 Một số kết quả đã biết cần sử dụng trong đề tài:

1.1.Định nghĩa đường phân giác:

- Cho 2 đường thẳng cắt nhau d1, d2, đường phân giác của góc tạo bởi d1, d2 là đường thẳng chia góc đó thành 2 phần bằng nhau

- Đường phân giác của góc tạo bởi d1, d2 là tập hợp tất cả các điểm trong mặt phẳng cách đều d1, d2

1.2.Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường thẳng:

Cho đường thẳng (d): Ax+By+C=0 và điểm M(xo, yo) Khi đó khoảng cách

từ điểm Mo đến đường thẳng (d) được xác định bởi công thức:

2 2

B A

C By Ax

1.3.Tích vô hướng của 2 véc tơ:

Cho u  ( b a, )và v  ( d c, ) Khi đó tích vô hướng của 2 véc tơ u và v được

ký hiệu là u v và được xác định bởi công thức sau: u.va.cb.d

1.4.Độ dài của véc tơ:

Cho u  ( b a, ), độ dài của véc tơ u

được ký hiệu là u và được xác định bởi công thức: u  a2 b2

1.5.Góc giữa 2 véc tơ:

Cho 2 véc tơ u  ( b a, )và v  ( d c, ) , khi đó góc giữa 2 véc tơ được ký hiệu là

(u, v) và được xác định bởi hệ thức:

2 2 2 2

) , cos(

d c b a

bd ac v

u

v u v u

Giả sử 2 đường thẳng d1, d2 có phương trình lần lượt là: A1x+B1y+C1= 0

và A2x+B2y+C2= 0, chúng có véc tơ pháp tuyến n1 (A1,B1) và n2 (A2,B2) Khi đó góc  giữa 2 đường thẳng d1, d2 xác định bởi công thức:

2 2 2 2 2 1 2 1

2 1 2 1 2

1

2 1

.

cos

B A B A

B B A A n

n

n n

1.7.Nửa mặt phẳng:

Trong mặt phẳng Oxy, đường thẳng (d): Ax+By+C= 0 chia mặt phẳng thành

2 nửa mặt phẳng có bờ chung là đường thẳng (d) Nửa mặt phẳng dương là nửa mặt phẳng chứa tập hợp các điểm M( xo, yo) trong mặt phẳng sao cho Axo+Byo+C > 0, nửa mặt phẳng còn lại là nửa mặt phẳng âm

*Nhận xét: Cho đường thẳng (d): Ax+By+C= 0 và 2 điểm M1( x1, y1), M2( x2, y2)

+ M1 và M2 cùng phía với (d)  ( Ax1+By1+C )( Ax2+By2+C ) > 0

+ M1 và M2 khác phía với (d)  ( Ax1+By1+C )( Ax2+By2+C ) < 0

1.8.Một số bài toán cơ bản về lập phương trình đường thẳng:

a).Bài toán 1:

Đường thẳng (d) đi qua 2 điểm M1( x1, y1), M2( x2, y2) cho trước

có phương trình:

1 2 1 1

2

1

y y

y y x x

x x

at x x hay b

y y a

x x

o

o o

+ Gọi Mo(xo, yo) là điểm không thuộc (d), khi đó đường thẳng ( ) qua Mo

và vuông góc với (d) có phương trình:

Bx- Ay +Ayo+Bxo= 0

+ Gọi H là giao điểm của (d) và ( ) thì

tọa độ của H là nghiệm của hệ phương

, 0

0

o

o Bx Ay D D

Ay Bx

C By Ax

2 2 2

CB AD B

A

AC BD

B A

C By Ax B B

A

C By Ax A

B A

C By Ax

+ Nếu n1 và n2 nằm về 2 phía của d1( hoặc d2) thì góc giữa d1 và d2 sẽ bù với góc

giữa n1 và n2

Hay nói cụ thể hơn: Nếu góc giữa n1 và n2 là góc nhọn thì đó chính là góc giữa d1

và d2, còn nếu góc giữa n1 và n2 là góc tù thì góc giữa d1 và d2 sẽ bù với góc đó

Và để gọn hơn trong quá trình chứng minh ta sẽ ký hiệu:

A=n1.n2; B = A1x0+B1y0+C1 ; C= A2x0+B2y0+C2

Khi đó: Ta có (1)  A.B.C < 0 (3) và (2) A.B.C > 0 (4)

*Chứng minh a):

Ta có (3) hoặc (A> 0, B > 0 , C < 0) (3.1) hoặc (A> 0, B < 0 , C > 0) (3.2)

hoặc (A< 0, B > 0 , C > 0) (3.3) hoặc (A< 0, B < 0 , C < 0) (3.4)

0

2 0 2 0 2

1 0 1 0 1

2 1

C y B x A

C y B x A

n n

 M0 thuộc miền mặt phẳng (II)

 M0 nằm trong góc nhọn tạo bởi d1,d2

0

2 0 2 0 2

1 0 1 0 1

2 1

C y B x A

C y B x A

n n

 M0 thuộc miền mặt phẳng (II)

 M0 nằm trong góc nhọn tạo bởi

(IV)

M 0

M0 thuộc miền (II) hoặc (III)

M0 thuộc miền (I) hoặc (II)

M0 thuộc miền (II) hoặc (III)

M0 thuộc miền (I) hoặc (II)

Vậy tóm lại: ta đã chứng minh được rằng: điểm Mo(xo, yo) nằm trong góc nhọn tạo bởi d1, d2 khi và chỉ khi (n1 n2 ).(A1x0 B1y0 C1).(A2x0 B2y0 C2)  0

*Chứng minh b):

Ta có (4) hoặc (A> 0, B > 0 , C > 0) (4.1) hoặc (A> 0, B < 0 , C < 0) (4.2)

hoặc (A< 0, B < 0 , C > 0) (4.3) hoặc (A< 0, B > 0 , C < 0) (4.4)

0

2 0 2 0 2

1 0 1 0 1

2 1

C y B x A

C y B x A

n n

 M0 thuộc miền mặt phẳng (III)

 M0 nằm trong góc tù tạo bởi d1,d2

0

2 0 2 0 2

1 0 1 0 1

2 1

C y B x A

C y B x A

n n

 M0 thuộc miền mặt phẳng (I)

 M0 nằm trong góc tù tạo bởi d1,d2

(Việc chứng minh các trường hợp (4.3) và (4.4) hoàn toàn tương tự)

Vậy tóm lại: ta đã chứng minh được rằng: điểm Mo(xo, yo) nằm trong góc tù tạo bởi d1, d2 khi và chỉ khi (n1 n2 ).(A1x0 B1y0 C1).(A2x0 B2y0 C2)  0

2.3.Kết quả 3(Hệ quả của kết quả 2):

M0 thuộc miền (II) hoặc (III)

M0 thuộc miền (III) hoặc (IV)

(n1,n2) là góc nhọn

M0 và n1 khác phía với d1

M0 và n2 khác phía với d2

M0 thuộc miền (I) hoặc (IV)

M0 thuộc miền (I) hoặc (II)

+ M0 nằm trong góc tù tạo bởi d1, d2  (A1x0+B1y0+C1)(A2x0+B2y0+C2) > 0 b) Nếu n1.n2< 0 ta có:

+ M0 nằm trong góc nhọn tạo bởi d1, d2  (A1x0+B1y0+C1)(A2x0+B2y0+C2) > 0 + M0 nằm trong góc tù tạo bởi d1, d2  (A1x0+B1y0+C1)(A2x0+B2y0+C2) < 0

+ Nếu

2

2 cos  thì l1 là phân giác góc tù và l2 là phân giác góc nhọn

1 1

d l

d l n n

n n

Do đó: l1 là phân giác góc nhọn và l2 là phân giác góc tù

+ Nếu

2

2 cos  thì  > 450  2 > 900  (d1,d2) =1800-2

Do đó: l1 là phân giác góc tù và l2 là phân giác góc nhọn

3 Các bài toán về lập phương trình đường phân giác trong mặt phẳng:

Phần này sẽ trình bày 4 bài toán cơ bản về lập phương trình đường phân giác trong mặt phẳng cùng các phương pháp giải Sau mỗi bài toán đều có những nhận xét giúp bạn đọc hiểu rõ hơn phương pháp và hướng lựa chọn phương pháp giải tối

ưu nhất cho từng bài toán

2 2 2 2

1 2 1

1 1 1

B A

C y B x A B

A

C y B x A

) 2 (

2 2 2 2

2 2 2 2

1 2 1

1 1 1

2 2 2 2

2 2 2 2

1 2 1

1 1 1

B A

C y B x A B

A

C y B x A

B A

C y B x A B

A

C y B x A

*Nhận xét:

+ Các phương trình (2) và (3) là phương trình 2 đường phân giác cần tìm

+ Vấn đề đặt ra ở đây là khi d1 không vuông góc với d2 thì đường nào trong 2 đường có phương trình ở (2) và (3) là phân giác của góc nhọn, đường nào là phân giác của góc tù tạo bởi d1, d2.(Ta có bài toán 2)

2 3 4

25

1 2 5

29 3 10 2 ( ) 29 10 5 (

0 29 2 10 )

29 3 10 2 ( ) 29 10 5 (

y x

y x

3.2.Bài toán 2:

Cho 2 đường thẳng cắt nhau d1, d2 và không vuông góc với nhau, có phương trình lần lượt là: A1x+B1y+C1= 0 và A2x+B2y+C2= 0

Hãy lập phương trình đường phân giác góc nhọn và góc tù tạo bởi d1, d2?

a).Cách giải 1:(Sử dụng kết quả 3)

Gọi n1 (A1,B1) và n2 (A2,B2) lần lượt là véc tơ pháp tuyến của 2 đường thẳng d1, d2 và M(x, y) là điểm thuộc phân giác của d1, d2 Khi đó theo bài toán 1, ta có:

2 2 2 2

2 2 2 2

1 2 1

1 1 1

B A

C y B x A B

A

C y B x A

2 2 2 2

1 2 1

1 1 1

B A

C y B x A B

A

C y B x A

2 2 2 2

1 2 1

1 1 1

B A

C y B x A B

A

C y B x A

- Điểm M thuộc phân giác góc tù  (A1x+B1y+C1)(A2x+B2y+C2) > 0

Khi đó từ (1) ta có được phân giác góc tù là:

2 2 2 2

2 2 2 2

1 2 1

1 1 1

B A

C y B x A B

A

C y B x A

2 2 2 2

1 2 1

1 1 1

B A

C y B x A B

A

C y B x A

- Điểm M thuộc phân giác góc tù  (A1x+B1y+C1)(A2x+B2y+C2) < 0

Khi đó từ (1) ta có được phân giác góc tù là:

2 2 2 2

2 2 2 2

1 2 1

1 1 1

B A

C y B x A B

A

C y B x A

2 2 2 2

1 2 1

1 1 1

B A

C y B x A B

A

C y B x A

+ Nếu n1.n2> 0 thì phân giác góc nhọn lấy dấu âm (-)

phân giác góc tù lấy dấu dương (+)

+ Nếu n1.n2< 0 thì phân giác góc nhọn lấy dấu dương (+)

phân giác góc tù lấy dấu âm (-)

b).Cách giải 2:(Sử dụng kết quả 4)

Ta thực hiện theo 2 bước sau:

+ Trước hết áp dụng bài toán 1, ta có được phương trình 2 đường phân giác và ký hiệu lần lượt là l1 , l2

1 1

d l

d l n n

n n

- Nếu

2

2 cos  thì l1 là phân giác góc tù và l2 là phân giác góc nhọn

*Nhận xét:

- Với bài toán này các bạn nên sử dụng cách giải 2 để tìm đường phân giác góc nhọn hoặc tù của 2 đường thẳng

- Để hiểu rõ hơn 2 cách giải trên, bạn đọc có thể xem lại các kết quả 2, 3 và 4 ở trên

*Ví dụ minh họa 2:

Cho 2 đường thẳng d1, d2 cắt nhau có phương trình lần lượt là:

3x+2y-3 = 0 và 2x+3y +1 = 0

a) Hãy lập phương trình phân giác của góc nhọn tạo bởi d1, d2?

b) Hãy lập phương trình phân giác của góc tù tạo bởi d1, d2?

1 3 2 4

9

3 2 3

Mặt khác: véc tơ pháp tuyến của d1, d2 lần lượt là n1=(3, 2), n2=(2, 3)

mà n1.n2=6+6=12 > 0, nên phân giác góc tù lấy dấu dương (+) và phân giác góc nhọn lấy dấu âm(-), do vậy ta có kết quả:

a) Phân giác góc nhọn tạo bởi d1, d2 là: (3x+2y-3) = -(2x+3y+1)

5

cos

1 1

d l n n

n n

Cho 2 đường thẳng cắt nhau d1, d2 có phương trình lần lượt là:

A1x+B1y+C1=0 và A2x+B2y+C2=0 và điểm M0(x0, y0) không nằm trên d1, d2

Hãy lập phương trình đường phân giác của góc tạo bởi d1, d2 và chứa điểm

M0 hoặc của góc đối đỉnh với nó?

a).Cách giải 1:

Gọi (l) là đường thẳng thỏa mãn yêu cầu

bài toán, khi đó điểm M(x, y) thuộc (l) khi

+ Sau khi đã xác định được dấu của các biểu thức A1x+B1y+C1 và A2x+B2y+C2, thì

từ (3) ta sẽ có được phương trình đường phân giác cần tìm

b).Cách giải 2: ( Ta tiến hành theo trật tự sau)

+ áp dụng bài toán 1 ta có được phương trình của 2 đường phân giác của góc tạo bởi d1, d2, ta ký hiệu là: l1 và l2

+ Chọn phân giác cần tìm:

- Lập phương trình đường thẳng  qua M0 và

vuông góc với l1

- Tìm giao điểm A, B của  với d1, d2

- NếuM0AM0B thì l1 là phân giác cần tìm,

còn nếu M0AM0B thì l2 là phân giác cần

tìm

*Nhận xét:

+ Với 2 cách giải này ta thấy cách giải 2 toán học hơn, tối ưu hơn và hay hơn cách giải 1 rất nhiều, việc lập thêm đường thẳng phụ  là rất tự nhiên và làm nên tính thẩm mĩ cho lời giải

M và M0 cùng phía(hay khác phía) với d1

M và M0 cùng phía(hay khác phía) với d2

M cách đều d1, d2

(A1x+B1y+C1)(A1x0+B1y0+C1) > 0 (1)

(A2x+B2y+C2)(A2x0+B2y0+C2) > 0 (2)

2 2 2 2

2 2 2 2

1 2 1

1 1 1

B A

C y B x A B

A

C y B x

2 2 2 2

1 2 1

1 1 1

B A

C y B x A B

A

C y B x