PT đường phân giác năm 2006

Nguyễn Văn Dũng Sáng kiến kinh nghiệm Bài toán phương trình đường phân giác trong mặt phẳng Trang 1 Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập – Tự do – Hạnh phúc *** Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Phần thứ nhất: Đặt vấn đề 1. Tên đề tài: Bài toán phương trình đường phân giác trong mặt phẳng 2. Lý do chọn đề tài: Trong chương trình toán THPT, mà cụ thể là phân môn Hình Học 12, các em học sinh được tiếp cận với Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và trong không gian. Với Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng các em được trang bị một số kiến thức và bài toán cơ bản về lập phương trình một đường thẳng như: lập phương trình đường thẳng qua 2 điểm, lập phương trình đường thẳng qua 1 điểm và có 1 véc tơ chỉ phương, lập phương trình đường thẳng qua 1 điểm và có 1 véc tơ pháp tuyến,… Do vậy nếu gặp một bài toán đã có đầy đủ giả thiết của các bài toán cơ bản thì các em chỉ cần áp dụng công thức là có ngay kết quả, song trong thực tế các kỳ thi hết cấp và thi tuyển sinh vào Đại học - Cao đẳng - THCN, các em có thể gặp phải 1 lớp các bài toán về phương trình đường phân giác như: phân giác của góc nhọn(hay tù) của góc tạo bởi 2 đường thẳng cắt nhau, phân giác của góc tạo bởi 2 đường thẳng cắt nhau và chứa điểm Mo, phân giác trong và ngoài của 1 góc của tam giác,…và thực tế là khi gặp các bài toán dạng này chỉ có 1 số ít các em học sinh biết phương pháp giải, song cách trình bày và các lời giải còn chưa gọn gàng, sáng sủa. Tại sao lại như vậy? Lý do chính ở đây là trong chương trình SGK Hình Học 12 hiện hành, kiến thức về phương trình đường phân giác được nhắc đến rất ít, nó chỉ được đề cập đến ở phần 3.áp dụng (tiết 5, chương I, dòng 7-16 trang 19) khi nói về phương trình phân giác của 2 đường thẳng cắt nhau. Mặt khác nếu như trong các giờ dạy của mình, các thầy cô giáo không đưa thêm các bài tập dạng này và phương pháp giải tương ứng thì các em học sinh không thể giải được 1 lớp các bài toán nói trên. Với lý do đó, cùng với kinh nghiệm của mình sau 1 thời gian giảng dạy và bồi dưỡng kiến thức cho học sinh tôi đã tổng kết, hệ thống hóa lại các kiến thức cơ bản cùng với các kết quả đã chứng minh được thành 1 chuyên đề về “Phương trình các đường phân giác trong mặt phẳng” để cùng trao đổi với các bạn đồng nghiệp và làm tài liệu tham khảo cho các em học sinh. Hy vọng đề tài nhỏ này ra đời sẽ giúp các bạn đồng nghiệp cùng các em học sinh có một cái nhìn toàn diện cũng như phương pháp giải 1 lớp các bài toán về lập phương trình đường phân giác trong mặt phẳng. Nguyễn Văn Dũng Sáng kiến kinh nghiệm Bài toán phương trình đường phân giác trong mặt phẳng Trang 2 3. Phạm vi và thời gian thực hiện đề tài: Đề tài được sử dụng để giảng dạy và bồi dưỡng cho các em học sinh khối 12 hệ THPT và làm tài liệu tham khảo cho các thầy cô giảng dạy môn Toán. Các thầy cô và học sinh có thể sử dụng các bài toán trong đề tài này ngay sau khi học xong bài 5, chương I- Hình học 12. Trong đề tài này mỗi bài toán được đưa vào khá nhiều phương pháp giải khác nhau (có những lời giải hay và ấn tượng mà có lẽ chưa xuất hiện trong bất kỳ 1 cuốn sách tham khảo nào như cách giải 2 bài toán 2, cách giải 2 bài toán 3, cách giải 4 và 5 bài toán 4). Sau mỗi bài toán tác giả đều có những nhận xét giúp bạn đọc có thể chọn ra cho mình những phương pháp giải tối ưu nhất, để có được những lời giải gọn gàng và sáng sủa nhất./. Nguyễn Văn Dũng Sáng kiến kinh nghiệm Bài toán phương trình đường phân giác trong mặt phẳng Trang 3 Phần thứ hai Quá trình thực hiện đề tài I. Khảo sát thực tế: Khi giảng dạy trên lớp cũng như bồi dưỡng học sinh, tôi đã đưa vào một số bài toán sau( các câu hỏi trong mỗi bài toán được đưa ra theo trật tự: giải xong câu hỏi này sẽ đặt vấn đề để có câu hỏi tiếp theo) nhằm kiểm tra kiến thức của các em học sinh. Bài toán 1: Cho 2 đường thẳng cắt nhau d1, d2 có phương trình lần lượt là: 3x+2y-3 = 0; 2x+3y+1= 0 a). Lập phương trình 2 đường phân giác của góc tạo bởi 2 đường thẳng d1, d2. b). Lập phương trình đường phân giác của góc nhọn tạo bởi 2 đư?ng thẳng d1, d2. c). Lập phương trình đường phân giác của góc tạo bởi d1, d2 và chứa điểm M 0 (0, 1) Bài toán 2: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có A(2, 3), B(4, -1), C(4, 5) a). Viết phương trình đường phân giác trong của góc A của tam giác ABC. b). Tìm tọa độ tâm I đường tròn nội tiếp tam giác ABC. * Với bài toán 1: Khi câu hỏi a) được đưa ra thì nói chung các em đã biết áp dụng ngay công thức mà thầy cô đã trang bị( có trong SGK Hình Học 12) và cho đáp án đúng 2 phương trình cần tìm là: x-y- 4 = 0 (l 1 ) ; 5x+5y-2= 0 (l 2 ) Nhưng khi câu hỏi b) được đưa ra thì các em học sinh bắt đầu lúng túng và phân vân không biết trong 2 đường l 1 , l 2 ở trên thì đường nào là phân giác của góc nhọn đây? ( Đáp án đúng của câu hỏi này là: 5x+5y-2=0 (l 2 ) ). - Cũng giống như câu hỏi b), câu hỏi c) cũng làm cho các em học sinh khá là bối dối, tôi đã vẽ hình minh họa(trực quan), gợi mở tư duy…( đáp án đúng của câu hỏi này là:5x+5y-2=0 (l 2 ) ). * Với bài toán 2: ở câu hỏi a) các em cũng đã nêu ý tưởng là đi lập phương trình 2 cạnh AB, AC, sau đó lập phương trình 2 đường phân giác của góc A, nhưng khi được hỏi đường nào là phân giác cần tìm thì các em lại không trả lời được, một số em cũng có ý kiến là đi xác định tọa độ chân đường phân giác trong của góc A, nhưng hỏi phương pháp thì các em lại không thể thực hiện( đáp án đúng của câu hỏi này là: x-2=0 ). - Với câu hỏi b) các em đều biết rằng tâm đường tròn nội tiếp tam giác là điểm đồng quy của 3 đường phân giác trong của các góc trong tam giác, do vậy chỉ cần biết 2 trong 3 đường phân giác trong là sẽ tìm được tọa độ tâm I. Song nếu không lập được phương trình các đường phân giác(do không biết phương pháp) hoặc đã lập được nhưng các phương trình này lại phức tạp, cồng kềnh( thường các hệ số là các số vô tỷ), do vậy việc xác định tọa độ tâm I sẽ không dễ dàng gì?. Một số học sinh cũng đã hỏi thêm rằng có phương pháp nào để xác định tâm I nữa không? có ngắn hơn không? Nguyễn Văn Dũng Sáng kiến kinh nghiệm Bài toán phương trình đường phân giác trong mặt phẳng Trang 4 Đến đây hẳn các bạn đọc cũng đã nhận thấy rằng việc hệ thống kiến thức cùng với việc đưa ra và giải quyết 1 lớp các bài toán về phương trình đường phân giác trong mặt phẳng là thật cần thiết phải không?. II. Nội dung của đề tài: 1. Một số kết quả đã biết cần sử dụng trong đề tài: 1.1.Định nghĩa đường phân giác: - Cho 2 đường thẳng cắt nhau d1, d2, đường phân giác của góc tạo bởi d1, d2 là đường thẳng chia góc đó thành 2 phần bằng nhau. - Đường phân giác của góc tạo bởi d1, d2 là tập hợp tất cả các điểm trong mặt phẳng cách đều d1, d2. 1.2.Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường thẳng: Cho đường thẳng (d): Ax+By+C=0 và điểm M(xo, yo). Khi đó khoảng cách từ điểm Mo đến đường thẳng (d) được xác định bởi công thức: 22 BA CByAx h oo    *Nhận xét: Nếu Mo  (d) thì h = 0 1.3.Tích vô hướng của 2 véc tơ: Cho ),( bau  và ),( dcv  . Khi đó tích vô hướng của 2 véc tơ u và v được ký hiệu là vu. và được xác định bởi công thức sau: dbcavu  1.4.Độ dài của véc tơ: Cho ),( bau  , độ dài của véc tơ u  được ký hiệu là u và được xác định bởi công thức: 22 bau  1.5.Góc giữa 2 véc tơ: Cho 2 véc tơ ),( bau  và ),( dcv  , khi đó góc giữa 2 véc tơ được ký hiệu là ( u , v ) và được xác định bởi hệ thức: 2222 . . . ),cos( dcba bdac vu vu vu    *Nhận xét: Mối quan hệ giữa tích vô hướng và góc ( u , v ) + Nếu vu. > 0  cos( u , v ) > 0  ( u , v ) là góc nhọn. + Nếu vu. < 0  cos( u , v ) < 0  ( u , v ) là góc tù. 1.6.Góc giữa 2 đường thẳng: Giả sử 2 đường thẳng d1, d2 có phương trình lần lượt là: A 1 x+B 1 y+C 1 = 0 và A 2 x+B 2 y+C 2 = 0, chúng có véc tơ pháp tuyến ),( 11 1 BAn và ),( 22 2 BAn . Khi đó góc  giữa 2 đường thẳng d1, d2 xác định bởi công thức: 2 2 2 2 2 1 2 1 2121 21 21 . . . cos BABA BBAA nn nn     Nguyễn Văn Dũng Sáng kiến kinh nghiệm Bài toán phương trình đường phân giác trong mặt phẳng Trang 5 1.7.Nửa mặt phẳng: Trong mặt phẳng Oxy, đường thẳng (d): Ax+By+C= 0 chia mặt phẳng thành 2 nửa mặt phẳng có bờ chung là đường thẳng (d). Nửa mặt phẳng dương là nửa mặt phẳng chứa tập hợp các điểm M( xo, yo) trong mặt phẳng sao cho Axo+Byo+C > 0, nửa mặt phẳng còn lại là nửa mặt phẳng âm. *Nhận xét: Cho đường thẳng (d): Ax+By+C= 0 và 2 điểm M 1 ( x 1 , y 1 ), M 2 ( x 2 , y 2 ) + M 1 và M 2 cùng phía với (d)  ( Ax 1 +By 1 +C )( Ax 2 +By 2 +C ) > 0 + M 1 và M 2 khác phía với (d)  ( Ax 1 +By 1 +C )( Ax 2 +By 2 +C ) < 0 1.8.Một số bài toán cơ bản về lập phương trình đường thẳng: a).Bài toán 1: Đường thẳng (d) đi qua 2 điểm M 1 ( x 1 , y 1 ), M 2 ( x 2 , y 2 ) cho trước có phương trình: 12 1 12 1 yy yy xx xx      *Nhận xét: + Nếu x 1 =x 2 thì x=x 1 + Nếu y 1 =y 2 thì y=y 1 b).Bài toán 2: Đường thẳng (d) đi qua điểm Mo( xo, yo) và có véc tơ chỉ phương ),( bau  có phương trình: )( Rt btyy atxx hay b yy a xx o o oo          c).Bài toán 3: Đường thẳng (d) đi qua điểm Mo( xo, yo) và có véc tơ pháp tuyến ),( BAn có phương trình: A( x - xo ) + B( y - yo ) = 0 2. Các kết quả đã chứng minh được: 2.1.Kết quả 1: Cho đường thẳng (d) Ax+By+C= 0, khi đó véc tơ pháp tuyến ),( BAn của đường thẳng (d) có hướng quay về nửa mặt phẳng dương có bờ là đường thẳng (d). Chứng minh: (Trong mọi phép chứng minh dưới đây ta coi véc tơ pháp tuyến ),( BAn của (d) có gốc nằm trên (d)) + Gọi Mo(xo, yo) là điểm không thuộc (d), khi đó đường thẳng )(  qua Mo và vuông góc với (d) có phương trình: Bx- Ay +Ayo+Bxo= 0 + Gọi H là giao điểm của (d) và )(  thì tọa độ của H là nghiệm của hệ phương trình:      )(,0 0 oo BxAyDDAyBx CByAx ),( 2222 B A CBAD B A ACBD H       n H x M  d Nguyễn Văn Dũng Sáng kiến kinh nghiệm Bài toán phương trình đường phân giác trong mặt phẳng Trang 6 Khi đó ta có: nkBAk B A CByAxB B A CByAxA HM oooo       ),() )( , )( ( 2222 , với 22 B A CByAx k oo    Do đó, nếu k > 0 tức Axo+Byo+C > 0 thì nHM  , nhưng Mo lại nằm trong nửa mặt phẳng dương có bờ là (d) nên hướng của véc tơ pháp tuyến ),( BAn quay về nửa mặt phẳng dương có bờ là đường thẳng (d)./. *Nhận xét: 1).Nếu Axo+Byo+C > 0 ( tức Mo thuộc nửa mặt phẳng dương có bờ là đường thẳng (d)) thì điểm Mo cùng phía với hướng của ),( BAn . 2).Nếu Axo+Byo+C < 0 ( tức Mo thuộc nửa mặt phẳng âm có bờ là đường thẳng (d)) thì điểm Mo khác phía với hướng của ),( BAn . *Chú ý: Thuật ngữ điểm Mo cùng phía( hay khác phía) với hướng của ),( BAn hay gọn hơn điểm Mo và ),( BAn cùng phía(hay khác phía) với (d) là do tác giả đặt để tiện cho việc chứng minh ở các kết quả tiếp theo. 2.2.Kết quả 2: Cho 2 đường thẳng d1, d2 cắt nhau tại I và có phương trình lần lượt là: A 1 x+B 1 y+C 1 =0 và A 2 x+B 2 y+C 2 =0. Khi đó: a). Điều kiện cần và đủ để điểm Mo(xo, yo) nằm trong góc nhọn tạo bởi 2 đường thẳng d1, d2 là: 0)).().(.( 2020210101 21  CyBxACyBxAnn , (1) b). Điều kiện cần và đủ để điểm Mo(xo, yo) nằm trong góc tù tạo bởi 2 đường thẳng d1, d2 là: 0)).().(.( 2020210101 21  CyBxACyBxAnn , (2) Chứng minh: Trước khi chứng minh kết quả này ta cần có 1 số nhận xét sau( đây chính là nhận xét quan trọng giúp ta vẽ hình khi chứng minh): + Nếu 1 n và 2 n nằm về cùng 1 phía của d1( hoặc d2) thì góc giữa d1 và d2 chính là góc giữa 1 n và 2 n . Nguyễn Văn Dũng Sáng kiến kinh nghiệm Bài toán phương trình đường phân giác trong mặt phẳng Trang 7 + Nếu 1 n và 2 n nằm về 2 phía của d1( hoặc d2) thì góc giữa d1 và d2 sẽ bù với góc giữa 1 n và 2 n . Hay nói cụ thể hơn: Nếu góc giữa 1 n và 2 n là góc nhọn thì đó chính là góc giữa d1 và d2, còn nếu góc giữa 1 n và 2 n là góc tù thì góc giữa d1 và d2 sẽ bù với góc đó . Và để gọn hơn trong quá trình chứng minh ta sẽ ký hiệu: A= 1 n . 2 n ; B = A 1 x 0 +B 1 y 0 +C 1 ; C= A 2 x 0 +B 2 y 0 +C 2 Khi đó: Ta có (1)  A.B.C < 0 (3) và (2) A.B.C > 0 (4) *Chứng minh a): Ta có (3) hoặc (A> 0, B > 0 , C < 0) (3.1) hoặc (A> 0, B < 0 , C > 0) (3.2) hoặc (A< 0, B > 0 , C > 0) (3.3) hoặc (A< 0, B < 0 , C < 0) (3.4). + Xét trường hợp(3.1): Ta có (3.1)          0 0 0. 20202 10101 21 CyBxA CyBxA nn  M 0 thuộc miền mặt phẳng (II)  M 0 nằm trong góc nhọn tạo bởi d1,d2 + Xét trường hợp (3.2): Ta có (3.2)          0 0 0. 20202 10101 21 CyBxA CyBxA nn  M 0 thuộc miền mặt phẳng (II)  M 0 nằm trong góc nhọn tạo bởi d1,d2 (Việc chứng minh các trường hợp (3.3) và (3.4) hoàn toàn tương tự) d1 d2 2 n 1 n (I) (II) M 0 (III) (IV) d1 1 n 2 n d2 (I) (II) (III) (IV) M 0 M 0 thuộc miền (II) hoặc (III) M 0 thuộc miền (I) hoặc (II) ( 1 n , 2 n ) là góc nhọn M 0 và 1 n cùng phía với d1 M 0 và 2 n khác phía với d2 ( 1 n , 2 n ) là góc tù M 0 và 1 n cùng phía với d1 M 0 và 2 n cùng phía với d2 M 0 thuộc miền (II) hoặc (III) M 0 thuộc miền (I) hoặc (II) Nguyễn Văn Dũng Sáng kiến kinh nghiệm Bài toán phương trình đường phân giác trong mặt phẳng Trang 8 Vậy tóm lại: ta đã chứng minh được rằng: điểm Mo(xo, yo) nằm trong góc nhọn tạo bởi d1, d2 khi và chỉ khi 0)).().(.( 2020210101 21  CyBxACyBxAnn *Chứng minh b): Ta có (4) hoặc (A> 0, B > 0 , C > 0) (4.1) hoặc (A> 0, B < 0 , C < 0) (4.2) hoặc (A< 0, B < 0 , C > 0) (4.3) hoặc (A< 0, B > 0 , C < 0) (4.4). + Xét trường hợp(4.1): Ta có (4.1)          0 0 0. 20202 10101 21 CyBxA CyBxA nn  M 0 thuộc miền mặt phẳng (III)  M 0 nằm trong góc tù tạo bởi d1,d2 + Xét trường hợp (4.2): Ta có (4.2)          0 0 0. 20202 10101 21 CyBxA CyBxA nn  M 0 thuộc miền mặt phẳng (I)  M 0 nằm trong góc tù tạo bởi d1,d2 (Việc chứng minh các trường hợp (4.3) và (4.4) hoàn toàn tương tự) Vậy tóm lại: ta đã chứng minh được rằng: điểm Mo(xo, yo) nằm trong góc tù tạo bởi d1, d2 khi và chỉ khi 0)).().(.( 2020210101 21  CyBxACyBxAnn 2.3.Kết quả 3(Hệ quả của kết quả 2): a). Nếu 1 n . 2 n > 0, ta có: + M 0 nằm trong góc nhọn tạo bởi d1, d2  (A 1 x 0 +B 1 y 0 +C 1 )(A 2 x 0 +B 2 y 0 +C 2 ) < 0 d1 1 n 2 n d2 (I) (II) (III) (IV) M 0 d1 1 n 2 n d2 (I) (II) (III) (IV) M 0 ( 1 n , 2 n ) là góc nhọn M 0 và 1 n cùng phía với d1 M 0 và 2 n cùng phía với d2 M 0 thuộc miền (II) hoặc (III) M 0 thuộc miền (III) hoặc (IV) ( 1 n , 2 n ) là góc nhọn M 0 và 1 n khác phía với d1 M 0 và 2 n khác phía với d2 M 0 thuộc miền (I) hoặc (IV) M 0 thuộc miền (I) hoặc (II) Nguyễn Văn Dũng Sáng kiến kinh nghiệm Bài toán phương trình đường phân giác trong mặt phẳng Trang 9 + M 0 nằm trong góc tù tạo bởi d1, d2  (A 1 x 0 +B 1 y 0 +C 1 )(A 2 x 0 +B 2 y 0 +C 2 ) > 0 b). Nếu 1 n . 2 n < 0 ta có: + M 0 nằm trong góc nhọn tạo bởi d1, d2  (A 1 x 0 +B 1 y 0 +C 1 )(A 2 x 0 +B 2 y 0 +C 2 ) > 0 + M 0 nằm trong góc tù tạo bởi d1, d2  (A 1 x 0 +B 1 y 0 +C 1 )(A 2 x 0 +B 2 y 0 +C 2 ) < 0 2.4.Kết quả 4: Giả sử l 1 , l 2 là 2 phân giác của góc tạo bởi d1, d2, và  là góc giữa 2 đường thẳng l 1 , d1 . Ta có: + Nếu 2 2 cos   thì l 1 là phân giác góc nhọn và l 2 là phân giác góc tù. + Nếu 2 2 cos   thì l 1 là phân giác góc tù và l 2 là phân giác góc nhọn. *Chứng minh: Gọi 1 l n và 1d n lần lượt là véc tơ pháp tuyến của l 1 và d1, ta có: 1 1 . . cos 1 1 dl dl nn nn   Khi đó: + Nếu 2 2 cos   thì  <45 0  2  < 90 0  (d1,d2) =2  Do đó: l 1 là phân giác góc nhọn và l 2 là phân giác góc tù. + Nếu 2 2 cos   thì  > 45 0  2  > 90 0  (d1,d2) =180 0 -2  Do đó: l 1 là phân giác góc tù và l 2 là phân giác góc nhọn. 3. Các bài toán về lập phương trình đường phân giác trong mặt phẳng: Phần này sẽ trình bày 4 bài toán cơ bản về lập phương trình đường phân giác trong mặt phẳng cùng các phương pháp giải. Sau mỗi bài toán đều có những nhận xét giúp bạn đọc hiểu rõ hơn phương pháp và hướng lựa chọn phương pháp giải tối ưu nhất cho từng bài toán. 3.1.Bài toán 1: Cho 2 đường thẳng d1, d2 cắt nhau và có phương trình lần lượt là: A 1 x+B 1 y+C 1 =0 và A 2 x+B 2 y+C 2 =0. Lập phương trình 2 đường phân giác của góc tạo bởi d1, d2? d1 d2 l 1 l 2  2  Nguyễn Văn Dũng Sáng kiến kinh nghiệm Bài toán phương trình đường phân giác trong mặt phẳng Trang 10 Cách giải: Trong mặt phẳng Oxy, gọi M(x, y) là điểm nằm trên đường phân giác của góc tạo bởi d1, d2. Khi đó điểm M sẽ cách đều d1, d2, nên ta có: 2 2 2 2 222 2 1 2 1 111 BA CyBxA BA CyBxA      (1)                   )3( )2( 2 2 2 2 222 2 1 2 1 111 2 2 2 2 222 2 1 2 1 111 BA CyBxA BA CyBxA BA CyBxA BA CyBxA *Nhận xét: + Các phương trình (2) và (3) là phương trình 2 đường phân giác cần tìm. + Vấn đề đặt ra ở đây là khi d1 không vuông góc với d2 thì đường nào trong 2 đường có phương trình ở (2) và (3) là phân giác của góc nhọn, đường nào là phân giác của góc tù tạo bởi d1, d2.(Ta có bài toán 2). *Ví dụ minh họa 1: Cho 2 đường thẳng d1, d2 có phương trình lần lượt là: 5x+2y-1= 0 và x+3y +2= 0. Hãy lập phương trình 2 đường phân giác của góc tạo bởi d1, d2? Lời giải: Điểm M(x, y) thuộc phân giác của góc tạo bởi d1, d2, khi và chỉ khi khoảng cách từ M đến d1, d2 là bằng nhau, tức là: 91 23 425 125      yxyx 23.2912510  yxyx        029210)293102()29105( 029210)293102()29105( yx yx 3.2.Bài toán 2: Cho 2 đường thẳng cắt nhau d1, d2 và không vuông góc với nhau, có phương trình lần lượt là: A 1 x+B 1 y+C 1 = 0 và A 2 x+B 2 y+C 2 = 0. Hãy lập phương trình đường phân giác góc nhọn và góc tù tạo bởi d1, d2? a).Cách giải 1:(Sử dụng kết quả 3) Gọi ),( 11 1 BAn và ),( 22 2 BAn lần lượt là véc tơ pháp tuyến của 2 đường thẳng d1, d2 và M(x, y) là điểm thuộc phân giác của d1, d2. Khi đó theo bài toán 1, ta có: 2 2 2 2 222 2 1 2 1 111 BA CyBxA BA CyBxA      2 2 2 2 222 2 1 2 1 111 BA CyBxA BA CyBxA         (1) [...]... 0, 7x-y+4 = 0 a) Lập phương trình 2 đường phân giác của góc tạo bởi d1,d2 b) Lập phương trình đường phân giác góc nhọn của góc tạo bởi d1,d2 c) Lập phương trình đường phân giác của góc tạo bởi d1,d2 và chứa điểm M1(-1, 5) c) Lập phương trình đường phân giác của góc tạo bởi d1,d2 và không chứa điểm M2(3, -1) Bài 2: Lập phương trình các đường phân giác trong của tam giác ABC trong các trường hợp sau:... n d 1 n l1 n d 1 2 thì l1 là phân giác góc nhọn và l2 là phân giác góc tù 2 2 - Nếu cos  thì l1 là phân giác góc tù và l2 là phân giác góc nhọn 2 - Nếu cos  *Nhận xét: Bài toán phương trình đường phân giác trong mặt phẳng Trang 11 Nguyễn Văn Dũng Sáng kiến kinh nghiệm - Với bài toán này các bạn nên sử dụng cách giải 2 để tìm đường phân giác góc nhọn hoặc tù của 2 đường thẳng - Để hiểu rõ hơn 2... 0 + Chọn phân giác trong và ngoài( ta thử với đường thẳng d1): - Tính và xét dấu biểu thức: t=(A1xB+B1yB+C1 ).( A1xC+B1yC+C1) - Nếu t > 0 thì d1 là phân giác ngoài và d2 là phân giác trong của góc A - Nếu t < 0 thì d1 là phân giác trong và d2 là phân giác ngoài của góc A *Nhận xét: + Khi t=(A1xB+B1yB+C1 ).( A1xC+B1yC+C1)< 0, thì 2 đỉnh B, C nằm về 2 phía của đường thẳng d1 nên d1 là phân giác trong... phân giác góc tù lấy dấu dương (+) và phân giác góc nhọn lấy dấu âm(-), do vậy ta có kết quả: a) Phân giác góc nhọn tạo bởi d1, d2 là: (3x+2y-3) = -(2x+3y+1)  5x+5y-2 = 0 b) Phân giác góc tù tạo bởi d1, d2 là: (3x+2y-3) =+(2x+3y+1)  x- y- 4 = 0 +Cách giải 2: - Tương tự như trên ta được phương trình 2 đường phân giác là: (l1) 5x+5y-2 = 0 và (l2) x- y- 4 = 0 - Chọn phân giác góc tù, góc nhọn: Các đường. .. đường phân giác cần tìm b).Cách giải 2: ( Ta tiến hành theo trật tự sau) + áp dụng bài toán 1 ta có được phương trình của 2 đường phân giác của góc tạo bởi d1, d2, ta ký hiệu là: l1 và l2 + Chọn phân giác cần tìm: - Lập phương trình đường thẳng  qua M0 và vuông góc với l1 - Tìm giao điểm A, B của  với d1, d2 - Nếu M 0 A  M 0 B thì l1 là phân giác cần tìm, còn nếu M 0 A  M 0 B thì l2 là phân giác. .. nên d1 là phân giác trong và d2 là phân giác ngoài + Hoàn toàn tương tự ta có thể xét vị trí tương đối của 2 điểm B, C với đường thẳng d2 để có được kết quả + Cách giải trên được tiến hành theo 2 bước: đầu tiên lập phương trình 2 đường phân giác của góc A, tiếp theo ta chọn phân giác cần tìm theo cách ở trên b).Cách giải 2:( Giả sử ta lập phân giác trong) Gọi d là phân giác cần tìm, khi đó điểm M(x, y)... lại của tam giác ABC, biết: a) Đỉnh B(1, 2), phân giác trong của góc A và trung tuyến từ đỉnh C có phương trình lần lượt là: x-y-3 = 0, x+4y+9 = 0 b) Đỉnh A(4,-1), đường cao hB và phân giác trong lC có phương trình lần lượt là: 2x-3y+12 = 0, 2x+3y = 0 c) Đỉnh C(2, -1), 2 đường phân giác trong của góc A, B có phương trình lần lượt là: 3x-4y+27 = 0, x+2y-5 = 0 d) Cạnh BC và 2 đường phân giác trong của... 0 e) Cạnh AB, phân giác trong của góc C và đường cao xuất phát từ đỉnh A có phương trình lần lượt là: 8x+19y+3 = 0, x+y+3 = 0, x+4y+2 = 0 Bài 4: Cho tam giác ABC có A(-1, 3), C(1, -3) và trực tâm H(71/31, -77/31) a) Xác định tọa độ đỉnh B b) Lập phương trình đường phân giác trong của góc B c) Tìm tọa độ tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác ABC ***** Bài toán phương trình đường phân giác trong mặt... x  y  12 11 49  1  x  3 y  16  0, (d1)  3x  y  2  0, (d 2) + Chọn phân giác trong: xét với (d1), ta có: tB.tC= (-3+3.1-16).(2+3.(-2)-16) > 0 Vậy phân giác trong của góc A là đường thẳng (d2) có phương trình: 3x-y+2 = 0, còn phân giác ngoài là đường thẳng (d1): x+3y-16 = 0 Bài toán phương trình đường phân giác trong mặt phẳng Trang 19 Nguyễn Văn Dũng Sáng kiến kinh nghiệm *Cách giải 3:...   . phương trình đường phân giác như: phân giác của góc nhọn(hay tù) của góc tạo bởi 2 đường thẳng cắt nhau, phân giác của góc tạo bởi 2 đường thẳng cắt nhau và chứa điểm Mo, phân giác trong và. trình 2 đường phân giác cần tìm. + Vấn đề đặt ra ở đây là khi d1 không vuông góc với d2 thì đường nào trong 2 đường có phương trình ở (2) và (3) là phân giác của góc nhọn, đường nào là phân giác. các em đều biết rằng tâm đường tròn nội tiếp tam giác là điểm đồng quy của 3 đường phân giác trong của các góc trong tam giác, do vậy chỉ cần biết 2 trong 3 đường phân giác trong là sẽ tìm được