BAI TAP TICH PHAN

Trường THPT Tân Bình TÍCH PHÂN TÍCH PHÂN … … – – TÍCH PHÂN TÍCH PHÂN — — … … §1. NGUYÊN HÀM. §1. NGUYÊN HÀM. I. Nhắc lại vi phân : Cho hàm số ( )y f x = có đạo hàm tại điểm 0 x . Khi đó, ta có ƒ′( 0 x ) = 0 0 0 0 ( ) ( ) lim lim x x x f x f x y x x x → ∆ → − ∆ = − ∆ . Nếu x ∆ khá nhỏ thì tỷ số y x ∆ ∆ rất gần với ƒ′( 0 x ) nên có thể coi rằng ƒ′( 0 x ) ≈ y x ∆ ∆ ⇒ 0 '( )y f x x∆ ≈ ∆ . Do vậy, ta có khái niệm:   Vi phân hàm số tại một điểm : Tích 0 '( )f x x ∆ được gọi là vi phân của hàm số ƒ(x) tại điểm 0 x và ký hiệu 0 ( )df x , tức là 0 0 ( ) '( )df x f x x= ∆ .   Vi phân của hàm số : Tích '( )f x x ∆ được gọi là vi phân của hàm số ƒ(x) và ký hiệu ( )df x , tức là ( ) '( )df x f x x = ∆ . Đặc biệt y = x, ta có dx = (x)′∆x = ∆x, do đó ( ) '( )df x f x dx = hay 'dy y dx = .   Ví dụ :  Vi phân của hàm số 3 ( ) 5 1f x x x= − + là 3 3 2 ( ) ( 5 1) ( 5 1)' (3 5)df x d x x x x dx x dx= − + = − + = − .  Vi phân của hàm số 3 siny x = là ( ) 3 2 sin 3sin cosdy d x x xdx = = . II. Nguyên hàm : 1) Định nghĩa : Cho hàm số ƒ(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của ƒ(x) trên K nếu F ′(x) = ƒ(x), ∀x∈K. 2) Định lý : Nếu F(x) là 1 nguyên hàm của ƒ(x) trên K thì: ⋅ Với mọi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là 1 nguyên hàm của ƒ(x) trên K. ⋅ Ngược lại, nếu G(x) là 1 nguyên hàm của ƒ(x) trên K thì tồn tại một số C sao cho G(x) = F(x) + C.   Họ các nguyên hàm của ƒ(x) trên K, ký hiệu: ( ) ( )f x dx F x C = + ∫ .   Chú ý : ƒ(x)dx là vi phân của F(x) vì dF(x) = F′(x)dx = ƒ(x)dx.   Theo định nghĩa, ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )F x C f x dx f x + = = ∫ / / ; ( ) '( ) ( )df x f x dx f x C = = + ∫ ∫ .   Ví dụ :  VD1 : 2 1 1 dx C x x = − + ∫ vì 2 1 1 C x x   − + =  ÷   / .  VD2 : 2 dx x C x = + ∫ vì ( ) 1 2 x C x + = /  VD3 : ( ) 2 2 1 1 tan (tan ) (tan ) tan cos x dx dx x dx d x x C x + = = = = + ∫ ∫ ∫ ∫ / 3) Sự tồn tại của nguyên hàm: Mọi hàm số ƒ(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K. 4) Bảng nguyên hàm cơ bản: 0dx C = ∫ dx x C = + ∫ 1 ( 1) 1 x x dx C α α α α + = + ≠ − + ∫ ln | | dx x C x = + ∫ x x e dx e C = + ∫ (0 1) ln x x a a dx C a a = + < ≠ ∫ cos sinxdx x C = + ∫ sin cosxdx x C = − + ∫ 2 tan cos dx x C x = + ∫ 2 cot sin dx x C x = − + ∫ 5) Tính chất : Cho ƒ(x), g(x) là hai hàm số liên tục trên K thì:  [ ( ) ( )] ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx ± = ± ∫ ∫ ∫ Gv: Lê Hành Pháp Lê Hành Pháp Trang 1 Trường THPT Tân Bình TÍCH PHÂN TÍCH PHÂN  ( ) ( )kf x dx k f x dx = ∫ ∫ .   Ví dụ :  VD1 : 5 4 5 3 4 1 1 1 1 1 3 4 x dx dx dx C x x x x x − = − = − + + ∫ ∫ ∫  VD2 : 3 ( )x x dx + ∫ = 1 1 3 3 2 xdx xdx x dx x dx + = + ∫ ∫ ∫ ∫ = 4 3 32 2 3 3 4 x x C+ +  VD3 : 2 4sin xdx ∫ = 1 cos2 4 2 (1 cos 2 ) 2 2 cos2 2 x dx x dx dx xdx − = − = − ∫ ∫ ∫ ∫ = 2 sinx x C − + III. Phương pháp tìm nguyên hàm : 1) Đổi biến số: a) Định lý : Cho ( )u u x = , ( ) ( )f u du F u C = + ∫ thì [ ] [ ] ( ) '( ) ( )f u x u x dx F u x C = + ∫ b) Hệ quả : Nếu ( 0) u ax b a = + ≠ , ( ) ( )f u du F u C = + ∫ thì 1 ( ) ( )f ax b dx F ax b C a + = + + ∫ c) Bảng nguyên hàm nâng cao : du u C = + ∫ 1 ( )dx d ax b a = + 1 ( 1) 1 u u du C α α α α + = + ≠ − + ∫ 1 1 ( ) ( ) . ( 1) 1 ax b ax b dx C a α α α α + + + = + ≠ − + ∫ ln du u C u = + ∫ 1 ln dx ax b C ax b a = + + + ∫ u u e du e C = + ∫ 1 ax b ax b e dx e C a + + = + ∫ (0 1) ln u u k k du C k k = + < ≠ ∫ 1 . (0 1) ln ax b ax b k k dx C k a k + + = + < ≠ ∫ cos sinudu u C = + ∫ 1 cos( ) sin( )ax b dx ax b C a + = + + ∫ sin cosudu u C = − + ∫ 1 sin( ) cos( )ax b dx ax b C a + = − + + ∫ 2 tan cos du u C u = + ∫ 2 1 tan( ) cos ( ) dx ax b C ax b a = + + + ∫ 2 cot sin du u C u = − + ∫ 2 1 cot( ) sin ( ) dx ax b C ax b a = − + + + ∫ d) Ví dụ :  VD1 : 2 1 2 cos 2 sin 2 3 2 3 x dx x C π π     + = + +  ÷  ÷     ∫  VD2 : 2 3 2 3 1 2 x x e dx e C − + − + = − + ∫  VD3 : 10 9 (1 ) (1 ) 10 x x dx C − − = − + ∫  VD4 : 3 cos sinx xdx ∫ . Đặt t = cosx ⇒ dt = sinxdx ⇒ 4 4 3 3 cos cos sin 4 4 t x x xdx t dt C C= = + = + ∫ ∫  VD5 : 2 3 9 1 x dx x− ∫ . Đặt 2 2 3 3 3 3 9 1 6 2 1 1 x x t x dt dx dt dx x x − = − ⇒ = − = − − hay ⇒ 2 3 9 1 x dx x− ∫ = 3 6 6 6 1dt t C x C− = − + = − − + ∫ 2) Nguyên hàm từng phần : Gv: Lê Hành Pháp Lê Hành Pháp Trang 2 Trường THPT Tân Bình TÍCH PHÂN TÍCH PHÂN a) Định lý : Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì ( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( )u x v x dx u x v x v x u x dx = − ∫ ∫ hay udv uv vdu = − ∫ ∫   Chú ý : ⋅ Dạng 1: ( ) ax b P x e dx + ∫ , ta đặt ( ) ax b u P x dv e dx + =   =  ⋅ Dạng 2: ( )sin( )P x ax b dx + ∫ , ta đặt ( ) sin( ) u P x dv ax b dx =   = +  ⋅ Dạng 3: ( )cos( )P x ax b dx + ∫ , ta đặt ( ) cos( ) u P x dv ax b dx =   = +  ⋅ Dạng 4: ( )ln ( ) n P x Q x dx ∫ , ta đặt ln ( ) ( ) n u Q x dv P x dx  =  =  b) Ví dụ :  VD1 : ln(1 )x x dx + ∫ . Đặt 2 1 ln(1 ) 1 2 du dx u x x dv xdx x v  =  = +   + ⇒   =   =   nên 2 2 1 ln(1 ) ln(1 ) 2 2 1 x x x x dx x dx x + = + − + ∫ ∫ = 2 2 ln(1 ) 1 1 1 2 2 1 1 x x x dx x x   + − − + =  ÷ + +   ∫ 2 2 ( 1)ln(1 ) ( 1) 2 4 x x x C − + − − +  VD2 : sin(2 1)x x dx + ∫ . Đặt 1 sin(2 1) cos(2 1) 2 du dx u x dv x dx v x =  =   ⇒   = + = − +    nên 1 1 1 1 sin(2 1) cos(2 1) cos(2 1) cos(2 1) sin(2 1) 2 2 2 4 x x dx x x x dx x x x C + = − + + + = − + + + + ∫ ∫  VD3 : 2 ( 2 1) x x x e dx + − ∫ = 2 ( 2 1) ( ) x x x d e + − ∫ = 2 ( 2 1) 2 ( 1) x x e x x e x dx + − − + ∫ = 2 ( 2 1) 2 ( 1) ( ) x x e x x x d e + − − + ∫ = 2 ( 2 1) 2 ( 1) 2 x x x e x x e x e dx + − − + + ∫ = 2 ( 1) x e x C − + BÀI TẬP §1. BÀI TẬP §1. I. BÀI TẬP SGK CƠ BẢN: 1) Trong các cặp hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số còn lại ? a) x e − và – x e − b) sin2x và 2 sin x c) 2 2 1 x e x   −  ÷   và 4 1 x e x   −  ÷    Hướng dẫn : a) x e − và – x e − là nguyên hàm của nhau; b) ( ) 2 sin x / = 2sin cosx x = sin2x ; c) 4 1 x e x     −  ÷       / = 2 2 4 4 2 1 1 x x x e e e x x x     + − = −  ÷  ÷     2) Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) ƒ(x) = 3 1x x x + + b) ƒ(x) = 2 1 x x e − c) ƒ(x) = 2 2 1 sin cosx x d) ƒ(x) = sin5 cos3x x e) ƒ(x) = 2 tan x g) ƒ(x) = 3 2x e − h) ƒ(x) = 1 (1 )(1 2 )x x− −  Hướng dẫn : a) 2 1 1 3 6 3 x dx x dx x dx − + + ∫ ∫ ∫ = 5 7 2 3 6 3 3 6 3 5 7 2 x x x C+ + + Gv: Lê Hành Pháp Lê Hành Pháp Trang 3 Trường THPT Tân Bình TÍCH PHÂN TÍCH PHÂN b) 2 1 x x dx dx e e     −  ÷  ÷     ∫ ∫ = 2 1 2 1 ln ln x x e e C e e      ÷  ÷     − +      ÷  ÷     = 2 1 (ln 2 1) x x x C e e + + − = 2 ln 2 1 (ln 2 1) x x C e + − + − c) 2 2 1 1 sin cos dx dx x x + ∫ ∫ = cot tanx x C − + + với 2 2(1 tan ) 2 tan cot 2cot 2 2 tan tan 2 x x x x x x − − − − = = = − d) 1 (sin8 sin 2 ) 2 x x dx + ∫ = 1 1 cos8 cos 2 16 4 x x C − − + e) 2 2 1 tan 1 tan cos xdx dx x x C x   = − = − +  ÷   ∫ ∫ f) 3 2 3 2 1 2 x x e dx e C − − = − + ∫ g) 1 1 1 1 2 (1 )(1 2 ) 3 1 3 1 2 dx dx dx x x x x = + + − + − ∫ ∫ ∫ = 1 1 1 1 ln 1 ln 1 2 ln 3 3 3 1 2 x x x C C x + + − − + = + − 3) Sử dụng phương pháp đổi biến số, hãy tính: a) 9 (1 )x dx − ∫ b) 3 2 2 (1 )x x dx + ∫ c) 3 cos sinx xdx ∫ d) 2 x x dx e e − + + ∫  Hướng dẫn : a) 10 1 (1 ) 10 x C − − + ; b) 5 2 2 1 (1 ) 5 x C+ + ; c) 4 1 cos 4 x C − + ; d) 2 2 2 ( 1) 1 ( 1) ( 1) 2 2 1 ( 1) 1 x x x x x x x x x x dx e d e dx e d e C e e e e e e − − + − = = = + + = + + + + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ 4) Sử dụng phương pháp từng phần, hãy tính: a) ln(1 )x x dx + ∫ b) 2 ( 2 1) x x x e dx + − ∫ c) sin(2 1)x x dx + ∫ d) (1 )cosx xdx − ∫  Hướng dẫn : a) 2 2 1 1 ( 1)ln(1 ) ( 1) 2 4 x x x C − + − − + ; b) 2 ( 1) x e x C − + ; c) 1 1 cos(2 1) sin(2 1) 2 4 x x x C − + + + + ; d) (1 ) (sin )x d x − ∫ = (1 )sin sinx x xdx − + ∫ = (1 )sin cosx x x C − − + II. BÀI TẬP SGK NÂNG CAO: 1) Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) ƒ(x) = 3 2 x + 2 x b) ƒ(x) = 2 3 x – 5x + 7 c) ƒ(x) = 2 1 x – 2 x – 1 3 d) ƒ(x) = 1 3 x − e) ƒ(x) = 2 10 x  Hướng dẫn : a) 2 3 4 x x C+ + b) 4 2 5 7 2 2 x x x C− + + c) 3 1 3 3 x x C x − − − + d) 2 3 3 2 x C+ e) 2 10 2ln10 x C+ 2) Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) 3 ( )x x dx + ∫ b) 2 x x x dx x + ∫ c) 2 4sin xdx ∫ d) 1 cos 4 2 x dx + ∫  Hướng dẫn : a) 4 3 32 2 3 3 4 x x C+ + b) 2 2 x C x − + c) 2 sinx x C − + d) sin 4 2 8 x x C + + 3) Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây: Nguyên hàm của hàm số y = xsinx là: Gv: Lê Hành Pháp Lê Hành Pháp Trang 4 Trường THPT Tân Bình TÍCH PHÂN TÍCH PHÂN (A) 2 x sin 2 x + C (B) –xcosx + C (C) –xcosx + sinx + C  Hướng dẫn : (C) 4) Khẳng định sau đúng hay sai ? Nếu ƒ(x) = ( ) 1 x− / thì ( )f x dx ∫ = – x + C  Hướng dẫn : Đúng vì – x là một nguyên hàm của ƒ. 5) Dùng phương pháp đổi biến số, tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) ƒ(x) = 2 3 9 1 x x − b) ƒ(x) = 1 5 4x + c) ƒ(x) = 2 4 1x x − d) ƒ(x) = ( ) 2 1 1x x+  Hướng dẫn : a) ( ) ( ) 1 3 3 2 3 1 1x d x − − − − ∫ = ( ) ( ) ( ) 1 1 3 3 3 2 2 6 1 1 6 1x d x x C − − − − = − − + ∫ = 3 6 1 x C − − + b) ( ) 1 2 1 5 4 (5 4) 5 x d x − + + ∫ = ( ) 1 2 2 5 4 5 x C+ + = 2 5 4 5 x C+ + c) ( ) ( ) 1 2 2 4 1 1 1 2 x d x− − − ∫ = ( ) 5 2 4 2 1 5 x C− − + = ( ) 5 2 4 2 1 5 x C − − + d) ( ) ( ) 2 2 1 1x d x − + + ∫ = ( ) 1 2 1 x C − − + + = 2 1 C x − + + 6) Dùng phương pháp đổi biến số, tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) ƒ(x) = 2 3 7 3x x − b)ƒ(x) = cos(3x + 4) c)ƒ(x) = 2 1 cos (3 2)x + d)ƒ(x) = 5 sin cos 3 3 x x  Hướng dẫn : a) 2 3 7 3x x dx− ∫ = ( ) 2 2 1 7 3 7 3 2 x d x − − − ∫ = ( ) 3 2 2 7 3 3 x C − − + = ( ) 2 2 3 1 7 3 3 x C − − + b) cos(3 4)x dx + ∫ = 1 cos(3 4) (3 4) 3 x d x + + ∫ = sin(3 4) 3 x C + + c) 2 1 cos (3 2) dx x + ∫ = 2 1 1 (3 2) 3 cos (3 2) d x x + + ∫ = tan(3 2) 3 x C + + d) 5 sin cos 3 3 x x dx ∫ = 5 3 sin sin 3 3 x x d    ÷   ∫ = 6 1 sin 2 3 x C+ 7) Dùng phương pháp đổi biến số và từng phần, tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) ƒ(x) = 5 3 2 1 18 x x   −  ÷   b)ƒ(x) = 2 1 1 1 sin cos x x x c)ƒ(x) = 3 x x e d)ƒ(x) = 3 9x e −  Hướng dẫn : a) 5 3 2 1 18 x x dx   −  ÷   ∫ = 5 3 3 6 1 1 18 18 x x d     − −  ÷  ÷     ∫ = 6 3 1 18 x C   − +  ÷   b) 2 1 1 1 sin cos dx x x x ∫ = 1 1 sin sind x x   −  ÷   ∫ = 2 1 1 sin 2 C x − + c) 3 x x e dx ∫ = ( ) 3 x x d e ∫ = 3 2 3 x x x e x e dx − ∫ = ( ) 3 2 3 x x x e x d e − ∫ = 3 2 3 6 x x x x e x e xe dx − + ∫ = ( ) 3 2 3 6 x x x x e x e xd e − + ∫ = 3 2 3 6 6 x x x x x e x e xe e dx − + − ∫ = ( ) 3 2 3 6 6 x e x x x C − + − + d) 3 9x e dx − ∫ = ( ) ( ) 3 9 2 3 9 3 9 3 x x e d x − − − ∫ = ( ) ( ) 3 9 2 3 9 3 x x d e − − ∫ = ( ) ( ) 3 9 3 9 2 2 3 9 3 9 3 3 x x x e e d x − − − − − ∫ = ( ) 3 9 3 9 2 2 3 9 3 3 x x x e e C − − − − + = ( ) 3 9 2 3 9 1 3 x e x C − − − + 8) Dùng phương pháp đổi biến số và từng phần, tìm nguyên hàm của các hàm số sau: Gv: Lê Hành Pháp Lê Hành Pháp Trang 5 Trường THPT Tân Bình TÍCH PHÂN TÍCH PHÂN a) ƒ(x) = 2 cos2x x b)ƒ(x) = lnx x c)ƒ(x) = 4 sin cosx x d)ƒ(x) = 2 cos( )x x  Hướng dẫn : a) 2 cos2x xdx ∫ = ( ) 2 1 sin 2 2 x d x ∫ = 2 1 sin 2 sin 2 2 x x x xdx− ∫ = ( ) 2 1 1 sin 2 cos 2 2 2 x x xd x + ∫ = 2 1 1 1 sin 2 cos2 cos 2 (2 ) 2 2 4 x x x x xd x + − ∫ = 2 1 1 1 sin 2 cos 2 sin 2 2 2 4 x x x x x C + − + b) lnx xdx ∫ = ( ) 2 lnx xd x ∫ = 3 2 ln 2 (ln 1)x x x x dx− + ∫ = 3 2 ln 2 ln 2x x x xdx xdx− − ∫ ∫ ⇒ 3 lnx xdx ∫ = 3 2 ln 2x x xdx− ∫ ⇒ lnx xdx ∫ = 3 3 2 ln 4 3 9 x x x C − + c) 4 sin cosx xdx ∫ = 4 sin (sin )xd x ∫ = 5 sin 5 x C+ d) 2 cos( )x x dx ∫ = 2 2 1 cos( ) ( ) 2 x d x ∫ = 2 sin 2 x C + III. BÀI TẬP LÀM THÊM: 1) 1 1 1 1 1 1 1 ( 1) 1 ( 1) 1 2 2 3 3 1 1 dx x dx x dx x x x x C x x   = + − − = + + − − − +  ÷ + + −   ∫ ∫ ∫ 2) 1 1 2 ln ( 3)( 2) 5 2 3 5 3 dx dx dx x C x x x x x −   = − = +   + − − + +   ∫ ∫ ∫ 3) 2 3 3 3 3 12 9 12ln 4 9ln 1 5 4 ( 1)( 4) 4 1 xdx x dx dx dx x x C x x x x x x − + = = − = − − − + − + − − − − ∫ ∫ ∫ ∫ 4) 2 2 2 ( 2) 1 1 1 [ ] ( 2) 2 ( 2) 2 ( 2) ( 2) dx x x dx dx x x x x x x x + − = = − + + + + ∫ ∫ ∫ = C xx x + + + + )2(2 1 2 ln 4 1 5) 2 3 2 ( 1)x x dx + ∫ = 2 3 2 ( 1) ( 1)x d x + + ∫ = 2 4 ( 1) 4 x C + + 6) ∫ ∫ ∫ + + = + −= + = + C x x xd xxxx xdx xx dx 1 ln 2 1 )() 1 11 ( 2 1 )1()1( 2 2 2 22222 7) 2 1 x xe dx + ∫ = 2 1 2 1 (1 ) 2 x e d x + + ∫ = 2 1 2 x e + + C 8) sin 2 x x dx ∫ = 2 cos 2 x xd   −  ÷   ∫ = 2 .cos 2 cos 2 2 x x x dx− + ∫ = 2 cos 4sin 2 2 x x x C − + + 9) 3 ln(2 )x x dx ∫ = ( ) 4 1 ln(2 ) 4 x d x = ∫ 4 3 ln(2 ) 1 4 4 x x x dx− ∫ = 4 4 ln(2 ) 4 16 x x x C− + Gv: Lê Hành Pháp Lê Hành Pháp Trang 6 Trường THPT Tân Bình TÍCH PHÂN TÍCH PHÂN §2. TÍCH PHÂN §2. TÍCH PHÂN I. Khái niệm tích phân: 1) Định nghĩa : Cho hàm số ƒ(x) liên tục trên K và a, b là hai số bất kỳ thuộc K. Nếu F(x) là một nguyên hàm của ƒ(x) trên K thì hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số ƒ(x) hay tích phân xác định trên đoạn [a; b] của hàm số ƒ (x), ký hiệu ( ) ( ) ( ) ( ) b b a a f x dx F x F b F a = = − ∫ . 2) Tính chất của tích phân: Giả sử hàm số ƒ(x), g(x) liên tục trên K và a, b, c ∈K. Khi đó ( ) a a f x dx ∫ = 0 [ ] ( ) ( ) b a f x g x dx ± ∫ = ( ) b a f x dx ∫ ± ( ) b a g x dx ∫ ( ) b a f x dx ∫ = – ( ) a b f x dx ∫ ( ) b a kf x dx ∫ = ( ) b a k f x dx ∫ ( ) b a f x dx ∫ + ( ) c b f x dx ∫ = ( ) c a f x dx ∫ ( ) b a f x dx ∫ = ( ) b a f t dt ∫ = ( ) b a f u du ∫ . . .   Ví dụ:  VD1 : 2 0 1 1 dx x − ∫ . Ta có hàm số y = 1 1x − không xác định tại x = 1 [ ] 0;2 ∈ suy ra hàm số không liên tục trên [ ] 0;2 do đó tích phân trên không tồn tại.  VD2 : 2 0 |1 |x dx − ∫ = 1 2 0 1 (1 ) (1 )x dx x dx − − − ∫ ∫ = 1 2 2 2 0 1 1 1 (1 ) (1 ) 2 2 x x − − + − = 1  VD3 : ln2 2 1 0 1 x x e dx e + + ∫ = ln2 ln 2 1 0 0 x x e dx e dx + − + ∫ ∫ = ln 2 ln 2 1 0 0 x x e e + − − = 1 2 1 2 e e− − + = 1 2 e +  VD4 : 2 2 0 sin 2 cosx xdx π ∫ = 2 0 1 sin 2 (1 cos 2 ) 2 x x dx π + ∫ = 2 2 0 0 1 1 sin 2 sin 4 2 4 xdx xdx π π + ∫ ∫ = 2 2 0 0 cos 2 cos 4 4 16 x x π π − − = 0 II. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN: 1) Phương pháp đổi biến số: a) Dạng 1 : I = [ ] ( ) . '( ) b a f u x u x dx ∫   Bước 1 : Đặt ( ) '( )t u x dt u x dx = ⇒ =   Bước 2 : Đổi cận: ( ) ( ) x b t u b x a t u a = = ⇒ = =   Bước 3 : Chuyển tích phân đã cho theo biến t, ta được [ ] ( ) ( ) ( ) . '( ) ( ) u b b a u a I f u x u x dx f t dt= = ∫ ∫   Ví dụ:  VD1 : Tính I = ( ) 1 3 3 4 0 1x x dx+ ∫ . Đặt 4 3 1 4t x dt x dx = + ⇒ = . Đổi cận: 1 2 0 1 x t x t = = ⇒ = = . Do đó I = 2 2 3 4 1 1 1 1 15 4 16 16 t dt t= = ∫  VD2 : Tính I = 3 3 2 0 1 x dx x + ∫ . Đặt 2 2 2 2 1 ( 1). 1 x t x dt dx x t x = + ⇒ = = − + vaø Đổi cận: 2 3 1 0 t x t x = = ⇒ = = . Do đó I = 2 2 3 2 1 1 4 ( 1) 3 3 t t dt t   − = − =  ÷   ∫ Gv: Lê Hành Pháp Lê Hành Pháp Trang 7 Trường THPT Tân Bình TÍCH PHÂN TÍCH PHÂN  VD3 : Tính I = 1 0 (1 ) 1 x x e x dx xe + + ∫ . Đặt t = 1+ x x e ⇒ dt = ( x e + x x e )dx. Đổi cận: 1 1 0 1 x t e x t = = + ⇒ = = . Do đó I = 1 1 1 1 ln e e dt t t + + = = ∫ ln(1 + e).  VD4 : Tính I = 2 0 cos 1 sin x dx x π + ∫ . Đặt t = sinx ⇒ dt = cosxdx. Đổi cận: 2 1 0 0 x t x t π = = ⇒ = = . Do đó I = 1 1 0 0 ln 1 ln 2 1 dt t t = + = + ∫ . b) Phương pháp đổi biến số dạng 2 : ( ) b a I f x dx = ∫   Bước 1 : Đặt ( ) '( )x t dx t dt ϕ ϕ = ⇒ =   Bước 2 : Đổi cận: x b t x a t β α = = ⇒ = =   Bước 3 : Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t, ta được [ ] ( ) ( ) '( ) b a I f x dx f t t dt β α ϕ ϕ = = ∫ ∫   Ví dụ :  VD1 : Tính I = 1 2 0 1 x dx − ∫ . Đặt x = sint ⇒ dx = costdt và 2 2 1 1 sin cosx t t − = − = Đổi cận: 1 2 0 0 x t x t π = = ⇒ = = . Do đó I = ( ) 2 2 2 2 0 0 0 1 1 sin 2 cos 1 cos 2 2 2 2 4 t tdt t dt t π π π π   = + = + =     ∫ ∫ .  VD2 : Tính I = 1 2 2 0 1 dx x − ∫ . Đặt x = sint ⇒ dx = costdt. Đổi cận: 1 6 2 0 0 t x x t π = = ⇒ = = . Do đó I = 6 0 dt π ∫ = 6 π  VD3 : Tính I = 1 2 0 1 1 dx x+ ∫ . Đặt x = tant ⇒ dx = 2 cos dt t và 2 2 1 cos 1 tan t t = + Đổi cận: 1 4 0 0 x t x t π = = ⇒ = = . Do đó I = 2 4 4 4 2 0 0 0 cos cos 4 t dt dt t t π π π π = = = ∫ ∫ . 2) Phương pháp tích phân từng phần: a) Công thức : Cho hai hàm số ( ), ( )u x v x liên tục và có đạo hàm trên đoạn [a; b]. Ta có ( ) ( ) uv u v uv uv dx u vdx uv dx = + ⇒ = + / / / / / / ( ) ( ) b b b a a a d uv vdu udv d uv vdu udv ⇒ = + ⇒ = + ∫ ∫ ∫ b b b b b b a a a a a a uv vdu udv udv uv vdu ⇒ = + ⇒ = − ∫ ∫ ∫ ∫ . Vậy ( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( ) b b b a a a u x v x dx u x v x v x u x dx = − ∫ ∫ hay b b b a a a udv uv vdu = − ∫ ∫ b) Dạng đặc biệt :  Dạng 1: ( ) k ax b i P x e dx + ∫ , ta đặt ( ) ax b u P x dv e dx + =   =   Dạng 2: ( )sin( ) k i P x ax b dx + ∫ , ta đặt ( ) sin( ) u P x dv ax b dx =   = +  Gv: Lê Hành Pháp Lê Hành Pháp Trang 8 Trường THPT Tân Bình TÍCH PHÂN TÍCH PHÂN  Dạng 3: ( )cos( ) k i P x ax b dx + ∫ , ta đặt ( ) cos( ) u P x dv ax b dx =   = +   Dạng 4: ( )ln ( ) k n i P x Q x dx ∫ , ta đặt ln ( ) ( ) n u Q x dv P x dx  =  =  c) Ví dụ :  VD1 : 1 0 x I xe dx = ∫ . Đặt x x u x du dx dv e dx v e = =   ⇒   = =   . Do đó I = 1 1 1 0 0 0 ( 1) 1 x x x xe e dx x e − = − = ∫ .  VD2 : 1 ln e I x xdx= ∫ . Đặt 2 ln 2 dx du u x x dv xdx x v  =  =   ⇒   =   =   . Do đó I = 2 2 1 1 1 1 ln 2 2 4 e e x e x xdx + − = ∫ .  VD3 : 2 0 sin x I e xdx π = ∫ . Đặt sin cos x x u x du xdx dv e dx v e = =   ⇒   = =   . Do đó I = 2 2 2 0 0 sin cos x x e x e xdx e J π π π − = − ∫ . Tính J: Đặt cos sin x x u x du xdx dv e dx v e = = −   ⇒   = =   2 2 2 0 0 0 cos cos sin 1 x x x J e xdx e x e xdx I π π π ⇒ = = + = − + ∫ ∫ Vậy 2 2 1 ( 1 ) 2 e I e I I π π + = − − + ⇒ = . BÀI TẬP §2. BÀI TẬP §2. I. BÀI TẬP SGK CƠ BẢN: 1) Tính các tích phân sau: a) 1 2 2 3 1 2 (1 )x dx − − ∫ b) 2 0 sin 4 x dx π π   −  ÷   ∫ c) 2 1 2 1 ( 1) dx x x + ∫ d) 2 2 0 ( 1)x x dx + ∫ e) 2 2 1 2 1 3 ( 1) x dx x − + ∫ f) 2 2 sin 3 cos5x xdx π π − ∫  Hướng dẫn : a) I = ( ) 1 5 2 3 1 2 3 1 5 x − − − = 5 5 3 5 3 3 3 3 3 5 3 1 3 3 3 3 1 3 3 9 1 5 2 5 2 5 10 4 2     − −     − + = =  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷         b) I = 2 0 cos 4 x π π   −  ÷   = 2 2 2 2 − = 0 c) 2 2 1 1 2 2 1 1 1 dx dx x x − + ∫ ∫ = 2 2 1 1 2 2 1 3 ln ln( 1) ln 2 ln ln3 ln ln 2 2 2 x x − + = − − + = d) 2 2 2 3 2 0 0 0 2x dx x dx xdx + + ∫ ∫ ∫ = 2 2 2 4 3 2 0 0 0 1 2 1 4 3 2 x x x+ + = 34 3 e) 2 2 2 2 1 3 3 3 4 4 3 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 1 x x x x x x x − + = − + = − + + + + + . Do đó I = 2 2 1 2 1/2 4 3ln( 1) 1 x x − − + + = 4 3ln 2 3 − f) /2 /2 1 (sin8 sin 2 ) 2 x x dx π π − − ∫ = 2 2 2 2 1 1 cos8 cos 2 16 4 x x π π π π − − − = 0 Gv: Lê Hành Pháp Lê Hành Pháp Trang 9 Trường THPT Tân Bình TÍCH PHÂN TÍCH PHÂN 2) Tính các tích phân sau: a) 2 0 |1 |x dx − ∫ b) 2 2 0 sin xdx π ∫ c) ln2 2 1 0 1 x x e dx e + + ∫ d) 2 2 0 sin 2 cosx xdx π ∫  Hướng dẫn : a) 1 2 0 1 (1 ) (1 )x dx x dx − − − ∫ ∫ = 1 2 2 2 0 1 1 1 (1 ) (1 ) 2 2 x x− − + − = 1 b) 2 0 1 (1 cos2 ) 2 x dx π − ∫ = 2 2 0 0 1 1 sin 2 2 4 x x π π − = 4 π c) ln2 ln 2 1 0 0 x x e dx e dx + − + ∫ ∫ = ln2 ln 2 1 0 0 x x e e + − − = 1 2 1 2 e e − − + = 1 2 e + d) 2 0 1 sin 2 (1 cos 2 ) 2 x x dx π + ∫ = 2 2 0 0 1 1 sin 2 sin 4 2 4 xdx xdx π π + ∫ ∫ = 2 2 0 0 cos 2 cos 4 4 16 x x π π − − = 0 3) Sử dụng phương pháp đổi biến số, hãy tính: a) ( ) 3 2 3 0 2 1 x dx x + ∫ b) 1 2 0 1 x dx − ∫ c) 1 0 (1 ) 1 x x e x dx xe + + ∫ d) 2 2 2 0 1 a dx a x − ∫  Hướng dẫn : a) I = ( ) ( ) 3 3 2 2 3 3 0 0 2 1 1 x x dx dx x x = + + ∫ ∫ . Đặt 1 2 1 dx t x dt x = + ⇒ = + và 2 2 2 ( 1)x t= − . Đổi cận 3 2 0 1 x t x t = = ⇒ = = . Do đó I = 2 2 2 2 2 3 2 3 2 1 1 1 ( 1) 2 1 1 5 2 2 2 2 3 3 t tdt t t dt t t t t   −   = − + = − − =  ÷       ∫ ∫ b) π/4 c) Đặt u = 1+ x x e ⇒ du = ( x e + x x e )dx. Do đó 1 1 1 1 0 1 (1 ) 1 ln 1 e x e x e x dx du u xe u + + + = = = + ∫ ∫ ln(1 + e) d) Đặt x = asint ⇒ dx = acostdt và 2 2 2 sina a t − = acost với t∈[0; 6 π ]. Do đó 6 2 2 2 0 0 1 6 a dx dt a x π π = = − ∫ ∫ 4) Sử dụng phương pháp tích phân từng phần, hãy tính: a) 2 0 ( 1)sinx xdx π + ∫ b) 2 1 ln e x xdx ∫ c) 1 0 ln(1 )x dx + ∫ d) 1 2 0 ( 2 1) x x x e dx − − − ∫  Hướng dẫn : a) 2 0 ( 1) (cos )x d x π − + ∫ = 2 2 2 2 0 0 0 0 ( 1)cos cos ( 1)cos sinx x xdx x x x π π π π − + + = − + + ∫ = 1+ 1 = 2 b) 3 1 1 ln ( ) 3 e xd x ∫ = 3 2 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 ln ln 3 3 3 9 e e e e x x x dx x x x − = − ∫ = 3 3 2 1 1 (2 1) 9 9 9 e e + = + c) 1 1 1 0 0 0 ln(1 ) ln(1 ) 1 x x dx x x dx x + = + − + ∫ ∫ = 1 1 1 0 0 0 ln(1 ) ln(1 )x x x x + − + + = 2ln2 – 1 d) 1 2 0 ( 2 1) ( ) x x x d e − − − − = ∫ 1 1 2 0 0 ( 2 1) 2 ( 1) 2 x x x e x x e x e dx − − − − − − − − + ∫ = –1 5) Tính các tích phân sau: Gv: Lê Hành Pháp Lê Hành Pháp Trang 10