toán 11 nâng cao

T T T r r r ư ư ư ờ ờ ờ n n n g g g T T T H H H P P P T T T N N N g g g u u u y y y ễ ễ ễ n n n B B B ỉ ỉ ỉ n n n h h h K K K h h h i i i ê ê ê m m m Đại số & Giải tích 11. Tiểu luận : HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN CHƢƠNG DÃY SỐ . CẤP SỐ CỘNG & CẤP SỐ NHÂN. Người thực hiện : Nguyễn Công Tuấn . Lớp : 11A6 Chương 3 : DÃY SỐ . CẤP SỐ CỘNG & CẤP SỐ NHÂN. I.Kiến thức cần nhớ : 1. Phƣơng pháp chứng minh quy nạp: Để chứng minh 1 mệnh đề chứa biến F(n) là một mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên dƣơn n ≥ p ( p  N٭ cho trƣớc ) ta cần thực hiện 2 bƣớc cơ bản :  Bƣớc 1: Chứng minh F(n) là một mệnh đề đúng khi n = p.  Bƣớc 2 : Với k là số nguyên dƣơng tuỳ ý , xuất phát từ giả thiết F(n) là mệnh đề đúng với n = k, ta đi chứng minh F(n) đúng đến n = k + 1. VD1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dƣơng n , ta luôn có: 1.2 + 2.5 + … +n(3n – 1 ) = 2 n ( n + 1). (*) Giải :  Với n = 1 , ta có : 1(3.1 – 1) = 1 (1 + 1)  (*) đúng với n = 1.  Giả sử (*) đúng với n = k , k  N*, tức là : 1.2 + 2.5 + …+ k(3k- 1) = 2 k ( k + 1), Ta sẽ chứng minh (*) đúng đến n = k + 1, tức là : 1.2 + 2.5 +…+ (k + 1)(3k + 2) =   2 1k ( k + 2). Thật vậy , từ giả thiết quy nạp, ta có : 1.2 + 2.5 + …+ k(3k – 1 ) + (k + 1)(3k + 2) =   2 1kk + (k + 1)(3k + 2) = (k + 1)( 2 k + 3k +2) = (k + 1)(k + 1)(k + 2) =   2 1k (k + 2).  ĐPCM . VD2: Chứng minh rằng : n u = 113  n chia hết cho 6  n  N*.(1) Giải :  Khi n = 1, ta có : n u = 13 – 1 = 12  6   1 đúng .  Giả sử rằng (1) đúng với n = k ( k  N* , k ≥ 1) tức là : 6113  k  Ta chứng minh rằng (1) đúng tới n = k + 1, tức là : 6113 1  k Thật vậy , ta có : 113 1  k = 121313.13  k =   1211313  k 6  ĐPCM. 2. Dãy số : a) Các định nghĩa :  Dãy số vô hạn : là một hàm số xác định trên tập hợp các số nguyên dƣơng N*.  Dãy số hữu hạn : là một hàm số xác định trên tập hợp m số nguyên dƣơng đầu tiên ( m là số nguyên dƣơng cho trƣớc).  Dãy số tăng :   n u là dãy số tăng nn uun  1 , > 0.  Dãy số giảm :   n u là dãy số giảm nn uun  1 , < 0.  Dãy số không đổi :   n u là dãy số không đổi nn uun  1 , = 0.  Dãy số bị chặn trên :   n u là dãy số bị chặn trên nếu  M:  n u M ,  n  N*.  Dãy số bị chặn dƣới :   n u là dãy số bị chặn dƣới nếu  m:  n u m,  n  N*.  Dãy số bị chặn : là dãy số vừa bị chặn trên vừa bị chặn dƣới . b) VD: 1) Cho dãy   n u với n u =   3 1n .Chứng minh n u là dãy số tăng. Ta có : nn uu  1 =     33 12  nn = 793 2  nn > 0,  n  N*  Dãy số tăng. 2) Cho dãy số   n u với n u = 56 65   n n . Chứng minh n u là dãy số giảm. Ta có: nn uu  1 = 56 65 116 115      n n n n =    56116 11   nn < 0,  n  N*  Dãy số giảm. 3) Chứng minh rằng dãy   n v với n v = 32 1 2 2   n n , là dãy số bị chặn. Ta có : n v =           32 22 2 1 2 2 n n =         32 5 1 2 1 2 n =   322 5 2 1 2   n . Dễ thấy  n  N* , thì 5 1 32 1 1 2    n . Do đó  -2 ≤ n v ≤ 1 (  n  1). Vì vậy,   n v là dãy số bị chặn. 3. Cấp số cộng & Cấp số nhân: a) Cấp số cộng : Định nghĩa : dãy   n u là cấp số cộng  n , 1n u = n u + d ( d là một hằng số & đƣợc gọi là công sai). Các tính chất của cấp số cộng :  Định lí về 3 số hạng liên tiếp của cấp số cộng :   n u là cấp số cộng  k u =   2 2 11    k uu kk .  Công thức của số hạng tổng quát của cấp số cộng   n u : n u =   dnu 1 1  (d là công sai)  Công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng   n u : n S =   2 1 n uun  hoặc n S =     2 12 1 dnun  . VD : Cho dãy   n u với n u = 20n – 2010.  Chứng minh rằng n u là cấp số cộng. Tìm công sai.  Tính 2009 u & 2011 u . Từ đó suy ra 2010 u .  Tính tổng của 12 số hạng đầu tiên. Giải :  Ta có : nn uu  1 = 20(n + 1) – 2010- (20n-2010) = 20.    n u là cấp số cộng , công sai d = 20.  2009 u = 20.2009 – 2010 = 38170. 2011 u = 20.2011- 2010 = 38210.  2010 u = 2 20112009 uu  = 2 3821038170  = 38190.  Ta có : 12 S =     2 12.201122 1 u . Mà : 1 u = 20.1 – 2010 = - 1990.  12 S = - 22560. b) Cấp số nhân : Định nghĩa : dãy   n u là cấp số nhân  n , 1n u = qu n . ( q là hằng số & đƣợc gọi là công bội). Các tính chất của cấp số nhân :  Định lí về 3 số hạng liên tiếp của cấp số nhân :   n u là cấp số nhân  2 k u = 11 .  kk uu (k ≥ 2 ).  Công thức của số hạng tổng quát của cấp số nhân   n u : n u = 1 1 . n qu ( q là công bội ).  Công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân   n u với q  1: n S = . 1 1 . 1 q q u n   VD: Cho cấp số nhân   n v có 3 v = 24 , 4 v = 48.  Tìm 1 v , công bội q của dãy số. Từ đó hãy suy ra số hạng tổng quát.  Tính tổng 200 số hạng đầu tiên. Giải:  Vì n v là cấp số nhân  q = 3 4 v v = 2.  1 v = 3 4 q v = 3 2 48 = 6.  Số hạng tổng quát : n v = 1 2.6 n (  n  1).  Ta có : 200 S =   q qv   1 1 200 1 =   21 216 200   =   200 6 2 1 . II. Các dạng bài tập : Dạng 1: Chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học : Bài1 : Chứng minh rằng : 2222 321 n =    6 121  nnn ( n  N * ). Bài 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dƣơng n , ta luôn có bất đẳng thức sau : 13 1 2 1 1 1      nnn > 1. Bài 3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dƣơng n  2, ta luôn có các bất đẳng thức sau : i. n 1 3 1 2 1 1  > n ; ii. 12 1 3 1 2 1 1   n < n. Bài 4: Cho số thực  2kx  . Chứng minh rằng với mọi số nguyên dƣơng n , ta luôn có : nxxx cos 2coscos1  =   2 sin 2 cos 2 1 sin x nxxn  . Bài 5 : Chứng minh rằng :  121 1211   nn 133 (  n  N*). Bài 6: Tính tổng : S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + …+ n(n + 1). ( HD : vận dụng đẳng thức ở câu 1 để giải ). Bài 7: Chứng minh rằng : 1+ 3 + 5 +…+ (2n – 1) = 2 n , (  n  N*). Bài 8: Chứng minh rằng : n U =  1222 32.7   nn 5 (  n  N*). Bài 9: Chứng minh rằng : 3333 321 k =   4 1 2 2 kk , (  k  N*). Bài 10: Cho mệnh đề “ với k là số nguyên dƣơng tuỳ ý , nếu 18  k  7 thì 18 1  k 7” Một bạn học sinh chứng minh nhƣ sau : Ta có : 18 1  k =   7188  k . Từ giả thiết “ 18  k  7”  18 1  k 7 . Hỏi rằng từ lập luận của mình , bạn học sinh đó có thể kết luận đƣợc “ 18  k  7 , (  k  N*)” hay không ? Vì sao ? Dạng 2: Tính đơn điệu của dãy số : Bài 1: Tính 6 số hạng đầu tiên của các dãy số sau : i. Dãy số   n v với n v = 3 3 n n . ii. Dãy số   n u với n u = nn 20092010  . iii. Dãy số   n v với n v = 3 2 sin  n . (HD : Thay lần lƣợt n = 1,2,3,4,5,6). Bài 2: Xét tính tăng -giảm của các dãy số sau : i. Dãy số   n f , với n f = 152 3  nn ; ii. Dãy số   n u , với n u = n n 2 . iii. Dãy số   n v , với n v = 1 2 3 n n . (HD : Xét hiệu : nn uu  1 ); Bài 3 : Xác định số thực m để dãy số   n u , với n u = 32 1. 2 2   n nm là dãy số tăng. Bài 4: Xét tính đơn điệu của dãy số   n u , với n u = 1 2  nn ; (HD : viết lại n u = 1 1 2  nn ) Bài 5 : Chứng minh rằng dãy số   n v , với n v = 75 57   n n là dãy số tăng và bị chặn. Bài 6: Cho dãy số   n f , với n f = 6 cos 3 sin  nn  , chứng minh rằng n f = 12n f , n 1. Bài 7 : Cho dãy số   n u xác định bởi : 1 u = 2 và 1n u = 4 4 2  n u ( n 1) . Chứng minh rằng   n u là dãy số không đổi. Dạng 3: Tìm số hạng tổng quát của dãy số khi cho bởi hệ thức truy hồi: Bài 1 : Cho dãy số   n u xác định bởi : 1 u = 1 và 1n u = 7 n u , n 1. Chứng minh rằng : n u = 67 n .( HD : chứng minh bằng quy nạp ). Bài 2: Cho dãy   n u , có n u = 34 2 2  nn ,   n v có : 1 v = 1 u và 1n v = 1  nn uv . Tính n v theo n. Bài 3:Cho dãy   n u có : 1 u = 1 và 1n u = n u + 2. Tìm n u theo n.( HD: viết ra một vài số đầu và số cuối theo hệ thức truy hồi rồi khử các số hạng giống nhau). Bài 4 :Cho dãy số   n a xác định bởi 1 a = 2 và 1n a = 123  na n , n 1. Chứng minh rằng : n a = n n 3 . Dạng 4: Chứng minh dãy số là cấp số cộng và vận dụng các tính chất của cấp số cộng:  Để chứng minh dãy số   n u là cấp số cộng ta chứng minh rằng : nn uu  1 = d (d không đổi ). Bài 1:Cho dãy số   n s , xác định bởi : 1 s = 1 , và 1n s = n s - 3. n 1. Chứng minh rằng   n s là cấp số cộng . Tìm công sai. Bài 2:Cho cấp số cộng   n u với công sai d và cho các số nguyên dƣơng m, k với km  . Chứng minh rằng m u =   dkmu k  . Rút ra nhận xét . Bài 3: Cho cấp số cộng   n u và cho các số nguyên dƣơng m, k với m < k .Chứng minh rằng k u = 2 mkmk uu   . Áp dụng : tìm cấp số cộng có 7 số hạng mà số hạng thứ 3 bằng 2 và tổng của số hạng đầu và số hạng cuối bằng 10. Bài 4: Cho cấp số cộng   n u có 25 uu  = 90 . Hãy tính tổng 23 số hạng đầu tiên của   n u . ( HD : viết tổng 25 uu  thành 231 uu  = 90 ) Bài 5: Cho một cấp số cộng tăng   n v có 33 1 15 vv = 302094 và 15 S = 585. Tìm công sai và số hạng đầu của cấp số cộng đó .( ĐS : 1 v = 11, d = 4). Bài 6 : Xét dãy số   n u xác định bởi 1 u = m và 1n u = 5 - n u , n 1. Trong đó m là số thực . Hãy xác định tất cả các giá trị của m để   n u là một cấp số cộng. Bài 7: Cho dãy số   k u , có 1k u = 313 k . Tính tổng sau : S =     30201921141312 uuuuuuu  . Bài 8 :Cho cấp số cộng   n u có 10 u = 12 và có công sai d = 6 . Tính 20 u . (HD : áp dụng công thức chứng minh ở câu 2 _dạng 4 ) Bài 9 : Tính tổng tất cả các số hạng của một cấp số cộng có số hạng đầu bằng 102 , số hạng thứ 2 bằng 105 và số hạng cuối bằng 999.(HD: tìm d, gọi k là số các số hạng của cấp số cộng đã cho thì k u = 999). Bài 10 : Cho cấp số cộng   n u có 2017 uu  = 9 và 22 17 20 uu = 153 . Hãy tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó . ( HD : có thể viết lại 22 17 20 uu =       2 2017 2 2017 2 1 uuuu  , sau đó xét 2 TH khi 2017 uu  < 0  2017 uu  > 0. ) Dạng 5: Các bài tập về cấp số nhân và tính chất của cấp số nhân: Bài 1 : Chứng minh rằng : dãy số   n f xác định bởi 1 f = 1 và 1n f = 7 n f là cấp số nhân. Xác định công bội . Bài 2 : Xét dãy số   n u xác định bởi 1 u = a và 1n u = n u 12 , n 1 , a là số thực khác 0 . Hãy tìm tất cả các giá trị của a để dãy số   n u là cấp số nhân. (HD : giả sử   n u là cấp số nhân, khi đó  q > 0 sao cho 1n u = qu n . , từ đó tính đƣợc 2 n u = q 12 ). Bài 3 :Cho cấp số nhân   n u và các số nguyên dƣơng m,k với m < k .Chứng minh rằng : k u = mkmk uu  . . Áp dụng : tìm cấp số nhân có công bội âm , có 7 số hạng số hạng thứ 3 bằng 2 và tích của số hạng đầu và số hạng cuối bằng 18. (HD : viết mk u  và mk u  với công bội q 0 ). Bài 4 :Cho cấp số nhân   n u công bội q 0 và 0 1 u . Cho các số nguyên dƣơng m , k , với km  . Chứng minh rằng : m u = km k qu  . . Áp dụng : tìm công bội q của cấp số nhân   n u có 4 u = 2 và 7 u = -686. Bài 5 :Cho cấp số nhân   n u có 52 .33 uu  = 0 và 2 6 2 3 uu  = 63. Hãy tính tổng S = 10321 uuuu  . Bài 6: Cho cấp số nhân   n u có 52 6 uu  = 1 và 43 23 uu  = -1. i. Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân đó. ii. Tính tổng : S =     5 6 9 8 9 12 14 u u u u u u u        . Bài 7: Ba số x, y ,z theo thứ tự lập thành cấp số nhân ; đồng thời , chúng lần lƣợt là số hạng đầu , số hạng thứ 3 và số hạng thứ 9 của một cấp số cộng . Hãy tìm ba số đó , biết tổng x + y + z = 13. ( HD : vì x, y, z là cấp số nhân  2 y = zx. ; từ giả thiết x, y, z là cấp số cộng ta tính hiệu y – x và z – y ). Bài 8 : Cho cấp số nhân   n u có 7 số hạng , 4 u = 6 và 7 u = 2 243u , tìm các số hạng còn lại của cấp số nhân đó . Bài 9 :Tính tổng tất cả các số hạng của cấp số nhân có số hạng đầu bằng 2 số hạng thứ 2 bằng -2 và số hạng cuối bằng 264 . (HD : gọi k là số số hạng của cấp số nhân đã cho, tìm k ). Bài 10: Cho dãy số   n u xác định bởi 1 u = 2 và 1n u = 94  n u , n 1 Chứng minh rằng dãy số   n v , xác định bởi n v = n u + 3, n 1 là cấp số nhân. Xác định số hạng đầu và công bội bội của cấp số nhân đó. (HD : dễ thấy 1n u +3 = 94  n u + 3 = 4( n u + 3) ). III. Một số bài tập trắc nghiệm : Chọn câu trả lời đúng nhất trong các phƣơng án trả lời: Câu1: Cho dãy   n u xác định bởi 1 u = 32 và 1 2 nn uu   , 2, *nn   . Tổng 120 số hạng đầu tiên của dãy   n u là : A. 45632 B. 65212 C. 18120 D.19630 Câu2: Cho dãy   n a xác định bởi 1 a = 1 và   1 2 . 2 nn a n a n     .Khi đó 12 a bằng : A. 11 2 .12! B. 13 4 .11! C. 11 2 .12! D. 13 4 .11! Câu3: Cho cấp số cộng   n u có 1 2u  và 3 6u  , Tổng : 12 13 17 S u u u    bằng : A. 170 B. 180 C.132 D. 174. Câu4: Cho dãy số   n f xác định bởi   1 2 3 n n f fn     và 1 12f  , tổng 15 số hạng đầu tiên của dãy trên là : A. 28697812 1594323 B. 28697813 1594324 C. 7174453 398581 D. 28697813 1594323 . Câu5: Cấp số cộng   k u có : 45 3u   và 47 7u   , thì 46 u bằng : A. 5  B. 10  C. 2  D. Chƣa đủ dữ kiện trả lời. Câu6: Cho cấp số nhân   n v có công bội q = 4 và 17 15v  thì 21 v bằng : A. 15 B.2120 C. 41160 D. Kết quả khác. Câu7: Dãy số   n u cho bởi 1 2 n n u n   là dãy số : A. Tăng B. Giảm C.Không tăng không giảm D. Có thể tăng có thể giảm . Câu8: Cho cấp số nhân   n u có 10 u = 2 có 12 u là nghiệm nguyên của bất phƣơng trình 2 12 12 10 163 660 0uu   . Công bội q của   n u là : A. 4 B.2 C. 8 D. 10. Câu9: Cho dãy   n u xác định bởi : 1 18u  và 1nn u u n   . Khi đó 1n u  đƣợc biểu thị theo n là : A. 1 2 n n un   B. 2 1 36 2 n nn u    C.   1 18 1 n u n n     D. 1 21 n n u   . Câu10: Cho dãy   n v có 1 1 1 14 n v vv      số hạng thứ n v là : A. 1 n B. 15 C. 53 n  D. Chƣa đủ dữ kiện để trả lời. IV. Một số bài toán thực tế liên quan đến cấp số cộng - cấp số nhân : Bài toán thực tế : Một công ty cung cấp các dịch vụ viễn thông cho khách hàng dịch vụ truy cập internet tại nhà theo 2 gói cƣớc dịch vụ sau: Gói dịch vụ 1: thuê bao tháng là 25000đ , với 100MB(dung lƣợng sử dụng ) đầu tiên , khách hàng phải trả 10000đ ; từ MB 101 trở đi mỗi MB khách hàng phải trả 80đ/1MB. Gói dịch vụ 2: thuê bao tháng là 35000đ , với 100MB đầu tiên , khách hàng phải trả 6000đ; từ MB 101 đến 200 mỗi MB khách hàng phải trả 45đ/1MB; từ MB thứ 201 trở đi thì cứ 100MB vƣợt khách hàng phải trả tăng thêm 5% so với 100MB ngay trƣớc đó. Gia đình ông Dũng muốn đăng kí sử dụng dịch vụ của công ty viễn thông trên thì theo bạn nên khuyên ông chọn gói nào là ít tốn kém nhất. (Cho rằng chất lƣợng dịch vụ, chăm sóc khách hàng là nhƣ nhau và mỗi tháng gia đình ông phải sử dụng tối thiểu là 600MB). V. Câu hỏi thắc mắc về kiến thức trong chương : Câu1: Tại sao có những trƣờng hợp mà mệnh đề cho là sai mà ta có thể chứng minh quy nạp nó đúng ? ( VD : Bài 10 _ dạng 1) Câu2: Với những bài toán về dãy số cho biết hệ thức truy hồi và yêu cầu tìm công thức tổng quát theo n , có những mẹo gì để giải một bài nhƣ vậy ? …………… HẾT……………… Học sinh : Nguyễn Công Tuấn. . 56 65   n n . Chứng minh n u là dãy số giảm. Ta có: nn uu  1 = 56 65 116 115      n n n n =    5 6116 11   nn < 0,  n  N*  Dãy số giảm. 3) Chứng minh rằng. = 20.2009 – 2010 = 38170. 2 011 u = 20.2 011- 2010 = 38210.  2010 u = 2 2 0112 009 uu  = 2 3821038170  = 38190.  Ta có : 12 S =     2 12.2 0112 2 1 u . Mà : 1 u = 20.1. 1 a = 1 và   1 2 . 2 nn a n a n     .Khi đó 12 a bằng : A. 11 2 .12! B. 13 4 .11! C. 11 2 .12! D. 13 4 .11!  Câu3: Cho cấp số cộng   n u có 1 2u  và 3 6u  , Tổng