TRƯỜNG THPT TÔ VĂN ƠN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM 2010-2011MÔN TOÁN 12 Thời gian làm bài 150 phút (không kể thời gian phát đề ) _________________________________________ Bài 1 : ( 2 điểm ) 1.Cho hàm số 2 2x 1y m x=- + + .Tìm m để hàm số có cực tiểu 2.Giải hệ phương trình : 1 x 2 2 3 2 (1 2 ).3 4 1 2( ) ln(3 ) 7 y x y y x y x y y x - + - + - ì ï ï + = + ï í ï ï + + + - = ï î Bài 2: ( 2 điểm ) 1.Cho hàm số f : N→N thỏa điều kiện f(f(n)) + f(n) = 2n +3 .Tính f(2010) 2.Giải phương trình : 2 2 3x(2 9x 3) (4x 2)(1 1) 0x x+ + + + + + + = Bài 3: ( 2 điểm ) 1.Tìm a để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất ( ) 4 2 1 osx sin 1 a x y c x y ì ï + = + ï ï í ï + = ï ï î 2.Hãy tìm hệ số có giá trị lớn nhất của đa thức : 13 13 12 0 1 13 ( ) (2x 1) P x a x a x a= + = + + + Bài 4: (3 điểm ) 1.Cho hình vuông ABCD cạnh a .Một điểm M di động trên cạnh BC và điểm N di động trên DC nhưng luôn có · 0 45MAN = .Xác định vị trí của M , N sao cho diện tích tam giác AMN đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất 2. Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình thoi cạnh a , góc · 0 D 60BA = , góc hợp bởi (SCD) và (ABCD) bằng 30 0 và (SAB) vuông góc mp(ABCD) 1.Tính thể tích khối chóp S.ABCD 2. Tính khoảng cách từ A đến mp(SCD) HẾT Bài ý Nội dung Điểm 1 1 + Ta có 2 . ' 2 1 m x y x =- + + , 2 . ' 2 1 m x y x =- + + = 0 Û 2 2 1mx x= + (1) + m= 0 , pt vô nghiệm + m ≠0, hàm số có cực tiểu khi pt(1) có nghiệm Û 2 1 2 1 x m x = + có nghiệm. + xét hàm số f(x) = 2 1 x x+ trên (-∞; 0 ) và ( 0 ; +∞ ) + ta có m > 2 hoặc m < -2 thì phương trình (1) có nghiệm + Khi m > 2 thì hàm số có cực tiểu 2 Hệ đã cho tương đương 3 3 1 2 2.4 1 3 9 2( ) ln(3. ) 7 x y x y x y y x y x - - - ì ï + + ï = ï ï í ï ï + + - = ï ï î + Đặt t = x – y thì hàm số VP của (1) đồng biến VT nghịch biến , ta có t = 1 là nghiệm duy nhất của ( 1) Þ x = y+1 Thay vào ( 2 ) , ta có f(y) là hàm số đồng biến nên có nghiệm duy nhất y = 1 Þ x = 2 + Vậy ( 2; 1) là nghiệm duy nhất của hệ 2 1 + lập luận : f(n ) = an +b + Tính đi đến a = b = 1 + Kết luận f(2010) = 2011 2 + Xét hàm số f(t) = 2 (2 3)t t+ + trên R + f’(t) > 0 mọi thuộc R + x = -1/5 là nghiệm duy nhất 3 1 + ĐK cần để hệ có nghiệm duy nhất + Hàm chẵn nên x = 0 .Tìm a = 2 và a = 0 + Điều kiện đủ Nếu a = 0 thì x = kπ và y = -1 thấy không thỏa vì hệ có nhiều hơn 1 nghiệm Nếu a = 2 thì x =0 và y = 1 là nghiệm duy nhất 2 + Xét bất đẳng thức a n-1 ≤ a n , ta có : a 0 < … < a 4 + Ngược lại a 4 > a 5 > … > a 12 + a 4 lớn nhất 4 1 + Đặt · BAM a= ; · NAD b= .khi đó α+β = 45 0 + 2 2 0 1 2 . .sin 45 . 2 4 os . os 1 os( ) MAN a a S AM AN c c ca b a b = = = + - + S Max khi cos(α –β )Min tức là α = 22 0 45’ tức là M≡C;N≡D hoặc M≡B;N≡C và tương tự S Min khi α = 45 0 hoặc α = 0 0 . Tức là M,N tương ứng là chân đường phân giác trong góc BAC và CAD 2 a.+ Thể tích : Tính được đường cao SH = a + Thay tính thể tích : V = 3 3 6 a b.Xác định được khoảng cách từ A đến (SCD) +Tính khoảng cách là : 3 2 a . TRƯỜNG THPT TÔ VĂN ƠN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM 2010-2011MÔN TOÁN 12 Thời gian làm bài 150 phút (không kể thời gian phát đề ) _________________________________________ Bài 1 : (. .Một điểm M di động trên cạnh BC và điểm N di động trên DC nhưng luôn có · 0 45MAN = .Xác định vị trí của M , N sao cho diện tích tam giác AMN đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất 2. Cho hình chóp. 2 0 1 2 . .sin 45 . 2 4 os . os 1 os( ) MAN a a S AM AN c c ca b a b = = = + - + S Max khi cos(α –β )Min tức là α = 22 0 45’ tức là M≡C;N≡D hoặc M≡B;N≡C và tương tự S Min khi α = 45 0 hoặc α