GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG TÍCH PHÂN

THPT Tân Bình – Bình Dương. T T Í Í C C H H P P H H Â Â N N 1 1 2 2 . . Gv: L L ê ê H H à à n n h h P P h h á á p p . . Trang 1 … …   T T Í Í C C H H P P H H Â Â N N   … … § § 1 1 . . N N G G U U Y Y Ê Ê N N H H À À M M . . 1) VI PHÂN:  Cho hàm số ( ) y f x  có đạo hàm tại điểm 0 x . Khi đó, ta có ( 0 x ) = 0 0 0 0 ( ) ( ) lim lim x x x f x f x y x x x         . Nếu x  khá nhỏ thì tỷ số y x   rất gần với ( 0 x ) nên có thể coi rằng ( 0 x )  y x    0 ( ) y f x x     . Do vậy, ta có khái niệm:  Vi phân hàm số tại một điểm: Tích 0 '( ) f x x  được gọi là vi phân của hàm số (x) tại điểm 0 x và ký hiệu 0 ( ) df x , tức là 0 0 ( ) ( ) df x f x x    .  Vi phân của hàm số: Tích '( ) f x x  được gọi là vi phân của hàm số (x) và ký hiệu ( ) df x , tức là ( ) ( ) df x f x x    . Đặc biệt y = x, ta có dx = (x)x = x, do đó ( ) ( ) df x f x dx   hay dy y dx   .   1 Vd Vi phân của hàm số 3 ( ) 5 1 f x x x    là 3 3 2 ( ) ( 5 1) ( 5 1)' (3 5) df x d x x x x dx x dx         .   2 Vd Vi phân của hàm số 3 sin y x  là   3 2 sin 3sin cos dy d x x xdx   . 2) NGUYÊN HÀM:  Định nghĩa: Cho hàm số ƒ(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của ƒ(x) trên K nếu F(x) = ƒ(x), xK.  Định lý: Nếu F(x) là một nguyên hàm của ƒ(x) trên K thì:  Với mọi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là 1 nguyên hàm của ƒ(x) trên K.  Ngược lại, nếu G(x) là một nguyên hàm của ƒ(x) trên K thì tồn tại một số C sao cho G(x) = F(x) + C.  Họ các nguyên hàm của ƒ(x) trên K, ký hiệu: ( ) ( ) f x dx F x C    .  Theo định nghĩa, ta có:      ( ) ( ) ( ) F x C f x dx f x     / / ; ( ) ( ) ( ) ( ) f x dx F x dx dF x F x C         .   1 Vd 2 1 1 dx C x x     vì 2 1 1 C x x          / .   2 Vd 2 dx x C x    vì   1 2 x C x   /   3 Vd   2 2 1 1 tan (tan ) (tan ) tan cos x dx dx x dx d x x C x           /  Sự tồn tại của nguyên hàm: Mọi hàm số (x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.  Bảng nguyên hàm cơ bản: 0 dx C   dx x C    1 ( 1) 1 x x dx C            ln | | dx x C x    x x e dx e C    (0 1) ln x x a a dx C a a      cos sin xdx x C    sin cos xdx x C     2 tan cos dx x C x    2 cot sin dx x C x      Tính chất: Cho ƒ(x), g(x) là hai hàm số liên tục trên K thì:  [ ( ) ( )] ( ) ( ) f x g x dx f x dx g x dx       ; ( ) ( ) kf x dx k f x dx    .   1 Vd 5 4 5 3 4 1 1 1 1 1 3 4 x dx dx dx C x x x x x           3 3 THPT Tân Bình – Bình Dương. T T Í Í C C H H P P H H Â Â N N 1 1 2 2 . . Gv: L L ê ê H H à à n n h h P P h h á á p p . . Trang 2   2 Vd 3 ( ) x x dx   = 11 3 32 xdx xdx x dx x dx        = 43 32 2 3 3 4 x x C     3 Vd 2 4sin xdx  = 1 cos2 4 2 (1 cos2 ) 2 2 cos2 2 x dx x dx dx xdx          = 2 sin x x C   3) PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM: a) Đổi biến số:  Định lý: Cho ( ) u u x  , ( ) ( ) f u du F u C    thì     ( ) ( ) ( ) f u x u x dx F u x C      Hệ quả: Nếu ( 0) u ax b a    , ( ) ( ) f u du F u C    thì 1 ( ) ( ) f ax b dx F ax b C a       Bảng nguyên hàm nâng cao: du u C    1 ( ) dx d ax b a   1 ( 1) 1 u u du C            1 1 ( ) ( ) . ( 1) 1 ax b ax b dx C a              ln du u C u    1 ln dx ax b C ax b a      u u e du e C    1 ax b ax b e dx e C a      (0 1) ln u u k k du C k k      1 . (0 1) ln ax b ax b k k dx C k a k        cos sin udu u C    1 cos( ) sin( ) ax b dx ax b C a      sin cos udu u C     1 sin( ) cos( ) ax b dx ax b C a       2 tan cos du u C u    2 1 tan( ) cos ( ) dx ax b C ax b a      2 cot sin du u C u     2 1 cot( ) sin ( ) dx ax b C ax b a         1 Vd 2 1 2 cos 2 sin 2 3 2 3 x dx x C                      2 Vd 2 3 2 3 1 2 x x e dx e C           3 Vd 10 9 (1 ) (1 ) 10 x x dx C         4 Vd 3 cos sin x xdx  . Đặt t = cosx  dt = –sinxdx  4 4 3 3 cos cos sin 4 4 t x x xdx t dt C C             5 Vd 2 3 1 x dx x  . Đặt 2 2 3 3 3 3 2 1 3 2 1 1 hay x dx x dx t x dt dt x x         2 3 3 2 2 2 1 3 3 3 1 x dx dt t C x C x          . b) Nguyên hàm từng phần:  Định lý: Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u x v x dx u x v x v x u x dx       hay udv uv vdu      Chú ý: THPT Tân Bình – Bình Dương. T T Í Í C C H H P P H H Â Â N N 1 1 2 2 . . Gv: L L ê ê H H à à n n h h P P h h á á p p . . Trang 3  Dạng 1: ( ) ax b P x e dx   , ta đặt ( ) ax b u P x dv e dx        Dạng 2: ( )sin( ) P x ax b dx   , ta đặt ( ) sin( ) u P x dv ax b dx        Dạng 3: ( )cos( ) P x ax b dx   , ta đặt ( ) cos( ) u P x dv ax b dx        Dạng 4: ( )ln ( ) n P x Q x dx  , ta đặt ln ( ) ( ) n u Q x dv P x dx        1 Vd ln(1 ) x x dx   . Đặt 2 1 ln(1 ) 1 2 du dx u x x dv xdx x v                  nên 2 2 1 ln(1 ) ln(1 ) 2 2 1 x x x x dx x dx x        = 2 2 ln(1 ) 1 1 1 2 2 1 1 x x x dx x x               2 2 ( 1)ln(1 ) ( 1) 2 4 x x x C        2 Vd sin(2 1) x x dx   . Đặt 1 sin(2 1) cos(2 1) 2 du dx u x dv x dx v x                 nên 1 1 1 1 sin(2 1) cos(2 1) cos(2 1) cos(2 1) sin(2 1) 2 2 2 4 x x dx x x x dx x x x C                 3 Vd 2 ( 2 1) x x x e dx    = 2 ( 2 1) ( ) x x x d e    = 2 ( 2 1) 2 ( 1) x x e x x e x dx      = 2 ( 2 1) 2 ( 1) ( ) x x e x x x d e      = 2 ( 2 1) 2 ( 1) 2 x x x e x x e x e dx       = 2 ( 1) x e x C   B B À À I I T T Ậ Ậ P P . . 1) Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) ƒ(x) = 2 3 x – 5x + 7; b) ƒ(x) = 2 1 x – 2 x – 1 3 ; c) ƒ(x) = 1 3 x  ; d) ƒ(x) = 3 2 x + 2 x e) ƒ(x) = sin5 cos3 x x ; f) ƒ(x) = 2 tan x ; g) ƒ(x) = 3 2 x e  ; h) ƒ(x) = 1 (1 )(1 2 ) x x   ; i) ƒ(x) = 3 1 x x x   j) ƒ(x) = 2 1 x x e  ; k) ƒ(x) = 2 2 1 sin cos x x ; l) ƒ(x) = 2 10 x  Hướng dẫn: a) 4 2 5 7 2 2 x x x C    b) 3 1 3 3 x x C x     c) 2 3 3 2 x C  d) 2 3 4 x x C   e) 1 (sin8 sin 2 ) 2 x x dx   = 1 1 cos8 cos 2 16 4 x x C    f) 2 2 1 tan 1 tan cos xdx dx x x C x              g) 3 2 3 2 1 2 x x e dx e C       h) 1 1 1 1 2 (1 )(1 2 ) 3 1 3 1 2 dx dx dx x x x x          = 1 1 1 1 ln 1 ln 1 2 ln 3 3 3 1 2 x x x C C x         THPT Tân Bình – Bình Dương. T T Í Í C C H H P P H H Â Â N N 1 1 2 2 . . Gv: L L ê ê H H à à n n h h P P h h á á p p . . Trang 4 i) 2 1 1 3 6 3 x dx x dx x dx       = 5 7 2 3 6 3 3 6 3 5 7 2 x x x C    j) 2 1 x x dx dx e e                = 2 1 2 1 ln ln x x e e C e e                           = 2 1 (ln2 1) x x x C e e    = 2 ln 2 1 (ln2 1) x x C e     k) 2 2 1 1 sin cos dx dx x x    = cot tan x x C    với 2 2(1 tan ) 2 tan cot 2cot 2 2tan tan 2 x x x x x x         l) 2 10 2ln10 x C  2) Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) 3 ( ) x x dx   b) 2 x x x dx x   c) 2 4sin xdx  d) 1 cos4 2 x dx    Hướng dẫn: a) 43 32 2 3 3 4 x x C   b) 2 2 x C x   c) 2 sin x x C   d) sin 4 2 8 x x C   3) Sử dụng phương pháp đổi biến số, hãy tính: a) 9 (1 ) x dx   b) 3 2 2 (1 ) x x dx   c) 3 cos sin x xdx  d) 2 x x dx e e      Hướng dẫn: a) 10 1 (1 ) 10 x C    ; b) 5 2 2 1 (1 ) 5 x C   ; c) 4 1 cos 4 x C   ; d) 2 2 2 ( 1) 1 ( 1) ( 1) 2 2 1 ( 1) 1 x x x x x x x x x x dx e d e dx e d e C e e e e e e                      4) Dùng phương pháp đổi biến số, tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) ƒ(x) = 2 3 9 1 x x  b) ƒ(x) = 1 5 4 x  c) ƒ(x) = 2 4 1 x x  d) ƒ(x) =   2 1 1 x x   Hướng dẫn: a)     1 3 3 2 3 1 1 x d x      =       1 1 3 3 3 2 2 6 1 1 6 1 x d x x C          = 3 6 1 x C    b)   1 2 1 5 4 (5 4) 5 x d x     =   1 2 2 5 4 5 x C   = 2 5 4 5 x C   c)     1 2 2 4 1 1 1 2 x d x     =   5 2 4 2 1 5 x C    =   5 2 4 2 1 5 x C    d)     2 2 1 1 x d x     =   1 2 1 x C     = 2 1 C x    5) Dùng phương pháp đổi biến số, tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) ƒ(x) = 2 3 7 3 x x  b)ƒ(x) = cos(3x + 4) c)ƒ(x) = 2 1 cos (3 2) x  d)ƒ(x) = 5 sin cos 3 3 x x  Hướng dẫn: a) 2 3 7 3 x x dx   =   2 2 1 7 3 7 3 2 x d x     =   3 2 2 7 3 3 x C    =   2 2 3 1 7 3 3 x C    b) cos(3 4) x dx   = 1 cos(3 4) (3 4) 3 x d x    = sin(3 4) 3 x C   c) 2 1 cos (3 2) dx x   = 2 1 1 (3 2) 3 cos (3 2) d x x    = tan(3 2) 3 x C   THPT Tân Bình – Bình Dương. T T Í Í C C H H P P H H Â Â N N 1 1 2 2 . . Gv: L L ê ê H H à à n n h h P P h h á á p p . . Trang 5 d) 5 sin cos 3 3 x x dx  = 5 3 sin sin 3 3 x x d        = 6 1 sin 2 3 x C  6) Sử dụng phương pháp từng phần, hãy tính: a) ln(1 ) x x dx   b) 2 ( 2 1) x x x e dx    c) sin(2 1) x x dx   d) (1 )cos x xdx    Hướng dẫn: a) 2 2 1 1 ( 1)ln(1 ) ( 1) 2 4 x x x C      ; b) 2 ( 1) x e x C   ; c) 1 1 cos(2 1) sin(2 1) 2 4 x x x C      ; d) (1 ) (sin ) x d x   = (1 )sin sin x x xdx    = (1 )sin cos x x x C    7) Dùng phương pháp từng phần, tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) ƒ(x) = 3 x x e b)ƒ(x) = 3 9 x e  c)ƒ(x) = 2 cos2 x x d)ƒ(x) = ln x x .  Hướng dẫn: a) 3 x x e dx  =   3 x x d e  = 3 2 3 x x x e x e dx   =   3 2 3 x x x e x d e   = 3 2 3 6 x x x x e x e xe dx    =   3 2 3 6 x x x x e x e xd e    = 3 2 3 6 6 x x x x x e x e xe e dx     =   3 2 3 6 6 x e x x x C     b) 3 9x e dx   =     3 9 2 3 9 3 9 3 x x e d x     =     3 9 2 3 9 3 x x d e    =     3 9 3 9 2 2 3 9 3 9 3 3 x x x e e d x       =   3 9 3 9 2 2 3 9 3 3 x x x e e C      =   3 9 2 3 9 1 3 x e x C     c) 2 cos2 x xdx  =   2 1 sin 2 2 x d x  = 2 1 sin 2 sin 2 2 x x x xdx   =   2 1 1 sin 2 cos2 2 2 x x xd x   = 2 1 1 1 sin 2 cos2 cos2 (2 ) 2 2 4 x x x x xd x    = 2 1 1 1 sin 2 cos2 sin 2 2 2 4 x x x x x C    d) ln x xdx  =   2 ln x xd x  = 3 2 ln 2 (ln 1) x x x x dx    = 3 2 ln 2 ln 2 x x x xdx xdx      3 ln x xdx  = 3 2 ln 2 x x xdx    ln x xdx  = 3 3 2 ln 4 3 9 x x x C   8) Tìm nguyên hàm: a) 1 1 1 1 1 1 1 ( 1) 1 ( 1) 1 2 2 3 3 1 1 dx x dx x dx x x x x C x x                        b) 1 1 2 ln ( 3)( 2) 5 2 3 5 3 dx dx dx x C x x x x x                    c) 2 3 3 3 3 12 9 12ln 4 9ln 1 5 4 ( 1)( 4) 4 1 xdx x dx dx dx x x C x x x x x x                     d) 2 2 2 ( 2) 1 1 1 [ ] ( 2) 2 ( 2) 2 ( 2) ( 2) dx x x dx dx x x x x x x x             = 1 1 ln 4 2 2( 2) x C x x     e) 2 3 2 ( 1) x x dx   = 2 3 2 ( 1) ( 1) x d x    = 2 4 ( 1) 4 x C   f) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 ( ) ( ) ln ( 1) ( 1) 2 1 2 1 dx xdx x d x C x x x x x x x             g) 2 1 x xe dx   = 2 1 2 1 (1 ) 2 x e d x    = 2 1 2 x e  + C h) sin 2 x x dx  = 2 cos 2 x xd         = 2 .cos 2 cos 2 2 x x x dx    = 2 cos 4sin 2 2 x x x C    i) 3 ln(2 ) x x dx  =   4 1 ln(2 ) 4 x d x   4 3 ln(2 ) 1 4 4 x x x dx   = 4 4 ln(2 ) 4 16 x x x C   THPT Tân Bình – Bình Dương. T T Í Í C C H H P P H H Â Â N N 1 1 2 2 . . Gv: L L ê ê H H à à n n h h P P h h á á p p . . Trang 6 § § 2 2 . . T T Í Í C C H H P P H H Â Â N N . . 1) KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN: a) Định nghĩa: Cho hàm số ƒ(x) liên tục trên K và a, b là hai số bất kỳ thuộc K. Nếu F(x) là một nguyên hàm của ƒ(x) trên K thì hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số ƒ(x) hay tích phân xác định trên đoạn [a; b] của hàm số (x), ký hiệu ( ) ( ) ( ) ( ) b b a a f x dx F x F b F a     .   1 Vd 3 3 2 2 2 1 1 3 1 4 2 2 2 x I xdx       . b) Tính chất của tích phân: Giả sử hàm số ƒ(x), g(x) liên tục trên K và a, b, c K. Khi đó: ( ) a a f x dx  = 0   ( ) ( ) b a f x g x dx   = ( ) b a f x dx   ( ) b a g x dx  ( ) b a f x dx  = – ( ) a b f x dx  ( ) b a kf x dx  = ( ) b a k f x dx  ( ) b a f x dx  + ( ) c b f x dx  = ( ) c a f x dx  ( ) b a f x dx  = ( ) b a f t dt  = ( ) b a f u du  . . .   2 Vd 2 0 1 1 dx x   . Ta có hàm số y = 1 1 x  không xác định tại x = 1   0;2  suy ra hàm số không liên tục trên   0;2 do đó tích phân trên không tồn tại.   3 Vd 2 0 |1 | x dx   = 1 2 0 1 (1 ) (1 ) x dx x dx      = 1 2 2 2 0 1 1 1 (1 ) (1 ) 2 2 x x     = 1   4 Vd ln2 2 1 0 1 x x e dx e    = ln2 ln2 1 0 0 x x e dx e dx      = ln2 ln 2 1 0 0 x x e e    = 1 2 1 2 e e    = 1 2 e    5 Vd 2 2 0 sin 2 cos x xdx   = 2 0 1 sin 2 (1 cos2 ) 2 x x dx    = 2 2 0 0 1 1 sin 2 sin 4 2 4 xdx xdx      = 2 2 0 0 cos2 cos4 4 16 x x     = 0 2) PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN: a) Phương pháp đổi biến số:  Dạng 1: I =   ( ) . ( ) b a f u x u x dx    Bước 1: Đặt ( ) '( ) t u x dt u x dx     Bước 2: Đổi cận: ( ) ( ) x b t u b x a t u a       Bước 3: Chuyển tích phân đã cho theo biến t, ta được   ( ) ( ) ( ) . '( ) ( ) u b b a u a I f u x u x dx f t dt       1 Vd Tính I =   1 3 3 4 0 1 x x dx   . Đặt 4 3 1 4 t x dt x dx     . Đổi cận: 1 2 0 1 x t x t      . Do đó I = 2 2 3 4 1 1 1 1 15 4 16 16 t dt t      2 Vd Tính I = 3 3 2 0 1 x dx x   . Đặt 2 2 2 2 1 ( 1). 1 vaø x t x dt dx x t x        Đổi cận: 2 3 1 0 t x t x      . Do đó I = 2 2 3 2 1 1 4 ( 1) 3 3 t t dt t            THPT Tân Bình – Bình Dương. T T Í Í C C H H P P H H Â Â N N 1 1 2 2 . . Gv: L L ê ê H H à à n n h h P P h h á á p p . . Trang 7   3 Vd Tính I = 1 0 (1 ) 1 x x e x dx xe    . Đặt t = 1+ x x e  dt = ( x e + x x e )dx. Đổi cận: 1 1 0 1 x t e x t       . Do đó I = 1 1 1 1 ln e e dt t t      ln(1 + e).   4 Vd Tính I = 2 0 cos 1 sin x dx x    . Đặt t = sinx  dt = cosxdx. Đổi cận: 2 1 0 0 x t x t       . Do đó I = 1 1 0 0 ln 1 ln2 1 dt t t      .  Phương pháp đổi biến số dạng 2: ( ) b a I f x dx    Bước 1: Đặt ( ) '( ) x t dx t dt       Bước 2: Đổi cận: x b t x a t         Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t, ta được   ( ) ( ) '( ) b a I f x dx f t t dt           1 Vd Tính I = 1 2 0 1 x dx   . Đặt x = sint  dx = costdt và 2 2 1 1 sin cos x t t     Đổi cận: 1 2 0 0 x t x t       . Do đó I =   2 2 2 2 0 0 0 1 1 sin 2 cos 1 cos2 2 2 2 4 t tdt t dt t                  .   2 Vd Tính I = 1 2 2 0 1 dx x   . Đặt x = sint  dx = costdt. Đổi cận: 1 6 2 0 0 tx x t       . Do đó I = 6 0 dt   = 6    3 Vd Tính I = 1 2 0 1 1 dx x  . Đặt x = tant  dx = 2 cos dt t và 2 2 1 cos 1 tan t t   Đổi cận: 1 4 0 0 x t x t       . Do đó I = 2 4 4 4 2 0 0 0 cos cos 4 t dt dt t t          . b) Phương pháp tích phân từng phần:  Công thức: Cho hai hàm số ( ), ( ) u x v x liên tục và có đạo hàm trên đoạn [a; b]. Ta có     uv u v uv uv dx u vdx uv dx      / / / / / /   ( ) b b b a a a d uv vdu udv d uv vdu udv          b b b b b b a a a a a a uv vdu udv udv uv vdu           . Vậy ( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( ) b b b a a a u x v x dx u x v x v x u x dx     hay b b b a a a udv uv vdu      Dạng đặc biệt:  Dạng 1: ( ) k ax b i P x e dx   , ta đặt ( ) ax b u P x dv e dx        Dạng 2: ( )sin( ) k i P x ax b dx   , ta đặt ( ) sin( ) u P x dv ax b dx       THPT Tân Bình – Bình Dương. T T Í Í C C H H P P H H Â Â N N 1 1 2 2 . . Gv: L L ê ê H H à à n n h h P P h h á á p p . . Trang 8  Dạng 3: ( )cos( ) k i P x ax b dx   , ta đặt ( ) cos( ) u P x dv ax b dx        Dạng 4: ( )ln ( ) k n i P x Q x dx  , ta đặt ln ( ) ( ) n u Q x dv P x dx        1 Vd 1 0 x I xe dx   . Đặt x x u x du dx dv e dx v e            . Do đó I = 1 1 1 0 0 0 ( 1) 1 x x x xe e dx x e      .   2 Vd 1 ln e I x xdx   . Đặt 2 ln 2 dx du u x x dv xdx x v                . Do đó I = 2 2 1 1 1 1 ln 2 2 4 e e x e x xdx     .   3 Vd 2 0 sin x I e xdx    . Đặt sin cos x x u x du xdx dv e dx v e            . Do đó I = 2 2 2 0 0 sin cos x x e x e xdx e J        . Tính J: Đặt cos sin x x u x du xdx dv e dx v e             2 2 2 0 0 0 cos cos sin 1 x x x J e xdx e x e xdx I             Vậy 2 2 1 ( 1 ) 2 e I e I I          . B B À À I I T T Ậ Ậ P P . . 1) Tính các tích phân sau: a) 1 2 2 3 1 2 (1 ) x dx    b) 2 0 sin 4 x dx           c) 2 1 2 1 ( 1) dx x x  d) 2 2 0 ( 1) x x dx   e) 2 2 1 2 1 3 ( 1) x dx x    f) 2 2 sin3 cos5 x xdx      Hướng dẫn: a) I =   1 5 2 3 1 2 3 1 5 x    = 5 5 3 5 3 3 3 3 3 5 3 1 3 3 3 3 1 3 3 9 1 5 2 5 2 5 10 4 2                                   b) I = 2 0 cos 4 x          = 2 2 2 2  = 0 c) 2 2 1 1 2 2 1 1 1 dx dx x x     = 2 2 1 1 2 2 1 3 ln ln( 1) ln 2 ln ln3 ln ln 2 2 2 x x       d) 2 2 2 3 2 0 0 0 2 x dx x dx xdx      = 2 2 2 4 3 2 0 0 0 1 2 1 4 3 2 x x x   = 34 3 e) 2 2 2 2 1 3 3 3 4 4 3 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 1 x x x x x x x             . Do đó I = 2 2 1 2 1/2 4 3ln( 1) 1 x x     = 4 3ln 2 3  f) /2 /2 1 (sin8 sin 2 ) 2 x x dx      = 2 2 2 2 1 1 cos8 cos2 16 4 x x        = 0 2) Tính các tích phân sau: THPT Tân Bình – Bình Dương. T T Í Í C C H H P P H H Â Â N N 1 1 2 2 . . Gv: L L ê ê H H à à n n h h P P h h á á p p . . Trang 9 a) 2 0 |1 | x dx   b) 2 2 0 sin xdx   c) ln2 2 1 0 1 x x e dx e    d) 2 2 0 sin 2 cos x xdx    Hướng dẫn: a) 1 2 0 1 (1 ) (1 ) x dx x dx      = 1 2 2 2 0 1 1 1 (1 ) (1 ) 2 2 x x     = 1 b) 2 0 1 (1 cos2 ) 2 x dx    = 2 2 0 0 1 1 sin 2 2 4 x x    = 4  c) ln2 ln2 1 0 0 x x e dx e dx      = ln2 ln2 1 0 0 x x e e    = 1 2 1 2 e e    = 1 2 e  d) 2 0 1 sin 2 (1 cos2 ) 2 x x dx    = 2 2 0 0 1 1 sin 2 sin4 2 4 xdx xdx      = 2 2 0 0 cos2 cos4 4 16 x x     = 0 3) Dùng phương pháp đổi biến số tính các tích phân sau: a) 1 0 1 d x x   b) 4 2 0 tan cos x dx x   c)   1 3 3 4 0 1 t t dx   d) 1 2 2 0 5 ( 4) x dx x   e) 3 2 0 4 1 x dx x   f) 6 0 (1 cos3 )sin3 x xdx     Hướng dẫn: a)     1 1 2 0 1 1 dx x    =   1 3 2 0 2 1 3 x  =   2 2 2 1 3  ; b) 4 0 tan (tan ) xd x   = 4 2 0 1 tan 2 x  = 1 2 c)     1 3 4 4 0 1 1 1 4 t d t    =   1 4 4 0 1 1 16 t = 15 16 ; d) 1 2 2 2 0 5 ( 4) ( 4) 2 x d x     =   1 2 0 5 2 4 x   = 1 8 e)     3 1 2 2 2 0 2 1 1 x d x     = 3 2 0 4 1 x  = 4 f) 6 0 1 (1 cos3 ) (1 cos3 ) 3 x d x     = 6 0 1 (1 cos3 ) 6 x   = 1 6 4) Sử dụng phương pháp đổi biến số, hãy tính: a)   3 2 3 0 2 1 x dx x  b) 1 2 0 1 x dx   c) 1 0 (1 ) 1 x x e x dx xe    d) 2 2 2 0 1 a dx a x   Hướng dẫn: a) I =     3 3 2 2 3 3 0 0 2 1 1 x x dx dx x x      . Đặt 1 2 1 dx t x dt x      và 2 2 2 ( 1) x t   . Đổi cận 3 2 0 1 x t x t      . Do đó I = 2 2 2 2 2 3 2 3 2 1 1 1 ( 1) 2 1 1 5 2 2 2 2 3 3 t tdt t t dt t t t t                       b) /4 c) Đặt u = 1+ x x e  du = ( x e + x x e )dx. Do đó 1 1 1 1 0 1 (1 ) 1 ln 1 e x e x e x dx du u xe u          ln(1 + e) d) Đặt x = asint  dx = acostdt và 2 2 2 sin a a t  = acost với t[0; 6  ]. Do đó 6 2 2 2 0 0 1 6 a dx dt a x        5) Sử dụng phương pháp tích phân từng phần, hãy tính: THPT Tân Bình – Bình Dương. T T Í Í C C H H P P H H Â Â N N 1 1 2 2 . . Gv: L L ê ê H H à à n n h h P P h h á á p p . . Trang 10 a) /2 0 ( 1)sin x xdx    b) 2 1 ln e x xdx  c) 1 0 ln(1 ) x dx   d) 1 2 0 ( 2 1) x x x e dx      Hướng dẫn: a) 2 0 ( 1) (cos ) x d x     = 2 2 2 2 0 0 0 0 ( 1)cos cos ( 1)cos sin x x xdx x x x             = 1+ 1 = 2 b) 3 1 1 ln ( ) 3 e xd x  = 3 2 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 ln ln 3 3 3 9 e e e e x x x dx x x x     = 3 3 2 1 1 (2 1) 9 9 9 e e    c) 1 1 1 0 0 0 ln(1 ) ln(1 ) 1 x x dx x x dx x        = 1 1 1 0 0 0 ln(1 ) ln(1 ) x x x x     = 2ln2 – 1 d) 1 2 0 ( 2 1) ( ) x x x d e       1 1 2 0 0 ( 2 1) 2 ( 1) 2 x x x e x x e x e dx           = –1 6) Dùng phương pháp tính tích phân từng phần tính các tích phân sau: a) 2 5 1 ln x xdx  b) 1 0 ( 1) x x e dx   c) 0 cos x e xdx   d) 2 0 cos x xdx    Hướng dẫn: a)   2 6 1 1 ln 6 xd x  = 2 2 6 5 1 1 1 1 ln 6 6 x x x dx   = 2 2 6 6 1 1 1 1 ln 6 36 x x x  = 32 3 ln2 – 7 4 b)   1 0 ( 1) x x d e   = 1 1 0 0 ( 1) ( 1) x x x e e d x     = 1 1 0 0 ( 1) x x x e e   = e c)   0 cos x xd e   = 0 0 cos (cos ) x x e x e d x     = 0 0 cos sin x x e x e xdx     =   0 0 cos sin x x e x xd e     = 0 0 0 cos sin cos x x x e x e x e xdx       = 0 1 cos x e e xdx        0 cos x e xdx   = 1 2 e    d)   2 2 2 0 0 0 sin sin sin xd x x x xdx        = 2 2 0 0 sin cos x x x    = 2  – 1 7) Tính 1 5 0 (1 ) x x dx   bằng hai phương pháp: a) Đổi biến số u = 1 – x; b) Tính tích phân từng phần.  Hướng dẫn: a) 0 5 1 (1 ) u u du    = 1 1 5 6 0 0 u du u du    = 1 6 7 0 1 1 6 7 u u        = 1 42 b) 1 6 0 1 (1 ) 6 xd x    = 1 1 1 1 6 6 6 7 0 0 0 0 1 1 1 1 (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) 6 6 6 42 x x x d x x x x            = 1 42 8) Tính a)   1 5 4 0 2 2 5 t t t dt    b) 2 0 sin cos x x xdx    Hướng dẫn: a)     1 1 5 5 2 0 2 2 t t d t t    =   1 3 5 0 2 2 3 t t  = 2 3 b)   2 2 2 0 0 0 1 1 1 cos2 cos2 cos2 2 4 4 8 xd x x x xd x          = 2 2 0 0 1 1 cos2 sin 2 4 8 x x x     = 8  [...]... Trang 11 THPT Tân Bình – Bình Dương TÍCH PHÂN 12 §3 ỨN G DỤNG TÍCH PHÂN I> DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG: 1) Diện tích hình thang cong: a) Định nghĩa: Hàm số y = ƒ(x) liên tục trên đoạn [a; b], hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = ƒ(x) và các đường y = 0 (trục hồnh Ox), x = a, x = b được gọi là hình thang cong (H) có diện tích b là: S ( H )   f ( x) dx a b) Phương pháp giải tốn:  y  f ( x) y  0 ... Trang 27 THPT Tân Bình – Bình Dương TÍCH PHÂN 12 2 6) (Đề thi TN.THPT năm 2007 Phân ban) Tính tích phân I = 2 xdx  x2  1 1  Hướng dẫn: Đặt t = xdx x 2  1  dt  x2  1 x2 t 5  x 1 t 2 Đổi cận: 5 Do đó I = 2  dt  2t 5 2  2( 5  2) 2 7) (Đề thi TN.THPT năm 2007 Phân ban lần 2) Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = sinx,  y = 0, x = Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi... 16) Cho hình phẳng B giới hạn bởi các đường x  2sin 2 y , x = 0 và y = 0 và y =  Tính thể tích của 2 khối tròn xoay tạo thành khi quay hình B quanh trục tung  2  Hướng dẫn: V    2sin 2 ydy  2 0 Gv: Lê Hành Pháp Trang 17 THPT Tân Bình – Bình Dương TÍCH PHÂN 12 ƠN TẬP & K IỂM TRA CHƯƠNG A TÍNH TÍCH PHÂN: 1 1) 1 1 1 dx dx ( x  1)1 1 1    ( x  1)2 dx     x 2  2 x  1 0 ( x  1)... S2 diện tích tam giác cong ACD 2  3 2 3 9 9 9 và BCD Ta có: S1   (4 x  3  x 2  4 x  3)dx  , S 2   (2 x  6  x 2  4 x  3)dx  Do đó S  8 8 4 3 0 2 Gv: Lê Hành Pháp Trang 26 THPT Tân Bình – Bình Dương TÍCH PHÂN 12 CÁC ĐỀ THI TỐ T N GHIỆP THPT 2 x 2  10 x  12 , y = 0 x2 2 x 2  10 x  12  Hướng dẫn: Phương trình hồnh độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y = x2 2 2 2 x  10 x  12 2 x...  3, x  1, x  1 1 Diện tích S( H )  x 3  3 x 2  x  3 dx Theo bảng xét dấu: 3 1 S( H )   x 1 3 3  3 x 2  x  3 dx    x3  3x 2  x  3  dx  4  4  8 (đvdt) 1 2) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường: Gv: Lê Hành Pháp Trang 12 THPT Tân Bình – Bình Dương TÍCH PHÂN 12 a) Định nghĩa:  Hàm số y = ƒ(x) và y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b], diện tích S của hình phẳng (H) giới... = 0  x = 0  2   2 12  1 2  Do đó V =   sin 2 xdx    (1  cos 2 x)dx   x  sin 2 x   (đvtt) 20 2 2 4 0 0 e 8) (Đề thi TN.THPT năm 2007 Khơng phân ban) Tính tích phân I = ln 2 x  x dx 1 1 1 xe t 1 dx 1 1  Hướng dẫn: Đặt t = lnx  dt = Đổi cận: Do đó I =  t 2 dt  t 3   x 1 t 0 x 3 0 3 0 1 9) (Đề thi TN.THPT năm 2007 Khơng phân ban lần 2) Tính tích phân I =  Hướng dẫn:... diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y  x , y  x  và trục hồnh (y = 0) 2 2 2 Giải: Theo biến y, phương trình tung độ giao điểm của hai đồ thị là y  2 y  3 ( y  0)  y  3 4 2 3 Diện tích S ( H )   y 2  2 y  3 dy Theo bảng xét dấu: 0 3 3 S( H )  y3      y  2 y  3 dy     y 2  3 x   9 (đvdt) 3 0 0 Gv: Lê Hành Pháp 2 Trang 13 THPT Tân Bình – Bình Dương TÍCH PHÂN 12 II>...    và S 2   (1  x)dx = 4 4  12  0 3 0 0 1  x2  1  x    Ta có S  S1  S 2 = 5/6 2 0 2  Gv: Lê Hành Pháp Trang 16 THPT Tân Bình – Bình Dương TÍCH PHÂN 12 b) Trong khoảng (0; 1), ta có 1 x 4 – 4 x 2 + 4 – x 2 > 0 Do đó S =  x 2 4  5 x 2  4  dx  0 2 0 c) (Hình) S  x 2  4 x  4  dx    x 2  4 x  4  dx = 0 38 15 16 3 12) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: a) Đồ thị... I = x0 t 1 2  1 dt  ln t t 2 1  ln 2 1 10) (Đề thi TN.THPT năm 2008 Phân ban) Tính tích phân I = 2 3 4  x (1  x ) dx 1  Hướng dẫn: Đặt t = 1 – x3  dt = –3 x 2 dx Đổi cận: 0 x 1 t0  x  1 t  2 2 2 1 1 t5 32 Do đó I =   t 4 dt   t 4 dt   32 30 15 0 15 1 11) (Đề thi TN.THPT năm 2008 Khơng phân ban) Tính tích phân I =  (1  e x ) xdx 0 1  Hướng dẫn: I = 2 1 1 x  xdx   xe dx... Dương TÍCH PHÂN 12 1 1 1  x5 x 4 x3  1  Hướng dẫn: I =  x ( x  2 x  1)dx =  ( x  2 x  x )dx =       5 2 3  0 30 0 0 2 2 4 3 e 14) (Đề thi TN.THPT năm 2011) Tính tích phân I   1 2 4  5lnx dx x 3 3  Hướng dẫn: Đặt t = 4  5 ln x  t 2 = 4 + 5lnx , t(1) = 2, t(e) = 3  I = 2 2 2t 3 38 t dt   5 15 2 15 2 CÁC Đ Ề THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG 15) (Đề thi ĐH năm 2002 – Khối D) Tính diện tích . niệm:  Vi phân hàm số tại một điểm: Tích 0 '( ) f x x  được gọi là vi phân của hàm số (x) tại điểm 0 x và ký hiệu 0 ( ) df x , tức là 0 0 ( ) ( ) df x f x x    .  Vi phân của. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN: a) Định nghĩa: Cho hàm số ƒ(x) liên tục trên K và a, b là hai số bất kỳ thuộc K. Nếu F(x) là một nguyên hàm của ƒ(x) trên K thì hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ. t dt       Bước 2: Đổi cận: x b t x a t         Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t, ta được   ( ) ( ) '( ) b a I f x dx f t t dt       