Tính đơn điều của hàm số

Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai www.vnmath.com GV : Lê Quốc Hoàng – Trường THPT TX Phước Long 1 SỞ GIÁO DỤC – DÀO TẠO TỈNH BÌNH PHƯỚC TRƯỜNG THPT TX PHƯỚC LONG *O* SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: GIẢI BÀI CÁC TOÁN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU,CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ KHI KHÔNG SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ ĐẢO DẤU TAM THỨC BẬC HAI GIÁO VIÊN : LÊ QUỐC HOÀNG ĐƠN VỊ : TRƯỜNG THPT TX PHƯỚC LONG NĂM HỌC : 2010 – 2011 Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai www.vnmath.com GV : Lê Quốc Hoàng – Trường THPT TX Phước Long 2 MỞ ĐẦU 1/Lý do chọn đề tài Như chúng ta đều biết các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số là một trong những bài toán không thể thiếu trong các kì thi Tốt nghiệp THPT và tuyển sinh đại học. Trong đó thường gặp nhiều bài toán “ Tìm điều kiện để hàm số đơn điệu hoặc có cực trị trong khoảng K ”. Khi giải bài toán này sẽ đưa đến vấn đề “tìm điều kiện để y’<0 (y’>0) trên K hoặc phương trình y’= 0 có nghiệm trên K” .Đây thực chất là vấn đề so sánh nghiệm của một phương trình bậc hai với số thực  . Nếu theo chương trình sách giáo khoa cũ lớp 10 thì học sinh có thể vận dụng định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai và các hệ quả của nó để giải bài toán. Tuy nhiên có nhiều bài toán đưa đến việc phải xét nhiều trường hợp do đó lời giải khá dài dòng và phức tạp. Hơn nữa , theo chương trình sách giáo khoa mới của Bộ giáo dục đang phát hành thì phần kiến thức liên quan đến định lí đảo và các hệ quả của nó đã được giảm tải. Do đó chúng ta gặp phải vấn đề “Làm thế nào để giải bài toán trên một cách hiệu quả mà chỉ cần vận dụng các kiến thức được học trình sách giáo khoa hiện hành”. Với suy nghĩ nhằm giúp các em tìm tòi, sáng tạo và hứng thú hơn trong việc học tập môn toán đồng thời nâng cao chất lượng giảng dạy nên tôi viết đề tài sang kiến kinh nghiệm “ Giải các bài toán về tính đơn điệu, cực trị của hàm số khi không sử dụng định lý đảo về dấu tam thức bậc hai” 2/Nội dung sáng kiến A.Mở đầu B.Nội dung đề tài I.Cơ sở lý thuyết – Ví dụ minh họa II.Bài tập thực hành C. Kết quả và bài học kinh nghiệm Phước Long, ngày 08 tháng 01 năm 2011. Người viết Lê Quốc Hoàng Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai www.vnmath.com GV : Lê Quốc Hoàng – Trường THPT TX Phước Long 3 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM I.CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.Kiến thức cần nhớ i) Phương trình bậc hai a) Định nghĩa.  Phương trình bậc hai đối với ẩn x ( x R  ) là phương trình có dạng:     2 ax 0 1 0bx c a  b)Cách giải.  Tính 2 4bac   Nếu 0 thì phương trình (1) vô nghiệm.  Nếu 0 thì phương trình (1) có nghiệm kép 12 2 b xx a  .  Nếu 0 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 12 , 22 bb xx aa      c)Định lý Vi-et – Dấu các nghiệm .  Định lý: Nếu phương trình bậc hai ẩn x R  :     2 ax 0 1 0bx c a  có hai nghiệm 12 , x x thì 12 12 ,. bc Sxx Pxx aa     .  Dấu các nghiệm:  Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu 0P   .  Phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu 0 0P       .  Phương trình (1) có hai nghiệm cùng dương 0 0 0 P S         . Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai www.vnmath.com GV : Lê Quốc Hoàng – Trường THPT TX Phước Long 4  Phương trình (1) có hai nghiệm cùng âm 0 0 0 P S         . ii)Điều kiện cần và đủ để hàm số đơn điệu Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.  Điều kiện cần và đủ để hàm số y = f(x) đồng biến trên K là '( ) 0, f xxK đồng thời '( ) 0fx chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc K.  Điều kiện cần và đủ để hàm số y = f(x) nghịch biến trên K là '( ) 0, f xxK đồng thời '( ) 0fx chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc K. iii) Điều kiện cần và đủ để hàm số có cực trị  Định lí 1: Giả sử hàm số y = f(x) đạt cực trị tại x 0 , khi đó nếu f có đạo hàm tại x 0 thì 0 '( ) 0fx  Định lí 2: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a;b) chứa x 0 và có đạo hàm trên các khoảng (a;x 0 ) và (x 0 ;b) klhi đó :  Nếu 0 '( ) 0, ( ; ) f xxax và 0 '( ) 0, ( ; ) f xxxb thì hàm số đạt cực tiểu tại x 0 .  Nếu 0 '( ) 0, ( ; ) f xxax và 0 '( ) 0, ( ; ) f xxxb   thì hàm số đạt cực đại tại x 0 . Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai www.vnmath.com GV : Lê Quốc Hoàng – Trường THPT TX Phước Long 5 2. Phương pháp giải toán *Bài toán 1: Cho hàm số : y = ax 3 + bx 2 + cx + d (1) (a  0) Tìm điều kiện để hàm số (1) : a) Đồng biến trên ( ; )   . b) Đồng biến trên ( ; )   . c) Đồng biến trên ( ; )   . Lời giải thường gặp Lời giải đề nghị Txđ: D = R 2 '()3 2 y f x ax bx c a)Hàm số (1) đồng biến trong khoảng ( ; )   () 0, ( ; )fx x   0 0 0 0 () 0 20 a a f S                             Txđ: D = R 2 '()3 2 y f x ax bx c   TH1: Nếu bpt: ( ) 0 ( ) ( ) ( ) f xhmgxi  a)Hàm số(1) đồng biến trong khoảng ( ; )   () (), ( ;)hm g x x    (;] () ()hm Maxgx     b)Hàm số (1) đồng biến trong khoảng ( ; )    () (), (; )hm gx x    [; ) () ()hm Maxgx     c) Hàm số (1) đồng biến trong khoảng ( ; )   () (), (;)hm g x x     [;] () ()hm Maxgx    Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai www.vnmath.com GV : Lê Quốc Hoàng – Trường THPT TX Phước Long 6 b) Hàm số (1) đồng biến trong khoảng ( ; )   () 0, (; )fx x   0 0 0 0 () 0 20 a a f S                             c) Hàm số(1) đồng biến trong khoảng (; )   () 0, (; )fx x    0 0 0 () 0 20 () 0 20 0 0 () 0 () 0 a a f S f S a f f                                                                     TH2 : Nếu bpt: ( ) 0fx không đưa được về dạng (i) thì ta đặt : t = x -  Khi đó ta có: 22 '()3 2(3 )3 2 y gt at abta bc     . a)Hàm số (1) đồng biến trong khoảng ( ; )   () 0, 0.gt t   0 0 0 0 0 0 a a S P                              b)Hàm số (1) đồng biến trong khoảng ( ; )    () 0, 0gt t   0 0 0 0 0 0 a a S P                              Nhận xét: Khi nhìn vào bài toán nhiều người sẽ nghĩ ngay đến việc sử dụng định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai và các hệ quả của nó. Nhưng với cách làm như trên ta đã hướng dẫn học sinh giải quyết bài toán một cách dễ dàng bằng cách ứng dụng đạo hàm hoặc sử dụng định lý Viet, tránh sử dụng các kiến thức đã được giảm tải trong sách giáo khoa. * Ví dụ 1: Cho hàm số : y =  32 1 1213211 3 mx mx mx    (1) (1)m  Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai www.vnmath.com GV : Lê Quốc Hoàng – Trường THPT TX Phước Long 7 Tìm các giá trị của m để hàm số: a) Đồng biến trên khoảng (;1)  . b) Đồng biến trên khoảng (1; )   . c) Đồng biến trên khoảng (1;1) . Lời giải thường gặp Lời giải đề nghị Txđ: D = R 2 '() (1) 2(21) 3(21) yfx mx mx m     a)Hàm số (1) đồng biến trong khoảng (;1)  () 0, ( ; 1)fx x 0 '0 0 '0 (1) 0 2( 1) 0 a a f S                           2 2 10 2740 10 2740 11 4 0 0 1 m mm m mm m m m                               1 2 41 11 2 m m          4 11 m   Kết luận : 4 11 m  thì hàm số (1) đồng biến trong khoảng ( ; 1)  Txđ: D = R 2 '() (1) 2(21) 3(21) yfx mx mx m     Ta có: '0 ()0.yfx  2 (1) 2(21) 3(21)0.mx mx m     2 2 23 . 46 xx m x x      Đặt : 2 2 23 () . 46 xx gx x x      2 22 618 '( ) . (46) x gx xx    a)Hàm số(1) đồng biến trong khoảng (;1)   '0, (1; )yx   (), ( ;1)mgx x   (;1] ()mMaxgx     Xét : (), ( ;1]ygx x   Ta có bảng biến thiên: x   -1 g’(x) + g(x) 4 11 -1 Từ bảng biến thiên ta được : 4 11 m  Kết luận : 4 11 m  thì hàm số (1) đồng Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai www.vnmath.com GV : Lê Quốc Hoàng – Trường THPT TX Phước Long 8 biến trong khoảng ( ; 1)   b)Hàm số đồng biến trong khoảng (1; )  () 0, (1; ).fx x 0 '0 0 '0 (1) 0 2.1 0 a a f S                           2 2 10 2740 10 2740 30 2 0 1 m mm m mm m m m                                1 2 1 0 2 m m          0m Kết luận : 0m  thì hàm số (1) đồng biến trong khoảng (1; ) b)Hàm số đồng biến trong khoảng (1; )   '0, (1; )yx   (), (1; )mgx x   [1; ) ()mMaxgx    Xét : (), [1; )ygx x    Ta có bảng biến thiên: x 1 3   g’(x) - 0 + g(x) 0 -1 -4 Từ bảng biến thiên ta được : 0m  Kết luận : 0m  thì hàm số (1) đồng biến trong khoảng (1; )   c)Hàm số đồng biến trong khoảng ( 1;1)  () 0, (1;1)fx x c)Hàm số đồng biến trong khoảng ( 1;1) '0, (1;1)yx   (), (1;1)mgx x   [1;1] ()mMaxgx    Xét : (), [1;1].ygx x   Ta có bảng biến thiên: x -1 0 1 Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai www.vnmath.com GV : Lê Quốc Hoàng – Trường THPT TX Phước Long 9 0 '0 0 (1) 0 2( 1) 0 (1) 0 2.1 0 '0 0 (1) 0 (1) 0 a a f S f S a f f                                                               2 2 10 2740 2740 30 2 0 1 11 4 0 0 1 10 10 30 11 4 0 m mm mm m m m m m m m m m m                                                                           1 2 m  Kết luận : 1 2 m  thì hàm số (1) đồng biến trong khoảng ( 1;1)  g’(x) + 0 - g(x) 1 2 4 11 0 Từ bảng biến thiên ta được : 1 2 m  Kết luận : 1 2 m  thì hàm số (1) đồng biến trong khoảng ( 1;1)  Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai www.vnmath.com GV : Lê Quốc Hoàng – Trường THPT TX Phước Long 10 Nhận xét: Với bài toán này nếu sử dụng định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai thì ta đã phải sử dụng kiến thức đã được giảm tải hơn nữa lời giải khá phức tạp, với cách giải quyết như trên ta có được lời giải khá ngắn gọn và dễ hiểu sẽ tạo được nhiều hứng thú cho học sinh. *Bài toán 2: Cho hàm số : y = ax 3 + bx 2 + cx + d (1) (a  0) a)Tìm điều kiện để hàm số (1) nghịch biến trên ( ; )    . b)Tìm điều kiện để hàm số (1) nghịch biến trên ( ; )    . c)Tìm điều kiện để hàm số (1) nghịch biến trên (; )   . Lời giải thường gặp Lời giải đề nghị Txđ: D = R 2 '()3 2 y f x ax bx c a)Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng (;)   () 0, ( ; )fx x   0 0 0 0 () 0 20 a a f S                             Txđ: D = R 2 '()3 2 y f x ax bx c   TH1: Nếu bpt: () 0 () ( ) () f xgxhmi   a)Hàm số(1) nghịch biến trong khoảng (;)    () (), ( ;)hm g x x    (;] () ()hm Maxg x     b)Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng (; )    () (), (; )hm gx x    [; ) () ()hm Maxg x     c) Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng ( ; )   [...]...  mx  m  8 Bài 3: Cho hàm số: y  (2) x 1 a)Tìm điều kiện để hàm số (2) đồng biến trên (; 1) b)Tìm điều kiện để hàm số (2) đồng biến trên (2; ) c)Tìm điều kiện để hàm số (2) đồng biến trên (1; 2) x 2  2mx  m (2) xm a)Tìm điều kiện để hàm số (2) nghịch biến trên (;1) b)Tìm điều kiện để hàm số (2) nghịch biến trên (1; ) Bài 4: Cho hàm số: y  Bài 5: Cho hàm số : y = 2 x3  3(m  1)... dx  e a)Tìm điều kiện để hàm số (2) đồng biến trên (;  ) *Bài tốn 3: Cho hàm số : y  13 GV : Lê Quốc Hồng – Trường THPT TX Phước Long Giải bài tốn về tính đơn điệu, cực trị khi khơng sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai www.vnmath.com b)Tìm điều kiện để hàm số (2) đồng biến trên ( ; ) c)Tìm điều kiện để hàm số (2) đồng biến... 3 Đặt :  g '( x)  4 x  4 a )Hàm số (2) đồng biến trên (; 1)  y '  0, x  (; 1)  m  Min g ( x) (  ; 1] Ta có bảng biến thiên của hàm số: g ( x), x  (; 1]  x g’(x) g(x) -1  9 Kết luận: Vậy m  9 thì hàm số (2) đồng biến trên (; 1) b )Hàm số (2) đồng biến trên (2; )  y '  0, x  (2; )  m  Min g ( x) [2;  ) Ta có bảng biến thiên của hàm số: g ( x), x  [2; ) 2 x... hầu hết các bài tốn dạng này mà khơng cần sử dụng kiến thức lien quan đến đinh lý dảo về dấu của tam thức bậc hai đã được giảm tải 2 x 2  3x  m *Ví dụ 3: Cho hàm số: y  (2) x 1 a)Tìm điều kiện để hàm số (2) đồng biến trên (; 1) b)Tìm điều kiện để hàm số (2) đồng biến trên (2; ) c)Tìm điều kiện để hàm số (2) đồng biến trên (1; 2) Lời giải thường gặp Lời giải đề nghị ... : y  (2), (a, d  0) dx  e a)Tìm điều kiện để hàm số (2) nghịch biến trên (;  ) b)Tìm điều kiện để hàm số (2) nghịch biến trên ( ; ) c)Tìm điều kiện để hàm số (2) nghịch biến trên ( ;  ) Lời giải thường gặp Lời giải đề nghị 18 GV : Lê Quốc Hồng – Trường THPT TX Phước Long Giải bài tốn về tính đơn điệu, cực trị khi khơng sử dụng... biến thiên của hàm số: g ( x), x  [1; 2] x g’(x) g(x) 1 2 + 3 1 Kết luận: Vậy m  1 thì hàm số (2) đồng biến trên (1; 2) Kết luận: Vậy m  1 thì hàm số (2) đồng biến trên (1; 2) *Nhận xét: Qua bài tốn này thêm một lần nữa giúp chúng ta thấy rõ đối với các bài tốn có thể ứng dụng đạo hàm để giải thì lời giải của bài tốn sẽ ngắn gọn và dễ dàng hơn rất nhiều ax 2  bx  c *Bài tốn 4: Cho hàm số : y ... 1 thì hàm số( 1) có cực trị trong khoảng (1; ) 25 GV : Lê Quốc Hồng – Trường THPT TX Phước Long Giải bài tốn về tính đơn điệu, cực trị khi khơng sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai www.vnmath.com Kết luận:Với m  1 thì hàm số( 1) có cực trị trong khoảng (1; ) c )Hàm số( 1) có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : x1  1  x2 c) Hàm số( 1) có... Lê Quốc Hồng – Trường THPT TX Phước Long Giải bài tốn về tính đơn điệu, cực trị khi khơng sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai www.vnmath.com Kết luận: Khơng có giá trị nào của m thõa mãn u cầu của bài tốn Kết luận: Khơng có giá trị nào của m thõa mãn u cầu của bài tốn e) Hàm số (1) có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : 1  x1  x2 e) Hàm số( 1) có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : 1  x1  x2  f (... x2  1 II BÀI TẬP THỰC HÀNH 1 Bài 1: Cho hàm số : y =  m  2  x3   m  2  x 2   m  8  x  m 2  1 (1) (m  1) 3 Tìm các giá trị của m để hàm số: a) Đồng biến trên khoảng (;1) b) Đồng biến trên khoảng (1; ) c) Đồng biến trên khoảng (1; 2) Bài 2: Cho hàm số : y = 1 2  m  1 x3   m  1 x2  2 x  1 (1) (m  1) 3 Tìm các giá trị của m để hàm số (1): a) Nghịch biến trên khoảng (;1)...  a  0 (iii )      0 S  0   P  0  x 2  2mx  3m 2 *Ví dụ 4: Cho hàm số: y  (2) 2m  x a)Tìm điều kiện để hàm số (2) nghịch biến trên (;1) b)Tìm điều kiện để hàm số (2) nghịch biến trên (1; ) Lời giải thường gặp Txđ : D = R\{2m} f ( x)  x 2  4mx  m 2 y'  2 ( x  2m) ( x  2m) 2 a )Hàm số (2) nghịch biến trên (;1)  y '  0, x  (;1)  2m  1   f ( x)  0, x  . 0 0 0 P S         . ii )Điều kiện cần và đủ để hàm số đơn điệu Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.  Điều kiện cần và đủ để hàm số y = f(x) đồng biến trên K là '(. Cho hàm số : y = ax 3 + bx 2 + cx + d (1) (a  0) a)Tìm điều kiện để hàm số (1) nghịch biến trên ( ; )    . b)Tìm điều kiện để hàm số (1) nghịch biến trên ( ; )    . c)Tìm điều. dảo về dấu của tam thức bậc hai đã được giảm tải *Ví dụ 3: Cho hàm số: 2 23 (2). 1 xxm y x    a)Tìm điều kiện để hàm số (2) đồng biến trên (;1)   . b)Tìm điều kiện để hàm số (2) đồng