1. Trang chủ
  2. » Giáo án - Bài giảng

các pp tính tích phân

27 468 4

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 27
Dung lượng 1,23 MB

Nội dung

Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư viện sách trực tuyến Trang 1 CHUYÊN ðỀ TÍCH PHÂN Bảng công thức tích phân bất ñịnh : ∫ = Cdx0 ∫ += Cxdx 1 1 1 −≠+ + = ∫ + nC n x dxx n n Cxdx x += ∫ ln 1 ∫ += Cedxe xx ∫ = C a a dxa x x ln ∫ +−= Cxxdx cossin ∫ += Cxxdx sincos ∫ += Cxdx x tan cos 1 2 ∫ +−= Cxdx x cot sin 1 2 ∫ += ′ Cxudx xu xu )(ln )( )( ∫ + + − = − C ax ax a dx ax ln 2 11 22 ∫ +++++=+ Caxx a ax x dxax 222 ln 2 2 Phương pháp biến số phụ : Cho hàm số )(xf liên tục trên ñoạn [ ] ba; có nguyên hàm là )(xF . Giả sử )(xu là hàm số có ñạo hàm và liên tục trên ñoạn [ ] βα , và có miền giá trị là [ ] ba; thì ta có : [ ] [ ] CxuxFdxxuxuf += ∫ )()()('.)( BÀI TẬP Tính các tích phân sau : a) ∫ + = 1 0 2 1 1x xdx I b) ∫ − = 1 0 2 1 x x e dxe I c) ∫ + = e x dxx I 1 3 ln1 Bài làm : a) ðặt 2 21 2 dt xdxxdxdtxt =⇒=⇒+= ðổi cận :    =→= =→= 21 10 tx tx Vậy : 2ln 2 1 ln 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 === + = ∫ ∫ t t dt x xdx I b) ðặt dxedtet xx =⇒−= 1 Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư viện sách trực tuyến Trang 2 ðổi cận :    −=→= −=→= 12 11 2 etx etx Vậy : )1ln(ln 1 1 1 1 1 1 0 2 2 2 +=== − = − − − − ∫∫ et t dt e dxe I e e e e x x c) ðặt dx x tdtxt 1 ln1 =⇒+= ðổi cận :    =→= =→= 2 11 tex tx Tích phân lượng giác : Dạng 1 : ∫ = β α nxdxmxI cos.sin Cách làm: biến ñổi tích sang tổng . Dạng 2 : ∫ = β α dxxxI nm .cos.sin Cách làm : Nếu n m , chẵn . ðặt x t tan = Nếu m chẵn n lẻ . ðặt xt sin = (trường hợp còn lại thì ngược lại) Dạng 3 : ∫ ++ = β α cxbxa dx I cos.sin. Cách làm : ðặt :        + − = + = ⇒= 2 2 2 1 1 cos 1 2 sin 2 tan t t x t t x x t Dạng 4 : ∫ + + = β α dx xdxc xbxa I . cos.sin. cos.sin. Cách làm : ðặt : x d x c xdxcB A x d x c xbxa cos . sin . )sin.cos.( cos . sin . cos.sin. + − += + + Sau ñó dùng ñồng nhất thức . Dạng 5: ∫ ++ ++ = β α dx nxdxc mxbxa I . cos.sin. cos.sin. Cách làm : )122( 3 2 3 2ln1 2 1 2 1 2 3 1 3 −=== + = ∫∫ tdtt x dxx I e Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư viện sách trực tuyến Trang 3 ðặt : n x d x c C n x d x c xdxcB A n x d x c mxbxa ++ + ++ − += ++ + + cos . sin . cos . sin . )sin.cos.( cos . sin . cos.sin. Sau ñó dùng ñồng nhất thức. BÀI TẬP Tính tích phân : a) ∫ + = 2 0 4 1 )1(sin cos π x xdx I b) ∫ = 2 0 5 2 cos π xdxI c) ∫ = 4 0 6 3 tan π xdxI Bài làm : a) ðặt : xdxdtxt cos1sin = ⇒ + = ðổi cận :      =→= =→= 2 2 10 tx tx π Vậy : 24 7 3 1 )1(sin cos 2 1 3 2 1 4 2 0 4 1 =−== + = ∫∫ tt dt x xdx I π b) ðặt : xdxdtxt cossin = ⇒ = ðổi cận :      =→= =→= 1 2 00 tx tx π Vậy : ( ) ( ) 15 8 3 2 5 211cos 1 0 1 0 3 5 1 0 1 0 24 2 2 2 0 5 2 =         +−= −+=−== ∫ ∫ ∫∫ tt t dtttdttxdxI π c) ðặt : dxxdtxt )1(tantan 2 +=⇒= ðổi cận :      =→= =→= 1 4 00 tx tx π Vậy : 415 13 35 1 1 1 1 tan 4 0 1 0 35 1 0 1 0 2 24 2 6 4 0 6 3 π π π −=−         +−=       + −+−= + == ∫ ∫ ∫∫ dut tt dt t tt t dtt xdxI Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư viện sách trực tuyến Trang 4 Tính các tích phân sau : a) ∫ + = 2 0 2222 1 cos.sin. cos.sin π dx xbxa xx I b) ∫ + = 3 0 2 2cos2 cos π dx x x I Bài làm : a) ðặt : xdxxabdtxbxat cos.sin)(2cos.sin. 222222 +−=⇒+= ðổi cận :      =→= =→= 2 2 2 0 btx atx π Nếu ba ≠ Vậy : ( ) ba ab ba t ab t dt ab dx xbxa xx I b a b a + = − − = − = − = + = ∫ ∫ 11 2 1 cos.sin. cos.sin 2222 2 0 22 22 1 2 2 2 2 π Nếu ba = Vậy : a x a xdx a a xdxx dx xbxa xx I 2 1 2cos 4 1 2sin 2 1 cos.sin cos.sin. cos.sin 2 0 2 0 2 0 2 0 2222 1 =−== = + = ∫ ∫∫ π π ππ b) ðặt : xdxdtxt cossin = ⇒ = ðổi cận :      =→= =→= 2 3 3 00 tx tx π Vậy : ∫∫∫ − = − = + = 2 3 0 2 2 3 0 2 3 0 2 2 32 1 23 2cos2 cos t dt t dt dx x x I π ðặt : ududtut sin 2 3 cos 2 3 −=⇒= ðổi cận :        =→= =→= 42 3 2 0 π π ut ut Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư viện sách trực tuyến Trang 5 Vậy : ( ) 242 1 2 1 cos1 2 3 sin 2 3 2 1 2 32 1 2 4 4 4 2 4 2 2 3 0 2 2 π π π π π π π === − = − = ∫ ∫∫ udu u udu t dt I Tính các tích phân sau : a) ∫ ++ = 2 0 1 5cos3sin4 1 π dx xx I b) ∫ ++ ++ = 2 0 2 5cos3sin4 6cos7sin π dx xx xx I Bài làm : a) ðặt : 1 2 1 2 tan 2 tan 2 2 + =⇒       +=⇒= t dt dxdx x dt x t ðổi cận :      =→= =→= 1 2 00 tx tx π Vậy : ( ) 6 1 2 1 1 5 1 1 3 1 2 4 1 2 1 0 1 0 2 1 0 2 2 2 2 1 = + −= + = + + − + + + = ∫∫ t t dt dt t t t t t I b)ðặt : 5 cos 3 sin 4 5 cos 3 sin 4 sin3cos4 5 cos 3 sin 4 6cos7sin ++ + ++ − += ++ + + x x C x x xx BA x x xx Dùng ñồng nhất thức ta ñược: 1,1,1 = = = CBA Vậy : ( ) 6 1 8 9 ln 2 5cos3sin4ln 5cos3sin4 1 5cos3sin4 sin3cos4 1 5cos3sin4 6cos7sin 1 2 0 2 0 2 0 2 ++=++++=       ++ + ++ − += ++ ++ = ∫∫ π π ππ Ixxx dx xxxx xx dx xx xx I Bạn ñọc tự làm : a) ∫ = 2 6 2 3 1 sin cos π π dx x x I b) ∫ = 2 0 3 2 sin.cos π xdxxI c) ∫ + = 2 0 3 2sin π x dx I Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư viện sách trực tuyến Trang 6 c) ∫ + = 2 0 3 3 1cos sin4 π dx x x I d) ∫ ++ = 2 0 5 3cos2sin 1 π dx xx I d) ∫ ++ +− = 2 0 6 3cos2sin 1cossin π dx xx xx I Tính nguyên hàm,tích phân các hàm hữu tỷ Dạng 1 : ( ) ( ) C ax n ax dx I nn + − − −= − = − ∫ 1 1 . 1 1 với ( ) { } ( ) 1,0, −×∈ NCna ta có : Nếu Ran ∈ = ,1 ta có : Cx a x dx I += − = ∫ ln Dạng 2 : ( ) ∫ ++ + = dx cbxax x I n 2 β α trong ñó :    <−=∆ ∈ 04 ,,,, 2 acb Rcba βα * Giai ñoạn 1 : 0 ≠ α ,làm xuất hiện ở tử thức ñạo hàm của tam thức cbxax ++ 2 , sai khác một số : ( ) ( ) ( ) ∫∫∫ ++       −+ ++ + = ++ −++ = nnn cbxax dx b a a dx cbxax bax a dx cbxax b a bax a I 222 2 2 2 2 2 2 2 α βαα α β α * Giai ñoạn 2 : Tính ( ) ( ) ∫∫ ∆− + = + ∆−       ∆− = ++ = bax t n n n t dt a a dx cbxax dx I 2 22 1 2 . 4 * Giai ñoạn 3 : Tính ( ) ∫ + = dt t I n 1 1 2 có thể tính bằng hai phương pháp , truy hồi hoặc ñặt φ tan = t Dạng 3 : ( ) ( ) ∫ = dx xQ xP I n m Ta có : ( ) ( ) 01 01 bxbxb axaxa xQ xP n n m m n m +++ +++ = Nếu : ( ) ( ) QP degdeg ≥ thì ta thực hiện phép chia ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xQ xR xA xQ xP n r nm n m += − trong ñó phân số ( ) ( ) xQ xR n r có ( ) ( ) QR degdeg < Nếu : ( ) ( ) QP degdeg < ta có các qui tắc sau : *Qt 1 : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n xm ax A ax A ax A ax P − + − ++ − = − − − 1 11 Vdụ 1a : ( ) ( ) ( ) ∑ ∏ = = − = − n i i i i n i i i m ax A ax xP 1 1 Vdụ 1b : ( ) ( ) 2 2 ))()(( cx D cx C bx B ax A cxbxax xP m − + − + − + − = −−− Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư viện sách trực tuyến Trang 7 *Qt 2' : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n nn n nn n m cbxax BxA cbxax BxA cbxax BxA cbxax xP ++ + + ++ + ++ ++ + = ++ − −− 2 1 2 11 2 11 2 với 0 < ∆ *Qt 3 : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∑ ∑ = = ++ + + − = ++− m i n k i i i i n m t cbxax BxA x A cbxaxx xP 1 1 2 1 2 α α Vdụ 1 : ( ) ( ) ( ) cbxax CBx x A cbxaxx xP t ++ + + − = ++− 22 )( αα Vdụ 2 : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 22 2 11 2 2 cbxax CxB cbxax CxB x A cbxaxx xP t ++ + + ++ + + − = ++− α α BÀI TẬP Tính các tích phân sau : a) ∫ ++ = 1 0 2 1 23xx dx I b) ( ) ∫ ++ = 1 0 2 2 2 23xx dx I Bài làm : a) ( )( ) ∫∫∫       + − + = ++ = ++ = 1 0 1 0 1 0 2 1 2 1 1 1 21 23 dx xxxx dx xx dx I b) ( ) ( ) ( ) ( )( ) dx xx xx dx xx dx I ∫∫       ++ − + + + = ++ = 1 0 22 1 0 2 2 2 21 2 2 1 1 1 23 ( ) OKxx xx =       +−+− + − + −= 1 0 2ln1ln2 2 1 1 1 Tính các tích phân sau : a) ∫ ++ = 1 0 24 1 33xx dx I b) ( ) ( ) ∫ ++ − = 1 0 2 2 21 24 dx xx x I Bài làm : a)* Bạn ñọc dễ dàng chứng minh ñược ∫ += + = C a x a a x dx I arctan 1 22 0 với 0 > a ( )( ) dx xxxx dx xx dx I ∫ ∫∫       + − + = ++ = ++ = 1 0 1 0 2222 1 0 24 1 3 1 1 1 2 1 3133 ( ) 329 2 3 arctan 3 1 arctan 2 1 1 0 −=       −= π x x [ ] 3 4 ln2ln1ln 1 0 =+−+= xx Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư viện sách trực tuyến Trang 8 b) ðặt : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 12 22 1212 24 2 2 22 ++ +++++ = + + + + = ++ − xx ACCBxBAx x CBx x A xx x Do ñó ta có hệ :      = = −= ⇔      =+ =+ =+ 0 2 2 02 42 0 C B A AC CB BA Vậy : ( ) ( ) ∫ ∫       + + + −= ++ − = 1 0 1 0 2 2 2 1 2 2 2 21 24 dx x x x dx xx x I [ ] 9 4 ln1ln2ln2ln3ln21ln2ln2 1 0 2 =−++−=+++−= xx Bạn ñọc tự làm : a) ( ) ∫ − + = 3 2 2 1 1 1 dx xx x I b) ∫ −+ = 5 2 2 2 32xx dx I c) dx xx x I ∫ − − = 2 1 3 3 3 4 1 d) ∫ +− = 2 3 24 3 23 dx xx x I HD: a) ( ) 1 1 1 22 − ++= − + x C x B x A xx x b) 3 1 3 2 1 2 + + − = − + x B x A x x c) ( )( )         −+ − += − − 1212 4 1 4 1 4 1 3 3 xxx x xx x d) 22 11 23 24 − + + + + + − = +− x D x C x B x A xx x ðẳng thức tích phân : Muốn chứng minh ñẳng thức trong tích phân ta thường dùng cách ñổi biến số và nhận xét một số ñặc ñiểm sau . * Cận tích phân , chẵn lẻ , tuần hoàn , cận trên + cận dưới, …. Chúng ta cần phải nhớ những ñẳng thức nầy và xem nó như 1 bổ ñề áp dụng. BÀI TẬP Chứng minh rằng : ( ) ( ) ∫ ∫ −=− 1 0 1 0 11 dxxxdxxx m n n m Bài làm : Xét ( ) ∫ −= 1 0 1 dxxxI n m ðặt : dtdxdxdtxt − = ⇒ − = ⇒ − = 1 Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư viện sách trực tuyến Trang 9 ðổi cận :    =→= =→= 01 10 tx tx Vậy : ( ) ( ) ( ) ∫ ∫∫ −=−−=−= 0 1 1 0 1 0 111 dtttdtttdxxxI n m n mn m (ñpcm) Chứng minh rằng nếu )(xf là hàm lẻ và liên tục trên ñoạn [ ] aa,− thì : ( ) ∫ − == a a dxxfI 0 Bài làm : ( ) ( ) ( ) 1)( 0 0 ∫ ∫ ∫ − − +== a a a a dxxfdxxfdxxfI Xét ( ) ∫ − 0 a dxxf . ðặt dtdxdxdtxt − = ⇒ − = ⇒ − = ðổi cận :    =→= =→−= 00 tx atax V ậy : ( ) ( ) ( ) ∫ ∫∫ −=−= − a a a dttfdttfdxxf 0 0 0 Thế vào (1) ta ñược : 0 = I (ñpcm) Tương tự bạn ñọc có thể chứng minh : Nếu )(xf là hàm chẳn và liên tục trên ñoạn [ ] aa,− thì ( ) ( ) ∫ ∫ − == a a a dxxfdxxfI 0 2 Cho 0 > a và ( ) xf là hàm chẵn , liên tục và xác ñịnh trên R . Chứng minh rằng : ( ) ( ) ∫ ∫ − = + α α α dxxfdx a xf x 0 1 Bài làm : Xét ( ) dx a xf x ∫ − + 0 1 α . ðặt dtdxdxdtxt − = ⇒ − = ⇒ − = ðổi cận :    =→= =→−= 00 tx tx αα Vậy : ( ) ( ) ( ) ∫ ∫∫ + = + − = + − − α α α 0 0 0 111 t t tx a tfa dt a tf dx a xf ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ ∫ − − + + + = + α α α α 0 0 1 111 dx a xf dx a xf dx a xf xxx Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư viện sách trực tuyến Trang 10 Thế vào (1) ta ñược : ( ) ( ) ( ) ( ) ∫∫ ∫ ∫ = + + + = + − − αα α α α 0 0 0 111 dxxfdx a xf dx a xfa dx a xf xx x x (ñpcm) Cho hàm số ( ) xf liên tục trên [ ] 1,0 . Chứng minh rằng : ( ) ( ) ∫ ∫ = π π π 0 0 sin 2 sin. dxxfdxxfx Bài làm : Xét ( ) ∫ π 0 sin. dxxfx . ðặt dtdxdxdtxt − = ⇒ − = ⇒ − = π ðổi cận :    =→= =→= 0 0 tx tx π π Vậy : ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ∫ ∫∫ −=−−= π ππ πππ 0 00 sin.sin.sin. dttftdttftdxxfx ( ) ( ) ∫ ∫ −= π π π 0 0 sin.sin dttftdttf ( ) ( ) ( ) ( ) dxxfdxxfx dxxfdxxfx ∫∫ ∫∫ =⇒ =⇒ ππ ππ π π 00 00 sin 2 sin. sinsin.2 Từ bài toán trên , bạn ñọc có thể mở rộng bài toán sau . Nếu hàm số ( ) xf liên tục trên [ ] ba, và ( ) ( ) xfxbaf =−+ . Thì ta luôn có : ( ) ( ) ∫ ∫ + = b a dxxf ba dxxfx π 0 2 . Cho hàm số ( ) xf liên tục,xác ñịnh , tuần hoàn trên R và có chu kì T . Chứng minh rằng : ( ) ( ) ∫ ∫ + = Ta a T dxxfdxxf 0 Bài làm : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∫∫∫∫∫ ∫ +++ ++=+= Ta T T a Ta T Ta a T a dxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxf 0 0 Vậy ta cần chứng minh ( ) ( ) ∫ ∫ + = a Ta T dxxfdxxf 0 Xét ( ) ∫ a dxxf 0 . ðặt dxdtTxt = ⇒ + = [...]... 2009π ∗ h) I 8 = ∫ 1 − cos 2 x dx 0 Tích phân t ng ph n : Cho hai hàm s u và v có ñ o hàm liên t c trên ño n [a, b] , thì ta có : b b ∫ udv = [uv] a − ∫ vdu b a a Trong lúc tính tính tích phân t ng ph n ta có nh ng ưu tiên sau : *ưu tiên1: N u có hàm ln hay logarit thì ph i ñ t u = ln x hay u = log a x *ưu tiên 2 : ð t u = ?? mà có th h b c BÀI T P Tính các tích phân sau : Thienthi4784@yahoo.com |... 0 0 0  M ts ng d ng c a tích phân thư ng g p : 1 )Tính di n tích : Cho hai hàm s f (x )& f (x ) liên t c trên ño n [a, b] Di n tích hình ph ng gi i h n b i các ñư ng là : x = b x = a ;    y = g (x )  y = f (x ) ðư c tính như sau : b S = ∫ f ( x ) − g (x ) dx a 2 )Tính th tích : Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c tuy n Trang 21 N u di n tích S (x ) c a m t c t v... ∫ Tích phân hàm tr tuy t ñ i, min , max : Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c tuy n Trang 13 b Mu n tính I = ∫ f (x ) dx ta ñi xét d u f (x ) trên ño n [a, b] , kh tr tuy t ñ i a b Mu n tính I = ∫ max[ f (x ), g (x )]dx ta ñi xét d u f (x ) − g (x ) trên ño n [a, b] a b Mu n tính I = ∫ min[ f (x ), g (x )]dx ta ñi xét d u f (x ) − g (x ) trên ño n [a, b] a Tính các tích. .. hàm s liên t c trên ño n [a, b] thì th tích v t th ñư c tính : b V = ∫ f ( x )dx a f ( x ) liên t c trên [a, b] và (H) là hình ph ng gi i h n b i các ñư ng: N u hàm s x = a , x = b   y = f (x ) Ox  Khi (H) quay quanh Ox ta ñư c 1 v t th tròn xoay Lúc ñó th tích ñư c tính : b V = π ∫ [ f (x )] dx 2 a Tương t ta cũng có th tính th tích v t th quay quanh oy 3 )Tính gi i h n : b n  xi −1 ≤ ξ i ≤ x... xdx (1) 0 π 2 Ta ñi tính tích phân ∫ x sin xdx 0 u = x ⇒ du = dx dv = sin xdx ⇒ v = − cos x ð t:  π π π 2 π 2 π ∫ x sin xdx = − x cos x 02 + ∫ cos xdx = − x cos x 02 + sin 02 = 1 V y: 0 0 1 Th vào (1) ta ñư c : I1 = ∫ x.e x dx = π2 −8 4 0 1  u = ln x ⇒ du = dx c) ð t :  x dv = dx ⇒ v = x  e e V y : I 3 = ∫ ln xdx = x ln x 1 − ∫ dx = x ln x 1 − x 0 = 1 e 1 e e 1 Tính các tích phân sau : π π a)... ch n s li u thích h p,sau ñó dùng ñ ng nh t th c, bư c cu i cùng là tính tích phân Hình1a hình1b Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c tuy n Trang 22 hình1c hình1d BÀI T P Tính di n tích hình tròn , tâm O , bán kính R Bài làm : (hình 1a) Phương trình ñư ng tròn có d ng : x2 + y2 = R2 ⇔ y = ± R2 − x2 R Do tính ñ i x ng c a ñ th nên : S = 4∫ R 2 − x 2 dx 0 ð t : x = R sin... thành d ng : S n = ∑ i =1 1 i f   sau ñó l p phân ho ch ñ u trên [0,1] , ch n n n 1 1 i i ξ i = xi = ta có lim ∑ f   = ∫ f ( x )dx n→∞ n n 0 i =1 n n 4 )Tính ñ dài cung ñư ng cong trơn: N u ñư ng cong trơn cho b i phương trinh y = f (x ) thì ñ dài ñư ng cung nó ñư c tính như sau : b l = ∫ 1 + ( y ′) dx v i a, b là hoành ñ các ñi m ñ u cung 2 a 4 )Tính t ng trong khai tri n nh th c Newton Tìm... th c tích phân : b N u f (x ) ≥ 0 ∀x ∈[a, b] ⇒ ∫ f (x )dx ≥ 0 a b b N u f (x ) ≥ g (x ) ∀x ∈[a, b] ⇒ ∫ f (x )dx ≥ ∫ g (x )dx a a b N u m ≤ f (x ) ≤ ∀x ∈[a, b] ⇒ m(b − a ) ≤ ∫ f (x )dx ≤ M (b − a ) a Trong các trư ng h p n y ta thư ng dùng kh o sát , Bunhiacopxki, AM-GM Và các bư c ch n sinx,cosx BÀI T P Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c tuy n Trang 19 Ch ng minh các. .. sách tr c tuy n Trang 24  y = ± ax ax = y 2   x2  2 ay = x ⇔  y = a a > 0   a > 0  V y di n tích c n tính là : 1 a a   x2  x2  S = ∫  ax − dx = ∫  a x 2 − dx a a 0 0 a 3 3 1 x3  =  ax 2 −  = a2 3a  3 2 0 (dvtt ) B n ñ c t làm : Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i các ñư ng : x − y3 + 1 = 0  a)  x + y − 1 = 0 x = 2  y = x2  b)  y = 4 x y = 4  x = y  c) ... max(sin x, cos x )dx c) I 3 = ∫ sin x − cos x dx 0 3 5 −2 1 d) I 4 = ∫ max (x 2 ,4 x − 3)dx d) I ∗ 4 = ∫  x + 2 x − 1 + x − 2 x − 1 dx     Nguyên hàm , tích phân c a hàm s vô t : Trong ph n n y ta ch nghiên c u nh ng trư ng h p ñơn gi n c a tích phân Abel ( ) D ng 1: ∫ R x, ax 2 + bx + c dx ñây ta ñang xét d ng h u t 2 a > 0 − ∆   2ax + b   2 → ax + bx + c =   1 +   4a   − ∆   ∆ . 22 11 23 24 − + + + + + − = +− x D x C x B x A xx x ðẳng thức tích phân : Muốn chứng minh ñẳng thức trong tích phân ta thường dùng cách ñổi biến số và nhận xét một số ñặc ñiểm sau . * Cận tích phân , chẵn lẻ , tuần hoàn. dxxI ∫ −= ∗ π 2009 0 8 2cos1 Tích phân từng phần : Cho hai hàm số u và v có ñạo hàm liên tục trên ñoạn [ ] ba, , thì ta có : [ ] ∫ ∫ −= b a b a b a vduuvudv Trong lúc tính tính tích phân từng phần.    =→= =→= 2 11 tex tx Tích phân lượng giác : Dạng 1 : ∫ = β α nxdxmxI cos.sin Cách làm: biến ñổi tích sang tổng . Dạng 2 : ∫ = β α dxxxI nm .cos.sin Cách làm : Nếu n m , chẵn

Ngày đăng: 30/10/2014, 19:00

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

w