pt -bpt bậc nhất

43 VẤN ĐỀ 3 HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN 44 Vấn đề 3 HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT I. Cách giải : Giải hệ bất phương trình một ẩn : ⎩ ⎨ ⎧ > > (2) 0g(x) (1) 0)(xf là tìm các giá trò của ẩn số x thoả mãn đồng thời (1) và (2) .Muốn thế , ta : • Giải (1) để tìm tập nghiệm S 1 • Giải (2) để tìm tập nghiệm S 2 • Tập nghiệm của hệ là S 1 ∩ S 2 II. Ghi nhớ : ¾ Hệ có nghiệm khi S 1 ∩ S 2 khác tập rỗng ¾ Hệ vô nghiệm khi S 1 ∩ S 2 là tập rỗng ¾ Hệ có nghiệm duy nhất khi có dạng ⎩ ⎨ ⎧ ≤ ≥ bxg axf )( )( , với a = b B. Vài ví dụ Ví dụ 1 Giải các hệ bất phương trình sau : a) ⎩ ⎨ ⎧ +<− +>− xx xx 37519 124159 ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ <+− >− 0128 0275 x x ⇔ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ > > 8 12 5 27 x x ⇔ x > 5 27 Vậy tập nghiệm của bấp phương trình là x > 5 27 45 b) ⎩ ⎨ ⎧ −<− −>+ 22 )32()1( 4312 xx xx ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ <−+−+−− >+− 0)321)(321( 05 xxxx x ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ <−− < 0)43)(2( 5 xx x Bảng xét dấu (2 - x)(3x – 4) (1) ⇒ tập nghiệm của (1) là ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ > < 2 3 4 x x Vậy tập nghiệm của hệ là ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ > < 2 3 4 x x Ví dụ 2 Cho hệ ⎩ ⎨ ⎧ +≥ ≤− 1 07 mmx x a) Đònh m để hệ có nghiệm : Hệ ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ +≥ ≤ (1) 1 7 mmx x • m = 0 : (1) ⇔ 0.x ≥ 1 ⇒ vô nghiệm , nên m = 0 loại • m < 0 : hệ ⇔ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + ≤ ≤ m m x x 1 7 ⇒ hệ luôn có nghòêm , nên m < 0 nhận • m > 0 : hệ ⇔ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + ≤ ≤ m m x x 1 7 Yêu cầu bài toán ⇔ m m 1 + ≤ 7 (m > 0) ⇔ m ≥ 6 1 Kết luận : Hệ có nghiệm duy nhất khi m < 0 hay m ≥ 6 1 46 b) Đònh m để hệ có nghiệm duy nhất : Hệ ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ +≥ ≤ 1 7 mmx x Điều kiện cần để hệ có nghiệm duy nhất là m > 0 (1) ⇔ x ≥ m m 1+ Yêu cầu đầu bài ⇔ m m 1 + = 7 ⇔ m = 6 1 (m > 0) Vậy với m = 6 1 thì hệ có nghiệm duy nhất . Ví dụ 3 Giải và biện luận hệ : ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −+>++ <+ − 22 2 )1()1( 21 12 mxmx x x x Hệ ⇔ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ >++++++−−++ < −+− 0)11)(11( 0 212 22 mxmxmxmx x xxx ⇔ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ <+ < − 0 0 1 mx x x ⇔ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −< < − mx x x 0 1 ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ −> << mx x 10 Biện luận : ♦ m = 0 : hệ ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ > << 0 10 x x ⇔ 0 < x < 1 ♦ m = -1 : hệ ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ > << 1 10 x x ⇔ ⎢ ⎣ ⎡ > << 1 10 x x ♦ m > 0 : hệ ⇔ 0 < x <1 ♦ m < -1 : hệ vô nghiệm ♦ -1 < m < 0 : -m < x < 1 47 C . BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN GIẢI : 1. Giải các hệ bất phương trình sau : a) ⎩ ⎨ ⎧ +< +<− 22 )2( 5425 xx xx ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ <+ < 0)22(2 7 x x ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ −< < 2 7 x x ⇔ x < -2 Vậy tập nghiệm của hệ là x < -2 b) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −+ − < + + − +−≥+− 2 52 2 1 1 1 )2)(2()4)(12( 2 xx x xx xxxx ⇔ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ < +− +−−++ ≥+−−+− 0 )2)(1( 5212 04482 22 xx xxx xxxx ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ <+− ≥+ 0)2)(1( 0)7( xx xx Bảng xét dấu x(x + 7) (1) và (x – 1)(x + 2) (2) Vậy tập nghiệm của (1) là : ⎢ ⎣ ⎡ ≥ −≤ 0 7 x x , của (2) là –2 < x < 1 Vậy tập nghiệm của hệ là : ⎢ ⎣ ⎡ −≤ <<− 7 12 x x c) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −+−≥ ++> 8)23( )3( 23 224 xxx xxx ⇔ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥−−−++− >+++−−− 0)2)(1()42)(2( 0)3)(3( 2 2222 xxxxx xxxxxx ⇔ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥++− >+++ 0)5)(2( 0) 2 3 2 1 )(3( 2 2 xxx xxx Ta thấy : 2 3 2 1 2 ++ xx = 16 23 4 1 2 + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +x > 0 ∀x ∈ R x 2 + x + 5 = 4 19 2 1 2 + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +x > 0 ∀x ∈ R 48 Do đó hệ ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ ≥ −> 2 3 x x ⇔ x ≥ 2 Vậy nghiệm của hệ là x ≥ 2 2. Đònh m để các hệ bất phương trình sau có nghiệm : a) ⎩ ⎨ ⎧ <++ +−>− 023 5423 mx xx ⇔ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −− < > 3 2 1 m x x Yêu cầu bài toán ⇔ 1 3 2 > − − m ⇔ m < -5 Vậy với m < 5 thì hệ có nghiệm b) ⎩ ⎨ ⎧ ++−>++ +<− 73)2(1)1( 212 mxmxmm xx ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ +>+−+ < 63)2( 3 2 mxmmm x ⇔ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + + > < 2 63 3 2 m m x x Yêu cầu bài toán ⇔ 3 2 63 2 < + + m m (1) ⇔ 3m 2 + 6 < 3m + 6 ⇔ m(m - 1) < 0ø ⇔ 0 < m < 1 Vậy với 0 < m < 1 thì hệ có nghiệm 3. Đònh m để bất phương trình sau vô nghiệm : a) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −≥ > − mxx x 3 1 3 8 ⇔ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥+ > − +− 3)1( 0 3 38 mx x x ⇔ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥+ > − + 3)1( 0 3 5 mx x x Ta có tập nghiệm của x x − + 3 5 > 0 là –5 < x < 3 nên hệ ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ ≥+ <<− 3)1( 35 mx x Điều kiện cần để hệ vô nghiệm là 1 + m ≥ 0 ⇔ m ≥ -1 49 ♦ m = -1 : hệ ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ ≥ <<− 3.0 35 x x ⇒ hệ vô nghiệm nên m = -1 nhận ♦ m > -1 : hệ ⇔ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + ≥ <<− m x x 1 3 35 Yêu cầu bài toán ⇔ 3 1 3 > + m ⇔ m < 0 mà m > -1 nên –1 < m < 0 nhận. Vậy với –1 ≤ m < 0 thì hệ vô nghiệm b) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −<− + < − )3()3( 2 1 1 1 22 mxmxx xx ⇔ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ <+−− < +− +−+ 033 0 )2)(1( 12 223 xmxmxx xx xx ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ <+−− <+− 0)33( 0)2)(1( 2 xmxmxx xx ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ <−+ <+− (2) 0))(3( (1) 0)2)(1( mxxx xx Vậy tập nghiệm là –2 < x < 1 Hệ ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ <−+ <<− 0))(3( 12 mxxx x ♦ m = 0 : (2) ⇔ x 2 (x + 3) < 0 ⇔ x < -3 ⇒ hệ có nghiệm nên m = 0 loại. ♦ m = -3 : (2) ⇔ x(x + 3) 2 < 0 ⇔ x < 0 (x ≠ -3) ⇒ hệ có nghiệm nên m = -3 loại ♦ m < 0 : tập nghiệm của (2) là x < m hoặc –3 < x < 0 ⇒ hệ có nghiệm nên m < 0 loại. ♦ -3 < m < 0 : tập nghiệm của (2) là x < -3 hoặc m < x < 0 ⇒ hệ có nghiệm nên –3 < m < 0 loại. ♦ m > 0 : tập nghiệm của (2) là x < -3 hoặc 0 < x < m ⇒ hệ có nghiệm nên m > 0 loại. Vậy hệ có nghiệm ∀m ∈ R 4. Đònh m để hệ bất phương trình sau có nghiệm duy nhất : 50 a) ⎩ ⎨ ⎧ ≥+− ≥+− 03)1(4 32)12( xm mxm ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ −≥− −≥− 3)1(4 23)12( xm mxm Điều kiện cần để hệ có nghiệm duy nhất là : (2m – 1).4(m - 1) < 0 ⇔ 2 1 < m < 1 (*) Hệ ⇔ () ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − − ≥ − − ≤ 14 3 12 23 m x m m x Yêu cầu bài toán ⇔ )1(4 3 12 23 − − = − − mm m ⇔ -6m + 3 = 12m – 8m 2 – 12 + 8m ⇔ 8m 2 – 26m + 15 = 0 ⇔ m = 2 5 hay m = 4 3 Mà theo (*) thì chỉ nhận m = 4 3 Vậy với m = 4 3 thì hệ có nghiệm duy nhất b) () ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥− +≥ + 21 1 3 2 xm x x x ⇔ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ +≥ ≥ −−+ mmx x xxx 2 0 3 22 ⇔ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ +≥ ≥ − mmx x x 2 0 3 Tập nghiệm của x x−3 ≥ 0 là 0 < x ≤ 3 Hệ ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ +≥ ≤< mmx x 2 30 Điều kiện cần để hệ có nghiệm duy nhất là m > 0 Hệ ⇔ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + ≥ ≤< m m x x 2 30 51 Yêu cầu bài toán ⇔ 3 2 = + m m ⇔ m = 1 (thoả m > 0) Vậy với m = 1 thì hệ có nghiện duy nhất . Bài tập làm thêm 1. Giải và biện luận bất phương trình : 1−x (x – m + 2) > 0 (1) ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ >+− >− 02 01 mx x ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ −> > 2 1 mx x Biện luận : ♦ m = 3 : hệ ⇔ x > 1 ♦ m > 3 : hệ ⇔ x > m – 2 ♦ m < 3 : hệ ⇔ x > 1 2. Giải và biện luận hệ bất phương trình : ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ >+ + + < − + 42 1 4 2 1 mx x x x x Hệ ⇔ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − > < +− +−+−++ 2 4 0 )1)(2( 84212 22 m x xx xxxxx ⇔ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −> <+− 2 2 0)1)(2( m x xx Tập nghiệm của (x – 2)(x + 1) < 0 là –1 < x < 2 Hệ ⇔ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ +> <<− 2 2 21 m x x So sánh –1 và 2 + 2 m có : ♦ m = -6 ⇔ -1 = 2 + 2 m : tập nghiệm của hệ là –1 < x < 2 ♦ m > -6 ⇔ -1 < 2 + 2 m : tập nghiệm của hệ là 2 + 2 m < x < 2 ♦ m < -6 ⇔ -1 > 2 + 2 m :tập nghiệm của hệ là –1 < x < 2 52 3. Cho hệ bất phương trình : ⎩ ⎨ ⎧ −−≤+ ≥+− )1)(1()1( 02)1( xmxm xm a) Đònh m để hệ có nghiệm duy nhất : Hệ ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ ≤−++−+ −≥ 01 2 mxmxmmx mmx ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ −≤ −≥ mx mmx 21 2 Điều kiện cần để hệ có nghiệm duy nhất là m > 0 Hệ ⇔ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −≤ − ≥ mx m m x 21 2 Yêu cầu bài toán ⇔ m m m 21 2 −= − ⇔ m – 2m 2 – m + 2 = 0 ⇔ m = ± 1 mà m > 0 nên m = 1 Vậy với m = 1 thì hệ có nghiệm duy nhất. b) Đònh m để hệ thoả ∀x ∈ [0,1] Hệ ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ ≤ −≥ (2) 2m-1x (1) 2mmx Xét (1) : ♦ m = 0 : (1) ⇔ 0.x ≥ -2 : x ∈ R nên thoả ♦ m > 0 : (1) ⇔ x ≥ m m 2 − Yêu cầu bài toán ⇔ m m 2 − ≤ 0 ⇔ m ≤ 2 ♦ m < 0 : (1) ⇔ x ≤ m m 2 − Yêu cầu bài toán ⇔ m m 2 − ≥ 1 ⇔ m - 2 ≤ m ⇔ 0.x ≥ -2 ⇒ x ∈ R thoả . Do đó với m ≤ 0 thì (1) thoả ∀x ∈ [0,1] Xét (2). Yêu càu bài toán ⇔ 1 – 2m ≥ 1 ⇔ m ≤ 0 Vậy với m ≤ 0 thì hệ thoả ∀x ∈ R 4. Đònh m để : m.sinx + 3m – 2 > 0 ∀x ⇔ R (1) ⇔ m.sinx > 2 – 3m [...]... 4m2 + 9m –1 > 0 ⇔ m2 + 2 m + − 8 64 64 2 9 145 9 9⎞ 145 ⎛ ∨m+ ⇔ ⎜m + ⎟ > 8⎠ 64 8 64 8 ⎝ 7 Đònh m để bất phương trình vô nghiệm : x − 1(mx + 2) < 0 ⎧x − 1 > 0 ⎧x > 1 ⇔ ⎨ ⎩mx + 2 < 0 ⎩mx < −2 Bpt ⇔ ⎨ Điều kiện cần để hệ vô nghiệm là : m ≥ 0 ⎧x > 1 ⇒ hệ vô nghiệm nên m = 0 thoả ⎩0.x < −2 ♦ m = 0 : hệ ⇔ ⎨ ⎧x > 1 ⎪ ♦ m > 0 : hệ ⇔ ⎨ −2 ⎪x < m ⎩ 54 Yêu cầu bài toán ⇔ −2 < 1 ⇔ m > -2 mà m > 0 ⇒ m... ⎩(m − 2) x − 2 ≤ 0 a) ⎨ ⎧ mx + 1 − 3m ≥ 0 ⎩(m + 2) x − m ≤ 0 b) ⎨ Bài 4 Giải và biện luận hệ bất phương trình : ⎧(m − 1)x − m ≤ 2x + 1 ⎨ (2) ⎩2mx ≤ m − x (1) Với giá trò nào của m hệ trên có nghiệm duy nhất Đáp số : m = − 1 2 ;x= − 9 7 Bài 5 Xác đònh giá trò của a để hai bất phương trình sau là tương đương (a - 1)x – a + 3 > 0 (1) (a + 1)x – a + 2 > 0 (2) Đáp số : a = 5 56 . 43 VẤN ĐỀ 3 HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN 44 Vấn đề 3 HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT I. Cách giải : Giải hệ bất phương. Kết luận : Hệ có nghiệm duy nhất khi m < 0 hay m ≥ 6 1 46 b) Đònh m để hệ có nghiệm duy nhất : Hệ ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ +≥ ≤ 1 7 mmx x Điều kiện cần để hệ có nghiệm duy nhất là m > 0 (1) ⇔ x. phương trình sau có nghiệm duy nhất : 50 a) ⎩ ⎨ ⎧ ≥+− ≥+− 03)1(4 32)12( xm mxm ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ −≥− −≥− 3)1(4 23)12( xm mxm Điều kiện cần để hệ có nghiệm duy nhất là : (2m – 1).4(m - 1) <