Luyện Kiểm tra hình học đề 5 Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có SA (ABC), ABC vuông cân tại A ; SA = a 3 ; AB =a . Gọi E, F là hình chiếu của A lên các cạnh SB,SC a) Chứng minh EF // BC ; Tính thể tích V S.ABC =? b) Gọi I là trung điểm của BC . Chứng minh IA=IB=IC=IE=IF c) Tính thể tích khối A.BCEF. Giải : a) EF // BC . Tính V S.ABC =? + SAB = SAC => SB =SC Đường cao AE = đường cao AF => SAE = SAF => SE =SF Do đó : SE SB = SF SC => EF // BC + S ABC = 1 2 a 2 ; V SABC = 1 3 SA.S ABC = 1 3 a 3 . 1 2 a 2 = 3 a 3 6 b) Chứng minh IA=IB=IC=IE=IF : ABC vuông tại A có AI là trung tuyến => IA=IB=IC (1) AC AB , AC SA => AC SB Và AE SB ( gt ) Suy ra : EC SB . BEC vuông tại E , EI là trung tuyến => IE=IB=IC (2) AB AC , AB SA => AB SC Và AF SC ( gt ) Suy ra : FB SC . BFC vuông tại F , FI là trung tuyến => IF=IB=IC (3) Từ (1), (2) , (3) suy ra : IA=IB=IC=IE=IF c) Tính thể tích khối A.BCEF. SE SB = 2 SE.SB SB = 2 2 SA SB = 2 2 3a 4a = 3 4 SAEF SABC V V = SA SE SF . . SA SB SC = 3 4 . 3 4 = 9 16 => V SAEF = 9 16 3 a 3 6 V ABCEF =V SABC V SAEF = 7 16 3 a 3 6 = 3 7a 3 96 A B C S I a 3 E F Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi cạnh a , góc BAD = 120 0 .Cạnh BC’ tạo vởi mặt phẳng (ACC’A’) một góc 30 0 . a) Tính thể tích khối chóp và diện tích toàn phần. b) Tính góc tạo bởi hai mp(A’BD) và mặt đáy c) Tính thể tích tứ diện ACDB’ Giải a) Tính thể tích khối chóp và diện tích toàn phần. Vì BAD =120 0 => ABC =60 0 và ABCD là hình thoi Suy ra ABC là tam giác đều ; cạnh AC =a BD = 2 đường cao tam giác ABC => BD = a 3 + Diện tích đáy S đáy = 1 2 BD.AC = 2 a 3 2 + Gọi O là tâm hình thoi ABCD ; ta có BO AC ; BO AA’ => BO (ACC’A’) ; hình chiếu của BC’ lên mp(ACC’A’) là OC’ Góc tạo bởi BC’ và mp(ACC’A’) là góc tạo bởi BC’ và OC’ là BC O =30 0 Mà BO = a 3 2 ; sin BC O = BO BC => BC’= 0 BO sin30 = a 3 => CC’= 2 2 BC BC =a 2 + Đường cao bằng cạnh bên bằng a 2 + Thể tích lăng trụ : V= h. S đáy =a 2 . 2 a 3 2 = 3 a 6 2 + S xq = chu vi đáy x cạnh bên = 4a.a 2 = 4a 2 2 => S tp = S xq +2.S đáy =4a 2 2 + 2 a 3 b) Tính góc tạo bởi hai mp(A’BD) và mặt đáy A B D C 120 0 D A B D’ A’ B’ a C’ C 30 0 O C C A B C’ A’ B’ 30 0 a O D D’ mp(A'BD) (ABCD) =BD AO (ABCD) ; AO BD A'BD cân => A'O BD (A'BD);(ABCD) = (A'O;AO) = AOA' tan AOA' = AA' AO = a 2 a 2 =2 2 c) Tính thể tích tứ diện ACDB’ + đường cao BB' =a 2 ; S ACD = 1 2 S ABCD = 2 a 3 4 V B'ACD = 1 3 BB'.S ACD = 1 3 a 2 2 a 3 4 = 2 a 6 12 Luyện Kiểm tra hình học đề 6 Bài 1: Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB,AC, AD vuông góc nhau từng đôi một và AB=a, AC=2a, AD =3a. a) Tính diện tích tam giác BCD theo a b) Tính thể tích tứ diện ABCD c) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (DBC) Giải :a)Tính diện tích tam giác BCD theo a + BD =a 10 ; DC=a 13 ; BC=a 5 cos DBC = 2 2 2 DB BC DC 2.DB.BC = 2 2 2 10a 5a 13a 2.a 10.a 5 = 1 5 2 ; Sin DBC = 2 1 cos DBC = 7 5 2 ; S DBC = 1 2 DB.BC.sin DBC = 1 2 a 10 .a 5 . 7 5 2 = 2 7a 2 Thể tích hình chóp D.ABC + Diện tích đáy S ABC = 1 2 AB.AC = 1 2 .a.2a=a 2 + Thể tích hình chóp : V h/chóp = 1 3 SA.S đáy = 1 3 3a.a 2 =a 3 b) khoảng cách từ A đến mp (SBC) Trong tam giác ABC kẻ đường cao AK Trong tam giác SAK , kẻ đường cao AH . Ta sẽ chứng minh AH (SBC) BC AK , BC SA => BC SAK) , AH (SAK) A B C D a K 3a H 2a => BC AH Theo cách dựng SK AH Suy ra (SBC) AH hay d(A;(SBC)) =AH + AK = AB.AC BC = a.2a a 5 = 2a 5 ; SK = 2 2 SA AK = 2 2 4a 9a 5 = 7a 5 AH= SA.AK SK = 2a 3a. 5 7a 5 = 6a 7 Bài 2: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a . Hình chiếu vuông góc của A’ xuống mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của AB . Mặt bên (AA’C’C) tạo với đáy một góc bằng 45 0 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm AC, AM a) Chứng minh A’N AC b) Tính thể tích của khối lăng trụ này c) Tính khoảng cách từ B đến mp (ACC’A’) . Giải: a)A’N AC Gọi H là hình chiếu của A’ lên mp(ABC) Theo đề bài H là trung điểm AB Và A’H (ABC) + M là trung điểm AC ; N là trung điểm AM BM AC , HN // BM => HN AC Mặt khác A’H AC Suy ra : (A’NH) AC => A’N AC b) Thể tích của khối lăng trụ : + (ACC'A') (ABC) = AC A'N (ACC'A') ; A'N AC HN (ABC) ; HN AC =>Góc tạo bởi (ACC’A’) và (ABC) là góc tạo bởi A’N và NH là góc A NH => A NH =45 0 => A’H = NH = 1 2 BM= a 3 4 + đáy là tam giác đều S đáy = 2 a 3 4 + Thể tích lăng trụ : V= h. S đáy =A’H.S đáy = a 3 4 . 2 a 3 4 = 3 3a 16 c) Khoảng cách từ B đến mp (ACC’A’) A B’ C’ A’ B C N I H M 45 0 I Vì H là trung điểm của AB => d(B;(ACC'A') =2 d(H;(ACC'A')) Trong tam giác A'NH dựng đường cao HI Theo chứng minh trên AC (A'HN) , HI (A'HN) => AC HI Mà A'N HI ( theo cách dựng ) Suy ra : (ACC'A') HI hay HI (ACC'A') Vậy d(H;(ACC'A'))=HI Tam giác A'HN vuông cân => đường cao HI cũng là trung tuyến HI = 1 2 A'N= 1 2 a 3 4 . 2 = a 6 8 d(B;(ACC'A') =2 d(H;(ACC'A'))=2HI = a 6 4 . cos DBC = 2 2 2 DB BC DC 2. DB.BC = 2 2 2 10a 5a 13a 2. a 10.a 5 = 1 5 2 ; Sin DBC = 2 1 cos DBC = 7 5 2 ; S DBC = 1 2 DB.BC.sin DBC = 1 2 a 10 .a 5 . 7 5 2 = 2 7a 2 Thể tích. AOA' = AA' AO = a 2 a 2 =2 2 c) Tính thể tích tứ diện ACDB’ + đường cao BB' =a 2 ; S ACD = 1 2 S ABCD = 2 a 3 4 V B'ACD = 1 3 BB'.S ACD = 1 3 a 2 2 a 3 4 = 2 a 6 12 . 3 2 ; sin BC O = BO BC => BC’= 0 BO sin30 = a 3 => CC’= 2 2 BC BC =a 2 + Đường cao bằng cạnh bên bằng a 2 + Thể tích lăng trụ : V= h. S đáy =a 2 . 2 a 3 2 = 3 a 6 2