Đáp án khảo sát hàm số

Ths : Lê Minh Phấn 101 Khảo sát hàm số KSHS 01: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Câu 1. Cho hàm số ymxmx mx32)− (1) 32 1 (1) ( 3 =−++ 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m 2 = . 2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên tập xác định của nó. • Tập xác định: D = R. . ymx mxm 2 (1) 2 3 ′ =− + +−2 (1) đồng biến trên R ⇔ ⇔ yx0, ′ ≥∀ m 2≥ Câu 2. Cho hàm số (1) yx x mx 32 34=+ − − 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m 0 = . 2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng ( . ;0−∞ ) • m 3≤− Câu 3. Cho hàm số y xmxmmx 32 2 3(2 1) 6 ( 1) 1=− ++ ++ có đồ thị (C m ). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0. 2) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (2; ) + ∞ • có yx mxmm 2 '6 6(2 1) 6( 1)=− ++ + mmm 22 (2 1) 4( ) 1 0 Δ = +− +=> . Hàm số đồng biến trên các khoảng xm y xm '0 1 ⎡ = =⇔ ⎢ =+ ⎣ mm(;),( 1;) − ∞++∞ Do đó: hàm số đồng biến trên (2; ) + ∞ ⇔ m 12 + ≤ ⇔ m 1 ≤ Câu 4. Cho hàm số 32 (1 2 ) (2 ) 2y x mx mx m = +− + − ++. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1. 2) Tìm m để hàm đồng biến trên ( ) 0; + ∞ . • Hàm đồng biến trên (0 ; )+∞ yx mx m 2 3(12)(22) ′ ⇔+ 0 = −+−≥ với x 0)(;∀∈ +∞ x f xm x x 2 23 () 41 2+ ⇔= ≥ + + với x 0)(; ∀ ∈+∞ Ta có: x fx x x xx x 2 2 2 2(6 () 0 3) 1 73 36 (4 1 0 12 ) +− −± +−=⇔= ′ ==⇔ + Lập bảng biến thiên của hàm f x() trên (0; ) + ∞ , từ đó ta đi đến kết luận: f mm 173 373 12 8 ⎛⎞ −+ + ≥⇔ ≥ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ Câu 5. Cho hàm số 1 (1), (m là tham số). 42 23yx mx m=− − + 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1. 2) Tìm m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng (1; 2). • Ta có 32 '4 4 4( ) y xmxxxm=− = − + , ⇒ thoả mãn. 0m ≤ 0, ′ ≥∀yx 0m ≤ + , có 3 nghiệm phân biệt: 0m > 0 ′ =y , 0, mm− . Hàm số (1) đồng biến trên (1; 2) khi chỉ khi 1 0 1 ≤ ⇔< ≤m m . Vậy ( ] ;1m∈−∞ . Trang 1 101 Khảo sát hàm số Ths : Lê Minh Phấn Câu 6. Cho hàm số mx y x m 4 + = + (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m 1 = − . 2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng . (;1−∞ ) • Tập xác định: D = R \ {–m}. m y x m 2 2 4 () − ′ = + . Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định ⇔ y02 ′ m2 < ⇔− < < (1) Để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (;1) − ∞ thì ta phải có mm11 − ≥⇔ ≤− (2) Kết hợp (1) và (2) ta được: . m21−< ≤− KSHS 02: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Câu 7. Cho hàm số –2 (m là tham số) có đồ thị là (C m ). yx x mxm 32 3=+ + + 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3. 2) Xác định m để (C m ) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành. • PT hoành độ giao điểm của (C) và trục hoành: ⇔ xxmxm 32 3–20+++ = (1) x gx x x m 2 1 () 2 2 0 (2) ⎡ =− ⎢ =++−= ⎣ (C m ) có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía đối với trục 0x ⇔ PT (1) có 3 nghiệm phân biệt ⇔ (2) có 2 nghiệm phân biệt khác –1 ⇔ m gm 30 (1) 3 0 Δ ⎧ ′ =− > ⎨ − =−≠ ⎩ ⇔ m 3 < Câu 8. Cho hàm số (m là tham số) có đồ thị là (C m ). yx mxm m x 322 (2 1) ( 3 2) 4=− + + − − + − 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. 2) Xác định m để (C m ) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung. • . yx mxmm 22 32(21)( 32 ′ =− + + − − + ) mm 2 3 (C m ) có các điểm CĐ và CT nằm về hai phía của trục tung ⇔ PT có 2 nghiệm trái dấu ⇔ 3( ⇔ . y 0 ′ = 2) 0−+< m12<< 32 1 (2 1) 3x−− (m là tham số) có đồ thị là (C m ). 3 yxmx m=−+ Câu 9. Cho hàm số 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 2. 2) Xác định m để (C m ) có các điểm cực đại, cực tiểu nằm về cùng một phía đối với trục tung. • TXĐ: D = R ; . yx mx m 2 –2 2 –1 ′ =+ Đồ thị (C m ) có 2 điểm CĐ, CT nằm cùng phía đối với trục tung ⇔ có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu ⇔ y 0 ′ = 2 210 210 ⎧ ′ ⎪ Δ= − + > ⎨ −> ⎪ ⎩ mm m 1 1 2 m m ≠ ⎧ ⎪ ⇔ ⎨ > ⎪ ⎩ Câu 10. Cho hàm số 2 (m là tham số) có đồ thị là (C m ). 32 3yx x mx=− − + 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. 2) Xác định m để (C m ) có các điểm cực đại và cực tiểu cách đều đường thẳng yx1=−. Trang 2 Ths : Lê Minh Phấn 101 Khảo sát hàm số • Ta có: 2 '3 6=−− y xxm. Hàm số có CĐ, CT m phân bi 2 '3 6 0yxxm⇔= −−= có 2 nghiệ ệt 12 ; x x 3>− (*) '93 0mm⇔Δ = + > ⇔ G ểm c trị () ( ) 112 ;; ;ABxyx ọi hai đi ực là 2 h y o y ′ ta được: Thực hiện phép chia y c 11 2 '22 33 3 3 mm yxy x ⎛⎞⎛⎞⎛⎞ =−−++− ⎜⎟⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠⎝⎠ ⇒ () () 11 1 222 2 ⎛⎞⎛ 2 22 33 ⎛⎞⎛⎞ −+ −+ +− ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠ ==22; 33 ⎞ +− ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠ ⎠ == ⎝ yyx y m x m xx Phương trình đường th ực trị là Δ y ẳng đi qua 2 điểm c mm ⇒ : 2 22 33 mm yx ⎛⎞⎛ =− + + − ⎜⎟⎜ ⎝⎠⎝ ⎞ ⎟ ⎠ Các điểm cực trị cách đều đường thẳng yx1 = − ⇔ xảy ra 1 trong 2 trường hợp: ng son TH1: Đường thẳng đi qua 2 điểm cực t g hoặc trùng với đường thẳngrị so yx1 = − 23 21 m m ⎛⎞ −+=⇔ ⎜ ⇔=− ⎟ (thỏa mãn) n đường thẳ 32 B nằm trê ⎝⎠ TH2: Trung điểm I của A ng yx1 = − () () 212 1 2 11 ⎛ 12 12 2222 33 22 3.2 6 33 ⎞ ⎛⎞ − 22 0 +++−=+− ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎛⎞ ⇔+= ⎜⎟ ⎝⎠ II m xx xx Vậy các giá trị cần tìm củ ⎜⎟ ++ ⇔=−⇔ = −⇔ x m xy y y x −⇔= mm m a m là: 3 0; 2 m ⎧ ⎫ = − ⎨ ⎬ ⎩⎭ Câu 11. Cho hàm số số) có đồ thị là (C m ). yx mx m 32 34=− + 3 (m là tham 1) Khảo sát sự biế ẽ đồ thị hàm số khi m = 1. n thiên và v 2) Xác định m để (C m ) có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y = x. • Ta có: yxmx 2 36 ′ =− ; x y x m2 ⎢ = 0 0 ⎡ = ′ =⇔ . Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì m ≠ 0. ⎣ Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là: A(0; 4m ), B(2m; 0) ⇒ 3 A Bmm(2 ; 4 )=− 3 J JG : y = x ⇔ Trung điểm của đoạn AB là I(m; 2m 3 ) A, B đối xứng nhau qua đường thẳng d A Bd I d ⎧ ⊥ ⎨ ∈ ⎩ ⇔ mm mm 3 3 24 0 2 ⎧ ⎪ − = ⎨ = ⎪ ⎩ ⇔ m 2 2 =± âu 12. Cho hàm số yx mx m 32 331=− + − − . C 1) Khảo sát sự biế thị của hàmn thiên và vẽ đồ số khi m = 1. 2) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d: x y8740+−=. m2. H m số có CĐ, CT PT có 2 nghiệm phân biệt ⇔ • yxmx 2 36 ′ =− + ; y ′ = = xx00 ⇔=∨ à ⇔ y 0 ′ = m 0 ≠ . Khi đó 2 điểm cực trị là: AmBmmm 3 1), (2 ; 4 3 1)− −−(0; 3− ⇒ A Bmm 3 (2 ;4 )   Trung điểm I của AB có toạ độ: Im m m 3 (;2 3 1) − − Đường thẳng d: x y8740 + −= c (8; 1)u = −  . ó một VTCP Trang 3 101 Khảo sát hàm số Ths : Lê Minh Phấn A và B đối xứng với nhau qua d ⇔ I d AB d ∈ ⎧ ⎨ ⊥ ⎩ ⇔ 3 8(2 3 1) 74 0 .0 mmm AB u ⎧ + −−−= ⎪ ⎨ = ⎪ ⎩  ⇔ m 2 = Câu 13. Cho hàm số (1). yx x mx 32 3=− + 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0. 2) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số (1) có các điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d: x y–2 –5 0 = . • Ta có yx x mx y x xm 32 2 3'36=− + ⇒= −+ Hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ có hai nghiệm phân biệt y 0 ′ = mm93 0 3 Δ ′ ⇔ =− >⇔ < Ta có: yxy mx 11 2 1 2 33 3 3 ⎛⎞⎛ ⎞ ′ =− + −+ ⎜⎟⎜ ⎟ ⎝⎠⎝ ⎠ m Tại các điểm cực trị thì , do đó tọa độ các điểm cực trị thỏa mãn phương trình: y 0 ′ = ymxm 21 2 33 ⎛⎞ =−+ ⎜⎟ ⎝⎠ Như vậy đường thẳng Δ đi qua các điểm cực trị có phương trình ymx 21 2 33 ⎛⎞ =−+ ⎜⎟ ⎝⎠ m nên Δ có hệ số góc km 1 2 2 3 =−. d: x y–2 –5 0= yx 15 22 ⇔= − ⇒ d có hệ số góc k 2 1 2 = Để hai điểm cực trị đối xứng qua d thì ta phải có d ⊥ Δ ⇒ kk m m 12 12 121 23 ⎛⎞ =− ⇔ − =− ⇔ = ⎜⎟ ⎝⎠ 0 Với m = 0 thì đồ thị có hai điểm cực trị là (0; 0) và (2; –4), nên trung điểm của chúng là I(1; –2). Ta thấy I ∈ d, do đó hai điểm cực trị đối xứng với nhau qua d. Vậy: m = 0 Câu 14. Cho hàm số (1) có đồ thị là (C m ). yx m x xm 32 3( 1) 9 2=− + ++− 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 2) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d: yx 1 2 = . • yx mx 2 '3 6( 1) 9=−++ m 2 '9( 1) 3.90 Δ =+−> m (;1 3)(1 3;) Hàm số có CĐ, CT ⇔ ∈−∞− − ∪−+ +∞ ⇔ Ta có m ymmxm 2 11 2( 2 2) 4 1 33 ⎛⎞ + ′ =− − +−++ ⎜⎟ ⎝⎠ yx A Giả sử các điểm cực đại và cực tiểu là xy Bx y 11 2 2 (;),(; ) ymmxm 2 11 2( 2 2) 4 1⇒=− + − + + , I là trung điểm của AB. ; ymmxm 2 22 2( 2 2) 4 1 = −+−++ và: xx m xx 12 12 2( 1) .3 ⎧ += + ⎨ = ⎩ Vậy đường thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu là ymmxm 2 2( 2 2) 4 1 = −+−++ Trang 4 Ths : Lê Minh Phấn 101 Khảo sát hàm số A, B đối xứng qua (d): yx 1 2 = ⇔ A Bd I d ⎧ ⊥ ⎨ ∈ ⎩ ⇔ m 1 = . Câu 15. Cho hàm số mx , với m là tham số thực. xmxy −++−= 9)1(3 23 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với 1 = m . 2) Xác định để hàm số đã cho đạt cực trị tại sao cho m 21 , xx 2 21 ≤− xx . • Ta có .9)1(63' 2 ++−= xmxy + Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại 21 , xx ⇔ PT 0' = y có hai nghiệm phân biệt 21 , xx ⇔ PT có hai nghiệm phân biệt là . 03)1(2 2 =++− xmx 21 , xx ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−< +−> ⇔>−+=Δ⇔ 31 31 03)1(' 2 m m m )1( + Theo định lý Viet ta có .3);1(2 2121 = + = + xxmxx Khi đó: () ( ) 41214442 2 21 2 2121 ≤−+⇔≤−+⇔≤− mxxxxxx (2) m 2 (1)4 3⇔+≤⇔−≤≤m1 + Từ (1) và (2) suy ra giá trị của m cần tìm là 313 −−<≤− m và .131 ≤<+− m Câu 16. Cho hàm số , với m là tham số thực. yx mx mxm 32 (1 2 ) (2 ) 2=+− +− ++ 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với 1 = m . 2) Xác định để hàm số đã cho đạt cực trị tại m x x 1 , 2 sao cho xx 12 1 3 − > . • Ta có: yx mx m 2 '3 (12 22)(=−+−+ ) Hàm số có CĐ, CT có 2 nghiệm phân biệt y '0⇔= x x 12 , (giả sử x x 12 < ) m mmmm m 22 5 '(12) 3(2 )4 50 4 1 Δ ⎡ > ⎢ ⇔=− − −= −−>⇔ ⎢ <− ⎣ (*) Hàm số đạt cực trị tại các điểm x x 12 , . Khi đó ta có: m xx 12 (1 2 )2 ⎧ − +=− ⎪ m xx 12 3 2 3 − ⎪ = ⎩ ⎨ ()() xx xx xx xx 2 12 12221 2 1 1 3 1 4 9 ⇔=+−−>−> mm mm m m 22 329 329 4(1 2 ) 4(2 ) 1 16 12 5 0 88 +− −−>⇔ − −>⇔> ∨<⇔− mm 329 1 8 + >∨<− Kết hợp (*), ta suy ra Câu 17. Cho hàm số yxmx m 32 11 (1) 3( 33 =−−+−x2)+, với m là tham số thực. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với m 2 = . 2) Xác định để hàm số đã cho đạt cực trị tại m x x 1 , 2 sao cho xx 12 21 + = . • Ta có: yx m x m 2 2( 1) 3( 2) ′ =− −+ − Trang 5 101 Khảo sát hàm số Ths : Lê Minh Phấn Hàm số có cực đại và cực tiểu ⇔ y 0 ′ = có hai nghiệm phân biệt x x 12 , ⇔ (luôn đúng với ∀ m) mm 2 05 7 Δ ′ >⇔ − + > 0 Khi đó ta có: ⇔ xx m xx m 12 12 2( 1) 3( 2) ⎧ += − ⎨ =− ⎩ () xm xxm 2 22 32 12 3( 2) ⎧ =− ⎪ ⎨ − =− ⎪ ⎩ mm m 2 434 81690 4 −± ⇔+−=⇔= . Câu 18. Cho hàm số x3 . yxmx 32 4– =+ 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0. 2) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x x 1 , 2 thỏa x x 12 4=− . • . Ta có: ⇒ hàm số luôn có 2 cực trị yxmx 2 12 2 –3 ′ =+ m 2 36 0, Δ ′ =+>∀ m x x 12 , . Khi đó: 12 12 12 4 6 1 4 xx m xx xx ⎧ ⎪ =− ⎪ ⎪ +=− ⎨ ⎪ ⎪ =− ⎪ ⎩ 9 2 m⇒=± Câu hỏi tương tự: a) yx ; ĐS: x mx 32 31=+ + +xx 12 23+= m 105 = − . Câu 19. Cho hàm số y mxxmx 32 (2) 3=+ + +−5 , m là tham số. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0. 2) Tìm các giá trị của m để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là các số dương. • Các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là các số dương PT có 2 nghiệm dương phân biệt ⇔ ymxxm = 2 '3( 2) 6 0=+ ++ am mm mm m m mm P m mm S m 2 (2)0 '93( 2)0 '23031 00 0 3( 2) 20 2 3 0 2 Δ Δ ⎧ =+≠ ⎪ =− + > ⎧ ⎧ =− − + > − < < ⎪ ⎪⎪⎪ ⇔⇔<⇔<⇔− => ⎨⎨⎨ + ⎪⎪⎪ +< <− ⎩ ⎩ − ⎪ => ⎪ + ⎩ m32<<− Câu 20. Cho hàm số + (1) yx x 32 –3 2= 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1). 2) Tìm điểm M thuộc đường thẳng d: yx32 = − sao tổng khoảng cách từ M tới hai điểm cực trị nhỏ nhất. • Các điểm cực trị là: A(0; 2), B(2; –2). Xét biểu thức gxy x y(,) 3 2 = −− ta có: AA A A BB B B gx y x y gx y x y( , )3 2 40;( , )3 260= − −=−< = − −=> ⇒ 2 điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của đường thẳng d: yx32 = − . Do đó MA + MB nhỏ nhất ⇔ 3 điểm A, M, B thẳng hàng ⇔ M là giao điểm của d và AB. Phương trình đường thẳng AB: yx22=− + Trang 6 Ths : Lê Minh Phấn 101 Khảo sát hàm số Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ: 4 32 5 22 2 5 x yx yx y ⎧ = ⎪ =− ⎧ ⎪ ⇔ ⎨⎨ =− + ⎩ ⎪ = ⎪ ⎩ ⇒ 42 ; 55 M ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ Câu 21. Cho hàm số (m là tham số) (1). yx mx mxm 32 (1 – 2 ) (2 – ) 2=+ + ++ 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 2. 2) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1. • yx mx mgx 2 32(12)2 ( ′ =+− +−= ) YCBT ⇔ phương trình có hai nghiệm phân biệt y 0 ′ = x x 1 , 2 thỏa mãn: . xx 12 1<< ⇔ mm gm Sm 2 450 (1) 5 7 0 21 1 23 Δ ⎧ ′ =−−> ⎪ ⎪ =− + > ⎨ − ⎪ =< ⎪ ⎩ ⇔ m 57 45 < < . Câu 22. Cho hàm số 322 3 33(1) y xmx m xm=− + − − +m (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1. 2) Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O bằng 2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O. • Ta có 22 36 3( 1 ′ =− + − yxmxm) 0 Hàm số (1) có cực trị thì PT có 2 nghiệm phân biệt 0 ′ = y có 2 nhiệm phân biệt 22 21xmxm⇔− +−= 10,m ⇔ Δ= > ∀ Khi đó: điểm cực đại A m(1;22−−m) và điểm cực tiểu B mm(1;22) + −− Ta có 2 322 2610 322 m OA OB m m m ⎡ =− + =⇔++=⇔ ⎢ =− − ⎢ ⎣ . Câu 23. Cho hàm số 2 (1) yx mx mxmm 32 23 33(1)=− + + − + − 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m 1 = . 2) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1). • . yxmx m 22 36 3(1 ′ =− + + − ) PT y có ⇒ Đồ thị hàm số (1) luôn có 2 điểm cực trị 0 ′ = m10, Δ => ∀ x yxy 11 2 2 (;),(; ) . Chia y cho y ′ ta được: m yx yxm 2 1 2 33 ⎛⎞ ′ =− +−+ ⎜⎟ ⎝⎠ m m m Khi đó: ; yxm 2 11 2=−+ yxm 2 22 2 = −+ PT đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) là yxm 2 2 m = −+. Câu 24. Cho hàm số 2 có đồ thị là (C m ). 32 3yx x mx=− − + 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 2) Tìm m để (C m ) có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực trị song song với đường thẳng d: . yx43=− + Trang 7 101 Khảo sát hàm số Ths : Lê Minh Phấn • Ta có: 2 '3 6=−− y xxm. Hàm số có CĐ, CT có 2 nghiệm phân biệt 2 '3 6 0yxxm⇔= −−= 12 ; x x '93 0 3mm ⇔ Δ= + > ⇔ >− (*) Gọi hai điểm cực trị là () ( ) 1212 ;; ;ABxyyx Thực hiện phép chia y cho y ′ ta được: 11 2 '22 33 3 3 mm yxy x ⎛⎞⎛⎞⎛ =−−++− ⎜⎟⎜⎟⎜ ⎝⎠⎝⎠⎝ ⎞ ⎟ ⎠ ⇒ () () 11 1 222 22 22; 22 33 3 ⎛⎞⎛⎞ ⎛⎞⎛ −++− −+ +− ⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟⎜ ⎝⎠⎝⎠ ⎝⎠ == 3 ⎞ ⎟ ⎠ == ⎝ yyx yy m x mm xx m Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là d: ⇒ 2 22 33 mm yx ⎛⎞⎛ =− + + − ⎜⎟⎜ ⎝⎠⎝ ⎞ ⎟ ⎠ Đường thẳng đi qua các điểm cực trị song song với d: yx43 = −+ 2 24 3 3 23 3 m m m ⎧ ⎛⎞ −+=− ⎜⎟ ⎪ ⎪⎝ ⎠ ⇔ ⎨ ⎛⎞ ⎪ −≠ ⎜⎟ ⎪ ⎝⎠ ⎩ ⇔= (thỏa mãn) Câu 25. Cho hàm số 2 có đồ thị là (C m ). 32 3yx x mx=− − + 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 2) Tìm m để (C m ) có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực trị tạo với đường thẳng d: x y4–5 0 + = một góc . 0 45 • Ta có: 2 '3 6=−− y xxm. Hàm số có CĐ, CT có 2 nghiệm phân biệt 2 '3 6 0yxxm⇔= −−= 12 ; x x '93 0 3mm ⇔ Δ= + > ⇔ >− (*) Gọi hai điểm cực trị là () ( ) 1212 ;; ;ABxyyx Thực hiện phép chia y cho y ′ ta được: 11 2 '22 33 3 3 mm yxy x ⎛⎞⎛⎞⎛ =−−++− ⎜⎟⎜⎟⎜ ⎝⎠⎝⎠⎝ ⎞ ⎟ ⎠ ⇒ () () 11 1 222 22 22; 22 33 3 ⎛⎞⎛⎞ ⎛⎞⎛ −++− −+ +− ⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟⎜ ⎝⎠⎝⎠ ⎝⎠ == 3 ⎞ ⎟ ⎠ == ⎝ yyx yy m x mm xx m Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là Δ :⇒ 2 22 33 mm yx ⎛⎞⎛ =− + + − ⎜⎟⎜ ⎝⎠⎝ ⎞ ⎟ ⎠ Đặt 2 2 3 m k ⎛ =− + ⎜ ⎝⎠ ⎞ ⎟ . Đường thẳng d: x y4–5 0 + = có hệ số góc bằng 1 4 − . Ta có: 3 39 11 1 1 5 10 44 4 tan 45 1 11 5 1 1 1 4 44 3 2 k m kk k k kkk m ⎡ ⎡ ⎡ = = − +=− + ⎢ ⎢ ⎢ =⇔ ⇔ ⇔ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ − +=−+ =− = − ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎣ ⎣  Kết hợp điều kiện (*), suy ra giá trị m cần tìm là: 1 2 m = − Câu 26. Cho hàm số (1) yx x m 32 3=+ + 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m 4 = − . 2) Xác định m để đồ thị của hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B sao cho n AOB 0 120= . Trang 8 Ths : Lê Minh Phấn 101 Khảo sát hàm số x • Ta có: ; yx 2 36 ′ =+ xym y x ym 24 0 0 ⎡ = −⇒ = + ′ =⇔ ⎢ =⇒= ⎣ Vậy hàm số có hai điểm cực trị A(0 ; m) và B( − 2 ; m + 4) OA m OB m(0; ), ( 2; 4)==−+ J JG JJG . Để n AOB 0 120= thì AOB 1 cos 2 = − () () m mm mm mm mm mm 22 2 22 40 (4) 1 4 ( 4) 2 ( 4) 2 32444 4( 4) ⎧ −< < + ⇔=−⇔++=−+⇔ ⎨ ++= ⎩ ++ 0 m m m 40 12 2 3 12 2 3 3 3 ⎧ −< < −+ ⎪ ⇔⇔= ⎨ −± = ⎪ ⎩ Câu 27. Cho hàm số 3 (C m ) yx mx m xm 322 –3 3( –1) –=+ 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m 2 = − . 2) Chứng minh rằng (C m ) luôn có điểm cực đại và điểm cực tiểu lần lượt chạy trên mỗi đường thẳng cố định. • ; yx mxm 22 36 3(1 ′ =− + − ) xm y xm 1 0 1 ⎡ = + ′ =⇔ ⎢ = − ⎣ Điểm cực đại M m(–1;2–3)m chạy trên đường thẳng cố định: 1 23 x t y t = −+ ⎧ ⎨ = − ⎩ Điểm cực tiểu N m(1;2–+− m) chạy trên đường thẳng cố định: 1 23 x t y t =+ ⎧ ⎨ = −− ⎩ Câu 28. Cho hàm số yxmx 42 13 22 =−+ (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m 3 = . 2) Xác định m để đồ thị của hàm số (1) có cực tiểu mà không có cực đại. • . yxmxxxm 32 22 2( ′ =− = − ) x y x m 2 0 0 ⎡ = ′ =⇔ ⎢ = ⎣ Đồ thị của hàm số (1) có cực tiểu mà không có cực đại ⇔ PT y 0 ′ = có 1 nghiệm ⇔ m 0 ≤ Câu 29. Cho hàm số m C(). 422 () 2( 2) 5 5==+−+−+yfx x m xm m 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số khi m = 1. 2) Tìm các giá trị của m để đồ thị của hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành 1 m C() tam giác vuông cân. • Ta có () 3 2 0 44(2)0 2 = ⎡ ′ =+−=⇔ ⎢ = − ⎣ x fx x m x x m Hàm số có CĐ, CT ⇔ PT fx() 0 ′ = có 3 nghiệm phân biệt ⇔ m 2 < (*) Khi đó toạ độ các điểm cực trị là: ( ) ( ) () A mm B mmC mm 2 0; 5 5 , 2 ;1 , 2 ;1−+ − − −− − ⇒ () ( ) AB m m m AC m m m 22 2; 44, 2; 44= −−+ − =−−−+ − J JG JJJG Do Δ ABC luôn cân tại A, nên bài toán thoả mãn khi Δ ABC vuông tại A ⇔ () 1120. 3 =⇔−=−⇔= mmACAB (thoả (*)) Trang 9 101 Khảo sát hàm số Ths : Lê Minh Phấn Câu 30. Cho hàm số ( ) m Cmmxmxy 55)2(2 224 +−+−+= 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. 2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (C m ) có điểm cực đại và điểm cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại và điểm cực tiểu lập thành một tam giác đều. • Ta có () 3 2 0 44(2)0 2 = ⎡ ′ =+−=⇔ ⎢ = − ⎣ x fx x m x x m Hàm số có CĐ, CT ⇔ PT có 3 nghiệm phân biệt ⇔ fx() 0 ′ = m 2 < (*) Khi đó toạ độ các điểm cực trị là: ( ) ( ) () A mm B mmC mm 2 0; 5 5 , 2 ;1 , 2 ;1−+ − − −− − ⇒ () ( ) AB m m m AC m m m 22 2; 44, 2; 44=−−+− =−−−+− J JG JJJG Do Δ ABC luôn cân tại A, nên bài toán thoả mãn khi  A 0 60 = ⇔ A 1 cos 2 = ⇔ AB AC AB AC .1 2 . =     ⇔ 3 32 −=m. Câu hỏi tương tự đối với hàm số: yx m x m 42 4( 1) 2 1 = −−+− Câu 31. Cho hàm số có đồ thị (C m ) . yx mx m m 422 2=+ ++ 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = –2. 2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (C m ) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành một tam giác có một góc bằng . 0 120 • Ta có ; yxm 3 44 ′ =+ x x yxxm x m 2 0 04( )0 ⎡ = ′ =⇔ + =⇔ ⎢ = ±− ⎢ ⎣ (m < 0) Khi đó các điểm cực trị là: ( ) ( ) A mmB mmC mm 2 (0; ), ; , ;+− −− A Bmm 2 (;) J =−− JG ; A Cm 2 (;=− − −m) J JJG . Δ ABC cân tại A nên góc 120 chính là D l A . l A 120= D AB AC m m m A mm AB AC 4 4 1. 1 . cos 22 . −− − + ⇔=−⇔ =−⇔ =− − 1 2 J JG JJJG JJG JJJG m loaïi mm mmmm mm m mm 4 444 4 3 0( 1 1 22 3 0 2 3 ⎡ = + ⎢ ⇔=−⇒+=−⇔+=⇔ =− ⎢ − ⎢ ⎣ ) Vậy m 3 1 3 =− . Câu 32. Cho hàm số 1 có đồ thị (C m ) . yx mx m 42 2=− +− 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. 2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (C m ) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1. • Ta có x yxmxxxm x m 32 2 0 44 4( )0 ⎡ = ′ =− = −=⇔ ⎢ = ⎣ Hàm số đã cho có ba điểm cực trị ⇔ PT y 0 ′ = có ba nghiệm phân biệt và đổi dấu khi y ′ x đi qua các nghiệm đó . Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị (Cm) là: m 0⇔> () ( ) Am B mmm Cmmm 22 (0; 1), ; 1 , ; 1−−−+− −+− Trang 10 . Minh Phấn 101 Khảo sát hàm số KSHS 01: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Câu 1. Cho hàm số ymxmx mx32)− (1) 32 1 (1) ( 3 =−++ 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m 2 = Hàm số (1) đồng biến trên (1; 2) khi chỉ khi 1 0 1 ≤ ⇔< ≤m m . Vậy ( ] ;1m∈−∞ . Trang 1 101 Khảo sát hàm số Ths : Lê Minh Phấn Câu 6. Cho hàm số mx y x m 4 + = + (1) 1) Khảo sát. Cho hàm số x3 . yxmx 32 4– =+ 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0. 2) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x x 1 , 2 thỏa x x 12 4=− . • . Ta có: ⇒ hàm số