HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 01 I. PHẦN CHUNG. Câu I. 2. + Phương trình trung trực của AB là: : 1. d y x + P, Q là giao điểm của d với m C . Do đó, hoành độ của P và Q là nghiệm của PT: 2 1 1 mx x x 2 3 0 x mx . Giả sử 1 1 2 2 ( ; 1), ( ; 1) P x x Q x x . + 2 1 2 1 2 1 . 4 2 4 16 2 APBQ S AB PQ PQ x x x x . Sử dụng định lí Vi-et 2 m + Để APBQ là tứ giác thì P và Q nằm khác phía với đường thẳng AB. Do đó 2 m Câu II. 1. + Dùng công thức hạ bậc: 2 4 2 1 sin 2 16 16 4sin 2 8sin 2 4 4 2 x cos x x x + Phương trình đã cho trở thành: 2 4sin 2 8sin 2 4 3 2 9 0 x x cos x 2 2 2 2sin 2 1 2 2 3 0 x cos x + Nghiệm của phương trình: 12 x k 2. Phương trình (2) của hệ tương đương với: 2 2 3 3 3 1 1 3 x x x y x y + Xét hàm số 2 ( ) ( 3) f t t t đồng biến trên R. Do đó 3 1 x x y 2 3 1 x y x . Thay vào PT(1) ta được: 1 1 1 0 x xy x y + Xét 3 trường hợp, suy ra nghiệm của hệ là ; 1; 1 x y hoặc ; 0;1 x y . Câu III. + Biến đổi: 4 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1x x x x x x x x và 2 2 1 1 ln 1 ln ln ln x x x x x x + Đổi biến 1 t x x , ta thu được 5 2 2 ln I t tdt . + Sử dụng công thức tích phân từng phần, thu được kết quả 5 25ln 9 2 2ln2 8 16 I . Câu IV. * + Giả sử hình chiếu của S trên mặt đáy là điểm H. Khi đó, , BD SH BD SB BD HB . Do đó, / / HB AC . + Góc giữa (SBD) và mp đáy là 0 60 SBH . Tính SH trong tam giác vuông SHB: 0 .sin60 6 SH SB a . + Từ diện tích mặt đáy bằng 2 a , suy ra 3 . 6 3 S ABCD a V . * Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC: + Kẻ đường thẳng qua C song song với BD, đường thẳng này cắt HB tại K. Khi đó, , , , d BD SC d BD SCK d B SCK + Ta tính được: 2 , 2 2 a BK HB a . Do đó, 1 , , 3 d B SCK d H SCK + Dễ thấy CK SHK nên trong mp(SHK) kẻ HI SK thì HI SHK . Vậy 1 , 3 d B SCK HI . + HI là đường cao trong tam giác vuông SHK nên 3 14 7 a HI . Từ đó khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC là 14 7 a . Câu V. Tham khảo cách dùng BĐT Nesbit. II. PHẦN RIÊNG. Câu VIa. 1. + Gỉa sử đường thẳng AB có VTPT là 1 ; n a b với 2 2 0 a b . Phương trình AB: 1 3 0 a x b y . + Dễ thấy ABC là tam giác đều nên góc giữa hai đường thẳng AB và BD là 0 30 . Do đó, 0 2 2 30 2. a b cos a b . Từ đó, 1, 2 3 1, 2 3 a b a b + Xét 2 trường hợp của đường thẳng AB và vì B có hoành độ lớn hơn 1 nên thu được B(2;2). + Có phương trình AB, suy ra phương trình CD 4; 4 D . + Đường thẳng AC đi qua trung điểm I(-1;-1) của BD và vuông góc với BD có phương trình AC: 2 0 x y . Cho AC cắt AB được 3 1; 3 1 A , cho AC cắt CD được 3 1; 3 1 C . 2. + d đi qua C và d nằm trong nên C . Suy ra ; ;2 2 C x y x y . Do tam giác ABC vuông cân tại C nên . 0 CB CA CB CA . Từ đó, 2;3; 2 C . + Giả sử VTCP của d là ; ; u a b c . Vì d nằm trong nên . 0 2 2 0 u n a b c (1). + d tạo với góc 0 45 nên 0 . sin 45 . u n u n . Kết hợp với (1) ta được VTCP của d là: 1 5 84 ;1; 37 37 u hoặc 2 1;1;0 u . + Có 2 đường thẳng thỏa mãn: 1 5 2 37 : 3 84 2 37 x t d y t z t hoặc 2 2 : 3 2 x t d y t z Câu VIb. + Đặt z a bi z a bi . Thay vào điều kiện (2) thu được 2 3 5 a b . Dùng điều kiện 2 2 2 4 z a b . Giải hệ suy ra a, b. Từ đó có 2 số phức z thỏa mãn: 1 2 13 3 3 1 3 , 7 7 z i z i . Câu VIb. 1. + Giả sử ; , ; A A B B A x y B x y . Hai đường thẳng OA và OB vuông góc và A, B thuộc (E) nên suy ra được 2 2 1 1 25 144 OA OB . Áp dụng BĐT Côsi ta được . 144 2 25 OAOB . Diện tích tam giác OAB nhỏ nhất khi OA = OB. + Từ các điều kiện , OA OB OA OB và , A B E ta tìm được cặp điểm 12 12 12 12 ; , ; 5 5 5 5 A B hoặc ngược lại. 2. + Giả sử khoảng cách từ I đến mp(P) là x , bán kính đường tròn đáy là r . Khi đó, 2 2 2 2 3 3 27 r x x . + Thể tích khối nón là: 2 2 1 1 (27 ) 3 3 V r x x x . Áp dụng BĐT Côsi suy ra V lớn nhất khi 3 x . + 2 ; 2 ; 1 3 I d I t t t . Khoảng cách từ I đến (P) bằng 3, suy ra 1 7 11 t t + Có hai mặt cầu thỏa mãn: 2 2 2 1 1 4 27 x y z hoặc 2 2 2 29 14 10 27 11 11 11 x y z . Câu VIIb. + Giải phương trình được: 3 1 3 2 i z i e , 6 2 1 3 2 i z i e + 2012 2012 2012 1 2 2 A z z . VIIb. + Giải phương trình được: 3 1 3 2 i z i e , 6 2 1 3 2 i z i e + 2012 2012 2012 1 2 2 A z z . HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 01 I. PHẦN CHUNG. Câu I. 2. + Phương trình trung trực của AB là: : 1. d y x + P, Q là. với 2 2 0 a b . Phương trình AB: 1 3 0 a x b y . + Dễ thấy ABC là tam giác đều nên góc giữa hai đường thẳng AB và BD là 0 30 . Do đó, 0 2 2 30 2. a b cos a b . Từ