Hỗ trợ toán hình học 10 học kỳ 1

Nguyễn Quốc Quận - Trường THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu 1 Hỗ trợ học Toán Hình học 10 (học kỳ 1) Vectơn Các công thức cơ bản cần nhớ 1/ Qui tắc 3 điểm. a/ Qui tắc cộng: ACBCAB =+ (A, B, C bất kỳ) b/ Qui tắc trừ: ABOAOB =− (O, A, B bất kỳ) 2/ Qui tắc hình bình hành:ABCD là hình bình hành thì: ACBDAB =+ 3/ Nếu a = k b thì a và b cùng phương. Cụ thể: k > 0 thì a và b cùng hướng ; k < 0 thì a và b ngược hướng và akak = ,     = = ⇔= 0a 0k 0a.k 4/ Công thức liên quan trung điểm: O là trung điểm đoạn AB thì: a/ 0=+ OBOA ; b/ ( ) MBMAMO += 2 1 ( M b ấ t k ỳ ) 5 / Công th ứ c liên quan tr ọ ng tâm tam giác. G là tr ọ ng tâm tam giác ABC thì: a/ 0=++ GCGBGA b/ ( ) MCMBMAMG ++= 3 1 ( M b ấ t k ỳ ) Bài tập Bài 1 / Cho b ố n đ i ể m A , B , C , D . Tính : a/ CABDDCABu +++= ; b/ DABCCDABv +++= Gi ả i a/ CABDDCABu +++= = ( ) ( ) 0==+=+++ AADAADCADCBDAB b/ DABCCDABv +++= = ( ) ( ) 0==+=+++ AACAACDACDBCAB Bài 2 / Cho 6 đ i ể m A , B , C , D , E , F. Ch ứ ng minh: CDBFAECFBEAD ++=++ Gi ả i “ Để ch ứ ng minh T = P ta có th ể ch ứ ng minh T – P = 0” ( ) ( ) CDBFAECFBEAD ++−++ = ( ) ( ) ( ) CDCFBFBEAEAD −+−+− = DF FE ED + + = ( ) FEDFED ++ = DE ED + = 0 Suy ra đ i ề u ph ả i ch ứ ng minh Bài 3 / Cho tam giác ABC . G ọ i M, N, P l ầ n l ượ t là trung đ i ể m c ủ a BC, CA, AB. Ch ứ ng minh: 0 =++ CPBNAM Gi ả i “S ử d ụ ng công th ứ c trung đ i ể m” ( ) CACBBCBAACABCPBNAM +++++=++ 2 1 = ( ) ( ) ( ) [ ] CBBCCAACBAAB +++++ 2 1 = 0 S ử d ụ ng công th ứ c tr ọ ng tâm ( ) 0GCGCBGA 2 3 CPBNAM =++−=++ Bài 4 / Cho tam giác ABC . G ọ i M là trung đ i ể m c ủ a AB và N là đ i ể m trên c ạ nh AC sao cho NC = 2NA. G ọ i K là trung đ i ể m c ủ a MN. a/ Ch ứ ng minh: ACABAK 6 1 4 1 += Nguyễn Quốc Quận - Trường THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu 2 K N M D C B A b/ G ọ i D là trung đ i ể m c ủ a BC . Ch ứ ng minh: ACABKD 3 1 4 1 += Gi ả i a/ M là trung đ i ể m AB nên: ABAM 2 1 = , NC = 2NA nên ACAN 3 1 = K là trung đ i ể m MN nên: ( ) ANAMAK += 2 1 =       += ACABAK 3 1 2 1 2 1 = ACAB 6 1 4 1 + b/ G ọ i D là trung đ i ể m c ủ a BC . Ch ứ ng minh: ACABKD 3 1 4 1 += Gi ả i D là trung đ i ể m AC nên ( ) ACABAD += 2 1 mà AK AD KD − = V ậ y: ACABACABACABKD 3 1 4 1 6 1 4 1 2 1 2 1 +=−−+= Bài 5 / Cho tam giác ABC. a/ Tìm I sao cho : 02 =+ IBIA b/ Tìm K sao cho : CBKBKA =+ 2 ; c/ Tìm M sao cho : 02 =++ MCMBMA Gi ả i a/ Tìm I sao cho : 02 =+ IBIA 02 =+ IBIA ⇔ BI IA 2 = hay IB AI 2 = “ AI và IB cùng h ướ ng và AI = 2IB” V ậ y I thu ộ c đ o ạ n AB và chia AB thành thành 3 đ o ạ n b ằ ng nhau thì có hai đ i ể m ch ọ n đ i ể m I v ề phía B b/ CBKBKA =+ 2 ⇔ KCKBKBKA −=+ 2 “ thay KBKCCB −= ” 0=++ KCKBKA V ậ y K ≡ G là trong tâm tam giác ABC c/ Tìm M sao cho : 02 =++ MCMBMA Gi ả i. “ l ư u ý công th ứ c trung đ i ể m có s ố 2, bài toán v ề tâm t ỷ c ự đơ n gi ả n nh ấ t” G ọ i D là trung đ i ể m đ o ạ n AB, ta có: MD MB MA 2 = + 02 =++ MCMBMA ⇔ 022 =+ MCMD ⇔ 0=+ MCMD V ậ y M là trung đ i ể m CD Bài 6 / Cho hình bình hành ABCD và đ i ể m M tùy ý. Ch ứ ng minh : MDMBMCMA +=+ Gi ả i G ọ i O = AC ∩ BD ⇒ O là trung đ i ể m c ủ a AC và BD Ta có:      =+ =+ MOMDMB MOMCMA 2 2 ⇒ MDMBMCMA +=+ Bài 7 / Cho tam giác ABC và đ i ể m M tùy ý . a/ Ch ứ ng minh r ằ ng vect ơ MCMBMAv 32 −+= không ph ụ thu ộ c v ị trí đ i ể m M b/ D ự ng đ i ể m D sao cho vCD = . CD c ắ t AB t ạ i K . Ch ứ ng minh: 02 =+ KBKA và CKCD 3 = Gi ả i a/ Ch ứ ng minh r ằ ng vect ơ MCMBMAv 32 −+= không ph ụ thu ộ c v ị trí đ i ể m M Nguyễn Quốc Quận - Trường THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu 3 “ Tìm đ i ể m c ố đị nh liên quan ABC và bi ế n đổ i v “ m ấ t M” là xong ” ( ) ( ) MCMBMCMAv −+−= 2 = CBCA 2+ đ i ề u ph ả i ch ứ ng minh b/ D ự ng đ i ể m D sao cho vCD = . CD c ắ t AB t ạ i K . Ch ứ ng minh: 02 =+ KBKA và CKCD 3 = T ừ ( ) ( ) MCMBMCMAv −+−= 2 = CBCA 2+ “ làm m ấ t s ố 2 đ i” D ự ng đ i ể m E sao cho E là trung đ i ể m CE ⇒ CBCE 2= . Khi đ ó: CECAv += . D ự ng hình bình hành CADE ⇒ vCD = G ọ i O = CD ∩ EA ⇒ O là trung đ i ể m c ủ a CD và EA K = CO ∩ AB ⇒ K là tr ọ ng tâm tam giác ACE ⇒ KB KA 2 − = ⇒ 02 =+ KBKA . Bài 8 / Cho tam giác ABC n ộ i ti ế p đườ ng tròn tâm O, H là tr ự c tâm tam giác, D là đ i ể m đố i x ứ ng v ớ i A qua O. a/ Ch ứ ng minh r ằ ng HBDC là hình bình hành . b/ Ch ứ ng minh r ằ ng OHOCOBOAHOHCHBHA =++=++ ,2 c/ G ọ i G là tr ọ ng tâm tam giác ABC . Ch ứ ng minh : OGOH 3 = “ Đườ ng th ẳ ng qua 3 đ i ể m O, H, G g ọ i là đườ ng th ẳ ng Ơ le” Gi ả i a/ Ch ứ ng minh r ằ ng HBDC là hình bình hành . AD là đườ ng kính nên DC ⊥ AC và BD ⊥ HC Vì: DC ⊥ AC và BH ⊥ AC nên DC // BH (1) Vì : DB ⊥ AB và CH ⊥ AB nên DB // CH (2) (1) và (2) ⇒ BHCD là hình bình hành b/ Ch ứ ng minh r ằ ng OHOCOBOAHOHCHBHA =++=++ ,2 BHCD là hình bình hành nên: HDHCHB =+ HOHDHAHCHBHA 2=+=++ ( Vì O là trung điểm AD) Có: HAOHOA += , HBOHOB += và HCOHOC += Nên: HCHBHAOHOCOBOA +++=++ 3 Bài 9/Cho tam giác ABC.Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của AB, BC,CA và điểm M tùy ý. Chứng minh: a/ MFMEMDMCMBMA ++=++ b/ 0=++ CDBFAE c/ 0=++ CFBEAD Giải a/ MFMEMDMCMBMA ++=++ ( ) ( ) MFMEMDMCMBMA ++−++ = ( ) ( ) ( ) MFMCMEMBMDMA −+−+− = FCEBDA ++ = AF FD DA + + = DD FD AF DA = + + b/ 0=++ CDBFAE ( công thức trung điểm) CDBFAE ++ = ( ) CACBBCBAACAB +++++ 2 1 = 0 c/ 0=++ CFBEAD D K O E A B C H O D C B A F E D C B A Nguyễn Quốc Quận - Trường THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu 4 N M D C B A N H G M C B A ( ) 0 2 1 2 1 =++=++ CABCABCFBEAD Bài 10/ Cho tứ giác ABCD và M, N lần lượt là trung điểm của đoạn AB, CD. Chứng minh: MNBCACBDAD 4=+++ Giải )()( BCBDACAD +++ = BNAN 22 + = ( ) NBNA +− 2 = NM2.2− Bài 11/ Cho tam giác ABC với G là trọng tâm, H là điểm đối xứng của B qua G, M là trung điểm BC. Chứng minh: a/ ABACAH 3 1 3 2 −= b/ ABACCH 3 1 3 1 −−= c/ ABACMH 6 5 6 1 −= Giải a/ ABACAH 3 1 3 2 −= Gọi N là trung điểm AC, ta có: AGNC là hình bình hành GKGCAH 3 2 −== ( K là trung điểm AB) ( ) CBACCBCAAH 3 1 3 1 2 1 . 3 2 −=+−= = ( ) ACABAC −− 3 1 3 1 = ACAC 3 1 3 2 − b/ ABACCH 3 1 3 1 −−= AMGACH 3 2 −== = ( ) ACAB +− 2 1 . 3 2 = ACAB 3 1 3 1 −− c/ ABACMH 6 5 6 1 −= ( ) HCHBMH +−= 2 1 = ( ) AGGB +− 2 2 1 = ( ) GBAB +− 2 1 = BGAB 2 1 2 1 +− = BNAB 3 2 . 2 1 2 1 +− ( ) BCBAABMH ++−= 2 1 . 3 1 2 1 = ( ) ACBABAAB +++− . 6 1 2 1 = ABABAC 3 1 2 1 6 1 −− ABACMH 6 5 6 1 −= Bài 12/ Cho tam giác ABC đều cạnh a, trọng tâm O. Tính: a/ ACAB + b/ ACAB − c/ OBOA + d/ ACAO + Giải Nhắc lại độ dài đường cao tam giác đều bằng: độ dàicạnh. 2 3 a/ ACAB + = AM2 = 2AM = 3a b/ ACAB − = CA = CA = a c/ OBOA + . Gọi M là trung điểm BC H K M O C B A Nguyễn Quốc Quận - Trường THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu 5 OMOMOBOA 22 ==+ = AM 3 1 .2 = 3 3a d/ ACAO + . Gọi K là trung điểm OC. AKACAO 2=+ = 2AK Gọi H là hình chiếu của K lên AM, trong tam giác AHK có: 4 4 1 2 1 a BCMCHK === ; OMAMOHAOAH 2 1 3 2 +=+= = AMAM 6 1 3 2 + = AM 6 5 = 2 3 . 6 5 a 12 35a AH = nên : AK 2 = AH 2 + HK 2 = 144 84 16 144 75 222 aaa =+ ⇒ AK = 6 21a Vậy: 3 21a ACAO =+ Bài 13/ Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Tính: a/ ADAB + b/ ADAB − c/ ACAB + d/ ABAO + Giải a/ ADAB + = ACAO =2 = AC = 2a b/ ADAB − = DA = DA = a c/ ACAB + . Gọi M là trung điểm BC AMACAB 2=+ = 2AM = 2 5 4 2 222 aa aBMAB =+=+ d/ ABAO + . Gọi H là trung điểm OB. AHABAO 2=+ = 2AH Trong tam giác AOH có: AH 2 = AO 2 + OH 2 = 16 10 16 2.5 16 5 4 5 4 22222 2 aaACAOOB AO ====+ Hay 4 10a AH = . Vậy: 2 10a ABAO =+ Bài 14/Cho lục giác đều ABCDEF và điểm M tùy ý .Chứng minh rằng: MFMDMBMEMCMA ++=++ . Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp lục giác đã cho Giải. ( ) ( ) MFMDMBMEMCMA ++−++ = ( ) ( ) ( ) MFMEMDMCMBMA −+−+− = FEDCBA ++ = AOOBBA ++ = BBOBAOBA =++ O H M D C B A Nguyễn Quốc Quận - Trường THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu 6 Giá trị lượng giác của một góc ( từ 0 0 đến 180 0 ) • Trong hệ trục (Oxy) cho đường tròn tâm O qua các điểm A(1 ; 0 ), A / (–1 ; 0) và B(0 ; 1). Vẽ cung AM có số đo là α ( tương ứng góc có hai tia OA, OM ). Tìm tọa độ điểm M . Nếu: M( x M ; y M ) • cosα = x M sinα = y M • α α α cos sin tan = (α ≠ 90 0 ) α α α sin cos cot = ( α ≠ 0 0 và α ≠ 180 0 ) • Nếu a + b = 180 0 thì: sina = sinb và cosa = –cosb ; tana = –tanb ; coaa = –cotb • Các hệ thức lượng giác cần nhớ 1/ sin 2 x + cos 2 x = 1 2/ tanx = x x cos sin 3/ cotx = x x sin cos 4/ tanx.cotx = 1 5/ x 2 cos 1 = 1 + tan 2 x 6/ x 2 sin 1 = 1 + cot 2 x Bài tập . Bài 1/ Cho sinx = 13 5 ( 90 0 < x < 180 0 ). Tính các giá trị lượng giác còn lại Giải cos 2 x = 1 – sin 2 x = 169 144 169 25 1 =− ⇔ 13 12 cos −=x vì ( 90 0 < x < 180 0 ) nên: cosx < 0 12 5 12 13 . 13 5 tan −=−=x , 5 12 cot −=x Bài 2/ Biết cot15 0 = 2 + 3 . Tính các giá trị lượng giác còn lại của góc 15 0 Giải 32 32 1 15tan 0 −= + = ; ( ) 32415tan1 15 cos 1 02 02 −=+= ⇒ ( ) 4 32 324 1 15cos 02 + = − = ⇒ 2 32 15cos 0 + = ; sin15 0 = tan15 0 .cos15 0 = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 32 2 323232 2 32 32 − = −−+ = + − Bài 3/ Cho tanα = 3 . Tính: αα α α cos 11 sin 4 cos3sin2 / − + a b/ α α α α 33 cos 17 sin cos2sin3 − − Giải Cách 1/ αα α α cos 11 sin 4 cos3sin2 / − + a = 11 tan 4 3tan2 − + α α ( chia 2 vế cho cosα ) = 11 Cách khác: tanα = 3 ⇒ sinα = 3cosα . Thay vào biểu thức Cách 2/ b/ α α α α 33 cos 17 sin cos2sin3 − − = α α α 23 cos 1 . 17 tan 2tan3 − − = ( ) α α α 2 3 tan1 17 tan 2tan3 + − − = 7 Cách khác: tanα = 3 ⇒ sinα = 3cosα . Thay vào biểu thức Bài 4/ Cho tana + cota = m , hãy tính theo m. a/ tan 2 a + cot 2 a , b/ tan 3 a + cot 3 a , c/ | tana – cota| Giải a/ tan 2 a + cot 2 a = (tana + cota) 2 –2tana.cota = m 2 –2 b/ tan 3 a + cot 3 a = (tana + cota) 3 –3tana.cota(tana + cota) = m 3 –3m c/ | tana – cota| = ( ) 2cottan2cottan 2 2 −=−+ maaaa Nguyễn Quốc Quận - Trường THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu 7 Bài 5/ Cho sina + cosa = m , hãy tính theo m. a/ sina cosa b/ | sina – cosa| c/ sin 3 a + cos 3 a d/ sin 4 a + cos 4 a e/ sin 6 a + cos 6 a Giải a/ sina cosa = ( ) 2 1 2 1cossin 2 2 − = −+ maa b/ | sina – cosa| = ( ) 2 cossin aa − = ( ) aaaa cossin4cossin 2 −+ = 2 1 4 2 2 − − m m | sina – cosa| = 2 2 m− c/ sin 3 a + cos 3 a = (sina + cosa) 3 –3sinacosa)(sina + cosa) = 2 1 3 2 3 − − m mm sin 3 a + cos 3 a = 2 23 3 mm − d/ sin 4 a + cos 4 a = (sin 2 a + cos 2 a) 2 –2sin 2 acos 2 a = 1 – 2(sinacosa) 2 = 2 2 2 1 21         − − m sin 4 a + cos 4 a = 2 21 42 mm −+ Bài 6 / Ch ứ ng minh r ằ ng: a/ a a aa 22 22 cos cot sintan − − = tan 6 a b/ aaa a aa 32 3 tantantan1 cos cossin +++= + c/ sin 2 atan 2 a + 4sin 2 a –tan 2 a + 3cos 2 a = 3 Gi ả i a/ a a aa 22 22 cos cot sintan − − = tan 6 a a a aa 22 22 cos cot sintan − − = ( ) ( ) aa aa 22 22 sin1cot cos1tan − − = a a aa 22 22 cos cot sintan b/ aaa a aa 32 3 tantantan1 cos cossin +++= + a a aa a aa 23 cos 1 . cos cossin cos cossin + = + = ( ) ( ) aa 2 tan11tan ++ c/ sin 2 atan 2 a + 4sin 2 a –tan 2 a + 3cos 2 a = 3 VT = sin 2 atan 2 a + sin 2 a –tan 2 a + 3sin 2 a + 3cos 2 a = sin 2 a(1 + tan 2 a) –tan 2 a + 3(sin 2 a + cos 2 a) = 3 Bài 7 / Ch ứ ngminh các đẳ ng th ứ c sau: a/ cos 4 x – sin 4 x = 2cos 2 x –1 b/ cot 2 x – cos 2 x = cos 2 x.cot 2 x c/ tan 2 x –sin 2 x = tan 2 x.sin 2 x d/ (sinx + cosx) 2 + (sinx –cosx) 2 = 2 Gi ả i a/ cos 4 x – sin 4 x = 2cos 2 x –1 cos 4 x – sin 4 x = (cos 2 x – sin 2 x)(cos 2 x + sin 2 x) = cos 2 x – (1 – cos 2 x) = 2cos 2 x –1 b/ cot 2 x – cos 2 x = cos 2 x.cot 2 x. VP = (1 – sin 2 x)cot 2 x = cot 2 x – sin 2 xcot 2 x = cot 2 x – cos 2 x c/ tan 2 x –sin 2 x = tan 2 x.sin 2 x. VP = tan 2 x( 1 – cos 2 x) = tan 2 x – tan 2 x.cos 2 x = tan 2 x – sin 2 x Bài 8 / Rút g ọ n các bi ể u th ứ c sau: Nguyễn Quốc Quận - Trường THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu 8 D / C / D C B A B / A / B AO a/ 2(sin 6 x + cos 6 x) –3(sin 4 x + cos 4 x) b/ 2cos 4 x –sin 4 x + sin 2 xcos 2 x +3sin 2 x c/ (sin 4 x + cos 4 x –1)(tan 2 x + cot 2 x + 2) Giải . sin 4 x + cos 4 x = (sin 2 x + cos 2 x) 2 –2sin 2 xcos 2 x = 1 –2sin 2 xcos 2 x sin 6 x + cos 6 x = (sin 2 x + cos 2 x) 3 –3sin 2 xcos 2 x(sin 2 x + cos 2 x) = 1 –3sin 2 xcos 2 x a/ 2(sin 6 x + cos 6 x) –3(sin 4 x + cos 4 x) = 2(1 –3sin 2 xcos 2 x) –3(1 –2sin 2 xcos 2 x) = –1 b/ B = 2cos 4 x –sin 4 x + sin 2 xcos 2 x +3sin 2 x = cos 4 x – sin 4 x + cos 4 x+ sin 2 xcos 2 x +3sin 2 x = (cos 2 x –sin 2 x)(cos 2 x + sin 2 x) + cos 2 x(cos 2 x + sin 2 x) + 3sin 2 x = cos 2 x – sin 2 x + cos 2 x + 2sin 2 x = 2(cos 2 x + sin 2 x) = 2 c/ C = (sin 4 x + cos 4 x –1)(tan 2 x + cot 2 x + 2) = –2sin 2 xcos 2 x(tan 2 x + cot 2 x + 2) = –2sin 4 x –2cos 4 x –4sin 2 xcos 2 x = –2(sin 2 x + cos 2 x) 2 = –2 d/ (sinx + cosx) 2 + (sinx – cosx) 2 = 2 D = sin 2 x + 2sinxcosx + cos 2 x + sin 2 x –2sinxcosx + cos 2 x = 2(sin 2 x + cos 2 x) = 2 TÍCH VÔ HƯỚNG • Góc gi ữ a hai vect ơ : Cho hai vect ơ a và b . T ừ đ i ể m O tu ỳ ý , d ự ng aOA = và bOB = . Góc AOB g ọ i là góc gi ữ a hai vect ơ a và b . ( ) ba ; = AOB • Tích vô h ướ ng c ủ a hai vect ơ a và b . Ký hi ệ u: ba. và ba. = ( ) baba ;cos • Tính ch ấ t. 1 / ba. = ab. 2 / ( ) cba + = caba + 3 / ( ) 2 2 aa = 4 / ( ) 222 2 bbaaba +±=± 5/ Cho hai vect ơ OA và OB . B / là hình chi ế u ( vuông góc) c ủ a B lên đườ ng th ẳ ng qua hai đ i ể m O, A. Ta có: 'OBOAOBOA = ( Hình trái: A / là hình chi ế u c ủ a A lên OB, B / là hình chi ế u c ủ a B lên OA thì: OBOAOBOAOBOA // == Hình ph ả i: C / , D / l ầ n l ượ t là hình chi ế u c ủ a C,D lên AB thì : // DCABCDAB = ) 6 / Cho đườ ng tròn (O) tâm O bán kính R và m ộ t đ i ể m M. Qua M k ẻ đườ ng th ẳ ng ∆ c ắ t (O) t ạ i hai đ i ể m AB, ta luôn có: 22 . RMOMBMA −= Ch ứ ng minh K ẻ đườ ng kính BC,ta có: CA ⊥ AB ⇒ A là hình chi ế u c ủ a C lên AB ( hay ∆ ) ( ) ( ) OMOBOMOCMBMCMBMA −−== = ( ) ( ) OMOCOMOC −−− = – ( OC 2 – OM 2 ) Hay : 22 . RMOMBMA −= • 22 . RMOMBMA −= .G ọ i là ph ươ ng tích c ủ a đ i ể m M đố i v ớ i đườ ng tròn (O) và Ký hi ệ u: P M/(O) • N ế u M ngoài (O) và MT là ti ế p tuy ế n c ủ a (O) ( T là ti ế p tuy ế n ) , ta có: 2 . MTMBMA = • H ẳ n nhiên. Đườ ng th ẳ ng qua M c ắ t (O) t ạ i A, B; Đườ ng th ẳ ng qua (O) c ắ t (O) t ạ i C,D thì MDMCMBMA = Bài tập Bài 1 . Cho tam giác ABC có AC = 9, BC = 5 , ACB = 90 0 . Tính ACAB. Gi ả i. Nguyễn Quốc Quận - Trường THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu 9 C B A H O M C B A O D C B A Cách 1 / B là hình chi ế u c ủ a C lên AC, nên: 810cos 02 === ACACACACAB Cách 2 / 81 9 .9.cos 22 22 = + +== BCAC BCACAACABACAB Cách 3 / ( ) 81 22 ==+=+= ACACCBACACCBACACAB ( vì 0. =ACCB ) Bài 2 . Cho tam giác đề u ABC c ạ nh a, tâm O và M là trung đ i ể m BC. Tính: Gi ả i. L ư u ý:“ Tính góc gi ữ a hai vect ơ ta đư a hai vect ơ v ề hai vect ơ chung g ố c và góc c ủ a chúng là góc k ẹ p gi ữ a hai m ũ i tên” 1/ OMOA. và BCOA. 2/ OBOA. và ABOA. Gi ả i 1/ OMOA. và BCOA. Góc gi ữ a OA và OM là 180 0 . Nên )1.( −= OMOAOMOA = 2 2OM− 2 3 1 2.       −= AMOMOA = 2 2 3 3 1 2         − a = 6 2 a − OA ⊥ BC nên 0. =BCOA 2/ OBOA. và ABOA. Góc giữa OA và OB là 120 0 nên: OBOA. =         − 2 3 2 OA =       −         2 1 2 3 3 2 2 a = 6 2 a − “Một phát hiện thú vị là M là hình chiếu của B lên OA nên OBOA. = OMOA. ” Góc giữa OA và AB là 150 0 nên: ABOA. = OA.AB.cos150 0 = “tại sao không áp dụng điều phát hiện trên: M là hình chiếu của B lên OA nên ABOA. = ABOA. ” Bài 3. Cho hình vuông ABCD tâm O, cạnh a. Tính: 1/ ABOA. và ACAB + 2/ DCAB. và ADOB. Giải 1/ ABOA. . O là hình chiếu của B lên AO nên: Gọi ABOA. = AOOA = – OA 2 = 22 2 2 2 aa −=         − Gọi M là trung điểm BC, ta có: ACAB + = AM2 = 5 4 2 2 2 a a a =+ 2/ DCAB. và ADOB. AB và DC cùng hướng nên DCAB. = AB 2 = a 2 O là hình chiếu của A lên OB nên ADOB. = DOOB = – OB 2 = 2 2 a Bài 4. Cho tam giác ABC có AB = 5 , BC = 7, CA = 8.Tính ACAB. , suy ra giá trị của góc A Giải ABACBC −= nên ( ) ( ) 22 ABACBC −= hay BC 2 = AC 2 – ACAB.2 + AB 2 Nguyễn Quốc Quận - Trường THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu 10 H M C B A ⇒ 2 496425 2 . 222 −+ = −+ = BCACAB ACAB = 20 2 1 . . cos == ACAB ACAB A ⇒ A = 60 0 Bài 5. Cho hai điểm A, B và O là trung điểm của AB. M là điểm tuỳ ý. Chứng minh : 22 . OAOMMBMA −= Giải ( ) ( ) OMOBOAMOMBMA −+=. = ( ) ( ) OAMOOAMO −+ = OM 2 – OA 2 Bài 6. Cho 4 điểm M, A, B, C. Chứng minh: 0 =++ ABMCCAMBBCMA Giải VT = ( ) AB.MCCA.MBACBAMA +++ = AB.MCCA.MBAC.MABA.MA +++ = CA.MBAC.MAAB.MCBA.MA +++ = ( ) ( ) MBAMCAMCAMAB +++ = AB.CAACAB + = ( ) CAACAB + = 0 Bài 7.Cho tam giác ABC với H là trực tâm và M là trung điểm BC. Chứng minh: 2 4 1 . BCMAMH = Giải. “Sử dụng ít nhất 2 trong 3 ý sau: AH ⊥ BC, BH ⊥ AC và CH ⊥ AB” MAMH. = ( ) ( ) ACABHCHBAMHM ++= 4 1 . = ( ) ACHCABHB + 4 1 = ( ) ( ) [ ] BCABBCHBABHB +++ 4 1 =       +++ 2 4 1 BCABBCACHBABHB = 2 2 BC 4 1 BCHCAB 4 1 =       + Bài 8. Cho tam giác ABC . Tìm tập hợp các điểm M sao cho: ABACABAM = Giải ABACABAM = ⇔ ( ) 0=− ACAMAB ⇔ 0. =CMAB . Vậy M thuộc đường thẳng qua C và vuông góc AB Bài 9. Cho tam giác ABC . a/ Tìm tập hợp các điểm M sao cho: ( ) ( ) 0=++ MCMAMBMA b/ Tìm tập hợp các điểm M sao cho: ( ) ( ) 0MCMBMCMBMA =+++ Giải a/ Tìm tập hợp các điểm M sao cho: ( ) ( ) 0=++ MCMAMBMA Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB và AC ( ) ( ) 0=++ MCMAMBMA ⇔ 0. =MKMH Vậy M thuộc đường tròn đường kính HK b/ Tìm tập hợp các điểm M sao cho: ( ) ( ) 0MCMBMCMBMA =+++ Gọi G là trọng tâm tam giác ABC và I là trung điểm BC ( ) ( ) 0MCMBMCMBMA =+++ ⇔ 0MI2.MG3 = ⇔ 0MI.MG = . Vậy M thuộc đường tròn đường kính GI Bài 10. Cho hai điểm M, N nằm trên đường tròn đường kính AB = 2R. I là giao điểm của hai đường thẳng AM và BN 1/ Chứng minh: AIABAIAM = và BIBABIBN = [...]... và c = (19 ; 22) Biểu diễn c theo a và b Giải Giả sử c = x a + yb , mà x a + yb = ( 3x + 7y ; –2x + 4y ) 3 x + 7 y = 19  x = −3 c = x a + yb ⇔  ⇔  Vậy: c = −3a + 4b − 2 x + 4 y = 22 y = 4 5/ Cho tam giác ABC với A( 1 ; 1 ) , B(3 ;1) , C(6 ; 0) Tính góc B BA = (− 4 ; − 2 ) và BC = (3 ; − 1) − 4.3 + (− 2 )(− 1) − 10 1 cosB = cos BA ; BC = = ⇒ B = 12 00 =− 16 + 4 9 + 1 10 2 2 6/ M(3 ; 1) , N(0... x).Tìm x để A, B, C thẳng hàng − 10 x − 4 AB = (− 1 ; 1) và AC = (− 10 ; x − 4) A, B, C thẳng hàng khi: = ⇔ x = 14 1 1 3/ Cho A( 1 ; 3), B(2 ; 4), C(0 ; 1) a/ Tìm tọa độ trung điểm M của AC b/ Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành Giải x A + xC 1  =− xM =   1  2 2 a/  ⇒ M  − ; 2  2   y = y A + yC = 2  M 2   x = 2 x M − x B = −3 b/ ABCD là hình bình hành nên M cũng là trung... AB.AD = 4 + 16 36 + 9 = 30 b/ A(0 ; 2) , B (1 ; 1 ) , C(4 ; 0) , D(6 ; 4) AB = (1 ; − 3) , BC = (3 ; 1) , AD = (6 ; 2) Vì: AD = 2 BC và AB AD = 0 nên ABCD là hình thang vuông tại A và B 1 1 Diện tích: S = ( AD + BC )AB = 36 + 4 + 9 + 1 1 + 9 = 15 2 2 c/ A(2 ;1) , B(6 ; 4) , C ( 3 ; 8) , D( 1 ; 5) AB = (4 ; 3) , DC = (4 ; 3) và AD = (− 3 ; 4) ( ) Vì: AB = DC , AB AD = 0 và AB = AD nên ABCD là hình vuông... tam giác 1 1 1 S = a.ha = b.hc = c.hc 2 2 2 1 1 1 S = a.b sin C = b.c sin A = c.a sin B 2 2 2 S = pr abc S= 4R S = p( p − a)( p − b)( p − c) “ công thức Hê - rông ” II.Trong tam giác vuông Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH • BC2 = AB2 + AC2 ; AB2 = BH.BC ; AC2 = CH.CB 1 1 1 • AH.BC = AB.AC ; AH2 = HB.HC ; = + 2 2 AH AB AC 2 III Hệ thức lượng giác cơ bản 1 1 • sin2x + cos2x = 1 ; = 1 + tan 2... 0) ; = 1 + cot 2 x ,(sinx ≠ 0) 2 cos x sin 2 x 13 Nguyễn Quốc Quận - Trường THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu Bài tập Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại C, đường cao CD, DA = 9m, DB = 16 m.Tính :CD, AC,BC Giải C 2 CD = DA.DB = 9 .16 = 14 4 ⇒ CD = 12 AC2 = AD2 + CD2 = 81 + 14 4 = 225 ⇒ AC = 15 A D BC2 = BD2 + CD2 = 256 + 14 4 = 400 ⇒ BC = 20 Bài 2/ Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm AB và H là hình chiếu... N P B M 16 C Nguyễn Quốc Quận - Trường THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu MBNC là hình bình hành nên MC = PN Mà : MC = ( xC − 3 ; y C + 1) và PN = (− 2 ; 6)  x C − 3 = −2  xC = 1 ⇔  ⇒ C (1 ; 5) Nên:   yC + 1 = 6  yC = 5  x B = 2 x M − xC = 1 M là trung điểm BC nên:  ⇒ B (1 ; –3) y B = 2 y M − y C = −3   x A = 2 x N − x C = 1 N là trung điểm CC nên:  ⇒ A( 1 ; 3)  y A = 2 y N − yC = 3 7/ Hình tính... = (− 3 ; 4) ( ) Vì: AB = DC , AB AD = 0 và AB = AD nên ABCD là hình vuông Diện tích S = AB2 = 25 d/ A(2 ; 4) , B(3 ; 1) , C(6 , 0) , D(5 ; 3) AB = (1 ; − 3) , DC = (1 ; − 3) và AD = (3 ; 1) Vì: AB = DC và AB = AD nên ABCD là hình thoi 1 1 Diện tích S = AC.BD = 16 + 16 4 + 4 = 8 2 2 17 ... a/ A( 2 ; 1) , B(0 ; –3 ) ,C(6 ; –6 ) , D(8 ; –2 ) b/ A(0 ; 2) , B (1 ; 1 ) , C(4 ; 0) , D(6 ; 4) c/ A(2 ;1) , B(6 ; 4) , C ( 3 ; 8) , D( 1 ; 5) d/ A(2 ; 4) , B(3 ; 1) , C(6 , 0) , D(5 ; 3) Giải a/ A(2 ; 1) , B(0 ; –3 ) ,C(6 ; – 6) , D(8 ; –2 ) AB = (− 2 ; − 4 ) và DC = (− 2 ; − 4 ) ⇒ AB = DC ⇒ ABCD là hình bình hành AD = (6 ; − 3) Vì AB AD = (–2).6 + (– 4)(–3) = 0 ⇒ AB ⊥ AD Vậy ABCD là hình chữ nhật,... hình chiếu của H lên AC ) = 0 Vậy AM ⊥ BD Bài 12 Cho hình chữ nhật ABCD Chứng minh: 1/ MA.MC = MB.MD 2/ MA2 + MC2 = MB2 + MD2 Giải 1/ MA.MC = MB + BA MD + DC = MB MD + MB DC + BAMC = ( ( MB MD + DC MB − MC )( ) ) = MB MD + DC CB = MB MD 2/ Gọi O = AC ∩ BD ⇒ MA + MC = 2 MO và MB + MD = 2 MO ⇒ MA + MC = MB + MD 2 2 2 2 2 2 2 2 ⇒ MA + 2MA.MC + MC = MB + 2MB MD + MD ⇒ MA + MC = MB + MD ( do 1/ ) Bài 13 ... tròn / C ngoại tiếp tam giác A/B/C/ O 1 r2 1 r2 1 r2 S A/ B / C / = S OB / C / + S OA/ C / + S OA/ B / = + + B A/ 2 sin A 2 sin B 2 sin C 2 pr 1  a b c  = r2 + +  = 2R 2  2R 2R 2R  b.cosC + c.cosB = b B/ C Bài 15 Tính A , B , ha , R và r của tam giác ABC biết: a/ a = 6 , b = 2 và c = 3 + 1 b/ a = 2 3 , b = 2 2 và c = 6 − 2 Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng 1/ Hệ trục toạ độ Oxy • a = xi + y j . +− 2 2 1 = ( ) GBAB +− 2 1 = BGAB 2 1 2 1 +− = BNAB 3 2 . 2 1 2 1 +− ( ) BCBAABMH ++−= 2 1 . 3 1 2 1 = ( ) ACBABAAB +++− . 6 1 2 1 = ABABAC 3 1 2 1 6 1 −− ABACMH 6 5 6 1 −= Bài 12 / Cho. Nguyễn Quang Diêu 1 Hỗ trợ học Toán Hình học 10 (học kỳ 1) Vectơn Các công thức cơ bản cần nhớ 1/ Qui tắc 3 điểm. a/ Qui tắc cộng: ACBCAB =+ (A, B, C bất kỳ) b/ Qui tắc trừ:. với A( 1 ; 1 ) , B(3 ;1) , C(6 ; 0) . Tính góc B ( ) 2;4 −−= BA và ( ) 1; 3 −= BC cosB = ( ) ( ) ( ) 2 1 210 10 19 416 1. 23.4 ;cos −= − = ++ − − + − =BCBA ⇒ B = 12 0 0 6/ M(3 ; 1) , N(0