Hỗ trợ toán đại số 10 học kỳ 1

Nguyễn Quốc Quận – THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu Hỗ trợ học toán Đại số 10,học kỳ 1 Mệnh đề 1/ Cho mệnh đề “A”. A có hai giá trị. A : đúng hoặc A sai 2/ Phủ định mệnh đề. Cho mệnh đề “A” , phủ định mệnh đề “A” là mệnh đề “không A”, ký hiệu: “ A ” A: đúng thì “ A ” sai. A: sai thì “ A ” đúng . 3/ Hợp và giao hai mệnh đề. a/ Cho hai mệnh đề A, B. Hợp của hai mệnh đề A, B, ký hiệu. A ∨ B A ∨ B là đúng khi ít nhất một mệnh đề là đúng và sai khi cả hai cùng sai b/ Cho hai mệnh đề A, B. Giao của hai mệnh đề A, B, ký hiu. A ∧ B A ∧ B là đúng cả hai mệnh đề là đúng và sai khi ít nhất mệnh đề là sai Ta lưu ý: ( ) ( ) BABA ∧≡∨ v ( ) ( ) BABA ∨≡∧ Ví dụ: Cho hai số thực: a, b. ( ) 0. =ba ≡ ( ) aba =∨= 0 và ( ) 0. ≠ba ≡ ( ) 00 ≠∧≠ ba 4/ Mệnh đề kéo theo và mệnh đề đảo a/ Cho hai mệnh đề A, B. Mệnh đề “Nếu A thì B” gọi là mệnh đề kéo theo. Viết là :A ⇒ B Đọc là “A kéo theo B” hay “A suy ra B” Mệnh đề “Nếu A thì B” là sai khi A: đúng và B: sai. Các trường hợp còn lại là đúng b/ Cho mệnh đề “A ⇒ B”. Mệnh đề “B ⇒ A” gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề đã cho c/ Mệnh đề tương đương: ( ) ( ) ( ) BAABBA ⇔≡⇒∧⇒ 5/ Khái niệm mệnh đề chứa biến. Một câu mà tính đúng sai phụ thuộc vào giá chưa biết ( biến) gọi là mệnh đề chưa biến. Ví dụ.Với x là số thức thỏa: “2x – 4 > 0 ” Là mệnh đề đúng nếu x là số lớn hơn 2 và là mệnh đề sai nếu x là số nhỏ hơn hoặc bằng 2 6/ Các ký hiệu ∀ và ∃ a/ ký hiệu: ∀ : đọc là với mọi ( bất kỳ ) b/ Ký hiệu: ∃ : đọc là tồn tại ( có ít nhất) c/ Ta có: ∃ ≡ ∀ ,hẳn nhiên ta cũng có ∃ ≡∀ Ví dụ. ∀ x ∈ R, ( ) 01 2 >−x là mệnh đề sai vì ∃ x = 1 ∈ R có ( ) 011 2 >− là sai 7/ Định lý và chứng minh định lý a/ Trong toán học, một định lý thường được viết dưới dạng mệnh đề “Nếu A thì B” trong đó A, B là hai mệnh đề đúng b/ Chứng minh một định lý là dùng lý luận và những kiến thức đã biết để khẳng định mệnh đề trên là một mệnh đề đúng 8/ Điều kiện cần , điều kiện đủ. Trong định lý “Nếu A thì B” thì B là điều kiện cần để có A ( B thì A ) và A là điều kiện đủ để có A ( có thể thay A bằng mệnh đề khác thì dẫn có B) 9/ Định lý đảo, điều kiện cần và đủ Xét định lý “Nếu A thì B” . Nếu mệnh đề đảo “Nếu B thì A” cũng là mệnh đề đúng thì mệnh đề “Nếu B thì A” gọi là định lý đảo của định lý “Nếu A thì B” . Ta viết “A ⇔ B” B là điều cần và đủ để có A. Hiển nhiên ta cũng viết được A là điều cần và đủ để có B Bài tập có giải Bi 1/ Điền vào Ô trống các từ Đ(đúng) và S( sai) a/ Nguyễn Quốc Quận – THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu A A Đ S b/ A B A ∨ B A ∧ B Đ Đ Đ S S Đ S S c/ A B A⇒B B⇒A (A⇒B) ∧ (B⇒A) ≡ A ⇔ B Đ Đ Đ S S Đ S S Bài 2/ Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau a/ ∃ x ∈ Q : 014 2 =− x là m ệ nh đề đ úng vì 01 2 1 4 2 =−       đ úng b/ ∃x∈Z : 014 2 =− x là m ệ nh đề sai vì ch ỉ có hai gi tr ị Z∉± 2 1 làm cho 014 2 =− x đúng Bài 3/ Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau a/ ∀n∈ * N , 32 + n là số nguyên tố là mệnh đề sai vì 3532 5 =+ chia hết cho 5 b/ ∀x∈R, 032 2 >+− xx là m ệnh đề đúng vì ( ) 02132 2 2 >+−=+− xxx luôn đúng Bài 4/ Phủ định các mệnh đề sau a/ ∃x∈R, x 2 – 4x + 5 = 0. Mệnh đề phủ định: ∀x∈R, x 2 – 4x + 5 ≠ 0 b/ a = 0 ∨ b = 0. Mệnh đề phủ định: a ≠ 0 ∧ b ≠ 0 Bài 5/ Dùng bảng chân trị (Đ,S) để chứng minh: ( ) ( ) ABBA ⇒≡⇒ A B A⇒B B A AB ⇒ Đ Đ Đ S S Đ S S Để chứng minh định lý: A ⇒ ⇒⇒ ⇒ B, ta có thể chứng minh AB ⇒ , phép chứng minh này gọi là chứng minh phản chứng Bài 6/ Chứng minh mệnh đề “ Nếu hai số m, n là số tự nhiên lẻ thì m 2 + n 2 là số chẵn”. Xét mệnh đề đảo. Mệnh đề đảo có đúng không? Giải. Giả sử: m = 2k + 1 v n = 2t + 1 (m,t∈ N ) Khi đó: m 2 + n 2 = (2k + 1) 2 + (2t + 1) 2 = 2(2k 2 + 2t 2 + 2k + 2 t+ 1) là số chẵn. Vậy mệnh đề đã cho là mệnh đề đúng Vì: 20 = 4 2 + 2 2 nên mệnh đề đảo là mệnh đề sai Bài 7/ Lập mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau. a/ ∀x∈ R, x > x 2 Trả lời: ∃∈R, x ≤ x 2 b/ ∀n∈ N, n 2 + 1 không chia hết cho 3 Trả lời: ∃∈N, n 2 + 1 chia hết cho 3 Bài 8/ Phát biều bằng lời các mệnh đề sau.Xét tính đúng sai và lập mệnh đề phủ định của chúng Nguyễn Quốc Quận – THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu a/ ∃ x∈R : x 2 = –1 Trả lời. Có ít nhất một số thực x sao x 2 = –1. Là mệnh đề sai Mệnh đề phủ định: ∀x∈ R: x 2 ≠ –1 b/ ∀x∈ R , x 2 –2x + 2 ≠ 0 Trả lời: Với mọi số thức x , ta có: x 2 –2x + 2 ≠ 0. Là mệnh đề đúng Mệnh đề phủ định: ∀x∈ R: x 2 –2x + 2 = 0 Bài 9/ Lập bảng chân trị các cặp mệnh đề sau và có nhận xét. a/ B A ∨ v B A ∧ b/ B A ∧ v B A ∨ TẬP HỢP VÀ CÁC PHÉP TÓAN TRÊN TẬP HỢP 1/ Khái niệm tập hợp. Khái niệm tập hợp ta đã được làm quen ở lớp dưới Ví dụ. • Tập hợp các học sinh lớp 10A là gồm tất cả học sinh có trong danh sách lớp 10A • Tập hợp các số nguyên tố nhỏ hơn 10 • Tập hợp các số nguyên dương nhỏ hơn 5 Thông thường, người ta cho một tập hợp bằng hai cách a/ Liệt kê các phần tử của tập hợp Ví dụ. Tập X gồm các số thực a , b , c. Ta viết: X = {a ; b ; c}. a , b , c gọi là các phần tử của X • a là phần tử của tập hợp A, ta viết: a ∈ A; Đọc là a thuộc A • a không phải là phần tử của tập hợp A, ta viết: a ∉ A; Đọc là a không thuộc A b/ Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp đã cho Ví dụ. Tập hợp A là các số nguyên dương nhỏ hơn 5. Khi đó ta có: A = {1 ; 2 ; 3 ; 4}. c/ Tập hợp không có phần tử nào, gọi là tập rỗng ( tập hợp rỗng), ký hiệu: {} hay ∅ 2/ Tập hợp con và tập hợp bằng nhau a/ Tập con. Cho hai tập A , B. Tập A gọi là tập con của tập B và ký hiệu A ⊂ B. Nếu mọi phần tử của A đều là phần tử của B. A ⊂ B ⇔ ( ∀x, x ∈ A ⇒ x∈ B) Ta lưu ý : Ta luôn có : A ⊂ A b/ Tập hợp bằng nhau. Cho hai tập hợp A, B. Hai tập A, B được gọi là bằng nhau. Ta viết: A = B A = B ⇔ ( A ⊂ B và B ⊂ A ) c/ Nhắc lại các tập hợp đã học • Tập các số tự nhiên: Gồm các số nguyên dương và số 0. Ký hiệu: N • Tập các số nguyên dương: Gồm các số nguyên dương . Ký hiệu: N * • Tập số nguyên: gồm các số: ± 1 ; ± 2 ; ±3 ; ±4 ; ……… Ký hiệu: Z • Tập các số hửu tỷ: Gồm các số viết được dưới dạng phân số, tử số và mẫu số là những số nguyên và mẫu số là số khác không. Ký hiệu: Q . “ ( )       ≠∈== 0,,/ qZqp q p xxQ ” • Tập số thực: Tất cảc các số mà ta đã học, Ký hiệu: R 3/ Biểu đồ Ven. Đường cong kín, chỉ các phần tử của tập hợp đã cho nằm trong đó 4/ Các tập con thường gặp của tập số thực R • R = (–∞ ; + ∞) • Khoảng a ; b. Viết là: (a ; b). ( ) { } bxaRxba <<∈= /; • Khoảng – ∞ ; a. Viết là : ( –∞ ; a). ( ) { } axRxa <∈=∞− /; • Khoảng a ; + ∞ . Viết là : ( a ; + ∞ ). ( ) { } axRxa >∈=∞+ /; Nguyễn Quốc Quận – THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu • Đoạn a ; b. Viết là: [a ; b]. [ ] { } bxaRxba ≤≤∈= /; • Nửa khoảng a ; b. Viết là: (a ; b]. ( ] { } bxaRxba ≤<∈= /; • Nửa khoảng a ; b. Viết là: [a ; b). [ ) { } bxaRxba <≤∈= /; • Nửa khoảng a ; +∞ . Viết là: [a ; +∞ ). [ ) { } axRxa ≥∈=∞+ /; • Nửa khoảng –∞ ; a. Viết là: ( –∞ ; a]. ( ] { } axRxa ≤∈=∞− /; 5/ Các phép toán trên tập hợp a/ Phép hợp. Cho hai tập A và B. Hợp của hai tập A, B. Ký hiệu: A ∪ B gồm tất cả các phần tử của A và của B. Những phần tử giống nhau chỉ ghi một lần A ∪ B = {x / x∈A hoặc x ∈B} b/ Phép giao. Cho hai tập A và B. Giao của hai tập A, B. Ký hiệu: A ∩ B gồm các phần tử đồng thời của A và của B ( các phần tử giống nhau của A và B) A ∩ B = {x / x∈A v x ∈B} a/ Phép hiệu. Cho hai tập A và B. Hiệu của hai tập A, B ( theo thứ tự đó). Ký hiệu: A \ B, gồm các phần tử của A và không phải là phần tử của B. A \ B = {x / x∈A v x ∉B} * Cho A ⊂ E. Phần b của A trong E. Ký hiệu: C E A. C E A = E \ A Ví dụ 1/ Viết lại tập hợp đã cho theo cch liệt kê các phần tử a/ A là tập hợp các nghiệm của phương trình: 4x 4 –17x 2 + 4 = 0 b/ B tập các số nguyên tố nhỏ hơn 30 Giải a/       −−= 2; 2 1 ; 2 1 ;2A b/ B = {2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29} Ví dụ 2 / Cho t ậ p X = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5}. Hãy tìm các t ậ p con c ủ a X có đ úng hai ph ầ n t ử Gi ả i Ta hãy đế m có bao nhiêu t ậ p con nh ư th ế • Ứ ng v ớ i m ộ t ph ầ n t ử c ủ a X, có 4 cách ghép b ố n ph ầ n t ử còn l ạ i • Do {a ; b} và {b ; a} ch ỉ có m ộ t t ậ p nên ta có t ấ t c ả 10 2 4.5 = t ậ p con 2 ph ầ n t ử c ủ a X Các t ậ p con hai ph ầ n t ử c ủ a X là. “Nh ớ đế m đủ 10 và không l ậ p l ạ i” Ta l ư u ý m ộ t s ố khái ni ệ m sau • Cho t ậ p X h ữ u h ạ n ph ầ n t ử . Ký hi ệ u: X là s ố ph ầ n t ử c ủ a X • Cho hai t ậ p A, B. Dùng bi ể u đồ Ven ta có cc k ế t qu ả sau: a/ BABABA ∩−+=∪ b/ | A \ B | = | A | – | A ∩ B | c/ | A | = | B | + | A \ B | d/ | A | = | A \ B | + | A ∩ B | Ví dụ 3 / L ớ p 10A có 25 b ạ n gi ỏ i toán, 20 b ạ n gi ỏ i v ă n và 10 b ạ n gi ỏ i c ả v ă n l ẫ n toán. H ỏ i l ớ p 10 A có t ấ t c ả m ấ y h ọ c sinh.Bi ế t t ấ t c ả các b ạ n đề u gi ỏ i v ă n ho ặ c toán Gi ả i G ọ i A là s ố h ọ c sinh gi ỏ i toán, B là s ố h ọ c sinh gi ỏ i v ă n . Theo gi ả thi ế t ta có: 35102025 =−+=∩−+=∪ BABABA Ví dụ 4 / Cho hai t ậ p h ợ p A, B có |A| = 11, |B| = 19 và |A∪B| = 25. Tính |A\B| , |B\A| , |A∩B| Gi ả i |A∩B| = |A| + |B| – |A∪B| = 11 + 19 –25 = 5 |A \ B| = |A| – |A ∩B| = 11 –5 = 6 |B \ A| = |B| – |A ∩B| = 19 –5 = 14 Ví dụ 5 / Tìm A∪B , A∩B , A \ B , B \ A v ớ i: a/ A = (–5 ; 3) và B = (0 ; 7) b/ A = [–1 ; 5) và B = (3 ; 8 ] c/ A = [–4 ; 6] và B = [2 ; 9] d/ A = (–∞ ; 7] và B = (4 ; +∞ ) Nguyễn Quốc Quận – THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu 7 0 5 -3 83 5 -1 9 2 6 -4 4 7 Gi ả i a / A = (–5 ; 3) và B = (0 ; 7). Tìm A∪B , A∩B , A \ B , B \ A A∪B = (–3 ; 7) , A∩B = (0 ; 5) A \ B = ( ] 0;3− , B \ A = [ ) 7;5 b /. Cho A = [–1 ; 5) và B = (3 ; 8 ].Tìm A∪B , A∩B , A \ B , B \ A Gi ả i A∪B = [ ] 8;1− , A∩B = ( ) 5;3 , A \ B = [ ] 3;1− , B \ A = [ ] 8;5 c /. Cho A = [–4 ; 6] và B = [2 ; 9].Tìm A∪B , A∩B , A \ B , B \ A Gi ả i A∪B = [ ] 9;4− , A ∩ B = [2 ; 6] A \ B = [ ) 2;4− , B \ A = ( ] 9;6 d / Cho A = (–∞ ; 7] và B = (4 ; +∞ ). A∪B , A∩B , A \ B , B \ A Gi ả i A∪B = R, A ∩ B = ( ] 7;4 A \ B = ( ] 4;∞− , B \ A = ( ) ∞+;7 Ví dụ 6 / Cho hai t ậ p h ợ p không r ỗ ng A = (m –1 ; 4] và B = (–2 ; 2m + 2). Xác đị nh m để a/ A ∩ B ≠ ∅ b/ A ⊂ B c/ B ⊂ A d/ A ∩ B ⊂ ( –1 ; 3) Gi ả i. Đ i ề u ki ệ n để A, B khác r ỗ ng:    −>+ <− 222 41 m m ⇔    −> < 2 5 m m ⇔ –2 < m < 5 a/ A ∩ B ≠ ∅ ⇔ m –1 < 2m + 2 ⇔ m > –3 th ỏ a đ i ề u ki ệ n. V ậ y m∈ (–2 ; 5) b/ A ⊂ B ⇔    >+ −≥− 422 21 m m ⇔    > −≥ 1 1 m m ⇔ m > 1. so l ạ i đ i ề u ki ệ n đượ c 1 < m < 5 .V ậ y: m∈ (1 ; 5) c/ B⊂ A ⇔    ≤+ −≤− 422 21 m m ⇔    ≤ −≤ 1 1 m m ⇔ m ≤ –1.So l ạ i đ i ề u ki ệ n đượ c –2 < m ≤ –1.V ậ y: m∈ (–2 ; –1] d/ A ∩ B ⊂ ( –1 ; 3) ⇔    ≤+ −≥− 322 11 m m ⇔      ≤ ≥ 2 1 0 m m ⇔ 2 1 0 ≤≤ m . Thỏa điều kiện Ví dụ 7/ Tính: A∪B ; A ∩ B ; A \ B ; B \ A. Với a/ A = ( ) 2;∞− và B = [ ) ∞+;1 b/ A = [ ] 2;4− và B = ( ] 5;1 ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỒ 1/ Khái niệm hàm số. a/ định nghĩa. Cho tập D ⊂ R và D ≠ ∅ Một hàm số f xác định trên D, là một quy tắc tương ứng. Với mỗi x ∈ D với duy nhất một số y ∈R y gọi là giá trị của hàm số f tại x. D gọi là tập xác định, x gọi là biến số Viết tóm tắt. Cho tập không rỗng D. y = f(x) là hàm số với tập xác định D, khi: ∀x∈D , ∃! y∈ R : y = f(x) Ví dụ. Cho D = {–2 ; – 1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 4} và qui tắc: y = f(x) = 2x –1 Ta có : f(–2 ) = 2(–2) –1 = –5 , f(–1 ) = 2(–1) –1 = –3 , f(0 ) = 2(0) –1 = –1 Nguyễn Quốc Quận – THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu f(1 ) = 2(1) –1 = 1 , f(2 ) = 2(2) –1 = 3 , f(4 ) = 2(4) –1 = 7 b/ Hàm số cho bằng biểu thức.Thường người ta cho hàm số y = f(x), trong đó f(x) là biểu thức chứa x (biến). Nếu tập xác định người ta chưa cho thì tập xác định là tập các giá trị của x sao cho f(x) có nghĩa c/ Cho hàm số y = f(x) có tập xác định D. Tập: ( ) ( ) { } Dx,xfy/RyDf ∈∀=∈= gọi là tập giá trị của hàm số đã cho. “ tính tất các giá trị của x ∈ D, ta được tập f(D) ” Ví dụ. 1/ Hàm số y = f(x) = 2x –5 có tập xác định D = R 2/ Hàm số ( ) 2 13 2 − +− == x xx xfy có tập xác định D = R \ {2} 3/ Hàm số ( ) 453 +−== xxxfy . Điều kiện có nghĩa x + 4 ≥ 0 ⇔ x ≥ –4 Tập xác định D = [–4 ; + ∞ ) • Đôi khi một hàm số được cho bởi nhiều biểu thức kèm theo điều kiện của nó Ví dụ .Hàm số ( )      ≤≤− <<−+− −≤≤−+ == 824 2122 1373 xkhix xkhix xkhix xfy Khi đó hàm số có tập xác định D = [–3 ; 8] f(–2 ) = 3(–2) +7 = 1 , f(1) = –2(1) +2 = 0 , f(7 ) = 7 – 4 = 3 , … c/ Đồ thị hàm số. Cho hàm số y = f(x) có tập xác định D. Trong mặt phẳng (Oxy), tập (C) gồm tất cả các điểm M(x ; f(x) ) với x ∈ D, gọi là đồ thị của hàm số y = f(x) ( ) ( ) ( ) 00000 ; xfyvàDxCyxM =∈⇔∈ Ví dụ. Vẽ đồ thị hàm số ở ví dụ trên. Ta thực hiện ba bước • Vẽ đường thẳng y = 2x + 7, xóa đi phần có hoành độ x < –3 và phần có hoành độ x > –1 • Vẽ đường thẳng y = –2x + 2, xóa đi phần có hoành độ x < –1 và phần có hoành độ x > 2 • Vẽ đường thẳng y = x – 4 , xóa đi phần có hoành độ x < 2 và phần có hoành độ x > 8 Chú ý. • Các điểm A(– 2 ; 1) , B(1 ; 0), C(7 ; 3) thuộc đồ thị đã cho • Các điểm M(–4 ; – 5) , N(0 ; 7) , P(6 ; 3) không thuộc đồ thị, vì sao? 2/ Sự biến thiên của hàm số a/ Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến Định nghĩa. Cho hàm số xác định trên K ( K ⊂ D ) • Hàm số f gọi là đồng biến trên K nếu: ∀x 1 , x 2 ∈ K, x 1 < x 2 ⇒ f(x 1 ) < f(x 2 ) • Hm số f gọi là nghịch biến trên K nếu: ∀x 1 , x 2 ∈ K, x 1 < x 2 ⇒ f(x 1 ) > f(x 2 ) b/ Khảo sát sự biến thiên của hàm số ∀x 1 , x 2 ∈ K v x 1 ≠ x 2 Xét tỷ số: ( ) ( ) 12 12 xx xfxf − − ( Ta có thể xét ( ) ( ) 21 21 xx xfxf − − ) • Hàm số y = f(x) đồng biến trên K khi và chỉ khi ( ) ( ) 0 12 12 > − − xx xfxf • Hàm s ố y = f(x) ngh ị ch bi ế n trn K khi và ch ỉ khi ( ) ( ) 0 12 12 < − − xx xfxf Ví d ụ . Kh ả o sát s ự bi ế n thiên c ủ a các hàm s ố trên t ậ p ch ỉ ra 1/ y = f(x) = 2x –5 trên R 2/ y = x 2 – 4x + 2 trên kho ả ng ( –∞ ; 2 ) 3/ 3−= xy trên t ậ p xác đị nh D c ủ a nó 3 / Hàm s ố ch ẵ n , hàm s ố l ẻ a / Khi ni ệ m hàm s ố ch ẵ n, hàm s ố l ẻ Đị nh ngh ĩ a. Cho hàm s ố y = f(x) có t ậ p xác đị nh D Nguyễn Quốc Quận – THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu • Hàm s ố y = f(x) là hàm s ố ch ẵ n n ế u ∀x ∈ D, ta có: ( ) ( )    =− ∈− xfxf Dx • Hàm s ố y = f(x) là hàm s ố l ẻ n ế u ∀x ∈ D, ta có: ( ) ( )    −=− ∈− xfxf Dx b / Đị nh lý Đồ th ị hàm s ố ch ẵ n nh ậ n tr ụ c tung làm tr ụ c đố i x ứ ng Đồ th ị hàm s ố l ẻ nh ậ n g ố c t ọ a độ làm tâm đố i x ứ ng Bài tập I / Tìm t ậ p xác đị nh c ủ a hàm s ố 1/ ( ) 4 32 2 − − == x x xfy D = R \ { –2 ; 2} 2/ ( ) 4 32 2 + − == x x xfy D = R 3/ 3322 ++−= xxxy D = [–3 ; 2] 4/ 2 3223 xxxy +−−−= Điều kiện có nghĩa:    ≥− ≥−−− 02 0223 x xx ⇔ ( )      ≤ ≥−− 2 012 2 x x ⇒ D = (–∞ ; 2] 5/ 231 31 22 +−+− − = xxx x y 0231 22 =+−+− xxx ⇔      =+− =− 023 01 2 2 xx x ⇔           = =    = −= 2 1 1 1 x x x x ⇔ x = 1⇒ D = R \ {1} 6/ xx x y −− − = 6 16 2 06 =−− xx ⇔ xx −= 6 ⇔    =−− ≥ 06 0 2 xx x ⇔    −=∨= ≥ 23 0 xx x ⇔ x = 3 Điều kiện xác định:    ≠−− ≥− 06 06 xx x ⇔    ≠ ≤ 3 6 x x ⇒ D = ( –∞ ; 6] \ {3} II/ Khảo sát sự biến thiên của các hàm số sau 1/ y = f(x) = 3 – 4x trên R 2/ y = f(x) = –x 2 + 6x + 1 trên khoảng (3 ; + ∞ ) 3/ ( ) 13 −+== xxfy trên tập xác định của nó III/ Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau 1/ ( ) 1 34 2 3 − − == x xx xfy 2/ ( ) 1 34 3 − − == x xx xfy 3/ ( ) 334 −−== xxxfy 4/ ( ) 22 −++== xxxfy 5/ ( ) 22 −−+== xxxfy 6/ ( ) 22 22 −−+ −++ == xx xx xfy 7/ ( ) 22 22 −++ −−+ == xx xx xfy , Chú ý: AA =− Bài tập Nguyễn Quốc Quận – THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu 1/ Tìm tập xác định của hàm số: a/ f(x) = 4 3 32 2 − − − x x x b/ f(x)= 223 +−+ xx c/ f(x) = x−4 + 3x d/ f(x) = 1 4 5 ++ − x x e/ f(x) = 42 8362 − −−+ x xx f/ f(x)= 1212 ++− xx g/ f(x) = 421 8362 −+ −−+ x xx h/ f(x) = 421 8362 −− −−+ x xx k/ f(x) = 4 3 32 2 + − − x x x Giải: a/ f(x) = 4 3 32 2 − − − x x x .Điều kiện:    ≠ −≠ ⇔≠−− 4 1 043 2 x x xx . Tập xác định: { } 4;1\ −= RD b/ Vì: f(x)= 223 +−+ xx = ( ) 2 121222 −+=++−+ xxx Điều kiện: x + 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ –2. Tập xác định: [ );2 ∞+−=D c/ f(x) = x−4 + 3x .Điều kiện: 4 –x ≥ 0 ⇔ x ≤ 4. Tập xác định: ( ] 4;∞−=D d/ f(x) = 1 4 5 ++ − x x . Điều kiện:    −≥ < ⇔    ≥+ >− 1 4 01 04 x x x x ⇔ 41 < ≤ − x Tập xác định: D = [ ) 4;1− e/ f(x) = 42 8362 − −−+ x xx . Điều kiện:      >− ≥− ≥+ 042 08 06 x x x ⇔      > ≤ −≥ 2 8 6 x x x ⇔ 82 ≤ < x Tập xác định: ( ] 8;2=D f/ f(x) = 1212 ++− xx . Không có điều kiện của x. Tập xác định: D = R g/ f(x) = 421 8362 −+ −−+ x xx . Điều kiện:      ≥− ≥− ≥+ 042 08 06 x x x ⇔      ≥ ≤ −≥ 2 8 6 x x x ⇔ 82 ≤ ≤ x Tập xác định: [ ] 8;2=D h/ f(x) = 421 8362 −− −−+ x xx .Điều kiện:        ≠−− ≥− ≥− ≥+ 0421 042 08 06 x x x x ⇔          ≠ ≥ ≤ −≥ 2 5 2 8 6 x x x x ⇔ 82 ≤ ≤ x v 2 5 ≠x T ậ p xác đị nh: [ ]       = 2 5 \8;2D k/ f(x) = 4 3 32 2 + − − x x x .Vì : x 2 –3x + 4 = 0 vô nghi ệ m nên : x 2 –3x + 4 ≠ 0 ∀x∈R T ậ p xác đị nh: D = R 2 / Xét tính đồ ng bi ế n , ngh ị ch bi ế n c ủ a hàm s ố y = f(x) trên kho ả ng K ∀ x 1 , x 2 ∈ K, gi ả s ử : x 1 ≠ x 2 . Tính: 12 12 )()( xx xfxf − − . N ế u:  12 12 )()( xx xfxf − − > 0 kết luận hàm số y = f(x) đồng biến trên K Nguyễn Quốc Quận – THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu  12 12 )()( xx xfxf − − < 0 kết luận hàm số y = f(x) nghịch biến trên K Ví dụ: Cho hàm số y = f(x) = ax + b (a ≠ 0) trên R Giải: ∀ x 1 , x 2 ∈ R , giả sử : x 1 ≠ x 2 . ( ) ( ) ( ) a xx xxa xx baxbax xx xfxf = − − = − +−+ = − − 12 12 12 12 12 12 )()(  Nếu: a > 0 thì f(x) đồng biến trên R  Nếu: a < 0 thì f(x) nghịch biến trn R Xt sự biến thiên của hm số: a/ f(x) = x 2 – 4x + 4 trên kho ảng (2 ; +∞ ) b/ f(x) = 42 −x c/ f(x) = –2x 2 + 4x + 2 trên kho ảng (1 ; +∞ ) d/ f(x) = 2 3 − x x trong khoảng (–∞ ; 2) Giải a/ f(x) = x 2 – 4x + 4 trên khoảng (2 ; +∞ ) ∀ x 1 , x 2 ∈ (2 ; +∞ ) , giả sử : x 1 ≠ x 2 . ( ) ( ) = − +−−+− = − − 12 1 2 12 2 2 12 12 4444)()( xx xxxx xx xfxf ( ) ( ) ( ) 12 121212 12 12 2 1 2 2 444 xx xxxxxx xx xxxx − −−+− = − +−− = 4 21 −+ xx Vì: 4 2 2 21 2 1 >+⇒    > > xx x x hay: x 1 + x 2 – 4 > 0. Vậy: Hàm số đã cho đ ồng biến trên (2 ; +∞ ) b/ f(x) = 42 −x Điều kiện: 2x – 4 ≥ 0 hay x ≥ 2 Tập xác định: [ ) ∞+= ;2D ∀ x 1 , x 2 ∈ [ ) ∞+;2 , giả sử : x 1 ≠ x 2 . 12 12 12 12 4242 )()( xx xx xx xfxf − −−− = − − = ( ) ( ) ( ) ( ) 4242 4242 1212 12 −+−− −−− xxxx xx = 0 4242 2 21 > −+− xx Vậy hàm số đã cho đồng biến trên D d/ f(x) = 2 3 − x x trong khoảng (–∞ ; 2) ∀ x 1 , x 2 ∈(–∞ ; 2) , giả sử : x 1 ≠ x 2 . 12 1 1 2 2 12 12 2 3 2 3 )()( xx x x x x xx xfxf − − − − = − − = ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) 22 6 22 6363 1212 12 1212 112212 −−− −− = −−− +−− xxxx xx xxxx xxxxxx = ( )( ) 22 6 12 −− − xx Vì: ( )( ) 022 02 02 2 2 21 2 1 2 1 >−− ⇒    <− <− ⇒    < < xx x x x x ⇒ 0 )()( 12 12 < − − xx xfxf V ậ y hàm s ố đ ã cho ngh ị ch bi ế n trong kho ả ng (–∞ ; 2) 3 / Xét tính ch ẵ n , l ẻ c ủ a hàm s ố . Cho hàm s ố y = f(x) có t ậ p xác đị nh: D ∀x∈D có –x∈D ( n ế u: –x ∉D , không xét tính ch ẵ n l ẻ ) Tính: f(–x). N ế u:  f(–x) = f(x) thì f g ọ i là hàm s ố ch ẵ n  f(–x) = –f(x) thì f g ọ i là hàm s ố l ẻ  Đồ th ị hàm s ố ch ẵ n đố i x ứ ng qua tr ụ c tung và đồ th ị hàm s ố l ẻ đố i x ứ ng qua g ố c t ọ a độ a/ f(x) = 3232 ++− xx b/ f(x) = 3232 +−− xx c/ f(x) = 2x 3 –3x + 1 Nguyễn Quốc Quận – THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu d/ f(x) = 3232 3232 +−− ++− xx xx e/ f(x) = 33 33 ++− +−− xx xx f/ f(x) = 5x 3 – x 2 g/ f(x) = 1 12 24 − ++− x xx h/ f(x) = 1 12 2 24 − ++− x xx i/ f(x) = 1 5 −x x Gi ả i: a / f(x) = 3232 ++− xx . T ậ p xác đị nh: D = R ∀x∈D ⇒ –x ∈ D. f(–x) = =+−+−− 3232 xx 3232 −++ xx = f(x) V ậ y f là hàm s ố ch ẵ n b / f(x) = 3232 +−− xx . T ậ p xác đị nh: D = R ∀x∈D ⇒ –x ∈ D. f(–x) = =+−−−− 3232 xx 3232 −−+ xx = ( ) 3232 +−−− xx = –f(x) V ậ y f l hm s ố l ẻ c / f(x) = 2x 3 –3x + 1. T ậ p xác đị nh. D = R ∀x∈D ⇒ –x ∈ D. f(–x) = 2(–x) 3 –3(–x) + 1 = –2x 3 + 3x + 1 ≠ f(x) = –(2x 3 –3x –1 ) ≠ –f(x). V ậ y f kh ố ng ch ẵ n và c ũ ng không l ẻ d / f(x) = 3232 3232 +−− ++− xx xx . ⇔=+−− 03232 xx 3232 +=− xx ⇔    −−=− +=− 3232 3232 xx xx ⇔ x = 0 T ậ p xác đị nh: { } 0\RD = ∀x∈D ⇒ –x ∈ D. f(–x) = 3232 3232 +−−−− +−+−− xx xx = 3232 3232 −−+ −++ xx xx = –f(x) . V ậ y f là hàm s ố l ẻ e / f(x) = 33 33 ++− +−− xx xx .    −= = ⇔      =+ =− ⇔=++− 3 3 03 03 033 x x x x xx ( vô nghi ệ m) T ậ p xác đị nh: D = R ∀x∈D ⇒ –x ∈ D. f(–x) = 33 33 +−+−− +−−−− xx xx = 33 33 −++ −−+ xx xx = –f(x) . V ậ y f là hàm s ố l ẻ 4 / Hàm s ố y = ax + b (a ≠ 0)  T ậ p xác đị nh: D = R  Hàm s ố luôn đồ ng bi ế n khi a > 0 và luôn ngh ị ch bi ế n khi a < 0  Đồ th ị hàm s ố y = ax + b là m ộ t đườ ng th ẳ ng. (Tìm 2 đ i ể m thu ộ c nó).  Đườ ng th ẳ ng y = b qua (0 ; b) và vuông góc tr ụ c tung ; đườ ng th ẳ ng x = a là đườ ng th ẳ ng qua (a ; 0) và vuông góc tr ụ c hoành  Tìm đườ ng th ẳ ng qua A(x 1 ; y 1 ) v B(x 2 ; y 2 ). Ph ươ ng trình có d ạ ng: y = ax + b Gi ả i h ệ :    =+ =+ 22 11 ybax ybax tìm a, b  y = ax + b và y = ax + b / ( b ≠ b / ) có đồ th ị song song nhau     <+−− ≥++ =+= 0 0 baxkhibax baxkhibax baxy 5 / Hàm s ố y = ax 2 + bx + c ( a≠ 0)  T ậ p xác đị nh: D = R  Đỉ nh:       ∆ −− aa b I 4 ; 2 và tr ụ c đố i x ứ ng: a b x 2 −= [...]... x – x 1 = 0, có 2 nghiệm x1 , x2 Tính: 2 2 3 4 5 6 1/ x12 + x 2 2/ x13 + x 2 3/ x14 + x 2 4/ x15 + x 2 5/ x16 + x 2 6/ ( x1 − x 2 ) b c Giải: Ta có: ∆ = 5 > 0 v x1 + x 2 = − = 1 v x1 x 2 = = 1 a a 2 2 2 1/ x1 + x 2 = ( x1 + x 2 ) − 2 x1 x 2 = 3 ( ) ( ) 3 3 2/ x13 + x 2 = ( x1 + x 2 ) − 3x1 x 2 ( x1 + x 2 ) = 4 ( 4 2 3/ x14 + x 2 = x12 + x 2 2 ) 2 − 2( x1 x 2 ) = 7 2 5 2 3 4/ x15 + x 2 = ( x12 + x... 2 )( x13 + x 2 ) – ( x1 x 2 ) ( x1 + x 2 ) = 11 2 2 3 3 2 5 5 Vì: ( x12 + x 2 )( x13 + x 2 ) = x15 + x12 x 2 + x 2 x13 + x 2 = x15 + x 2 + ( x1 x 2 ) ( x1 + x 2 ) 2 3 2 2 2 ( ) + (x ) = (x 6 5/ x16 + x 2 = x13 2 3 1 3 + x2 2 ) 3 − 2( x1 x 2 ) = 14 6/ ( x1 − x 2 ) = ( x1 + x 2 ) − 4 x1 x 2 = 5 III Cho phương trình: x2 –2(m +1) x + 2m +1 = 0 Tìm m để phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 , x2 v x1 = 9x2... 1 ⇔ x = 2 Vậy:  m = 1 Tập nghiệm: S = R  m − 1  m ≠ 1 Tập nghiệm: S =    2  (a ) mx + 1 = x − 2m 7/ mx + 1 = x − 2m ⇔  mx + 1 = − x + 2m (b ) (a) ⇔ (m 1) x = –2m 1 Giải (a)  m =1 (a) trở thành 0x = –3 − 2m − 1  m 1 (a) ⇔ x = m 1 Giải (b): (b) ⇔ (m + 1) x = 2m 1  m = 1 (b) trở thành 0x = –3 2m − 1  m ≠ 1 (b) ⇔ x = m +1 Vậy:  2m − 1   m =1 Tập nghiệm: S =    m +1   − 2m − 1 ... = x + y , 1 ≤ t ≤ 3 , ta được t − 1 + 3 − t = 3t 2 − 4t − 2 ⇔ t − 1 − 1 + 3 − t − 1 = 3t 2 − 4t − 4 ⇔   t−2 2−t 1 1 + = (t − 2)(3t + 2 ) ⇔ (t − 2 ) − − 3t − 2 = 0  ⇔   t 1 +1 3 − t +1 3 − t +1  t 1 +1  t = 2  Khi đó: 3x + 5 y = 2 x + y +1 ⇔ 3 + 2y = 23 1 1  = + 3t + 2 (vn )  t 1 +1 3 − t +1   x2 +1 + (x + y ) = 4  x 2 + y(x + y ) + 1 = 4 y  y   58/  2 ⇔ Đặt (x + 1) ( x + y −...  (1)  (1)  (1)  (1) 4/  ⇔  hay  ⇔  (1) và (2) là phương trình 1 hoặc 2 ẩn (2)  (1) + (2) (2)  (1) − (2) II Phương trình: ax + b = 0 (1) b • a ≠ 0 , (1) ⇔ x = − a • a = 0 , (1) ⇔ 0.x + b = 0 Có 2 trường hợp b = 0 hoặc b ≠ 0 Ví dụ: Giải và biện luận các phương trình sau mx + 1 1/ m(x 1) = 2x +1 2/ m2x + 2 = x + 2m 3/ =2 x 1 x + 2 x +1 mx − m − 3 4/ 5/ 6/ |x –m| = |x + 1| =1 = x − m x 1 x...    m + 1  m =1 Tập nghiệm: S = R  m = 1 Tập nghiệm: S = ∅ mx + 1 3/ = 2 Điều kiện: x ≠ 1 x 1 mx + 1 = 2 ⇔ (m –2)x = –3 (1) x 1  m = 2 (1) trở thành 0x = –3 −3  m ≠ 2 (1) ⇔ x = m−2 −3 So lại điều kiện: x ≠ 1 ⇒ 1 ≠ ⇔ m ≠ 1 m−2 Vậy:  −3   m ∉ { 2 ; − 1} Tập nghiệm: S =   m − 2  m ∈ { 2 ; − 1} Tập nghiệm: S = ∅  m≠2 x + 2 x +1 = x − m x 1 Điều kiện: x ≠ m và x ≠ 1 x + 2 x +1 ⇔ x2 +... 1 = 0  x + mx0 + 1 = 0  x + mx0 + 1 = 0  ⇔  ⇔  ⇔  m = 1 (m − 1) x0 + 1 − m = 0 (m − 1) ( x0 − 1) = 0  x = 1  0 2 0  m = 1: không thỏa 2 0 Nguyễn Quốc Quận – THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu  x0 = 1 Tìm được m = –2 9/ Cho phương trình: 2x2 + (2m 1) x + 2m + 1 = 0 Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1 , x2 và 3x1 – 4x2 = 11 2 Điều kiện để phương trình đ cho có nghiệm: ∆ = (2m − 1) − 8(2m + 1) ... +1  m = 1 (1) trở thành 0x = 5 m+4  m ≠ 1 (1) ⇔ x = m 1 m+4 3 So lại điều kiện: x = 1 ⇒ 1 = ⇔m=− m 1 2 Vậy:  3  m + 4  m ∉ − ; 1 Tập nghiệm: S =    2   m 1   3   m ∈ − ; 1 Tập nghiệm: S = ∅  2   x − m = x + 1 (a ) 6/ |x –m| = |x + 1| ⇔   x − m = − x − 1 (b ) Giải (a) (a) trở thành 0x = m + 1  m = 1 (a) trở thành 0x = 0  m ≠ 1 (a) trở thành 0x = m +1 ≠ 0 m 1 Giải (b)...  x1 = 9 x 2  x1 = 9 x 2  x1 = 9 x2  m = 4 m +1    x1 + x 2 = 2(m + 1) ⇔  x 2 = ⇔  x1 + x 2 = 2(m + 1) ⇔  m = − 4 5  x x = 2m + 1   2 9   1 2 9m + 18 m + 9 = 50m + 25  (m + 1) 2 = 2m + 1 9 25  IV Cho phương trình: x2 –2(m 1) x + m2 –3m + 4 = 0 1/ Tìm m để phương trình đ cho có một nghiệm 2 2/ Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 và x12 + x 2 = 20 Giải 1/ ... −3 x + 1 5  1 2/ 2 x + 3 = 3 x − 1 Điều kiện: x ≥ 3 x = 4 2 x + 3 = 3x − 1 2 x + 3 = 3x − 1 ⇔  ⇔  x = − 2 (loai ) 2 x + 3 = −3 x + 1  5   x ≥ 1  x ≥ 1  x ≥ 1  2  2  x = 1 ∨ x = 4  x − 5( x − 1) − 1 = 0  x − 5 x + 4 = 0 2 3/ x − 5 x − 1 − 1 = 0 ⇔  ⇔ ⇔ ⇔  x < 1 x . ( ) ( ) 012 812 2 ≥+−−=∆ mm Ta c ĩ :      − =+ =− 2 21 114 3 21 21 m xx xx ⇔        −− = − = 14 619 7 413 2 1 m x m x mà 2 12 21 + = m xx nên: ( ) ( ) 2 12 98 619 413 + = − − − mmm . ( 2 2 2 1 xx + )( 3 2 3 1 xx + ) – ( ) ( ) 21 2 21 xxxx + = 11 Vì: ( 2 2 2 1 xx + )( 3 2 3 1 xx + ) = =+++ 5 2 3 1 2 2 3 2 2 1 5 1 xxxxxx 5 2 5 1 xx + + ( ) ( ) 21 2 21 xxxx + 5/ 6 2 6 1 xx. 1 21 −== a c xx 1/ 2 2 2 1 xx + = ( ) 32 21 2 21 =−+ xxxx 2/ ( ) ( ) 212 1 3 21 3 2 3 1 .3 xxxxxxxx +−+=+ = 4 3/ 4 2 4 1 xx + = ( ) ( ) 72 2 21 2 2 2 2 1 =−+ xxxx 4/ 5 2 5 1 xx