Đề Cương Toán Đại Số 10, học kỳ 1

MATHVN.COM | www.mathvn.com www.MATHVN.com 1 CNG ễN TP HC K 1 MễN TON LP 10 Nm hc 2010- 2011 PHN I: I S CHNG I. TP HP. MNH (Dnh cho phn trc nghim) Bi 1: Cỏc mnh sau ỳng hay sai ? lp mnh ph nh ca mnh ú: 1/ " n ẻ N * , n 2 + n + 1 là số nguyên tố. 2/ " x ẻ Z , x 2 x . 3/ $ k ẻ Z , k 2 + k + 1 là một số chẵn. 4/ " n ẻ N , n 3 - n chia hết cho 3. 5/ " x ẻ R , x < 3 ị x 2 < 9. 6/ $ x ẻ R , 1 1 2 2 > + x x . 7/ $ x ẻ Q, Z 1 23 2 ẻ + + x x . 8/ ,Nx ẻ " x 2 chia hết cho 3 ị x chia hết cho 3. Bài 2. Cho { } { } { } 1 , 2 , 3, 4 , 5 , 6 , 9 ; 0 , 2 , 4 , 6 , 8 , 9 ; 3 , 4 , 5 , 6 , 7 A B C= = = . 1/ Tìm ; \ ; ; \ A B B C A B A B ầ ẩ . 2/ Chứng minh: CBACBA \)()\( ầ = ầ . Bi 3: Lit kờ cỏc phn t ca cỏc tp hp sau. a/ A = {3k -1| k ẻ Z , -5 Ê k Ê 3 } b/ B = {x ẻ Z / x 2 - 9 = 0} c/ C = {x ẻ R / (x - 1)(x 2 + 6x + 5) = 0} d/ D = {x ẻ Z / |x |Ê 3} e/ E = {x / x = 2k vi k ẻ Z v -3 < x < 13} Bi 4: Tỡm tt c cỏc tp hp con ca tp: a/ A = {a, b} b/ B = {a, b, c} c/ C = {a, b, c, d} Bi 5: Tỡm A ầ B ; A ẩ B ; A \ B ; B \ A , bit rng : a/ A = (2, + Ơ) ; B = [-1, 3] b/ A = (-Ơ, 4] ; B = (1, +Ơ) c/ A = {x ẻ R / -1 Ê x Ê 5}B = {x ẻ R / 2 < x Ê 8} CHNG II: HM S BC NHT V BC HAI (Dnh cho t lun v trc nghim) VN 1. Tỡm tp xỏc nh ã Tỡm tp xỏc nh D ca hm s y = f(x) l tỡm tt c nhng giỏ tr ca bin s x sao cho biu thc f(x) cú ngha: D = { } x R f x coự nghúa ( )ẻ . ã iu kin xỏc nh ca mt s hm s thng gp: 1) Hm s y = P x Q x ( ) ( ) : iu kin xỏc nh: Q(x) ạ 0. 2) Hm s y = R x ( ) : iu kin xỏc nh: R(x) 0. Chỳ ý: + ụi khi ta s dng phi hp cỏc iu kin vi nhau. + iu kin hm s xỏc nh trờn tp A l A è D. + A.B ạ 0 A B 0 0 ỡ ạ ớ ạ ợ . MATHVN.COM | www.mathvn.com www.MATHVN.com 2 VN 2. Xột tớnh chn l ca hm s xột tớnh chn l ca hm s y = f(x) ta tin hnh cỏc bc nh sau: ã Tỡm tp xỏc nh D ca hm s v xột xem D cú l tp i xng hay khụng. ã Nu D l tp i xng thỡ so sỏnh f(x) vi f(x) (x bt kỡ thuc D). + Nu f(x) = f(x), " x ẻ D thỡ f l hm s chn. + Nu f(x) = f(x), " x ẻ D thỡ f l hm s l. Chỳ ý: + Tp i xng l tp tho món iu kin: Vi " x ẻ D thỡ x ẻ D. + Nu $ x ẻ D m f(x) ạ f(x) thỡ f l hm s khụng chn khụng l. VN 3. S bin thiờn ca hm s Cho hm s f xỏc nh trờn K. ã y = f(x) ng bin trờn K x x K x x f x f x 1 2 1 2 1 2 , : ( ) ( ) " ẻ < ị < f x f x x x K x x x x 2 1 1 2 1 2 2 1 ( ) ( ) , : 0 - " ẻ ạ ị > - ã y = f(x) nghch bin trờn K x x K x x f x f x 1 2 1 2 1 2 , : ( ) ( ) " ẻ < ị > f x f x x x K x x x x 2 1 1 2 1 2 2 1 ( ) ( ) , : 0 - " ẻ ạ ị < - VN 4. Hm s bc nht 1. Hm s bc nht y = ax + b (a ạ 0) ã Tp xỏc nh: D = R. ã S bin thiờn: + Khi a > 0, hm s ng bin trờn R. + Khi a < 0, hm s nghch bin trờn R. ã th l ng thng cú h s gúc bng a, ct trc tung ti im B(0; b). Chỳ ý: Cho hai ng thng (d): y = ax + b v (d  ): y = a  x + b  : + (d) song song vi (d  ) a = a  v b ạ b  . + (d) trựng vi (d  ) a = a  v b = b  . + (d) ct (d  ) a ạ a  . 2. Hm s y ax b = + (a ạ 0) b ax b khi x a y ax b b ax b khi x a ( ) ỡ + - ù ù = + = ớ ù - + < - ù ợ Chỳ ý: v th ca hm s y ax b = + ta cú th v hai ng thng y = ax + b v y = ax b, ri xoỏ i hai phn ng thng nm phớa di trc honh. VN 5. Hm s bc hai y ax bx c 2 = + + (a ạ 0) ã Tp xỏc nh: D = R ã S bin thiờn: ã th l mt parabol cú nh b I a a ; 2 4 D ổ ử - - ỗ ữ ố ứ , nhn ng thng b x a 2 = - lm trc i xng, hng b lừm lờn trờn khi a > 0, xuụng di khi a < 0. MATHVN.COM | www.mathvn.com www.MATHVN.com 3 Chỳ ý: v ng parabol ta cú th thc hin cỏc bc nh sau: Xỏc nh to nh b I a a ; 2 4 D ổ ử - - ỗ ữ ố ứ . Xỏc nh trc i xng b x a 2 = - v hng b lừm ca parabol. Xỏc nh mt s im c th ca parabol (chng hn, giao im ca parabol vi cỏc trc to v cỏc im i xng vi chỳng qua trc trc i xng). Cn c vo tớnh i xng, b lừm v hỡnh dỏng parabol v parabol. Bi 1: Tỡm tp xỏc nh ca cỏc hm s sau: 1) 2 3 + - = x x y 2) y = 12-3x 3) 4 3 - - = x x y 4) xx x y = 3)1( 5) = + + - 2 7 y x x 6) y = 5 2 3 10 x x x - - - Bài 2. Tỡm a hm s xỏc nh trờn tp K ó ch ra: 1) y x a x a 2 1 = - + - - ; K = (0; +Ơ). 2) x a y x a x a 2 3 4 1 - = - + + + - ; K = (0; +Ơ). 3) x a y x a 2 1 + = - + ; K = (1; 0). 4) y x a x a 1 2 6 = + - + + - ; K = (1; 0). Bi 3: Xột tớnh chn, l ca hm s : 1) y = 4x 3 + 3x 2) y = x 4 - 3x 2 - 1 3) 4 2 5 y x x = - + Bài 4. Xét tính đồng biến; nghịch biến của hàm số: 1) y x 4 1 = + 2) ( ) +Ơẻ= ;0; xxxy 3) ( ) +Ơẻ - = ;2; 2 3 x x y Bi 5: Kho sỏt s bin thiờn v v th cỏc hm s sau: a) y = 3x-2 b) y -2x + 5 c) y = 2 5 3 x - Bi 6: Xỏc nh a, b th hm s y = ax + b : a) i qua hai im A(0;1) v B(2;-3) b/ i qua C(4, -3) v song song vi t y = - 3 2 x + 1 c/ i qua D(1, 2) v cú h s gúc bng 2 d/ i qua E(4, 2) v vuụng gúc vi t y = - 2 1 x + 5 Bi 7: Xột s bin thiờn v v th cỏc hm s sau : 2 a/ y = x - 4x+3 b/ y = -x 2 x + 2 c/ y = -x 2 + 2x - 3 d) y = x 2 + 2x e/ y = x 2 + 3x + 4 f/ y = 2x 2 x 1 g/ y = - x 2 + 4x + 5 h/ y = -x 2 + 4x Bi 8: Tỡm ta giao im cỏc ca cỏc th hm s sau: 1/ 1 - = xy và 12 2 = xxy (KQ: (3;2), (0;-1)) 2/ 3 + - = xy và 14 2 + = xxy (KQ: (-1;4), (-2;5)) MATHVN.COM | www.mathvn.com www.MATHVN.com 4 3/ 52 - = xy và 44 2 +-= xxy (KQ: Tiếp xúc tại (3;1)) Bài 9: Xác định parabol y= ax 2 + bx+1 biết parabol đó: a) Qua A(1;2) và B(-2;11) b) Có đỉnh I(1;0) c) Qua M(1;6) và có trục đối xứng có phương trình là x=-2 d) Qua N(1;4) có tung độ đỉnh là 0. Bài 10: Tìm Parabol y = ax 2 - 4x + c, biết rằng Parabol đó: a/ Đi qua hai điểm A(1; -2) và B(2; 3) b/ Có đỉnh I(-2; -2) c/ Có hoành độ đỉnh là -3 và đi qua điểm P(-2; 1) d/ Có trục đối xứng là đường thẳng x = 2 và cắt trục hoành tại điểm (3; 0) CHƯƠNG III: PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ( Dành cho tự luận) VẤN ĐỀ 1. Khái niệm phương trình 1. Phương trình một ẩn f(x) = g(x) (1) · x 0 là một nghiệm của (1) nếu "f(x 0 ) = g(x 0 )" là một mệnh đề đúng. · Giải phương trình là tìm tất cả các nghiệm của phương trình đó. · Khi giải phương trình ta thường tìm điều kiện xác định của phương trình. Chú ý: + Khi tìm ĐKXĐ của phương trình, ta thường gặp các trường hợp sau: – Nếu trong phương trình có chứa biểu thức P x 1 ( ) thì cần điều kiện P(x) ¹ 0. – Nếu trong phương trình có chứa biểu thức P x ( ) thì cần điều kiện P(x) ³ 0. + Các nghiệm của phương trình f(x) = g(x) là hoành độ các giao điểm của đồ thị hai hàm số y = f(x) và y = g(x). 2. Phương trình tương đương, phương trình hệ quả Cho hai phương trình f 1 (x) = g 1 (x) (1) có tập nghiệm S1 và f 2 (x) = g 2 (x) (2) có tập nghiệm S 2 . · (1) Û (2) khi và chỉ khi S 1 = S 2 . · (1) Þ (2) khi và chỉ khi S 1 Ì S 2 . 3. Phép biến đổi tương đương · Nếu một phép biến đổi phương trình mà không làm thay đổi điều kiện xác định của nó thì ta được một phương trình tương đương. Ta thường sử dụng các phép biến đổi sau: – Cộng hai vế của phương trình với cùng một biểu thức. – Nhân hai vế của phương trình với một biểu thức có giá trị khác 0. · Khi bình phương hai vế của một phương trình, nói chung ta được một phương trình hệ quả. Khi đó ta phải kiểm tra lại để loại bỏ nghiệm ngoại lai. Bài 1: Giải các phương trình sau : 1/ - + = + - 3 1 3 x x x 2/ 2 2 1 x x - = - + 3/ 1 2 1 x x x - = - 4/ 2 3 5 7 3 14 x x x + - = + 5/ 4 2 x + = 6/ 1x - (x 2 - x - 6) = 0 + = 2 3x 1 4 7/ x-1 x-1 + + = 2 x 3 4 8/ x+4 x+4 x Bài 2: Giải các phương trình sau : 1/ - - + = - - 2 2 2 1 2 2 x x x x 2/ 1 + 3 x 1 - = 3 x x27 - - 3/ 2 1 2 2 ( 2) x x x x x - - = + - MATHVN.COM | www.mathvn.com www.MATHVN.com 5 4/ - - = 4 2 8 9 0 x x 5/ 2 2 10 2 x x x + - = + 6/ 3 2 0 x x - + = VẤN ĐỀ 2. Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối Cách giải Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ ta tìm cách để khử dấu GTTĐ, bằng cách: – Dùng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ. – Bình phương hai vế. – Đặt ẩn phụ. · Dạng 1: f x g x ( ) ( ) = C f x f x g x f x f x g x 1 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) é ì ³ í ê = î Û ê ì < ê í ê - = î ë C g x f x g x f x g x 2 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ì ³ ï Û é = í ê ï = - ë î · Dạng 2: f x g x ( ) ( ) = [ ] [ ] C f x g x 1 2 2 ( ) ( ) Û = C f x g x f x g x 2 ( ) ( ) ( ) ( ) é = Û ê = - ë · Dạng 3: a f x b g x h x ( ) ( ) ( ) + = Đối với phương trình có dạng này ta thường dùng phương pháp khoảng để giải. VẤN ĐỀ 3. Phương trình chứa ẩn trong dấu căn Cách giải: Để giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn ta tìm cách để khử dấu căn, bằng cách: – Nâng luỹ thừa hai vế. – Đặt ẩn phụ. Chú ý: Khi thực hiện các phép biến đổi cần chú ý điều kiện để các căn được xác định. Dạng 1: f x g x ( ) ( ) = Û [ ] f x g x g x 2 ( ) ( ) ( ) 0 ì ï = í ³ ï î Dạng 2: f x g x f x g x f x hay g x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ( ) 0) ì = = Û í ³ ³ î Dạng 3: af x b f x c ( ) ( ) 0 + + = Û t f x t at bt c 2 ( ), 0 0 ì ï = ³ í + + = ï î Bài 3: Giải các phương trình sau : 1/ 2 1 3 x x + = - 2/ |2x - 2| = x 2 - 5x + 6 3/ |x + 3| = 2x + 1 4/ |x - 2| = 3x 2 - x - 2 5/ x - 5x2 - = 4 6/ 2 4 1 - = - x x 7/ 2 5 3 2 x x + = - 8/ 2 7 10 3 1 x x x - + = - 9/ 3 2 2 2 - = - + x x 10/ 2 3 1 7 2 x x x - - + = 11/ 2 2 9 3 x x x x + - - = + 12/ 1x9x3 2 +- = x - 2 13/ 1x9x3 2 +- = x - 2 14/ x - 5x2 - = 4 VẤN ĐỀ 4. Phương trình bậc nhất ax + b = 0 (1) Hệ số Kết luận a ¹ 0 (1) có nghiệm duy nhất b x a = - a = 0 b ¹ 0 (1) vô nghiệm b = 0 (1) nghiệm đúng với mọi x MATHVN.COM | www.mathvn.com www.MATHVN.com 6 Bài 4: Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m : 1/ 2mx + 3 = m - x 2/ (m - 1)(x + 2) + 1 = m 2 3/ (m 2 + m)x = m 2 - 1 Bài 5: Giải các hệ phương trình sau : a. 2 3 5 3 3 x y x y + = ì í + = - î b. 2 3 4 2 6 x y x y - + = ì í - = - î c. 2 3 2 4 1 x y x y + = - ì í - - = î d. 7 4 41 3 3 3 5 11 5 2 ì + = ï ï í ï - = - ï î x y x y VẤN ĐỀ 5. Phương trình bậc hai 1. Cách giải Chú ý: – Nếu a + b + c = 0 thì (1) có hai nghiệm là x = 1 và x = c a . – Nếu a – b + c = 0 thì (1) có hai nghiệm là x = –1 và x = c a - . – Nếu b chẵn thì ta có thể dùng công thức thu gọn với b b 2 ¢ = . 2. Định lí Vi–et Hai số x x 1 2 , là các nghiệm của phương trình bậc hai ax bx c 2 0 + + = khi và chỉ khi chúng thoả mãn các hệ thức b S x x a 1 2 = + = - và c P x x a 1 2 = = . Bài 6: Cho phương trình x 2 - 2(m - 1)x + m 2 - 3m = 0. Định m để phương trình: a/ Có hai nghiệm phân biệt b/ Có hai nghiệm c/ Có nghiệm kép, tìm nghiệm kép đó. d/ Có một nghiệm bằng -1 tính nghiệm còn lại e/ Có hai nghiệm thoả 3(x 1 +x 2 )=- 4 x 1 x 2 f/ Có hai nghiệm thoả x 1 =3x 2 Bài 7: Cho pt x 2 + (m - 1)x + m + 2 = 0 a/ Giải phương trình với m = -8 b/ Tìm m để pt có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó c/ Tìm m để PT có hai nghiệm trái dấu d/ Tìm m để PT có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn x 1 2 + x 2 2 = 9 ax 2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) (1) b ac 2 4 D = - Kết luận D > 0 (1) có 2 nghiệm phân biệt b x a 1,2 2 D - ± = D = 0 (1) có nghiệm kép b x a 2 = - D < 0 (1) vô nghiệm MATHVN.COM | www.mathvn.com www.MATHVN.com 7 PHẦN II: HÌNH HỌC CHƯƠNG I. VÉC TƠ (Dành cho trắc nghiệm và tự luận) I/ KHÁI NIỆM VÉC TƠ . 1. Các định nghĩa · Vectơ là một đoạn thẳng có hướng. Kí hiệu vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B là AB uuur . · Giá của vectơ là đường thẳng chứa vectơ đó. · Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ, kí hiệu AB uuur . · Vectơ – không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, kí hiệu 0 r . · Hai vectơ đgl cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau. · Hai vectơ cùng phương có thể cùng hướng hoặc ngược hướng. · Hai vectơ đgl bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài. Chú ý: + Ta còn sử dụng kí hiệu a b , , r r để biểu diễn vectơ. + Qui ước: Vectơ 0 r cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ. Mọi vectơ 0 r đều bằng nhau. 2. Các phép toán trên vectơ a) Tổng của hai vectơ · Qui tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C tuỳ ý, ta có: AB BC AC + = uuur uuur uuur . · Qui tắc hình bình hành: Với ABCD là hình bình hành, ta có: AB AD AC + = uuur uuur uuur . · Tính chất: a b b a + = + r r r r ; ( ) ( ) a b c a b c + + = + + r r r r r r ; a a 0 + = r r r b) Hiệu của hai vectơ · Vectơ đối của a r là vectơ b r sao cho a b 0 + = r r r . Kí hiệu vectơ đối của a r là a - r . · Vectơ đối của 0 r là 0 r . · ( ) a b a b - = + - r r r r . · Qui tắc ba điểm: Với ba điểm O, A, B tuỳ ý, ta có: OB OA AB - = uuur uuur uuur . c) Tích của một vectơ với một số · Cho vectơ a r và số k Î R. ka r là một vectơ được xác định như sau: + ka r cùng hướng với a r nếu k ³ 0, ka r ngược hướng với a r nếu k < 0. + ka k a . = r r . · Tính chất: ( ) k a b ka kb + = + r r r r ; k l a ka la ( ) + = + r r r ; ( ) k la kl a ( ) = r r ka 0 = r r Û k = 0 hoặc a 0 = r r . · Điều kiện để hai vectơ cùng phương: ( ) a vaø b a cuøng phöông k R b ka 0 : ¹ Û $ Î = r r r r r r · Điều kiện ba điểm thẳng hàng: A, B, C thẳng hàng Û $k ¹ 0: AB kAC = uuur uuur . · Biểu thị một vectơ theo hai vectơ không cùng phương: Cho hai vectơ không cùng phương a b , r r và x r tuỳ ý. Khi đó $! m, n Î R: x ma nb = + r r r . Chú ý: · Hệ thức trung điểm đoạn thẳng: M là trung điểm của đoạn thẳng AB Û MA MB 0 + = uuur uuur r Û OA OB OM 2+ = uuur uuur uuur (O tuỳ ý). · Hệ thức trọng tâm tam giác: G là trọng tâm DABC Û GA GB GC 0 + + = uuur uuur uuur r Û OA OB OC OG 3+ + = uuur uuur uuur uuur (O tuỳ ý). MATHVN.COM | www.mathvn.com www.MATHVN.com 8 II/ TA 1. Trc to ã Trc to (trc) l mt ng thng trờn ú ó xỏc nh mt im gc O v mt vect n v e r . Kớ hiu ( ) O e ; r . ã To ca vect trờn trc: u a u a e ( ) . = = r r r . ã To ca im trờn trc: M k OM ke ( ) . = uuur r . ã di i s ca vect trờn trc: AB a AB a e . = = uuur r . Chỳ ý: + Nu AB cuứng hửụựng vụựi e uuur r thỡ AB AB = . Nu AB ngửụùc hửụựng vụựi e uuur r thỡ AB AB = - . + Nu A(a), B(b) thỡ AB b a = - . + H thc Sal: Vi A, B, C tu ý trờn trc, ta cú: AB BC AC + = . 2. H trc to ã H gm hai trc to Ox, Oy vuụng gúc vi nhau. Vect n v trờn Ox, Oy ln lt l i j , r r . O l gc to , Ox l trc honh, Oy l trc tung. ã To ca vect i vi h trc to : u x y u x i y j ( ; ) . . = = + r r r r . ã To ca im i vi h trc to : M x y OM x i y j ( ; ) . . = + uuur r r . ã Tớnh cht: Cho a x y b x y k R ( ; ), ( ; ),   = = ẻ r r , A A B B C C A x y B x y C x y ( ; ), ( ; ), ( ; ) : + x x a b y y ỡ  ù = = ớ  = ù ợ r r + a b x x y y ( ; )   = r r + ka kx ky ( ; ) = r + b r cựng phng vi a 0 ạ r r $k ẻ R: x kx vaứ y ky   = = . x y x y   = (nu x ạ 0, y ạ 0). + B A B A AB x x y y ( ; ) = - - uuur . + To trung im I ca on thng AB: A B A B I I x x y y x y; 2 2 + + = = . + To trng tõm G ca tam giỏc ABC: A B C A B C G G x x x y y y x y; 3 3 + + + + = = . + To im M chia on AB theo t s k ạ 1: A B A B M M x kx y ky x y k k ; 1 1 - - = = - - . ( M chia on AB theo t s k MA kMB = uuur uuur ). Bi 1: Cho 6 im phõn bit A, B, C, D, E, F chng minh : ) a AB DC AC DB + = + uur uuur uuur uur ) b AB ED AD EB + = + uur uur uuur uur ) c AB CD AC BD - = - uur uur uuur uur ) d AD CE DC AB EB + + = - uuur uur uuur uur uur ) AC+ DE - DC - CE + CB = AB uuur uuur uuur uur uuur uuur e ) + + = + + = + + uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur f AD BE CF AE BF CD AF BD CE Bi 2: Cho tam giỏc MNP cú MQ l trung tuyn ca tam giỏc . Gi R L trung im ca MQ. Cmr ) 2 0 a RM RN RP + + = uuur uuur uur r + + = " uuur uuur uur uur ) 2 4 , bất kì b ON OM OP OR O c) Dng im S sao cho t giỏc MNPS l hỡnh bỡnh hnh. Chng t rng MATHVN.COM | www.mathvn.com www.MATHVN.com 9 2 MS MN PM MP + - = uuur uuur uuur uuur d)Vi im O tựy ý, hóy chng minh rng: ON OS OM OP + = + uuur uuur uuuur uuur ; 4 ON OM OP OS OI + + + = uuur uuuur uuur uuur uur Bi 3:.Cho 4 im bt kỡ A,B,C,D v M,N ln lt l trung im ca on thng AB,CD.Chng minh rng: a) 2 CA DB CB DA MN + = + = uuur uuur uuur uuur uuuur b) 4 AD BD AC BC MN + + + = uuur uuur uuur uuur uuuur c) Gi I l trung im ca BC.Chng minh rng:2( ) 3+ + + = uur uur uur uur uur AB AI NA DA DB Bi 4:. Cho tam giỏc MNP cú MQ ,NS,PI ln lt l trung tuyn ca tam giỏc. Chng minh rng: ) 0 + + = uuur uur uur r a MQ NS PI b) Chng minh rng hai tam giỏc MNP v tam giỏc SQI cú cựng trng tõm . c) Gi M L im i xng vi M qua N , N L im i xng vi N qua P , P L im i xng vi P qua M. Chng minh rng vi mi im O bt kỡ ta luụn cú: ' ' ' + + = + + uuur uuuur uuur uuur uuur uur ON OM OP ON OM OP Bi 5: Gi G v G  ln lt l trng tõm ca tam giỏc ABC v tam giỏc A B C    . Chng minh rng 3 AA BB CC GG     + + = uuur uuur uuuur uuuur Bi 6: Cho tam giỏc ABC , gi M l trung im ca AB, N l mt im trờn AC sao cho NC=2NA, gi K l trung im ca MN 1 1 ) CMR: AK= AB + AC 4 6 a uuur uuur uuur 1 1 b) KD= AB + AC 4 3 uuur uuuur uuur Gọi D là trung điểm của BC, chứng minh : Bi 7: a) Cho MK v NQ l trung tuyn ca tam giỏc MNP.Hóy phõn tớch cỏc vộct , , uuur uur uuur MN NP PM theo hai vộct u MK = r uuuur , = r uuur v NQ b) Trờn ng thng NP ca tam giỏc MNP ly mt im S sao cho 3 SN SP = uuur uur . Hóy phõn tớch vộct MS uuur theo hai vộct u MN = r uuuur , v MP = r uuur c) Gi G l trng tõm ca tam giỏc MNP .Gi I l trung im ca on thng MG v H l im trờn cnh MN sao cho MH = 1 5 MN .Hóy phõn tớch cỏc vộct , , , uur uuur uur uuur MI MH PI PH theo hai vộct u PM = r uuuur , v PN = r uuur Bi 8: Cho 3 im A(1,2), B(-2, 6), C(4, 4) a) Chng minh A, B,C khụng thng hng b) Tỡm to trung im I ca on AB c) Tỡm to trng tõm G ca tam giỏc ABC d) Tỡm to im D sao cho t giỏc ABCD l hỡnh Bỡnh hnh e) Tỡm to im N sao cho B l trung im ca on AN f) Tỡm to cỏc iờm H, Q, K sao cho C l trng tõm ca tam giỏc ABH, B l trng tõm ca tam giỏc ACQ, A l trng tõm ca tam giỏc BCK. g) Tỡm to im T sao cho 2 im A v T i xng nhau qua B, qua C. h) 3 ; 2 5T ì m toạ độ điểm U sao cho = = - uuur uuur uuur uuur AB BU AC BU k) , theo 2 ; theo 2 AB uuur uuur uuur uuur uuur Hãy phân tich vec tơ AU và CB vectơ AC và C N Bi 9: Cho tam giỏc ABC cú M(1,4), N(3,0); P(-1,1) ln lt l trung im ca cỏc cnh: BC, CA, AB. Tỡm to A, B, C. Bi 10: Trong mt phng ta Oxy.Chng minh rng cỏc im: a) A(1;1), B(-1; 7), C(0; 4) thng hng. b) M(-1; 1), N(1; 3), P(-2; 0) thng hng. c) Q(-1; 1), R(0; 3), S(-4; 5) khụng thng hng. Bi 11: Trong h trc ta cho hai im A(2; 1) v B(6; -1) Tỡm ta : a) im M thuc Ox sao cho A,B,M thng hng. b) im N thuc Oy sao cho A,B,N thng hng. MATHVN.COM | www.mathvn.com www.MATHVN.com 10 O x y M x y 1 -1 O A B a r b r a r b r CHƯƠNG II. TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ VÀ ỨNG DỤNG I/ GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GĨC BẤT KỲ TỪ 0 O ĐẾN 180 O 1. Định nghĩa Lấy M trên nửa đường tròn đơn vò tâm O. Xét góc nhọn a = · xOM . Giả sử M(x; y). sin a = y (tung độ) cos a = x (hoành độ) tan a = y tungđộ x hoànhđộ ỉ ư ç ÷ è ø (x ¹ 0) cot a = x hoànhđộ y tungđộ ỉ ư ç ÷ è ø (y ¹ 0) Chú ý: – Nếu a tù thì cos a < 0, tan a < 0, cot a < 0. – tan a chỉ xác định khi a ¹ 90 0 , cot a chỉ xác định khi a ¹ 0 0 và a ¹ 180 0 . 2. Tính chất · Góc phụ nhau · Góc bù nhau 0 0 0 0 sin(90 ) cos cos(90 ) sin tan(90 ) cot cot(90 ) tan a a a a a a a a - = - = - = - = 0 0 0 0 sin(180 ) sin cos(180 ) cos tan(180 ) tan cot(180 ) cot a a a a a a a a - = - = - - = - - = - 3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt II/ TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ 1. Góc giữa hai vectơ Cho a b , 0 ¹ r r r . Từ một điểm O bất kì vẽ OA a OB b , = = uuur uuur r r . Khi đó ( ) · a b AOB , = r r với 0 0 £ · AOB £ 180 0 . Chú ý: + ( ) a b , r r = 90 0 Û a b ^ r r + ( ) a b , r r = 0 0 Û a b , r r cùng hướng + ( ) a b , r r = 180 0 Û a b , r r ngược hướng + ( ) ( ) a b b a , , = r r r r 2. Tích vơ hướng của hai vectơ · Định nghĩa: ( ) a b a b a b . . .cos , = r r r r r r . Đặc biệt: a a a a 2 2 . = = r r r r . 0 0 30 0 45 0 60 0 90 0 180 0 sin a 0 1 2 2 2 3 2 1 0 cos a 1 3 2 2 2 1 2 0 –1 tan a 0 3 3 1 3 || 0 cot a || 3 1 3 3 0 || [...]... nghim x1 , x2 tha x1 + x2 = 12 5 ỡ(m - 1) x + (m + 1) y = m Bi 10 : a) Tỡm cỏc giỏ tr ca m h phng trỡnh sau cú nghim: ớ ợ(3 - m) x + 3 y = 2 b) Gii v bin lun h phng trỡnh: ỡmx + y = m + 1 ỡ x + my = 1 ỡ(m - 1) x + (m + 1) y = m 1) ớ 2) ớ 3) ớ ợ x + my = 2 ợmx - 3my = 2m + 3 ợ(3 - m) x + 3 y = 2 www.MATHVN.com 12 MATHVN.COM | www.mathvn.com Bi 11 : Gii phng trỡnh: a) 4x + 1 = 1 c) x+5 - x-3 = 2 Bi 12 : Gii... theo a phng trỡnh: = a+3 x-5 ( 2m - 1) x + 2 = m + 1 c) x-2 d) Gii v bin lun cỏc phng trỡnh: mx - 1 m m( x 2 + 1) 1) mx + 1 = 2 x - m - 3 2) + = 3)4) m 2 ( x - 1) + m = x(3m - 2) x -1 x + 1 x2 - 1 Bi 7: Gii v bin lun phng trỡnh: (m - 1) x 2 + 7 x - 12 = 0 Bi 8: Cho phng trỡnh ( m + 1) x 2 + ( 3m - 1) x + 2m - 2 = 0 Xỏc nh m phng trỡnh cú hai nghim x1 , x2 tha x1 + x2 = 3 Tớnh cỏc nghim tron trng... = a1b1 + a2 b2 a = (a , a ), b = (b , b ) Khi ú: ã Cho 1 2 r 2 2 ã a = a1 + a2 ; 1 2 r r cos(a , b ) = ã Cho A( xA; yA), B( xB ; yB ) Khi ú: a1b1 + a2 b2 2 2 2 2 a1 + a2 b1 + b2 ; r r a ^ b a1b1 + a2 b2 = 0 AB = ( xB - xA)2 + ( yB - yA)2 Bi tp Baứi 1 Tớnh giỏ tr cỏc biu thc sau: a) a sin 0 0 + b cos 00 + c sin 900 b) a cos 900 + b sin 900 + c sin180 0 c) a 2 sin 90 0 + b2 cos 90 0 + c2 cos1800... - 2 ỡx + y = 4 d) ớ 2 2 ợ x + y + xy = 13 1 2 x + 2x - 6 = m -1 2 Bi 16 : Dựng th bin lun s nghim ca phng trỡnh: - x 2 + 4 x - 3 = m + 1 Bi 17 : Bin lun s giao im ca hai parapol y = - x 2 - 2 x + 3 v y = x 2 - m Bi 18 : Khụng gii phng trỡnh, hóy xột xem phng trỡnh trựng phng sau õy cú bao nhiờu nghim: x 4 + 8 x 2 + 12 = 0 Bi 19 : Trong mt phng ta cho ba im A(3; -1) ; B( 2; 4 ); C( 5; 3) a) Chng minh A,... A = sin x + cos x Bi 25: Chng minh cỏc ng thc sau sin 2 x cos 2 x a) = sin x - cos x cos x (1 + tan x ) sin x (1 + cot x ) cos x ử ổ sin x ử 1 ổ b) ỗ tan x + ữ + ỗ cot x + ữ= 1 + sin x ứ ố 1 + cos x ứ sin x cos x ố Bi 26: Cho tam giỏc ABC ,cỏc im M (1; 0); N(2; 2); P( -1; 3) ln lt l trung im ca www.MATHVN.com 13 MATHVN.COM | www.mathvn.com cỏc cnh BC, CA, AB a) Tỡm to trng tõm G ca tam giỏc MNP r uuuu... x - 5 = 4 d) 3x 2 + 15 x + 2 x 2 + 5 x + 1 = 2 b) 2 x + 5 = x 2 + 5 x + 1 c) 3x + 4 = 2 - x Bi 13 : Gii h phng trỡnh: ỡx + 2 y = 5 ỡ x 2 + 2 y 2 - 2 xy = 5 ỡ xy + x + y = 5 a) ớ 2 b) ớ c) ớ 2 2 2 ợ x + 2 y - 2 xy = 5 ợx + 2 y = 7 ợx + y + x + y = 8 Bi 14 : Bin lun theo m s nghim ca phng trỡnh : x 2 - 4 x + 3 = m Bi 15 : Dựng th bin lun s nghim ca phng trỡnh: d) x2 - 2 x + 4 = x - 1 - 2 ỡx + y = 4 d)... AOKB l hỡnh thang ỏy AO www.MATHVN.com 11 MATHVN.COM | www.mathvn.com B sung bi tp nõng cao: (Hc sinh ban c bn cú th lm) Bi1: Gi (P) l th ca hm s y = x2 - 4x + 3 a) Cho bit s bin thiờn v v th ( P ) ca hm s b) Tỡm giao im ca (P) vi ng thng d: y = x - 1 Bi 2: Cho parabol (P):y = ax2 + 2x + c a)Tỡm parabol (P) bit rng (P) ct trc tung ti tung y = 2 v qua im A( -1; -1) b)V parabol (P) va tỡm c cõu a) Bi... a + b + c ) Ê 3 a2 + b2 + c2 vớ i mọ i a, b, c ẻ R 2 1 1 1 a b d) (a + )(b + )(c + ) 8 "a, b, c > 0 e) Cho a,b>0 chng minh (1 + ) 2 + (1 + ) 2 8 a b c b a uuur uuur r Bi 29: Cho tam giỏc ABC, gi P l im sao cho PA + PB = 0 , K l mt im trờn cnh AC sao uuur cho KA = 3KC v E l trung im ca on PK Chng minh ng thc 4 AE = 5 uuur uuur AB + BC 2 Bi 30: 1 3 a) Cho cos x = - Tớnh sinx, tanx, cotx? b) Cho cotx... 27: Cho tam giỏc ABC bit AB = 10 , AC = 4 v A = 600 a) Tớnh chu vi tam giỏc ABC b) K ng cao AH Tớnh dai AH v BH Tớnh din tớch tam giỏc ABC c) Tớnh tanC d) Ly D trờn tia i ca tia AB sao cho AD = 6 v im E trờn AC sao cho AE = x Tỡm x BE l tip tuyn ca ng trũn ngoi tip tam giỏc ADE Bi 28: Chng minh a ửổ b ử ổ c ử ổ a) a4 + b4 a3 b + ab3 vớ i mọ i a, b ẻ R b) 1 + ữ 1 + ữ 1 + ữ 8 vi a, b, c > 0 b ứố... bng -1 khi x = 1 Bi 4: Cho parabol (P): y = ax2 + bx + c ( a ạ 0 ) a) Tỡm a, b, c bit rng (P) i qua im A(0;3) v cú nh S(2; -1) b) Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s tỡm c cõu a Bi 5: Cho parabol (P): y = ax2 + bx + c ( a ạ 0 ) a) Tỡm a, b, c bit rng (P) i qua im A (1; 2) v cú nh S(2; 3) b) Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s tỡm c cõu a 2mx - m + 4 Bi 6: a) Gii v bin lun theo m phng trỡnh: =2 x +1 4a - . + x x 10 / 2 3 1 7 2 x x x - - + = 11 / 2 2 9 3 x x x x + - - = + 12 / 1x9x3 2 +- = x - 2 13 / 1x9x3 2 +- = x - 2 14 / x - 5x2 - = 4 VẤN ĐỀ 4. Phương trình bậc nhất ax + b = 0 (1) Hệ số Kết. (a 1 , a 2 ), b r = (b 1 , b 2 ). Khi ú: a b a b a b 1 1 2 2 . = + r r . ã a a a 2 2 1 2 = + r ; a b a b a b a a b b 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 cos( , ) . + = + + r r ; a b a b a b 1 1 2. M (1, 4), N(3,0); P( -1, 1) ln lt l trung im ca cỏc cnh: BC, CA, AB. Tỡm to A, B, C. Bi 10 : Trong mt phng ta Oxy.Chng minh rng cỏc im: a) A (1; 1), B( -1; 7), C(0; 4) thng hng. b) M( -1; 1) , N (1;