Đề thi học sinh giỏi môn Toán 9 số 10

Sở giáo dục và đào tạo kỳ thi học sinh giỏi lớp 9 Thanh hoá môn thi : toán Thời gian:(150 phút-không kể thời gian giao đề) Bài 1 : Tính giá trị biểu thức: ( ) 2006 23 283 ++= xxA với ( ) 56145 38517 3 + =x ( ) 25 + Bài 2 : Cho ox > ,hãy tìm giá tri nhỏ nhất của biểu thức : 3 3 3 6 6 6 11 2 11 x x x x x x x x P ++ + + + = Bài 3 :Chứng minh rằng phơng trình : 02005.22 20062 =+ mxx không có nghiệm nguyên với mọi Zm Bài 4: Tìm tất cả tam giác vuông có các cạnh là số nguyên và số đo diện tích bằng số đo chu vi. Bài 5: Giải phơng trình : xxxx =+ 2.22 22 Bài 6 : Cho Parabol (P): 2 4 1 xy = và đờng thẳng (D) qua hai điểm A,B trên (P) có hoành độ lần lợt là : -2 và 4. Bài 7 : Trên một đờng tròn viết 2006 số tự nhiên,biết rằng mỗi số là trung bình cộng của 2 số đứng liền trớc và sau nó. Chứnh minh rằng tất cả các số đó bầng nhau . Bài 8 : Các đờng cao của tam giác ABC cắt nhau tại H . Biết rằng HC=AB , tìm góc ở đỉnh C. Bài 9 : Từ điểm P nằm ngoài đờng tròn tâm O, bán kính R kẻ hai tiêp tuyến PA và PB với A,B là các tiếp điểm .Gọi H là chân đờng vuông goc hạ từ điểm A đến đờng kính BC . a. Chứng minh rằng PC cắt AH tại trung điểm của AH . b.Tính AH theo R và PO =d . Bài 10 :Cho 10 điểm nằm ngoài mặt phẳng (P). Nối từng cặp 2 điểm với nhau ta đợc các đoạn thẳng .Mặt phẳng (P) có thể có 30 giao điểm với các đoạn thẳng nói trên không? Hớng dẫn chấm môn toán : Kỳ thi học sinh giỏi lớp 9 Bài 1: Rút gọn 3 17 5 38 5 2, 14 6 5 3 5 = = (1đ) Khi đó : 5 2 1 ( 5 2) 3 5 3 5 x = + = + (0,5đ) Nên : 3 2 2006 1 1 3 8 2 3. 8. 2 3 27 9 3 x x A + + = + + = = (0,5đ) Bài 2: 2 6 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 ( ) 1 1 1 1 x x x x P x x x x x x x x + + ữ = = + + ữ ữ + + + ữ ữ (1đ) = 3(x + 1 ) 6 x ( x > 0 ) (1đ) Bài3 : Phơng trình :x 2 2mx +2.2005 2006 = 0 (1) Có : ' 2 2006 2.2005m = (0,5đ) Phơng trình (1) có nghiệm nguyên khi ' là số chính phơng Nhng nếu : ' 2 2006 2.2005m = = k 2 , (k là số nguyên) (m-k )(m+k) = 2.2005 2006 là số chẵn (0,5đ) nên (m-k) và (m +k) đều là số chẵn Suy ra ( m k)( m + k) chia hết cho 4, mà 2.2005 2006 không chia hết cho 4 (0,5đ) Mâu thuẫn này chứng tỏ (1) không có nghiệm nguyên. (0,5đ) Bài 4: Gọi x,y,z là các cạnh của tam giác vuông 1 x y z < , ta có : 2 2 2 (1) 2( )(2) x y z xy x y z + = = + + (0,5đ) Từ (1) suy ra : ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 ( ) 2 4( ) 4 4 4 4 z x y xy x y x y z x y x y z z = + = + + + + + + = + + (0,5đ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2,( , 2)x y z x y z do x y + = + + = + + Thay z= x+y 4 vào (2) ta đợc : (x-4)(y-4)= 8 = 1.8=2.4 (0,5đ) Suy ra : 4 1 4 2 5 6 ; ; 4 8 4 4 12 8 x x x x y y y y = = = = = = = = (0,5đ) Bài 5: Phơng trình : 2 2 2 2 . 2x x x x+ = Điều kiện :x 2 , Đặt 2 2 ,( 0) 2y x y x y= = (0,5đ) Phơng trình 2 2 (1 )( 1)(2 4) 0y y y y y + = (1đ) Phơng trình có 3 nghiệm không âm : 1 2 3 5 1 33 1 1, , 2 8 y y y + = = = 1 2 3 5 1 33 1 1, , 2 8 x x x + + = = = (0,5đ) Bài 6 : Y 4 B A M -2 O 1 4 X (d) -Phơng trình đờng thẳng AB: 1 2 2 y x= + -M là tiếp điểm của tiếp tuyến (d) song song với AB; 2 ( ; ) 4 m M m ( 0,5đ) -(d) : 2 2 1 1 ( ) ( ) 4 2 2 4 m m y x m y x m = = + (0,5đ) -Phơng trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) : X 2 2x +2m m 2 = 0 Có ' 0 1m = = , Nên toạ độ 1 1; 4 M ữ (0,5đ) Chứng minh (P) ở phía trên (d) : 1 1 2 4 y x= , giải thích đợc trực quan ở trên đúng : ( ) 2 2 1 1 1 1 0 4 2 4 x x x Dấu = xảy ra 0 1 M x x= = Vậy khoảng cách từ M 0 đến AB là lớn nhất nên : MAB S lớn nhất. (0,5đ) Bài 7: Giả sử 2006 số đợc viết trên đờng tròn là : a 1 , a 2 , a 3 ,, a 2006 thoã mãn : 1 1 2 i i i a a a + + = , trong đó i= 2, 3,, 2006. Khi đó ta có : 2006 2 2005 1 1 2006 , 2 2 a a a a a a + + = = (0,5đ) Giả sử tất cả các số không bằng nhau và không mất tính tổng quát giả sử : a 1 > a 2 (*) vì 1 3 2 2 3 2 a a a a a + = > 2 4 3 3 4 2 a a a a a + = > (0,5đ) Tiếp tục quá trình lập luận đó ta nhận đợc kết quả : a 1 >a 2 >a 3 >a 2005 >a 1 , điều này mâu thuẫn với (*) (0,5đ) Vậy : a 1 = a 2 = a 3 =a 2005 (0,5đ) Bài 8: Trờng hợp góc C nhọn (hình1): ' ' ' ' ' AB B HB C BB B C BB C = = V là vuông cân Vậy góc ở đỉnh C là : 0 45ACB = (1đ) Trờng hợp góc C tù (hình2 ) : ' ' ' ' ' AA B A HC A H A B A HB= = V V V là vuông cân Ta có : ' 0 0 45 135BHA ACB = = (1đ) Bài 9 a/ Ta có : (1), : (2), EH CH Talet AH PB PB CB AH CH ACH POB PB OB = = P V : V 2AH EH = (1đ) b/ 2 2 2 2 2 . (2 ). . . 2 2 . . 2 2 AH BH CH R CH CH AH CB AH CB R R AH d R PB PB d = = −   = − ⇒ = −  ÷   (1®) Bµi 10 : NÕu 2 ®iÓm n»m kh¸c phÝa ®èi víi (P) th× ®o¹n th¼ng nèi chng c¾t (P). Gi¶ sö cã x ®iÓm thuéc 1phÝa cña (P) vµ (10- x) ®iÓm thuéc phÝa cßn l¹i . Sè giao ®iÓm cña c¸c ®o¹n th¼ng víi (P) lµ : T= x( 10 – x) = - x 2 + 10x = -( x-5) 2 + 25 25≤ VËy mp (P) kh«ng thÓ cã 30 giao ®iÓm víi c¸c ®o¹n th¼ng . C H ' A C ' B ' B ' A H A B A ' C B ' C H×nh 1 P A H×nh2 E B O H C H×nh 3 . Sở giáo dục và đào tạo kỳ thi học sinh giỏi lớp 9 Thanh hoá môn thi : toán Thời gian:(150 phút-không kể thời gian giao đề) Bài 1 : Tính giá trị biểu thức: ( ) 2006 23 283. nguyên khi ' là số chính phơng Nhng nếu : ' 2 2006 2.2005m = = k 2 , (k là số nguyên) (m-k )(m+k) = 2.2005 2006 là số chẵn (0,5đ) nên (m-k) và (m +k) đều là số chẵn Suy ra ( m . môn toán : Kỳ thi học sinh giỏi lớp 9 Bài 1: Rút gọn 3 17 5 38 5 2, 14 6 5 3 5 = = (1đ) Khi đó : 5 2 1 ( 5 2) 3 5 3 5 x = + = + (0,5đ) Nên : 3 2 2006 1 1 3 8 2 3. 8. 2 3 27 9 3 x x A +