Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 16 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
1. Phương trình mũ − −− − logarit a. Phương trình mũ: Đưa về cùng cơ số +0<a ≠ 1: a f(x) =a g(x) (1) ⇔ f(x)=g(x). + 0<a ≠ 1: a f(x) =b ⇔ ( ) = > bxf b a log 0 . Chú ý: Nếu a chứa biến thì (1) ⇔ (a − 1)[f(x) − g(x)]=0 Đặt ẩn phụ: Ta có thể đặt t=a x (t>0), để đưa về một phương trình đại số Lưu ý những cặp số nghịch đảo như: (2 3 ± ), (7 4 3 ± ),… Nếu trong một phương trình có chứa {a 2x ;b 2x ;a x b x } ta có thể chia hai vế cho b 2x (hoặc a 2x ) rồi đặt t=(a/b) x (hoặc t=(b/a) x . Phương pháp logarit hóa: a f(x) =b g(x) ⇔ f(x).log c a=g(x).log c b,với a,b>0; 0<c ≠ 1. b. Phương trình logarit: Đưa về cùng cơ số: +log a f(x)=g(x) ⇔ ( ) ( ) = ≠< xg axf a 10 +log a f(x)= log a g(x) ⇔ ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) = >> ≠< xgxf xgxf a 00 10 . Đặt ẩn phụ. 2. Bất phương trình mũ − −− − logarit a. Bất phương trình mũ: a f(x) >a g(x) ⇔ ( ) ( ) ( ) [ ] >−− > 01 0 xgxfa a ; a f(x) ≥ a g(x) ⇔ ( ) ( ) ( ) [ ] ≥−− > 01 0 xgxfa a . Đặt biệt: * Nếu a>1 thì: a f(x) >a g(x) ⇔ f(x)>g(x); a f(x) ≥ a g(x) ⇔ f(x) ≥ g(x). * Nếu 0<a<1 thì: a f(x) >a g(x) ⇔ f(x) < g(x); a f(x) ≥ a g(x) ⇔ f(x) ≤ g(x). b. Bất phương trình logarit: log a f(x)>log a g(x) ⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] >−− >> ≠< 01 0,0 10 xgxfa xgxf a ; log a f(x) ≥ log a g(x) ⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ≥−− >> ≠< 01 0,0 10 xgxfa xgxf a . Đặt biệt: + Nếu a>1 thì: log a f(x)>log a g(x) ⇔ ( ) ( ) ( ) > > 0xg xgxf ; + Nếu 0<a<1 thì: log a f(x)>log a g(x) ⇔ ( ) ( ) ( ) > < 0xf xgxf . =MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI I. Biến đổi thành tích Ví dụ 1: Giải phương trình: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 4.2 2 4 0 2 1 . 2 4 0 x x x x x x x x+ − − − − + = ⇔ − − = . Nhận xét: Mặc dù cùng cơ số 2 nhưng không thể biến đổi để đặt được ẩn phụ do đó ta phải phân tích thành tích: ( ) ( ) 2 2 2 1 . 2 4 0 x x x− − − = . Đây là phương trình tích đã biết cách giải. Ví dụ 2: Giải phương trình: ( ) ( ) 2 9 3 3 2 log log .log 2 1 1 x x x = + − . Nhận xét: Tương tự như trên ta phải biến đổi phương trình thành tích: ( ) 3 3 3 log 2log 2 1 1 .log 0 x x x − + − = . Đây là phương trình tích đã biết cách giải. Tổng quát: Trong nhiều trường hợp cùng cơ số nhưng không thể biến đổi để đặt ẩn phụ được thì ta biến đổi thành tích. II. Đặt ẩn phụ-hệ số vẫn chứa ẩn Ví dụ 1: Giải phương trình: 9 2( 2)3 2 5 0 x x x x + − + − = . Đặt t = 3 x (*), khi đó ta có: ( ) 2 2 2 2 5 0 1, 5 2 t x t x t t x + − + − = ⇒ = − = − . Thay vào (*) ta tìm được x. Lưu ý: Phương pháp này chỉ sử dụng khi ∆ là số chính phương. Ví dụ 2: Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) 2 3 3 log 1 5 log 1 2 6 0 x x x x + + − + − + = . Đặt t = log 3 (x+1), ta có: ( ) 2 5 2 6 0 2, 3 t x t x t t x + − − + = ⇒ = = − ⇒ x = 8 và x = 2. III. Phương pháp hàm số Các tính chất: Tính chất 1: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì phương trình f(x)=k (k ∈ R) có không quá một nghiệm trong khoảng (a;b). Tính chất 2: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì ∀ u, v ∈ (a,b) ta có ( ) ( ) f u f v u v = ⇔ = . Tính chất 3: Nếu hàm f tăng và g là hàm hằng hoặc giảm trong khoảng (a;b) thì phương trình f(x)=g(x) có nhiều nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b). Định lý Lagrange: Cho hàm số F(x) liên tục trên đoạn [a;b] và tồn tại F'(x) trên khoảng (a;b) thì ( ) bac ;∈∃ : ( ) ( ) ( ) a b aFbF cF − − =' . Khi áp dụng giải phương trình nếu có F(b) – F(a) = 0 thì ( ) ( ) ( ) ; : ' 0 ' 0 c a b F c F x ∃ ∈ = ⇔ = có nghiệm thuộc (a;b). Định lý Rôn: Nếu hàm số y=f(x) lồi hoặc lõm trên miền D thì phương trình f(x)=0 sẽ không có quá hai nghiệm thuộc D. Ví dụ 1: Giải phương trình: 2 log 2.3 3 x x + = . Hướng dẫn: 2 2 log log 2.3 3 2.3 3 x x x x + = ⇔ = − , vế trái là hàm đồng biến, vế phải là hàm nghịch biến nên phương trình có nghiệm duy nhất x=1. IV. Một số bài toán (đặc biệt là các bài logarrit) ta thường phải đưa về phương trình – hệ phương trình – bất phương trình mũ rồi sử dụng các phương pháp trên. 1.Dạng 1: Khác cơ số: Ví dụ: Giải phương trình 7 3 log log ( 2) x x = + . Đặt t = 7 log 7 t x x ⇒ = Khi đó phương trình trở thành: 3 7 1 log ( 7 2) 3 7 2 1 2. 3 3 t t t t t t = + ⇔ = + ⇔ = + . 2.Dạng 2: Khác cơ số và biểu thức trong dấu log phức tạp Ví dụ 1: Giải phương trình ( ) 4 2 2 5 6 log ( 2 2) 2log 2 3 x x x x − − = − − . Đặt t = x 2 – 2x – 3 ta có ( ) 6 5 log 1 log t t + = . Ví dụ 2: Giải phương trình ( ) 6 log 2 6 log 3 log x x x + = . Đặt 6 log t x = , phương trình tương đương 3 6 3 2 3 1 2 t t t t t + = ⇔ + = . 3. Dạng 3: ( ) log b x c a x + = ( Điều kiện: b = a + c ) Ví dụ 1: Giải phương trình ( ) 7 log 3 4 x x + = . Đặt ( ) 7 log 3 7 3 t t x x = + ⇒ = + , phương trình tương đương 4 1 4 7 3 3. 1 7 7 t t t t = − ⇔ + = . Ví dụ 2: Giải phương trình ( ) 42 5log 3 += + x x . Đặt t = x+4 phương trình tương đương ( ) t t = + 1log 3 2 Ví dụ 3: Giải phương trình ( ) ( ) ( ) 3 3 log 1 log 1 4 1 2 0 x x x x + + − − − = . 4. Dạng 4: ( ) log ax b s s c dx e x α β + = + + + , với ,d ac e bc α β = + = + Phương pháp: Đặt log ( ) s ay b dx e + = + rồi chuyển về hệ hai phương trình, lấy phương trình hai trừ phương trình một ta được: ax b ay b s acx s acy + + + = + . Xét ( ) at b f t s act + = + . Ví dụ: Giải phương trình 1 7 7 6log (6 5) 1 x x − = − + . Đặt ( ) 7 1 log 6 5 y x − = − . Khi đó chuyển thành hệ ( ) ( ) 1 1 1 1 1 7 7 6 1 1 7 6 5 7 6 7 6 1 log 6 5 7 6 5 x x x y y y y x y y x x − − − − − = − + = − ⇔ ⇒ + = + − = − = − . Xét hàm số ( ) 1 7 6 t f t t − = + suy ra x=y, Khi đó: 1 7 6 5 0 x x − − + = . Xét hàm số ( ) 567 1 +−= − xxg x Áp dụng định lý Rôn và nhẩm nghiệm ta được 2 nghiệm của phương trình là: x = 1, x = 2. 5. Dạng 5: Đặt ẩn phụ chuyển thành hệ phương trình. Ví dụ: Giải phương trình 1 1 1 8 2 18 2 1 2 2 2 2 2 x x x x x− − − + = + + + + HD: Viết phương trình dưới dạng 1 1 1 1 8 1 18 2 1 2 2 2 2 2 x x x x− − − − + = + + + + , đặt 1 1 2 1, 2 1. , 0 x x u v u v − − = + = + > . Nhận xét: u.v = u + v. Từ đó ta có hệ: 8 1 18 . u v u v u v u v + = + = + Bµi tËp I Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh mò 1) 13 86 2 = +− xx ⇒ x =2 vµ x=4. 2) xx −− = ) 2 25,0 (4.125,0 82 ⇒ x = 3 38 3) 5 2x-1 +5 x+1 - 250 = 0 ⇒ x =2 4) 9 x + 6 x = 2.4 x ⇒ x =0 5) 43 64 255 − − = x x ⇒ x =7/5 6) 22 43 93 − − = x x ⇒ x = ? 7) 2 2x-3 - 3.2 x-2 + 1 = 0 ⇒ x =1 vµ x=2 8) 2442 ) 2 5 () 5 2 ( −− = xx ⇒ x =1 9) 033.43 24 =+− xx ⇒ x =0 vµ x= 4 1 10) 5 2x - 7 x - 5 2x .35 + 7 x .35 = 0 ⇒ x = 2 1 − 11) 4 410 2 9 2 2 x x + = − ⇒ x =3 12) 33,0.2 100 3 2 += x x x ⇒ x = 13lg 3lg − 13) x x 1001,0.1000 = ⇒ x =1 vµ x= 2 1 14) 73 3 1 3 13 82 − − − − = x x x x ⇒ x ∈Φ 15) 2 x .5 x =0,1(10 x-1 ) 5 ⇒ x = 2 3 16) 363.2 = xx ⇒ x =4 17) 4 2 1 )1( 39 = −−xx ⇒ x = 2 3 vµ x= 2 1 − 18) 431 ) 3 4 ( 2 1 3 4 .) 4 3 ( −− = xx ⇒ x =2 19) 3 x +3 x+1 +3 x+2 =5 x +5 x+1 +5 x+2 ⇒ x = 43 31 log 5 3 20) 2 x +2 x-1 +2 x-2 =7 x +7 x-1 +7 x-2 ⇒ x = 343 228 log 7 2 21) 4 4 xx xx = ⇒ x =1 vµ x= 3 256 22) 161 42.2 ++ = xx ⇒ x = 2 1 23) 4)32()32( =++− xx ⇒ x =? 24) 10)625()625( =++− xx ⇒ x =2 vµ x=-2 23) xxx )22()154()154( =++− ⇒ x =2 24) xxx )5()23()23( =++− ⇒ x =? 25) 3 2)125(7)215( + =++− xxx ⇒ x =0 vµ x= 7log 2 215+ 26) 2)625()625( sinsin =−++ xx ⇒ x= Π k víi: Zk ∈ 27) 2653 +=+ x xx ⇒ x=0 vµ x=1 28) 21 )1(22 2 −=− −− x xxx ⇒ x=1 29) 093.613.73.5 1112 =+−+− +−− xxxx ⇒ x= 5 3 log 3 ;x= 5log 3 − 30) 112 323 −− += xx ⇒ x =? 31) 11 34 2 =− +− xx x ⇒ x=0;x=2;x=3 32) xxx 6242.33.8 +=+ ⇒ x=1 vµ x=3 33) x x 231 2 =+ ⇒ x=2 34) 022.92 2212 22 =+− +++ xxxx ⇒ x=-1;x=2 35) 8444)24(2 22 1 −−+=−−+ xxxx x ⇒ x=1/2 36) 4x 2 + x.3 x + 3 x+1 =2x 2 .3 x + 2x + 6 ⇒ x=-1;x=3/2; 3 3 1; ;log 2 2 ∈ − 37) 4 sinx -2 1+sinx .cosxy+ y 2 =0 ⇒ x=k Π ;y=o vµ k ∈ Z 38) 11 2 1 9 −++ − = xx x ⇒ x= 2log 3 ± 39) 1 2 12 3 3 1 2.62 3 =+ − −− x xx x ⇒ x=1 40) 12122 11 2 +=−− ++ + xx x ⇒ x ∈ { } [ ) ∞−∪− ;13 41) 1)1( 34 2 =+ +− xx x ⇒ x ∈ { } 3;1;0 42) 1313)1(3)4( 1 11 ++−+=−+ + −− xx x xxx ⇒ x ∈ { } [ ] 1;01 ∪− 43) xx xx = ⇒ x=1 vµ x=4 44) 232 14231 =+ +−−+ yxyx ⇒ x=0,5 vµ y=0,5 45) 2 2 4 2 1 3 3 6 7 1 2.3 x x x x + + + − + = + ⇒ x=-1 46) )32(10 101 )32()32( 1212 22 − =−++ −−+− xxxx ⇒ x= )32lg( )32(10lg 1 + + ± Bài 2: Giải và biện luận phương trình: a . ( ) 2 .2 .2 0 x x m m m − − + + = . b . .3 .3 8 x x m m − + = . Bài 3: Tìm m sao cho phương trình sau có nghiệm: ( 4).9 2( 2).3 1 0 x x m m m − − − + − = . II: Giải các phương trình logarit 1) 3loglog 2 9log 222 3. xxx x −= ⇒ x=2 2) xx 32 log)1(log =+ ⇒ x=9 3) lg(x 2 -x-6) + x =lg(x+2) + 4 ⇒ x=4 4) )2(log2)2(log5log)1(log 25 15 5 1 2 5 −−+=++ xxx ⇒ x= 21 /2 5) 016)1(log)1(4)1(log)2( 3 2 3 =−+++++ xxxx ⇒ x=2, x= 81 80 − . 6) 5,1lg)1(log =+x x ⇒ x Φ ∈ 7) 2 1 )213(log 2 3 =+−− + xx x ⇒ x 2 53 +− = vµ x = 2 299 − 8) x x −=− 3)29(log 2 ⇒ x=0 vµ x =3 9) x x x x 2 3 323 log 2 1 3 loglog 3 log +=− ⇒ x=1 vµ x = 8 3 10) log 2 x + 2log 7 x = 2 + log 2 xlog 7 x ⇒ x=7 vµ x = 4 11) 2log)2(log 2 2 =++ + xx x x ⇒ x=2 12) )32(log)44(log 1 2 12 −−=+ +xx x ⇒ x=2 13) 4)21236(log)4129(log 2 32 2 73 =+++++ ++ xxxx xx ⇒ x= -1/4 14) )1(log2 2log 1 )13(log 2 3 2 ++=+− + xx x ⇒ x=1 15) 1)69(loglog 3 =− x x ⇒ x Φ ∈ 40) 13)23.49(log 1 3 +=−− + x xx ⇒ x=0 vµ x= 1)153(log 3 −+ 41) 2 22 4log6log 2 3.22log4 x xx =− ⇒ x= 1/4 16) 2 9 3 32 27 )3(log 2 1 log 2 1 )65(log −+ − =+− x x xx ⇒ x=5/3 17) 3 8 2 2 4 )4(log4log2)1(log xxx ++−=++ ⇒ x=2 vµ x= 242 − 18) )2(loglog 37 += xx ⇒ x=49 19) 2 3 2 3 2log)1(log xxxxx −=−++ ⇒ x=1 20) log 2 (x 2 +x+1)+log 2 (x 2 -x+1)=log 2 (x 4 +x 2 +1)+log 2 (x 4 -x 2 +1) ⇒ x=0 x= ± 1 21) 3)29(log 2 =−+ x x ⇒ x=0 vµ x=3 22) )93.11(log)33(log3log)1( 5 1 55 −=++− + xx x ⇒ x=0 vµ x=2 23 ) 3log 2 1 log 2 1 )65(log 3 3 22 9 −+ − =+− x x xx ⇒ x=5/3 III .Giải c¸c hÖ phương trinh mò Bài 1: Giải c¸c hÖ phương trình sau: a. 3 2 3 4 128 5 1 x y x y + − − = = b. 2 ( ) 1 5 125 4 1 x y x y + − − = = b. 2 3 2 77 3 2 7 x y x y − = − = d. 2 2 12 5 x y x y + = + = e. 2 2 4 2 3 6 x y x y x y x y m m m m n n n n − − + + − = − − = − với m, n > 1. Bài 2: Giải c¸c hÖ phương trình sau: a 2 2 lgx lg y 1 x y 29 + = + = b. 3 3 3 log x log y 1 log 2 x y 5 + = + + = c. ( ) ( ) ( ) 2 2 lg x y 1 3lg2 lg x y lg x y lg3 + = + + − − = d. 4 2 2 2 log x log y 0 x 5y 4 0 − = − + = e. ( ) ( ) x y y x 3 3 4 32 log x y 1 log x y + = + = − + f. y 2 x y 2 log x log xy log x y 4y 3 = = + IV: Giải các hÖ phương trình logarit 1) =+ +=+ 3 2 )(log 2log2loglog 27 333 yx yx ⇒ (3;6) & (6;3) 2) =+ =+ 16 3log2log 44 22 yx yx ⇒ ( 22 ; 4 8 ) 3) −= −= xy yx 2 2 2 3 22 log8log 2logloglog5 ⇒ (2 3 2 ; 3 2 32 ) 4) = =−++ 3 3)(log)(log 22 xy yxyx ⇒ (3;1) & ( 7 33 ; 3 7 ) 5) =+ = 2222 2 )(lg 2 5 lglg ayx axy ⇒ (a 3 ; a 1 ) & ( a 1 ,a 3 ) 6) =− =+ 2lglglg 1)(lg 2 xy yx ⇒ (-10;20) & ( 3 10 ; 3 20 ) 7) =+ =+ 2)23(log 2)23(log xy yx y x ⇒ (5;5) 8) =− =+ 1loglog 272 33 loglog 33 xy yx xy ⇒ (3;9) & ( 9 1 ; 3 1 ) 9) +=+ +=+ 3 2 loglog12log 2 3 loglog3log 333 222 y yxx x yyx ⇒ (1;2) 10) =− =+ 1loglog 4 44 loglog 88 yx yx xy ⇒ (8;2) & ( 2 1 ; 8 1 ) 11) = =+ 8 5)log(log2 xy yx xy ⇒ (4;2) & (2;4) 12) −=+−+−+ +=+−+ 1log)4224(log)1(log )3(log12log)(log 4 2 44 44 22 4 y x xyyxy yxxyx ⇒ (2;1) vµ (a;a) víi a * + ∈ R 13) =+ +−=− 1 )1)(log(log 22 22 yx xyxyee yx ⇒ ( 2 2 ; 2 2 ) 14) =+− =− 045 0loglog 22 24 yx yx ⇒ (1;1) vµ (4;2) 15) =− =− 6 7 loglog 2)(log 4 yx yx x x ⇒ (5;2) 16) =+−− =+ 5,0)213(log 7,1lg)1(log 2 3 xx x x ⇒ ( 2 53 +− ; 2 299 − ) 17) =− =+ 1lg3 3lg2 2 xy xy ⇒ ( 10 ;4) 18) = = 19log 0logloglog 2 y xx y ⇒ x=? 19) =+ = + 3)23(log 2log 1 y y x x ⇒ (2;4) 20) =−−+ =− 1)(log)(log 2 32 22 yxyx yx ⇒ x=? 21) =−−+ =− 1)3(log)3(log 39 33 22 yxyx yx V .Giải bất phương trình mò Bµi 1: Gi¶i c¸c bÊtph−¬ng tr×nh sau 1) xxx 3413154 ) 2 1 () 2 1 ( 2 −+− < ⇒ x =? 2) 2 2x-1 + 2 2x-3 - 2 2x-5 >2 7-x + 2 5-x - 2 3-x ⇒ x>8/3 3) 8433 1 3 1 >+ + xx ⇒ 0<x<1 4) 62.3.23.34 212 ++<++ + xxxx xxx ⇒ x =? 5) 1 1 1 )25()25( + − − −≥+ x x x ⇒ x ≥ 1 6) 0 1 2 122 1 ≤ − +− − x x x 7) 7 x +7 x+1 +7 x+2 =5 x +5 x+1 +5 x+2 8) 1)1( 22 2 ≤+− + xx xx 9) xxxxxx 21212 222 15.34925 +−++−++− ≥+ 10) 1 2 2 < −− xx x 11) 1 1 1 )25()25( + − − −≥+ x x x 12) 623 233.4 212 ++<++ + xxxx xxx 13) xxxxxxxx x 3.4352.3.22352 222 +−−>+−− 14) 12) 3 1 (3) 3 1 ( 1 1 2 >+ + xx 15) xxxx ++ +≤ 1 42.34 16) xxxx 433.54 5,0125,0 −>− −−+ 17) (x 2 +x+1) x <1 Bài 2: Giải bất phương trình sau: 1 2 1 2 0 2 1 x x x − + − ≤ − . Bài 3: Cho bất phương trình ( ) 1 4 . 2 1 0 x x m − − + > a. Giải bất phương trình khi m= 16 9 . b. Định m để bất phương trình thỏa x R ∀ ∈ . Bài 4: a. Giải bất phương trình : 2 1 2 1 1 9. 12 3 3 x x + + > (*) b. Định m để mọi nghiệm của (*) đều là nghiệm của bất phương trình: ( ) 2 2 2 2 3 0 x m x m + + + − < VI .Giải bất phương trình logarit Bài 1: Giải bất phương trình: a. ( ) 2 8 log 4 3 1 x x − + ≤ b. 3 3 log log 3 0 x x − − < c. ( ) 2 1 4 3 log log 5 0 x − > d. ( ) ( ) 2 1 5 5 log 6 8 2 log 4 0 x x x − + + − < e. 1 3 5 log log 3 2 x x + ≥ f. ( ) 9 log log 3 9 1 x x − < [...]... các phơng trình (có điều kiện) sau: 1) Tìm gía trị Min của h m số: y= log x +1 (3 x 2 ) + log 3 x ( x 2 + 1) 2 2 2) Tìm tất cả các nghiệm của phơng trình: (2 x 1) 2 = x *) Thu c miền xác định của h m số: y= lg(4x-1) x=1 *) Thu c miền xác định của h m số: y= ln(x2- x-2) x=-5/3 3) Giải: logaaxlogxax= log a 2 1 a với: 0 a 2 x 12) Cho: x 2 (3 + m) x + 3m < ( x m) log 1 x (1) a 2 a) Kiểm nghiệm rằng với m=2 thì bất phơng . a b F c F x ∃ ∈ = ⇔ = có nghiệm thu c (a;b). Định lý Rôn: Nếu hàm số y=f(x) lồi hoặc lõm trên miền D thì phương trình f(x)=0 sẽ không có quá hai nghiệm thu c D. Ví dụ 1: Giải phương trình:. )1(log)3(log 2 3 2 1 22 ++ + xx xx . 2) Tìm tất cả các nghiệm của phơng trình: (2 xx = 2 )1 . *) Thu c miền xác định của hàm số: y= lg(4x-1) x=1 *) Thu c miền xác định của hàm số: y= ln(x 2 - x-2) x=-5/3 3) Giải:. g là hàm hằng hoặc giảm trong khoảng (a;b) thì phương trình f(x)=g(x) có nhiều nhất một nghiệm thu c khoảng (a;b). Định lý Lagrange: Cho hàm số F(x) liên tục trên đoạn [a;b] và tồn tại F'(x)