Tuyển tập các đề thi - đáp an HSG

b MB là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD.c Tổng bán kính các đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD và ACD không đổi.. Khi đó 1 Qua mỗi đỉnh của tam giác, kẻ các đường thẳng

Sở giáo dục và đào tạo

Câu III (2.0 điểm):

1) Cho đa thức bậc ba f(x) với hệ số của x3 là một số nguyên dơng và biết

Cho tam giác MNP có ba góc nhọn và các điểm A, B, C lần lợt là hình chiếu vuông góc của

M, N, P trên NP, MP, MN Trên các đoạn thẳng AC, AB lần lợt lấy D, E sao cho DE song song với

NP Trên tia AB lấy điểm K sao cho DMK NMPã =ã Chứng minh rằng:

1) MD = ME2) Tứ giác MDEK nội tiếp Từ đó suy ra điểm M là tâm của đờng tròn bàng tiếp góc DAK của tam giác DAK

H íng dÉn chÊm

c©u I

2,5 ®iÓm

1)1,5®iÓm

a m +b m c 0+ = (1)Gi¶ sö cã (1)

b m c m am 0 (2)

NÕu 2

a m bc 0− ≠

2 3

2

a m bc m

= lµ sè h÷u tØ Tr¸i víi gi¶ thiÕt!

Theo bµi ra f(x) cã d¹ng: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d víi a nguyªn d¬ng 0.25

Ta cã: 2010 = f(5) - f(3) = (53 - 33)a + (52 - 32)b + (5 - 3)c = 98a + 16b + 2c ⇒ 16b + 2c = (2010- 98a) 0.25

Ta cã f(7) - f(1) = (73 - 13)a + (72 - 12)b + (7 - 1)c = 342a + 48b + 6c = 342a + 3(16b + 2c) = 342a + 3(2010- 98a)= 48a + 6030 = 3.(16a + 2010)M3 0.25V× a nguyªn d¬ng nªn 16a + 2010>1 VËy f(7)-f(1) lµ hîp sè 0.252)

x 3 2 .Thö l¹i x = 7 th× A(5; 1); B(10; 2) nªn A thuéc ®o¹n

c©uIV

2 ®iÓm

1)0,75®iÓm

Ta dÔ dµng chøng minh tø gi¸c MBAN néi tiÕp ⇒MAB MNB· = · , MCAP néi tiÕp ⇒CAM CPM· = ·

0.25L¹i cã BNM CPM· = ·

0.25

K

E

B C

A N

M

P

D

K

E

B C

A N

DMK DEK 180

⇒MEA MDAã = ã ⇒MEK MDC ã =ã 0.25Vì MEK MDKã = ã ⇒ MDK MDCã = ã ⇒DM là phân giác của góc CDK, kết hợp

với AM là phân giác DAB⇒M là tâm của đờng tròn bàng tiếp góc DAK của

câu V

1 điểm

D'

B'A'

O

CA

B

DKhông mất tổng quát giả sử:AB≤AC Gọi B’ là điểm chính giữa cung ABCẳ

⇒AB' CB'=Trên tia đối của BC lấy điểm A’ sao cho BA’ = BA⇒AB BC CA'+ = 0.25

Ta có: B'BC B'AC B'CAã = ã =ã (1) ; ã +ã = 0

B'CA B'BA 180 (2) B'BC B'BA' 180ã +ã = 0 (3);Từ (1), (2), (3) ⇒B'BA B'BA'ã = ã 0.25Hai tam giác A’BB’ và ABB’ bằng nhau ⇒A'B' B'A=

Ta có ⇒B'A B'C B'A' B'C A 'C = AB + BC ( B’A + B’C không đổi vì + = + ≥

B’, A, C cố định) Dấu “=” xảy ra khi B trùng với B’ 0.25Hoàn toàn tơng tự nếu gọi D’ là điểm chính giữa cung ADCẳ thì ta cũng có

AD’ + CD’≥ AD + CD Dấu “=” xảy ra khi D trùng với D’

⇒ Chu vi tứ giác ABCD lớn nhất khi B, D là các điểm chính giữa các cung

b) MB là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD.

c) Tổng bán kính các đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD và ACD không đổi

Bài 5: (1,0 điểm)

Cho hình chữ nhật ABCD Lấy E, F thuộc cạnh AB; G, H thuộc cạnh BC; I, J thuộc cạnh CD;

K, M thuộc cạnh DA sao cho hình 8 - giác EFGHIJKM có các góc bằng nhau Chứng minh rằng nếu

độ dài các cạnh của hình 8 - giác EFGHIJKM là các số hữu tỉ thì EF = IJ

(Dành cho thí sinh thi vào các lớp chuyên Toán, Tin)

Thời gian làm bài: 150 phút

- Víi y 3= ⇒ =x 2 (tho¶ m·n ®iÒu kiÖn)

- Víi y= − ⇒ = −3 x 2 (tho¶ m·n ®iÒu kiÖn)

VËy hÖ ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm: (x; y) = (2; 3); (x; y) = (-2; -3)

C N

b) Gọi (J) là đờng tròn ngoại tiếp ∆BDC ⇒BJC 2BDC 2MBCã = ã = ã

c) Kẻ đờng kính MN của (O) ⇒ NB ⊥ MB

Mà MB là tiếp tuyến của đờng tròn (J), suy ra J thuộc NB

Gọi (I) là đờng tròn ngoại tiếp ∆ADC

0,25 đ

Suy ra mỗi góc ngoài của hình 8 cạnh đó là: 180O - 135O = 45O

Do đó các tam giác MAE ; FBG ; CIH ; DKJ là các tam giác vuông cân

0,25 ®

SỞ GIÁO DỤC BÌNH ĐỊNH

KỲ THI TUỶÊN SINH VÀO LỚP 10

TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN

a.Chúng minh:AD2 = AB.AC – DB.DC

b.Tính độ dài AD theo a,b,c

Vì a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác nên ta có:a,b,c >0 và a< b+c ,b< a + c , c < a+b

b a

a b c+ + < b a+ < a b c+ +Cộng (1) (2) và (3) vế theo vế ta cú điều phải chứng minh

Ta cú f(m) = 3m2 – 2m2 -2mn -2mp +mn +mp +np = m2 –mn –mp +np = (m-n)(m-p) ạ 0

= >m,n,p khụng phải là nghiệm của pt(1)

Vậy PT đó cho luụn cú hai nghiệm phõn biệt

Ta cú ãBAD=CAEã ( Do cung EB = cung EC)

Và ãAEC=DBAã ( Hai gúc nội tiếp cựng chắn cung AC) nờn

Ta cú ãADC=BDCã (Đối đỉnh) và CADã =DBEã

(2 gúc nội tiếp cựng chắn cung CE) nờn ΔACD ΔBDE

Hay AD2 = AD.AE - DB.DC=AB.AC – DB.DC (do (1))

4b)Theo tớnh chất đường phõn giỏc ta cú hay DC

—————— KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2009-2010 ĐỀ THI MÔN: TOÁN

Dành cho các thí sinh thi vào lớp chuyên Toán

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

—————————

(Đề có 01 trang) Câu 1: (3,0 điểm)

Tìm tất cả các giá trị nguyên của x sao cho 2

xy xy

1

x y

22

1

x y

Nếu p= −1 thì (1) cho ta vô số nghiệm thoả mãn 2 x≤ ; (2) vô nghiệm; (3) vô nghiệm 0,25

Nếu p=1 thì (2) cho ta vô số nghiệm thoả mãn 3− ≤ <x 2; (1) có nghiệm x=2; (3)VN 0,25

Kết luận:

+ Nếu -1 < p < 1 thì phương trình có 2 nghiệm: x = 2 và 2( 4)

1

p x p

−

=+

+ Nếu p = -1 thì phương trình có vô số nghiệm 2 x≤ ∈¡

+ Nếu p = 1 thì phương trính có vô số nghiệm 3− ≤ ≤x 2

Gọi I là trung điểm AB,

Suy ra KIB∆ = ∆KED⇒IK =KE 0,25

Chứng minh tương tự có: ∆MIA= ∆MRC 0,25

b) 1,0 điểm:

Ta có: IA=IB, KB=KD (gt)⇒ IK là đường trung bình của ∆ABD ⇒ IK//AD hay IE//AD

Có: QK ⊥AD(gt), IE//AD (CM trên) ⇒QK⊥IE Tương tự có QM ⊥IR 0,25

Từ trên có: IK=KE, QK ⊥IE⇒QK là trung trực ứng với cạnh IE của IER∆ Tương tự QM là

Hạ QH ⊥CD suy ra QH là trung trực thứ ba của IER∆ hay Q nằm trên trung trực của đoạn CD

A

P P'

Trong số các tam giác tạo thành, xét tam giác ABC có diện tích lớn nhất (diện tích S) Khi đó

1

Qua mỗi đỉnh của tam giác, kẻ các đường thẳng song song với cạnh đối diện, các đường thẳng

này giới hạn tạo thành một tam giác ' ' 'A B C (hình vẽ) Khi đó S A B C' ' ' =4S ABC ≤4 Ta sẽ chứng

minh tất cả các điểm đã cho nằm trong tam giác ' ' 'A B C

Vậy, tất cả các điểm đã cho đều nằm bên trong tam giác ' ' 'A B C có diện tích không lớn hơn 4. 0.25

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN CỦA HẢI PHÒNG

NĂM HỌC 2009-2010 Bài 1 : ( 1 điểm )

Bài 4 : ( 3, 5 điểm )

Cho tam giác ABC với BC = a ; CA = b ; AB = c( c < a ; c< b ) Gọi M ; N lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn tâm ( O) nội tiếp tam giác ABC với các cạnh AC và BC Đường thẳng MN cắt các tia AO : BO lần lượt tại P và Q Gọi E; F lần lượt là trung điểm của AB ; AC

1 Chứng minh tứ giác AOQM ; BOPN ; AQPB nội tiếp

1 Giải phương trình nghiệm nguyên 3x - y3 = 1

2 Cho bảng ô vuông kích thước 2009 2010, trong mỗi ô lúc đầu đặt một viên sỏi Gọi T là thao tác lấy 2 ô bất kì có sỏi và chuyển từ mỗi ô đó một viên sỏi đưa sang ô bên cạnh ( là ô

có chung cạnh với ô có chứa sỏi ) Hỏi sau một số hữu hạn phép thực hiện các thao tác trên

ta có thể đưa hết sỏi ở trên bảng về cùng một ô không

=> tứ giác BOPN nội tiếp

+) tương tự tứ giác AOQM nội tiếp

+) do tứ giác AOQM nội tiếp=> ·AQO= ·AMO=900

tứ giác BOPN nội tiếp => ·BPO BNO= · =900

=> ·AQB= ·APB=900 => tứ giác AQPB nội tiếp

b ) tam giác AQB vuông tại Qcó QE là trung tuyến nên QE = EB = EA

NQ ON OM NOQ COA g g

PQ OP OM POQ BOA g g

vậy p/ trình có hai nghiệm là ( 0 ; 0 0 ; ( 2 ; 2 )

2.Ta tô màu các ô vuông của bảng bằng hai màu đen trắng như bàn cờ vua

Lúc đầu tổng số sỏi ở các ô đen bằng 1005 2009 là một số lẻ

sau mối phộp thực hiện thao tỏc T tổng số sỏi ở cỏc ụ đen luụn là số lẻ

vậy khụng thể chuyển tất cả viờn sỏi trờn bẳng ụ vuụng về cựng một ụ sau một số hữu hạn cỏc phộp thưc hiện thao tỏc T

Sở giáo dục-đào tạo Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên

Môn thi : toán(đề chuyên)

đề chính thức Thời gian làm bài: 120 phút(không kể thời gian giao đề)

x

x y x

x x

x x

+ =+

Cho ∆ABC nhọn có àC A.<à Đờng tròn tâm I nội tiếp ∆ABC tiếp xúc với các cạnh AB, BC,

CA lần lợt tại các điểm M, N, E; gọi K là giao điểm của BI và NE

c) Gọi T là giao điểm của BI với AC, chứng minh: KT.BN=KB.ET

d) Gọi Bt là tia của đờng thẳng BC và chứa điểm C Khi 2 điểm A, B và tia Bt cố định; điểm

C chuyển động trên tia Bt và thoả mãn giả thiết, chứng minh rằng các đờng thẳng NE

t-ơng ứng luôn đi qua một điểm cố định

Khi đó ta có ( )2 2 ( )2 2 ( ) ( )

2m−3 −77=n ⇔ 2m−3 −n =77⇔ 2m− +3 n 2m− − =3 n 77

Do n∈N nên 2m-3+n>2m-3-n

Và do m∈Z, n∈N và 77=1.77=7.11=-1.(-77)=-7.(-11)

Từ đó xét 4 trờng hợp ta sẽ tìm đợc giá trị của m

2)Từ giả thiết bài toán ta có:

Mặt khác 2.5 2

ab c

a b

=+ − và

a b+ ∈{4; 9; 49; 64}

⇒a+b ∈{2; 3; 7; 8}

+ Nếu a+b∈{2; 7; 8} thì a+b có dạng 3k 1(k± ∈N) khi đó ( )2

4 a b+ −1chia hết cho 3 mà (a+b) + 9a= 3k 1+9a không chia hết cho 3± ⇒10(a b+ +) 9a không M3⇒ c ∉N

Và do BM=BN từ đó suy ra điều phải c/m

*ý d:Chứng minh NE đi qua một điểm cố định:

Do A, B và tia Bt cố định nên ta có tia Bx cố định và ãABI=α không đổi (tia Bx là tia phân

giác của ãABt )

Xét ∆ABK vuông tại K ta có KB = AB.cos ABI=AB.cosα không đổi

Nh vậy điểm K thuộc tia Bx cố định và cách gốc B một khoảng không đổi do đó K cố định

⇒đpcm

GIAÛI ẹEÀ CHUYEÂN TOAÙN THPT HUYỉNH MAÃN ẹAẽT – KIEÂN GIANG, NAấM 2009 – 2010

ẹeà, lụứi giaỷi Caựch khaực, nhaọn xeựt

Baứi 1: (1 ủieồm) Cho phửụng trỡnh ax 2 + bx + c = 0

coự 2 nghieọm phaõn bieọt x 1 , x 2 ẹaởt S 2 = x 1 2 + x 2 2 ; S 1

= x 1 x 2 Chửựng minh raống: a.S 2 + b.S 1 + 2c = 0

Theo Vi-eựt ta coự: x1+ x2 = b

a/ ẹũnh m ủeồ phửụng trỡnh coự moọt nghieọm baống 9

vaứ tỡm taỏt caỷ nghieọm coứn laùi cuỷa phửụng trỡnh.

b/ Tỡm taỏt caỷ caực giaự trũ cuỷa m ủeồ phửụng trỡnh (1)

coự nghieọm.

a/ Phửụng trỡnh coự 1 nghieọm x = 9 thay vaứo pt ta coự:

2.9 - 7 9 +3m – 4 = 0

x x x

x x

y y

x x

y y

Vậy nghiệm của hệ là (0 ; 0 ; 0) và (-2 ; -4 ; -6)

Nếu x, y, z đều là các số dương thì hệ chỉ có 1 nghiệm

Bài 4: (2 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ cho

Với m là tham số khác 0.

a/ Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua hai

điểm M, I

b/ Chứng minh rằng (d) luôn luôn cắt (P) tại hai

điểm phân biệt A, B với AB > 6

a/ Gọi pt của (d) là y = ax + b

Khi đi qua I(0 ; 3) và M(m ; 0) ta có:

Vì A, B là giao điểm của (d) và (P) nên hoành độ xA,

xB phải thỏa mãn pt: mx2 + 9x – 9m = 0

Theo Vi-ét ta có: xA+ xB = 9

Bài 5: (3 điểm) Cho hai đường tròn (O ; R) và (O’ ;

R’) cắt nhau tại A và B (R > R’) Tiếp tuyến tại B

(O’ ; R’) cắt (O ; R) tại C và tiếp tuyến tại B của (O

; R) cắt (O’ ; R’) tại D.

a/ Chứng minh rằng: AB 2 = AC.AD và

b/ Lấy điểm E đối xứng của B qua A Chứng minh

bốn điểm B, C, E, D thuộc một đường tròn có tâm

là K Xác định tâm K của đường tròn

a/ Xét (O) ta có µC1 =B¶2 (chắn cung AnB)

Xét (O’) ta có ¶D1 =Bµ1 (chắn cung AmB)

2

(1)

Vậy tứ giác BCED nội tiếp đường tròn tâm K Với K

là gaio điểm 3 đường trực của BCE∆ hoặc ∆BDE

Mơn thi: TỐN

Thời gian: 150 phút, khơng kể thời gian giao đề

3 3

8

2 3

62

x y x

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường phân giác trong BE (E thuộc AC) Đường tròn

đường kính AB cắt BE, BC lần lượt tại M, N (khác B) Đường thẳng AM cắt BC tại K Chứng

minh: AE.AN = AM.AK

Bài 4: (1.5 điểm)

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, trung tuyến AO có độ dài bằng độ dài cạnh BC Đường

tròn đường kính BC cắt các cạnh AB, AC thứ tự tại M, N (M khác B, N khác C) Đường tròn ngoại

tiếp tam giác AMN và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường thẳng AO lần lượt tại I và K

Chứng minh tứ giác BOIM nội tiếp được một đường tròn và tứ giác BICK là hình bình hành

Bài 5: (2.0 điểm)

a) Bên trong đường tròn tâm O bán kính 1 cho tam giác ABC có diện tích lớn hơn hoặc bằng 1

Chứng minh rằng điểm O nằm trong hoặc nằm trên cạnh của tam giác ABC

b) Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn: a b c + + = 3

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

K× thi TUYÓN sinh VµO líp 10 trêng thpt chuyªn

phan béi ch©u n¨m häc 2009 - 2010

x x

= −



Đặt 2 z

Hệ đã cho trở thành

3 3

1 3

1 1

x x

1 1

1 3

x x

4 2

x x

0 2

x x

dạng với tam giác ANK

Vì tứ giác AMIN nội tiếp nên ã ANM = ã AIM

Vì tứ giác BMNC nội tiếp nên ã ANM = ã ABC

AIM ABC

⇒ = Suy ra tứ giác BOIM nội tiếp

0,25đ

Từ chứng minh trên suy ra tam giác AMI

Giả sử O nằm ngoài miền tam giác ABC.

Không mất tính tổng quát, giả sử A và Onằm về 2 phía của đờng thẳng BC 0,25đSuy ra đoạn AO cắt đờng thẳng BC tại K

Kẻ AH vuông góc với BC tại H 0,25đ

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 4

0,25đ

Nếu thí sinh giải cách khác đúng của mỗi câu thì vẫn cho tối đa điểm của câu đó

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Kè THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYấN LAM SƠN

K

THANH HOÁ NĂM HỌC: 2009-2010

MễN: TOÁN (Dành cho học sinh thi vào lớp chuyờn Toỏn)

Thời gian: 150 phỳt (khụng kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 19 thỏng 6 năm 2009Cõu 1: (2,0 điểm)

1 Cho số x (x R ; x > 0∈ ) thoả món điều kiện : x + 2 12 = 7

x Tớnh giỏ trị cỏc biểu thức : A = x + 3 13

x và B =

5 5

1 + 2 - 21

xy

2 Cho đường trũn (O) bỏn kớnh R = 1 và một điểm A sao cho OA = 2 Vẽ cỏc tiếp tuyến

AB, AC với đường trũn (O) (B, C là cỏc tiếp điểm) Một gúc xOy cú số đo bằng 450 cú cạnh Ox cắt đoạn thẳng AB tại D và cạnh Oy cắt đoạn thẳng AC tại E Chứng minh rằng

-Họ và tờn thớ sinh: ……… Số bỏo danh: ………

sở giáo dục - đào tạo hà

nam

kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên

Năm học 2009 - 2010 Môn thi : toán(Đề chung)

đề chính thức Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

Bài 3 (2 điểm)

1) Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng y = x + 6 và parabol y = x2

2) Tìm m để đồ thị hàm số y = (m + 1)x + 2m + 3 cắt trục õ, trục Oy lần lợt tại các điểm A , B

và ∆AOB cân ( đơn vị trên hai trục õ và Oy bằng nhau)

Bài 4 (3,5 điểm)

Cho ∆ABC vuông đỉnh A, đờng cao AH, I là trung điểm của Ah, K là trung điểm của HC

Đờng tròn đờng kính AH ký hiệu (AH) cắt các cạnh AB, AC lần lợt tại diểm M và N

a) Chứng minh ∆ACB và ∆AMN đồng dạng

b) Chứng minh KN là tiếp tuýn với đờng tròn (AH)

-hết -sở giáo dục đào tạo hà

nam Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên Năm học 2009 2010–

hớng dẫn chấm thi môn toán : đề chung Bài 1 (2 điểm)

Với x= 2 1− ⇒ =y 2( 2 1+ )( 2 1 1− − =) 2 1− 0,25K/l Vậy hệ có nghiệm: 2 1

2 1

x y

− (loại)K/l: Giá trị cần tìm m = 0; m = -2

0,25

Bài 4(3,5 điểm)

a) (1,5 điểm)

E N

M

I

K H

C B

A

0,25

Có ãAMN AHN=ã (cùng chắn cung AN)

b) (1 điểm) ∆HNC vuông đỉnh N vì ãANH 90= 0 có KH = KC ⇒NK = HK

lại có IH = IN (bán kính đờng tròn (AH)) và IK chung nên ∆KNI = ∆KHI (c.c.c)

⇒ ∆HAK: ∆HBI ⇒ ·HAK =HBI·

+ Cã ·HAK =EHK· (ch¾n cung HE)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH NINH BÌNH

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN

NĂM HỌC 2009 – 2010Môn Toán – Vòng 1(Dùng cho tất cả các thí sinh)Thời gian làm bài 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

Đề thi gồm 05 câu trong 01 trang

Cho phương trình (m + 1)x2 – 2(m – 1) + m – 2 = 0 (ẩn x, tham số m)

a) Giải phương trình khi m = 2

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn:

1 1 7

x + x = 4

Câu 3: (1,0 điểm)

Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 60 km Một ca nô chạy xuôi dòng từ bến

A tới bến B, nghỉ 1 giờ 20 phút ở bến sông B và ngược dòng trở về A Thời gian kể từ lúc

khởi hành đến khi về bến A tất cả 12 giờ Tính vận tốc riêng của ca nô và vận tốc dòng

nước biết vận tốc riêng cảu ca nô gấp 4 lần vận tốc dòng nước

Câu 4: (3,5 điểm)

Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng (d) không đi qua tâm O cắt đường tròn (O; R) tại hai điểm phân biệt A, B Điểm M chuyển động trên (d) và nằm ngoài đường tròn (O; R), qua M kẻ hai tiếp tuyến MN và MP tới đường tròn (O; R) (N, P là hai tiếp điểm).

a) Chứng minh rằng tứ giác MNOP nội tiếp được trong một đường tròn, xác định tâm đường tròn đó

b) Chứng minh MA.MB = MN2

c) Xác định vị trí điểm M sao cho tam giác MNP đều

d) Xác định quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP

c) Tam giác MNP đều khi OM = 2R

d) Quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP là đường thằng d’ song song với đường thẳng d (trừ các điểm ở bên trong đường tròn)

Dấu bằng xảy ra khi ( x; y ) 1 1 ;

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

*****

Câu 1.(4,0 điểm) Cho phương trình x4 + ax3 + x2 + ax + 1 = 0, a là tham số

a) Giải phương trình với a = 1

b) Trong trường hợp phương trình có nghiệm, chứng minh rằng a2 > 2

a) Cho x, y, z, a, b, c là các số dương Chứng minh rằng:

3 abc + xyz3 ≤ 3(a + x)(b + y)(c + z)

≤ (MN + NP + PQ + QM)

b) Xác định vị trí của M, N, P, Q để chu vi tứ giác MNPQ nhỏ nhất

Câu 6.(3,0 điểm) Cho đường tròn (O) nội tiếp hình vuông PQRS OA và OB là hai bán kính thay

đổi vuông góc với nhau Qua A kẻ đường thẳng Ax song song với đường thẳng PQ, qua B kẻ đường thẳng By song song với đường thẳng SP Tìm quỹ tích giao điểm M của Ax và By

=HẾT=

SỞ GD & ĐT PHÚ YÊN

***

KỲ THI TUYỂN SINH THPT NĂM HỌC 2009 -2010

3- Điểm toàn bài thi không làm tròn số

II- Đáp án và thang điểm:

Dễ thấy x = 0 không phải là nghiệm

Chia 2 vế của (2) cho x2 ta được: 2

Phương trình (3) viết lại là : t + t - 1 = 02

Giải (3) ta được hai nghiệmt1 1 5

t

=

Từ đó :

2 2 2

0,50

Với y = 0 , (3) không có số nguyên x nào thỏa mãn.

Với |y| = 1, từ (3) suy ra x ∈{ 0 ; 6}

b) |z| = 3, (2) ⇔ (x-3)2 + 11 y2 = 5 (4)

Từ (4) ⇒ 11y2≤ 5 ⇒ y = 0, (4) không có số nguyên x nào thỏa mãn

Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm nguyên (x ;y ;z) là (0;1;0) ; (0 ;-1;0) ;

(6 ;1 ;0) và (6 ;-1 ;0)

0,50

0,50

0,500,500,500,50

Câu 4a.

(2,0đ)

3abc+3 xyz ≤ 3(a+x)(b+y)(c+z) (1)

Lập phương 2 vế của (1) ta được :

(abz+ayc+ xbc) 3 (abc) xyz≥ (3)

2 3

(ayz+xbz+ xyc) 3 abc(xyz)≥ (4)

Cộng hai bất đẳng thức (3) và (4) ta được bất đẳng thức (2), do đó (1) được

0,50

0,50

0,500,50

(1,0) Chu vi tứ giác MNPQ là : MN + NP + PQ + QM = 2BJ + 2IK +2DK + 2IJ

= 2(BJ + JI + IK + KD) ≥ 2BD (cmt)

Dấu bằng xảy ra khi đường gấp khúc trùng với BD, tức là MQ //NP, MN//PQ,

MN=PQ (vì cùng là cạnh huyền 2 tam giác vuông cân bằng nhau), lúc đó

AOB =AMB 90= (giả thiết)

⇒ tứ giác AOBM luôn nội tiếp

⇒ · · 0

AMO ABO 45= = (vì ∆AOBvuông cân tại O)

Suy ra M luôn nằm trên đường

thẳng đi qua O và tạo với đường

*) Trường hợp B ở vị trí B’: khi A ≡ H thì M’ ≡ P, khi A ≡ K thì M’ ≡ R

Phần đảo: Lấy M bất kì trên đường chéo SQ (hoặc M’ trên PR), qua M kẻ

đường thẳng song song với đường thẳng PQ cắt (O) tại A Kẻ bán kính OB ⊥

0,50

0,50

0,500,50

K

x y

A

B

M M'

B'

Môn thi: Toán (Chuyên) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề.)

-

Câu 4 Cho Phơng trình bậc hai , x là ẩn, tham số m:

2 2 1 2 0

x − m + x + m =

1- Chứng minh phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị m

2- Gọi x1,x2 là hai nghiệm của phơng trình Chứng tỏ M = x1 + x2 - x1x2 không phụ thuộc vào giá trị của m

Câu 5 Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn BE và CF là hai đờng cao Trực tâm H Trên HB và HC

lần lợt lấy điểm M , N sao cho ãAMC ANB=ã =900 Chứng minh : AM = AN

-GiảI đề Thi Câu1: Giải phơng trình

1 2

0

4(

5(

75

x x

2

(2)

, : ®­êng

, : ®­êng

3( )

H

F

E A