Chuyên đề Khỏa sát hàm số

Chun đề KHẢO SÁT HÀM SỐ BÀI 1: ĐƠN ĐIỆU HÀM SỐ 1. Đinh nghóa: Hàm số f đồng biến trên K ⇔ (∀x 1 , x 2 ∈ K, x 1 < x 2 ⇒ f(x 1 ) < f(x 2 ) Hàm số f nghòch biến trên K ⇔ (∀x 1 , x 2 ∈ K, x 1 < x 2 ⇒ f(x 1 ) > f(x 2 ) 2. Điều kiện cần: Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I. a) Nếu f đồng biến trên khoảng I thì f′(x) ≥ 0, ∀x ∈ I b) Nếu f nghòch biến trên khoảng I thì f′(x) ≤ 0, ∀x ∈ I 3. Điều kiện đủ: Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I. a) Nếu f′ (x) ≥ 0, ∀x ∈ I (f′(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f đồng biến trên I. b) Nếu f′ (x) ≤ 0, ∀x ∈ I (f′(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f nghòch biến trên I. c) Nếu f′(x) = 0, ∀x ∈ I thì f không đổi trên I. Chú ý: Nếu khoảng I được thay bởi đoạn hoặc nửa khoảng thì f phải liên tục trên đó. VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên của hàm số Để xét chiều biến thiên của hàm số y = f(x), ta thực hiện các bước như sau: – Tìm tập xác đònh của hàm số. – Tính y ′ . Tìm các điểm mà tại đó y ′ = 0 hoặc y ′ không tồn tại (gọi là các điểm tới hạn) – Lập bảng xét dấu y ′ (bảng biến thiên). Từ đó kết luận các khoảng đồng biến, nghòch biến của hàm số. VD: Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: a) 593 23 +−−= xxxy • D=R • 963' 2 −−= xxy Cho    = −= ⇒=−−⇔= 3 1 09630' 2 x x xxy • BBT • Vậy: hàm số đồng biến: )1;( −−∞ và );3( +∞ Hàm số nghịch biến: )3;1(− b) 733 23 ++−= xxxy • D=R • 363' 2 +−= xxy Cho 103630' 2 =⇒=+−⇔= xxxy • BBT • Vậy: hàm số ln đồng biến trên D c) 12 24 −−= xxy • D=R GV:Lê Thị Bạch Tuyết Trường THPT Quỳnh Lưu 2 Nghệ an 1 • xxy 44' 3 −= Cho    = = ⇒=−⇔= 1 0 0440' 2 3 x x xxy • BBT • Vậy: hàm số tăng : )0;1(− và );1( +∞ Hàm số giảm: )1;( −−∞ và )1;0( d) 122 34 ++−= xxxy • D=R • 264' 23 +−= xxy Cho     −= = ⇒=+−⇔= 2 1 0 02640' 23 x x xxy • BBT • Vậy: hàm số tăng : ); 2 1 ( +∞− Hàm số giảm: ) 2 1 ;( −−∞ e) 1 1 − + = x x y • D= }1{\R • 0 )1( 2 ' 2 < − − = x y • BBT • Vậy: hàm số luôn giảm trên D f) 1 22 2 − +− = x xx y • D= }1{\R • 2 2 )1( 2 ' − − = x xx y Cho    = = ⇒=−⇔= 2 0 020' 2 x x xxy • BBT • Vậy: hàm số giảm: )1;0( và )2;1( Hàm số tăng: )0;(−∞ và );2( +∞ g) 2 4 xy −= • ]2;2[−∈D • 2 4 ' x x y − − = Cho 00' =⇔= xy • BBT • Vậy: hàm số giảm: (0;2) Hàm số tăng: )0;2(− h) xxy −= 4 • ]4;(−∞∈D • x x x x xy − − = − −−= 42 38 42 4' Cho 4 3 8 0380' <=⇒=−⇔= xxy • BBT • Vậy: hàm số tăng: ) 3 8 ;(−∞ Hàm số giảm: )4; 3 8 ( GV:Lê Thị Bạch Tuyết Trường THPT Quỳnh Lưu 2 Nghệ an 2 BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 1. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: a) 2 2 4 5y x x= − + + b) 2 5 4 4 x y x= + − c) 2 4 3y x x= − + d) 3 2 2 2y x x x= − + − e) 2 (4 )( 1)y x x= − − f) 3 2 3 4 1y x x x= − + − g) 4 2 1 2 1 4 y x x= − − h) 4 2 2 3y x x= − − + i) 4 2 1 1 2 10 10 y x x= + − k) 2 1 5 x y x − = + l) 1 2 x y x − = − m) 1 1 1 y x = − − n) 2 2 26 2 x x y x + + = + o) 1 3 1 y x x = − + − − p) 2 4 15 9 3 x x y x − + = Bài 2. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: a) 4 3 2 6 8 3 1y x x x= − + − − b) 2 2 1 4 x y x − = − c) 2 2 1 1 x x y x x − + = + + d) 2 2 1x y x − = e) 2 3 2 x y x x = − + f) 3 2 2y x x= + + − g) 2 1 3y x x= − − − h) 2 2y x x= − i) 2 2y x x= − VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số luôn đồng biến hoặc nghòch biến trên tập xác đònh (hoặc trên từng khoảng xác đònh) Cho hàm số ( , )y f x m= , m là tham số, có tập xác đònh D. • Hàm số f đồng biến trên D ⇔ y ′ ≥ 0, ∀ x ∈ D. • Hàm số f nghòch biến trên D ⇔ y ′ ≤ 0, ∀ x ∈ D. Từ đó suy ra điều kiện của m. Chú ý: 1) y ′ = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm. 2) Nếu y ax bx c 2 ' = + + thì: • 0 0 ' 0, 0 0 a b c y x R a   = =   ≥  ≥ ∀ ∈ ⇔   >    ≤   ∆ • 0 0 ' 0, 0 0 a b c y x R a   = =   ≤  ≤ ∀ ∈ ⇔   <    ≤   ∆ 3) Đònh lí về dấu của tam thức bậc hai 2 ( )g x ax bx c= + + : • Nếu ∆ < 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a. • Nếu ∆ = 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a (trừ x = 2 b a − ) GV:Lê Thị Bạch Tuyết Trường THPT Quỳnh Lưu 2 Nghệ an 3 • Nếu ∆ > 0 thì g(x) có hai nghiệm x 1 , x 2 và trong khoảng hai nghiệm thì g(x) khác dấu với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì g(x) cùng dấu với a. 4) So sánh các nghiệm x 1 , x 2 của tam thức bậc hai 2 ( )g x ax bx c= + + với số 0: • 1 2 0 0 0 0 x x P S  >  < < ⇔ >   <  ∆ • 1 2 0 0 0 0 x x P S  >  < < ⇔ >   >  ∆ • 1 2 0 0x x P< < ⇔ < 5) Để hàm số 3 2 y ax bx cx d= + + + có độ dài khoảng đồng biến (nghòch biến) (x 1 ; x 2 ) bằng d thì ta thực hiện các bước sau: • Tính y ′ . • Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghòch biến: 0 0 a  ≠  >  ∆ (1) • Biến đổi 1 2 x x d− = thành 2 2 1 2 1 2 ( ) 4x x x x d+ − = (2) • Sử dụng đònh lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m. • Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm. VD1: Định m để hàm số ln đồng biến a) mmxxxy +++= 23 3 • D=R • mxxy ++= 63' 2 Hàm số ln đồng biến    >= ≤∆ ⇔≥⇔ 01 0' 0' a y 3039 ≥⇒≤−⇒ mm • Vậy: với 3≥m thì hs ln đồng biến trên D. b) 2)2()12( 23 −−+−−= xmxmmxy • D=R • 2)12(23' 2 −+−−= mxmmxy Hàm số ln đồng biến    >= ≤∆ ⇔≥⇔ 03 0' 0' ma y    > ≤−−+− ⇔ 0 0)2(3144 2 m mmmm    > ≤+ ⇔ 0 0)1( 2 m m 0 >⇔ m • Vậy: với 0>m thì hs ln đồng biến trên D. c) mx mx y + + = 4 • D= }{\ mR − • 2 2 )( 4 ' mx m y + − = Hàm số ln đồng biến    > −< ⇒>−⇔>⇔ 2 2 040' 2 m m my GV:Lê Thị Bạch Tuyết Trường THPT Quỳnh Lưu 2 Nghệ an 4 • Vậy: với    > −< 2 2 m m thì hs luôn đồng biến trên D. VD2: Định m để hàm số luôn nghịch biến: xm mxx y − ++ = 3 2 • D= }{\ mR • 2 22 )( 32 ' mx mmxx y + +++− = Hàm số luôn nghịch biến    <−= ≤∆ ⇔<⇔ 01 0' 0' a y 03 22 ≤++⇒ mm (điều không thể) • Vậy: không tồn tại m để hs luôn nghịch biến trên D. VD3: Định m để hàm số mxmxxy 4)1(3 23 +−++= nghịch biến trong ( - 1; 1) • D=R • 163' 2 −++= mxxy Hàm số nghịch biến trong ( - 1; 1) 0'≤⇔ y và 21 11 xx <<−<    < <− ⇔ 0)1( 0)1( af af    <−++ <−+− ⇔ 0)163(3 0)163(3 m m    −< < ⇔ 8 4 m m 8−<⇒ m • Vậy: 8−<m thì hs nghịch biến trong ( - 1; 1). VD4: Định m để hàm số xmmxmxy )232()1( 223 ++−−+= tăng trên );2( +∞ • D=R • )232()1(23' 22 ++−−+= mmxmxy Hàm số tăng trên );2( +∞ 0'≤⇔ y và 2 21 ≤< xx                 < ≥ >∆ ≤∆ ⇔ 2 2 0)2( 0' 0' S af                 < −− ≥++− >++ ≤++ ⇔ 2 2.3 )1(2 0)62(3 0177 0177 2 2 2 m mm mm mm      −> ≤≤− ⇔ 5 2 2 3 m m 2 2 3 ≤≤−⇒ m • Vậy: 2 2 3 ≤≤− m thì hs tăng trên );2( +∞ VD5: Định m để hàm số mmxxxy +++= 23 3 nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1. • D=R • mxxy ++= 63' 2 GV:Lê Thị Bạch Tuyết Trường THPT Quỳnh Lưu 2 Nghệ an 5 Hàm số nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1. 0'≤⇔ y và 1 21 =− xx 4 3 144 3 14 039 2 =⇒    =− < ⇒    =− >− ⇔ m m m PS m • Vậy: 4 3 =m thì hs nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1. BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 1. Chứng minh rằng các hàm số sau luôn đồng biến trên từng khoảng xác đònh (hoặc tập xác đònh) của nó: a) 3 5 13y x x= + + b) 3 2 3 9 1 3 x y x x= − + + c) 2 1 2 x y x − = + d) 2 2 3 1 x x y x + − = + e) 3 sin(3 1)y x x= − + f) 2 2 1x mx y x m − − = − Bài 2. Chứng minh rằng các hàm số sau luôn nghòch biến trên từng khoảng xác đònh (hoặc tập xác đònh) của nó: a) 5 cot( 1)y x x= − + − b) cosy x x= − c) sin cos 2 2y x x x= − − Bài 3. Tìm m để các hàm số sau luôn đồng biến trên tập xác đònh (hoặc từng khoảng xác đònh) của nó: a) 3 2 3 ( 2)y x mx m x m= − + + − b) 3 2 2 1 3 2 x mx y x= − − + c) x m y x m + = − d) 4mx y x m + = + e) 2 2 1x mx y x m − − = − f) 2 2 2 3 2 x mx m y x m − + = − Bài 4. Tìm m để hàm số: a) 3 2 3y x x mx m= + + + nghòch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1. b) 3 2 1 1 2 3 1 3 2 y x mx mx m= − + − + nghòch biến trên một khoảng có độ dài bằng 3. c) 3 2 1 ( 1) ( 3) 4 3 y x m x m x= − + − + + − đồng biến trên một khoảng có độ dài bằng 4. Bài 5. Tìm m để hàm số: a) 3 2 ( 1) ( 1) 1 3 x y m x m x= + + − + + đồng biến trên khoảng (1; +∞). b) 3 2 3(2 1) (12 5) 2y x m x m x= − + + + + đồng biến trên khoảng (2; +∞). c) mx y m x m 4 ( 2) + = ≠ ± + đồng biến trên khoảng (1; +∞). d) x m y x m + = − đồng biến trong khoảng (–1; +∞). e) 2 2 2 3 2 x mx m y x m − + = − đồng biến trên khoảng (1; +∞). GV:Lê Thị Bạch Tuyết Trường THPT Quỳnh Lưu 2 Nghệ an 6 f) 2 2 3 2 1 x x m y x − − + = + nghòch biến trên khoảng 1 ; 2   − +∞  ÷   . VẤN ĐỀ 3: Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức Để chứng minh bất đẳng thức ta thực hiện các bước sau: • Chuyển bất đẳng thức về dạng f(x) > 0 (hoặc <, ≥ , ≤ ). Xét hàm số y = f(x) trên tập xác đònh do đề bài chỉ đònh. • Xét dấu f ′ (x). Suy ra hàm số đồng biến hay nghòch biến. • Dựa vào đònh nghóa sự đồng biến, nghòch biến để kết luận. Chú ý: 1) Trong trường hợp ta chưa xét được dấu của f ′ (x) thì ta đặt h(x) = f ′ (x) và quay lại tiếp tục xét dấu h ′ (x) … cho đến khi nào xét dấu được thì thôi. 2) Nếu bất đẳng thức có hai biến thì ta đưa bất đẳng thức về dạng: f(a) < f(b). Xét tính đơn điệu của hàm số f(x) trong khoảng (a; b). VD 1: chứng minh 0,sin >∀< xxx 0sin <−⇔ xx . Đặt xxxf −= sin)( • ( ) 0,01cos)(' >∀<−= xxxf ( ) 0,0sin0)( >∀<−⇒<⇒ xxxxf đpcm. VD 2: chứng minh 0, 6 sin 3 >∀−> x x xx 0 6 sin 3 >+−⇔ x xx . Đặt 6 sin)( 3 x xxxf +−= • 2 1cos)(' 2 x xxf +−= • 0sin)('' >+−= xxxf (chứng minh trên) ( ) 0,0 6 sin0)(0)(' 3 >∀>+−⇒>⇒>⇒ x x xxxfxf đpcm. BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) 3 sin , 0 6 x x x x với x− < < > b) 2 1 sin tan , 0 3 3 2 x x x với x+ > < < π c) tan , 0 2 x x với x< < < π d) sin tan 2 , 0 2 x x x với x+ > < < π Bài 2. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) tan , 0 tan 2 a a với a b b b < < < < π b) sin sin , 0 2 a a b b với a b− < − < < < π c) tan tan , 0 2 a a b b với a b− < − < < < π Bài 3. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) 2 sin , 0 2 x x với x> < < π π b) 3 3 5 sin , 0 6 6 120 x x x x x x với x− < < − + > GV:Lê Thị Bạch Tuyết Trường THPT Quỳnh Lưu 2 Nghệ an 7 c) x x x với xsin cos 1, 0 2 π + > < < Bài 4. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) 1 , 0 x e x với x> + > b) ln(1 ) , 0x x với x+ < > c) 1 ln(1 ) ln , 0 1 x x với x x + − > > + d) ( ) 2 2 1 ln 1 1x x x x+ + + ≥ + Bài 5. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) 0 tan55 1,4> b) 0 1 7 sin20 3 20 < < c) 2 3 log 3 log 4> HD: a) 0 0 0 tan55 tan(45 10 )= + . Xét hàm số 1 ( ) 1 x f x x + = − . b) Xét hàm số 3 ( ) 3 4f x x x= − . f(x) đồng biến trong khoảng 1 1 ; 2 2   −  ÷   và 0 1 7 ,sin20 , 3 20 ∈ 1 1 ; 2 2   −  ÷   . c) Xét hàm số ( ) log ( 1) x f x x= + với x > 1. BÀI 2: CỰC TRỊ HÀM SỐ I. Khái niệm cực trò của hàm số Giả sử hàm số f xác đònh trên tập D (D ⊂ R) và x 0 ∈ D. a) x 0 – điểm cực đại của f nếu tồn tại khoảng (a; b) ⊂ D và x 0 ∈ (a; b) sao cho f(x) < f(x 0 ), với ∀x ∈ (a; b) \ {x 0 }. Khi đó f(x 0 ) đgl giá trò cực đại (cực đại) của f. b) x 0 – điểm cực tiểu của f nếu tồn tại khoảng (a; b) ⊂ D và x 0 ∈ (a; b) sao cho f(x) > f(x 0 ), với ∀x ∈ (a; b) \ {x 0 }. Khi đó f(x 0 ) đgl giá trò cực tiểu (cực tiểu) của f. c) Nếu x 0 là điểm cực trò của f thì điểm (x 0 ; f(x 0 )) đgl điểm cực trò của đồ thò hàm số f. II. Điều kiện cần để hàm số có cực trò Nếu hàm số f có đạo hàm tại x 0 và đạt cực trò tại điểm đó thì f′ (x 0 ) = 0. Chú ý: Hàm số f chỉ có thể đạt cực trò tại những điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm. III. Điểu kiện đủ để hàm số có cực trò 1. Đònh lí 1: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x 0 và có đạo hàm trên (a; b)\{x 0 } a) Nếu f′ (x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x 0 thì f đạt cực tiểu tại x 0 . b) Nếu f′ (x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x 0 thì f đạt cực đại tại x 0 . 2. Đònh lí 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a; b) chứa điểm x 0 , f′ (x 0 ) = 0 và có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x 0 . a) Nếu f′′ (x 0 ) < 0 thì f đạt cực đại tại x 0 . GV:Lê Thị Bạch Tuyết Trường THPT Quỳnh Lưu 2 Nghệ an 8 b) Nếu f′′ (x 0 ) > 0 thì f đạt cực tiểu tại x 0 . VẤN ĐỀ 1: Tìm cực trò của hàm số Qui tắc 1: Dùng đònh lí 1. • Tìm f ′ (x). • Tìm các điểm x i (i = 1, 2, …) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm. • Xét dấu f ′ (x). Nếu f ′ (x) đổi dấu khi x đi qua x i thì hàm số đạt cực trò tại x i . Qui tắc 2: Dùng đònh lí 2. • Tính f ′ (x). • Giải phương trình f ′ (x) = 0 tìm các nghiệm x i (i = 1, 2, …). • Tính f ′′ (x) và f ′′ (x i ) (i = 1, 2, …). Nếu f ′′ (x i ) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại x i . Nếu f ′′ (x i ) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x i . VD 1: tìm cực trị của hàm số sau: 593 23 +−−= xxxy • D=R • 963' 2 −−= xxy Cho    = −= ⇒=−−⇔= 3 1 09630' 2 x x xxy • BBT • Vậy: hàm số đạt cực đại tại (-1;10) Hàm số đạt cực tiểu tại (3;-22)  Cũng bài trên thầy sẽ làm theo dấu hiệu II. Các e tính thêm 66'' −= xy . ⇒<−=− 012)1(''y hs đạt cực đại tại x=-1 ⇒>= 012)3(''y hs đạt cực tiểu tại x=-1  Vậy với dấu hiệu II ta sẽ bỏ qua bước BBT ( thường dùng cho nhưng bài lượng giác)  Qua ví dụ này ta thấy rằng bài tốn cực trị các bước làm như đơn điệu chỉ thêm vào phần giá trị của y. VẬY các em lấy VD của phần bài 1 tập tìm cực trị nhé. BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 1. Tìm cực trò của các hàm số sau: a) 2 3 3 2y x x= − b) 3 2 2 2 1y x x x= − + − c) 3 2 1 4 15 3 y x x x= − + − d) 4 2 3 2 x y x= − + e) 4 2 4 5y x x= − + f) 4 2 3 2 2 x y x= − + + GV:Lê Thị Bạch Tuyết Trường THPT Quỳnh Lưu 2 Nghệ an 9 g) 2 3 6 2 x x y x − + + = + h) 2 3 4 5 1 x x y x + + = + i) 2 2 15 3 x x y x − − = − Bài 2. Tìm cực trò của các hàm số sau: a) 3 4 ( 2) ( 1)y x x= − + b) 2 2 4 2 1 2 3 x x y x x + − = + − c) 2 2 3 4 4 1 x x y x x + + = + + d) 2 4y x x= − e) 2 2 5y x x= − + f) 2 2y x x x= + − Bài 3. Tìm cực trò của các hàm số sau: a) 3 2 1y x= + b) 3 2 2 1 x y x = + c) 4 x x y e e − = + d) 2 5 5 2lny x x x = − + + e) 2 4siny x x= − f) 2 ln(1 )y x x= − + VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trò 1. Nếu hàm số y = f(x) đạt cực trò tại điểm x 0 thì f ′ (x 0 ) = 0 hoặc tại x 0 không có đạo hàm. 2. Để hàm số y = f(x) đạt cực trò tại điểm x 0 thì f ′ (x) đổi dấu khi x đi qua x 0 . Chú ý: • Hàm số bậc ba 3 2 y ax bx cx d= + + + có cực trò ⇔ Phương trình y ′ = 0 có hai nghiệm phân biệt. Khi đó nếu x 0 là điểm cực trò thì ta có thể tính giá trò cực trò y(x 0 ) bằng hai cách: + 3 2 0 0 0 0 ( )y x ax bx cx d= + + + + 0 0 ( )y x Ax B= + , trong đó Ax + B là phần dư trong phép chia y cho y ′ . • Hàm số 2 ' ' ax bx c y a x b + + = + = ( ) ( ) P x Q x (aa ′≠ 0) có cực trò ⇔ Phương trình y ′ = 0 có hai nghiệm phân biệt khác ' ' b a − . Khi đó nếu x 0 là điểm cực trò thì ta có thể tính giá trò cực trò y(x 0 ) bằng hai cách: 0 0 0 ( ) ( ) ( ) P x y x Q x = hoặc 0 0 0 '( ) ( ) '( ) P x y x Q x = • Khi sử dụng điều kiện cần để xét hàm số có cực trò cần phải kiểm tra lại để loại bỏ nghiệm ngoại lai. • Khi giải các bài tập loại này thường ta còn sử dụng các kiến thức khác nữa, nhất là đònh lí Vi–et.  Nhận x=A làm cực đại    < = ⇔ 0)('' 0)(' Ay Ay  Nhận x=A làm cực tiểu    > = ⇔ 0)('' 0)(' Ay Ay GV:Lê Thị Bạch Tuyết Trường THPT Quỳnh Lưu 2 Nghệ an 10 [...]... 5: KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1 Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số • Tìm tập xác đònh của hàm số • Xét sự biến thiên của hàm số: + Tính y′ + Tìm các điểm tại đó đạo hàm y′ bằng 0 hoặc không xác đònh + Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có) + Lập bảng biến thiên ghi rõ dấu của đạo hàm, chiều biến thiên, cực trò của hàm số • Vẽ đồ thò của hàm số: +... m (1) VD10: Cho hàm số Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến góc tọa độ O bằng 2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến góc tọa độ O • D=R , 2 2 • y = 3 x − 6mx + 3(m − 1) Để hàm số có cực trị thì PT y , = 0 có 2 nghiệm phân biệt ⇔ x 2 − 2mx + m 2 − 1 = 0 có 2 nhiệm phân biệt ⇔ ∆ = 1 > 0, ∀m Cực đại của đồ thị hàm số là A(m-1;2-2m)... Nghệ an Chun đề KHẢO SÁT HÀM SỐ phương trình: f(x) = g(x) (*) (gọi là phương trình hoành độ giao điểm) Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của hai đồ thò 2 Đồ thò hàm số bậc ba y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a ≠ 0) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt ⇔ Phương trình ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ Hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d có cực đại, cực tiểu và yCĐ yCT < 0 I.HÀM PHÂN THỨC... Cho hàm số y = Ta có AB = ( x2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2 = 2 ( x2 − x1 ) 2 = 2 ( x2 + x1 ) 2 − 4 x1 x2 = Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến d là h = GV:Lê Thị Bạch Tuyết 1 2 2 2 17 − 16m 2 Trường THPT Quỳnh Lưu 2 Nghệ an 31 Chun đề KHẢO SÁT HÀM SỐ 1 1 1 2 3 1 17 − 16m = ⇔ m = , thỏa mãn Suy ra S ∆OAB = h AB = 2 2 2 2 2 8 2 2x VD3: Cho hàm số y = (C) x−2 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. .. hàm số sau: 2x − 5 10 x + 3 a) y = b) y = x −1 1− 2x • x → −∞ 24 GV:Lê Thị Bạch Tuyết c) y = Trường THPT Quỳnh Lưu 2 2x + 3 2− x Nghệ an Chun đề KHẢO SÁT HÀM SỐ 2 2 x − 4x + 3 ( x − 2) e) y = x +1 1− x BÀI 2 Tìm các tiệm cận của đồ thò các hàm số sau: x 2+ x a) y = 2 b) y = x − 4x + 5 9 − x2 d) y = d) y = 2 x 2 + 3x + 3 e) y = x3 + x + 1 x2 + x + 1 x2 + 1 BÀI 3 Tìm các tiệm cận của đồ thò các hàm số. .. thò hàm số • Các dạng đồ thò: 4 Hàm số nhất biến y = 26 GV:Lê Thị Bạch Tuyết Trường THPT Quỳnh Lưu 2 Nghệ an Chun đề KHẢO SÁT HÀM SỐ y y 0 0 x x ad – bc > 0 ad – bc < 0 ax 2 + bx + c (a.a ' ≠ 0, tử không chia hết cho mẫu) : a' x + b'  b' • Tập xác đònh D = R \  −   a' b' • Đồ thò có một tiệm cận đứng là x = − và một tiệm cận xiên Giao điểm của hai tiệm cận là a' tâm đối xứng của đồ thò hàm số. .. hai tiệm cận là a' tâm đối xứng của đồ thò hàm số • Các dạng đồ thò: 5 Hàm số hữu tỷ y = a.a′ > 0 a.a′ < 0 y′ = 0 có 2 nghiệm phân biệt y y′ = 0 vô nghiệm y 0 VD1: khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau: a) y = x 3 − 3 x 2 + 2 • D=R GV:Lê Thị Bạch Tuyết 0 x • x Đồ thị: Trường THPT Quỳnh Lưu 2 Nghệ an 27 Chun đề • KHẢO SÁT HÀM SỐ x = 0 2 y ' = 3 x 2 − 6 x Cho y ' = 0 ⇔ 3 x − 6 x = 0 ⇒  x =... suy ra gi¸ trÞ cđa m lµ − 3 ≤ m < −1 − 3 vµ − 1 + 3 < m ≤ 1 VD9: Cho hàm số y = - x3 + 3mx2 -3m – 1 Tìm các giá trị của m để hàm số có cực đại, cực tiểu Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d: x + 8y – 74 = 0 • D=R • y’ = - 3x2 + 6mx ; y’ = 0 ⇔ x = 0 v x = 2m Hàm số có cực đại , cực tiểu ⇔ phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt... tiệm cận đứng của đồ thò hàm số y = f ( x ) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn: lim f ( x ) = +∞ lim f ( x ) = −∞ lim f ( x ) = +∞ lim f ( x ) = −∞ ; ; ; x→ x + x→ x + x→ x − x→ x − 0 0 0 0 • Đường thẳng y = y0 đgl đường tiệm cận ngang của đồ thò hàm số y = f ( x ) nếu ít nhất một trong GV:Lê Thị Bạch Tuyết Trường THPT Quỳnh Lưu 2 Nghệ an 23 Chun đề KHẢO SÁT HÀM SỐ các điều kiện sau... Tuyết Trường THPT Quỳnh Lưu 2 Nghệ an 33 Chun đề KHẢO SÁT HÀM SỐ OM ⊥ ON ⇔ OM ON = 0 ⇔ x M x N + ( kx M + 3)(kx N + 3) = 0 ⇔ (k 2 + 1)( x M x N ) + 3k ( x M + x N ) + 9 = 0 ⇔ k 2 − 6k + 4 = 0 ⇔ k = 3 ± 5 k −1  xM + x N = k    x x = − 4  M N k  2x + 4 1− x 1) Khảo sát và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số trên 2) Gọi (d) là đường thẳng qua A( 1; 1 ) và có hệ số góc k Tìm k sao cho (d) cắt ( C ) tại hai . Chun đề KHẢO SÁT HÀM SỐ BÀI 1: ĐƠN ĐIỆU HÀM SỐ 1. Đinh nghóa: Hàm số f đồng biến trên K ⇔ (∀x 1 , x 2 ∈ K, x 1 < x 2 ⇒ f(x 1 ) < f(x 2 ) Hàm số f nghòch biến trên K. đgl điểm cực trò của đồ thò hàm số f. II. Điều kiện cần để hàm số có cực trò Nếu hàm số f có đạo hàm tại x 0 và đạt cực trò tại điểm đó thì f′ (x 0 ) = 0. Chú ý: Hàm số f chỉ có thể đạt cực trò. − VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số luôn đồng biến hoặc nghòch biến trên tập xác đònh (hoặc trên từng khoảng xác đònh) Cho hàm số ( , )y f x m= , m là tham số, có tập xác đònh D. • Hàm số f