Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 13 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
13
Dung lượng
374,1 KB
Nội dung
BỘ TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC Phần: PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Biên soạn: Nguyễn Đức Thắng – THPT Nguyễn Văn Linh – Ninh Thuận 1 Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ * Tính chất lũy thừa với số mũ hữu tỷ. ( r = n m , m ∈ Z , n ∈ Z và ∈ Q , ∈ Q ) +) a r = n m a = n m a ; n a = n a 1 +) a .a = a + ; − = a b a ; − == a aa 11 +) (a.b) = a . b ; b a b a = +) ( ) . aa = +) Nếu a > 1 thì >⇔> aa +) Nếu 0 < a < 1 thì <⇔> aa +) Lưu ý: Với n chẵn : n a xác định khi a ≥ 0 Với n lẻ : n a xác định với mọi a +) Trong các điều kiện tồn tại , ta có công thức sau n ba. = nn ba. , ( ) n m n m m n aaa == , mn n m aa + = A PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG . * Hai phương trình được gọi tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm . * Một số phép biến đổi tương đương +) Cộng trừ hai vế của phương trình (hay bất phương trình) với cùng biểu thức mà không làm thay đổi điều kiện của phương trình +) Nhân chia hai vế của phương trình của phương trình với cùng biểu thức (luôn khác 0) mà không làm thay đổi điều kiện của phương trình (Đối với bất phương trình, nhân âm đổi chiều , nhân dương không đổi chiều) . +) Lũy thừa bậc lẽ hai vế,khai căn bậc lẽ hai vế của phương trình (hay bất phương trình) +) Lũy thừa bậc chẳn hai vế, khai căn bậc chẳn hai vế khi hai vế của phương trình (hay bất phương trình) cùng dương . I./ Kỹ thuật luỷ thừa hai vế . 1) Phép lũy thừa hai vế:. * Phương trình: a) 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) k k f x g x f x g x + + = ⇔ = b) 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 k k f x g x f x g x g x = = ⇔ ≥ c) 2 1 2 1 ( ) ( ) f(x ) = g (x ) k k f x g x + + = ⇔ d) ≥ = ⇔= 0)( )()( )()( 22 xf xgxf xgxf kk e) 2 0 A B A B B = = ⇔ ≥ ; A = B ⇔ 0 A B A = ≥ *Bất phương trình: a) g(x)>f(x))()( 1212 ⇔> ++ kk xgxf b) ≥ > ⇔> 0)( )()( )()( 22 xg xgxf xgxf kk *) 2 0 A B A B B > > ⇔ ≥ hoặc 0 0 A B ≥ < *) A < B ⇔ 2 0 0 A B A B ≥ > < ; *) A < B ⇔ 0 < A < B ( Đối với các trường hợp còn lại với dấu < , ≥ , ≤ các em có thể tự suy luận _ khi lũy thừa với mũ chẵn điều kiện biểu thức lũy thừa dương, lũy thừa lẻ không cần điều kiện) 2) Lưu ý: - Đặc biệt chú ý tới điều kiện bài toán (nếu điều kiện đơn giản có thể kết hợp vào phương trình, còn trường hợp điều kiện phức tạp nên tách riêng). 3) Ví dụ: Bài1: Giải pt: 4+x - x−1 = x21 − (1) Giải: (1) ⇔ x−1 + x21 − = 4+x ⇔ 2 1 0 1 2 0 ( 1 1 2 ) 4 x x x x x − ≥ − ≥ − + − = + ⇔ +−=+ ≤ 13212 2 1 2 xxx x ⇔ 2 2 1 2 2 1 0 (2 1) 2 3 1 x x x x x ≤ + ≥ + = − + ⇔ −= = ≤≤− 2 7 0 2 1 2 1 x x x ⇔ x = 0 Vậy pt có nghiệm x = 0 Bài 2: Giải các bất phương trình sau : 2 2 ) 3 2 1 ; ) 1 3 ; ) 3 2 4 3 ; ) 3 4 1 a x x b x x x c x x d x x x − < − − + ≤ + − > − + − ≥ + Giải: BỘ TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC Phần: PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Biên soạn: Nguyễn Đức Thắng – THPT Nguyễn Văn Linh – Ninh Thuận 2 a) 3 2 1x x− < − 2 2 1 2 1 0 2 3 0 3 3 (2 1) 4 5 4 0 x x x x x x x x > − > ⇔ − ≥ ⇔ ≥ − < − − + > ⇔ 3x ≥ Vậy tập nghiệm: T = [3 ; + ∞ ) b) 2 1 3x x x− + ≤ + 2 2 2 1 0 8 3 0 7 1 ( 3) x x x x x x x − + ≥ ⇔ + ≥ ⇔ ≥ − − + ≤ + Vậy tập nghiệm: T = [ 8 7 − ; + ∞ ) c) 3 2 4 3 x x− > − 4 3 0 3 2 0 x x − < ⇔ − ≥ hoặc 2 4 3 0 3 2 (4 3) x x x − ≥ − > − 2 3 2 3 4 1 3 3 1 4 x x x ≤ < ⇔ ⇔ ≤ < ≤ < . Vậy tập nghiệm: T = [ 2 3 ; 1) d) 2 3 4 1x x x+ − ≥ + 2 2 2 1 0 3 4 0 1 0 3 4 ( 1) x x x x x x x + ≤ + − ≥ ⇔ + > + − ≥ + 4 3 1 41 4 x x ≤ − ⇔ + ≥ Vậy tập nghiệm: 4 1 41 ; ; 3 4 T + = −∞ − ∪ +∞ Bài 3: Giải bất phương trình 42115 −>−−− xxx TS(A)_2005 Giải: Điều kiện : 2 042 01 015 ≥⇔ ≥− ≥− ≥− x x x x (1) Khi đó bất phương trình đã cho tương đương với 42115 −+−>− xxx )42)(1(242115 −−+−+−>−⇔ xxxxx )42)(1(242 −−>+⇔ xxx ( 022 >+⇒≥ xx ) )42)(1()2( 2 −−>+⇔ xxx 0 10x⇔ < < (2) * Kết hợp (1) và (2) ta có tập nghiệm của bất phương trình đã cho: T = )10;2[ II./ Kỹ thuật chia điều kiện. 1) Kỹ thuật : - Nếu bài toán có điều kiện là x D mà D = n DDD ∪∪∪ 11 - Ta có thể chia bài toán theo n trường hợp của tập xác định (điều kiện) : + Trường hợp 1: x D 1 , giải phương trình, bất phương trình ta được tập nghiệm T 1 + Trường hợp 2: x D 2 , giải phương trình, bất phương trình ta được tập nghiệm T 2 …………………… + Trường hợp n: x D n ,giải phương trình, bất phương trình ta được tập nghiệm T n Khi lấy nghiệm phương trình, bất phương trình ta phải lấy hợp tất cả các trường hợp nghiệm T = n TTT ∪∪∪ 11 . 2) Yêu cầu : - Cần phải xác định giao hợp trên các tập con thường dùng của R thành thạo. 3) Ví dụ: Bài 1: Giải bất phương trình 2 3 4 2 2 x x x − + + + < (1) Giải: Điều kiện : 4 1 3 0 x x − ≤ ≤ ≠ . * Xét : 4 0 3 x< ≤ (i) ( ) 2 2 2 2 2 3 4 2 (1) 2 3 4 2 2 2 2 0 1 9 ( ) 7 7 9 0 3 4 2 2 x x x x x x x x x ii x x x x x − + + + ⇔ < ⇔ − + + < − − ≥ ≥ ⇔ ⇔ ⇔ > − > − + + < − Kết hợp (i) và (ii) ⇒ Tập nghiệm: T 1 = 9 4 ; 7 3 * Xét : 1 0x− ≤ < ⇒ (1) luôn đúng ⇒ Tập nghiệm : T 2 = [ ) 1; 0− * Vậy tập nghiệm (1) : T = T 1 ∪ T 2 = 9 4 ; 7 3 ∪ [ ) 1; 0− Bài 2:Giải bât phương trình : 2 3 2x x− + + 34 2 +− xx ≥ 2 45 2 +− xx (2) BỘ TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC Phần: PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Biên soạn: Nguyễn Đức Thắng – THPT Nguyễn Văn Linh – Ninh Thuận 3 Giải: Điều kiện: ≥+− ≥+− ≥+− 045 034 023 2 2 2 xx xx xx ⇔ x ≥ 4 hoặc x ≤ 1 *Trường hợp 1 : x ≥ 4 . (2) )4)(1(2)3)(1()2)(1( −−≥−−+−−⇒ xxxxxx (i) 412)32(1 −−≥−+−−⇔ xxxxx 4232 −≥−+−⇔ xxx 3442 −−−≥−−−⇔ xxxx Vì x ≥ 4 nên vế trái dương còn vế phải âm nên bất phương trình nghiệm đúng Vậy x ≥ 4 là nghiệm *Trường hợp 2: x ≤ 1 (2) (1 )(2 ) (1 )(3 )x x x x⇒ − − + − − ≥ 2 )4)(1( xx −− (ii) ⇔ x−1 ( x−2 + x−3 ) ≥ 2 x−1 x−4 ⇔ x−1 ( x−2 + x−3 ) ≥ -2 x−1 x−4 ⇔ −≥−+− = (*)4232 1 xxx x Dễ thấy(*) ⇔ x−2 - x−4 ≥ x−4 - x−3 Vì x ≤ 1nên 0< 2 - x < 4-x ⇔ x−2 - x−4 < 0 4 - x >3- x > 0 ⇔ x−4 - x−3 >0 ⇒ (*) VN Kết luận :Bpt có nghiệm x ≥ 4 hoặc x = 1 III./ Kỹ thuật khai căn . 1) Đưa biểu thức ra ngoài căn thức : * < ≥ == 0AkhiA- 0Akhi 2 A AA * 2 2 | | ( , 0) | | Ay A y E x E x E x = ≠ * AA = 3 3 * AA n n = 2 2 * AA n n = + + 12 12 2) Lưu ý: - Biến đổi các biểu thức trong căn thức thành hằng đẳng thức 3) Ví dụ: Bài 1: Giải: 2 3 1212 >−++−+ xxxx (1) . Giải: (1) 2 3 11211121 >+−−−++−+−⇔ xxxx 2 3 )11()11( 22 >−−++−⇔ xx ⇔ 1−x + 1+ 11−−x > 2 3 * Với 1−x –1 ≥ 0 ⇔ x – 1 ≥ 1 ⇔ x ≥ 2 Bất phương trình trở thành . 1−x +1+ 1−x – 1 > 2 3 ⇔ 4 1−x > 3 ⇔ 16x –16 > 9 ⇔ x > 16 25 Ta có tập nghiệm : T 1 = ( 16 25 ; ∞+ ) *Với : 1−x –1 < 0 ⇔ <− ≥− 11 01 x x ⇔ 1 ≤ x < 2 Bất phương trình trở thành : 1−x +1– 1−x + 1 > 2 3 ⇔ 2 > 2 3 (luôn đúng) Ta có tập nghiệm : T 2 = [1; 2 ) * Vậy bất phương trình có nghiệm T = T 1 ∪ T 2 = [1; ∞+ ) * Chú ý: Bài này ta có thể giả bằng phương pháp bình phương hai vế . IV./Kỹ thuật phân tích thành nhân tử đưa về phương trình tích. 1) Phương trình tích. * = = ⇔= 0)( 0)( 0) ().( xg xf xgxf 2) Lưu ý: Đây là kỹ thuật giải đòi hỏi phải có tư duy cao, kỹ năng phân tích biểu thức thành nhân tử thành thạo,cần phải nhìn ra nhân tử chung nhanh . 3) Ví dụ: Bài 1: Giải: 0123)13(1 32 =−++++− xxxxx Giải: 0123)13(1 32 =−++++− xxxxx 0311131 32 =++−+−+−+−⇔ xxxxxxxx 0)131()131(1 22 =++−+++−−⇔ xxxxxx 0)131)(1( 2 =++−+−⇔ xxxx =++− =+− ⇔ (2)0131 (1)01 2 xx xx * Ta có (1) ≤ =+− ⇔ ≥− = ⇔=− 0 01 0 x1-x x-1 22 x xx x x (Vônghiệm ) * Ta có 01≥−x và 3x 2 0 ⇒ VT(2) > 0 với ∀ x BỘ TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC Phần: PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Biên soạn: Nguyễn Đức Thắng – THPT Nguyễn Văn Linh – Ninh Thuận 4 ⇒ (2) Vô nghiệm * Vậy phương trình đã cho vô nghiệm V./ Kỹ thuật nhân chia liên hợp . 1) Biểu thức nhân chia liên hợp. * )( BA BA BA BA ≠ − =± * )( 1 BA BA BA BA ≠ − = ± 2) Lưu ý: -Nên nhẩm với một số nghiệm nguyên đơn giản. - Chú ý tới các biểu thức nhân chia liên hợp. - Phải dự đoán được nghiệm của phương trình : 3) Ví dụ: Bài 1: Giải pt: 15 2 +x = 3x - 2 + 8 2 +x (1) Giải: * Ta có (1) ⇔ 15 2 +x - 8 2 +x = 3x - 2 ⇔ 815 815 22 22 +++ −−+ xx xx = 3x - 2 ⇔ 815 7 22 +++ xx = 3x – 2 (*) ⇒ (*) có nghiệm thì 3x -2 > 0 ⇔ x > 2 /3 * Mặt khác: (1) ⇔ 15 2 +x - 4 = 3x – 3 + 8 2 +x – 3 ⇔ 2 2 1 1 5 4 x x − + + = 3(x –1 )+ 38 1 2 2 ++ − x x ⇔ (x – 1)( 2 1 15 4 x x + + + – 38 1 2 ++ + x x – 3) = 0 ⇔ x = 1 hoặc 2 1 15 4 x x + + + – 38 1 2 ++ + x x – 3 =0(*) * Do x > 3 2 nên 38415 22 ++>++ xx và x + 1 > 0 ⇒ 415 1 2 ++ + x x < 38 1 2 ++ + x x ⇒ Vế trái (*) luôn âm ⇒ (*) V N *Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất: x = 1 *Chú ý: Bài này việc quan trọng nhất là phải nhẩm được nghiệm x = 1 và các em để ý tới đặc điểm 15 2 +x – 4 =0 ,3x – 3 =0 và 8 2 +x –3 =0 với x =1 Thường dùng cách giải tương tự cho các bài toán : 22 ax + = cx - d + 22 bx + Bài 2:Giải pt: 08143613 2 =−−+−−+ xxxx (2) (ĐH_B_2010) Giải: * Điều kiện: 1 6 3 x− ≤ ≤ ,khi đó 2 (2) ( 3 1 4) (1 6 ) 3 14 5 0 3 1 16 1 6 ( 5)(3 1) 0 3 1 4 1 6 x x x x x x x x x x ⇔ + − + − − + − − = + − − + ⇔ + + − + = + + + − 3( 5) 5 ( 5)(3 1) 0 3 1 4 1 6 3 1 ( 5) 3 1 0 3 1 4 1 6 x x x x x x x x x x − − ⇔ + + − + = + + + − ⇔ − + + + = + + + − 5 0 3 1 3 1 0 (*) 3 1 4 1 6 x x x x − = ⇔ + + + = + + + − * Theo điều kiện 3x + 1 0 ⇒ VT (*) luôn dương ⇒ (*) vô nghiệm Do đó phương trình đã cho có nghiệm: x = 5. *Phân tích bài toán : Nhận thấy nếu phương trình có nghiệm nguyên thì: + 193a b x-6 a13x 22 2 2 =+⇒ = =+ b (a ,b là số tự nhiên ) + Chỉ có a = 4 , b = 1 là thỏa mãn yêu cầu, từ đó ta có thể dự đoán x = 5 là nghiệm : VI .Một số bài tập tự luyện: Bài 1: Giải: 12 −+ xx + 2 1x x− − = 2 3+x HD: 1−x + 1 + 1 1x − − = 2 3+x Đáp: x = 1, x =5 Bài 2: Giải pt: 3 1−x - 3 2−x = 3 32 −x HD:Lập phương cả hai vế đưa về phương trình tích Đáp : x =1, x = 2 và x = 3/2 Bài 3: Giải pt: 23 2 −x x – 23 −x = 1– x HD: Tìm điều kiện xác định ,quy đồng đưa về phương trình tích Đáp: x = 1 Bài 4: Giải pt: 12 −+ xx + 2 1 2x x− − = HD : Bình phương cả hai vế( chú ý tới đ/k, nên tìm đ/k trước ) Đáp: T= [1/2; 1 ] Bài 5: Giải pt: 43 +x - 12 +x = x+3 HD : Chuyển vế ,bình phương . Đáp: x = -1/2 Bài 6: Giải pt: (4x-1) 1 2 +x = 2x 2 + 2x +1 HD : BỘ TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC Phần: PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Biên soạn: Nguyễn Đức Thắng – THPT Nguyễn Văn Linh – Ninh Thuận 5 +)V ì 2x 2 +2x +1 > 0 , 1 2 +x > 0 nên để pt có nghiệm thì 4x - 1 > 0 ⇔ x > 4 1 +) Bình phương hai vế Đáp: x = 4 /3 Bài 7: Giải bất phương trình 2 2 ( 3 ) 2 3 2 0x x x x− − − ≥ (TS(D)_2002) HD: ĐK: 2x 2 – 3x – 2 ≥ 0 . Xét 2 trường hợp + Trường Hợp 1: 2x 2 – 3x – 2 = 0 + Trường Hợp 1: 2x 2 – 3x – 2 > 0 Bài 8: Giải bất phương trình: xxx −<−− 712 2 HD : bình phương hai vế Đáp: T=(- ∞ ;-3) ∪ [4 ;61/13) Bài 9: Giải bất pt: 3+x - x−7 > 82 −x HD : Chuyển vế ,bình phương Đáp: T=[-4 ; 5) ∪ (6 ; 7 ] Bài10: Giải bất phương trình: 2103 2 −≥−− xxx HD : Bình phương hai vế Đáp: T = (– ∞ ; –2] ∪ [14 ;+ ∞ ) Bài 10: Giải bất phương trình: 3 5 3 3 16 2 − >−+ − − x x x x HD : Quy đồng Đáp: T= (5 ;+ ∞ ) Bài 11: Giải bất phương trình: 12 1 532 1 2 − > −+ x xx HD : bình phương hai vế Đáp: T=(- ∞ ;-5/2) ∪ (1;3/2) ∪ (2 ;+ ∞ ) Bài 12: Giải bất pt: 94)3( 22 −≤−− xxx HD : Đưa về phương trình tích Đáp: T=(- ∞ ;-13/6] ∪ [3 ;+ ∞ ) Bài 13: Giải bất pt: 3 411 2 < −− x x . Bài 14: Giải các bất phương trình sau : ( ) 2 2 2 2 2 ) ( 3 ) 2 3 2 0 ; ) 21 3 9 2 x a x x x x b x x − − − ≥ < + − + Bài 15: Giải các bất phương trình sau 2 2 2 2 2 2 ) 3 2 4 3 2 5 42; ) 8 15 2 15 4 18 18 a x x x x x x b x x x x x x − + + − + ≥ − + − + + + − ≤ − + Bài 16: Giải bất pt: 2 43 2 < ++− x xx HD :Chuyển vế,quy đồng xét 2 TH: x < 0 và x > 0 Đáp: T=[-1 ; 0 ] ∪ ( 9/7 ; 4/3 ] Bài 17: Giải bpt: 431 +−>+ xx HD : Chuyển vế ,bình phương Đáp: x > 0 Bài 18: Giải bpt 213 −<−−+ xxx HD : Chuyển vế, bình phương Đáp: x > 3 28 Bài19: Giải bất phương trình: 2 2 −+ xx + 32 2 −+ xx 2 2 4 5x x≤ + − HD: Tìm TXĐ D=(- ∞ ;-5] ∪ [1 ;+ ∞ ) + Trường hợp1: x ≥ 1 + Trường hợp2: 5−≤x Đáp: x = 1 Bài 20: Giải phương trình : 21 )293( 2 2 +< +− x x x HD: Nhân liên hợp )21(2)293( 2 +<++ xx Đáp : T=[-9/2 ; 7/2) \ {0} ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… … ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… … ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… BỘ TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC Phần: PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Biên soạn: Nguyễn Đức Thắng – THPT Nguyễn Văn Linh – Ninh Thuận 6 B: PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI THEO PHƯƠNG TRÌNH HỆ QUẢ : (Áp dụng cho giải phương trình ,ít áp dụng cho giải bất phương trình ) 1) Phương trình hệ quả: 2) Một số phép biến đổi hệ quả cơ bản . * Với D 1 là tập xác định của (1) : với D 2 là tập xác định của (2) và D 1 D 2 f(x) = g(x) (1) ⇒ f n (x) = g n (x) f(x) = g(x) (1) ⇒ f(x) + h(x) = g(x) + h(x) (2) f(x) = g(x) (1) ⇒ f(x). h(x) = g(x).h(x) (2) (- Bình phương hai vế( không chú ý tới điều kiện cả hai vế đều dương) - Cộng trừ ,nhân(khác 0), chia(khác 0) hai vế với một biểu thức làm hạn chế điều kiện của phương trình ) 3) Lưu ý : - Giải phương trình theo phương pháp hệ quả ta không cần chú ý tới điều kiện bài toán, sử dụng các phép biến đổi hệ quả cho ra các nghiệm ,sau đó thế vào phương trình để loại các nghiệm ngoại lai (cũng có thể kết hợp điều kiện xác định để loại bớt các nghiệm ngoại lai) - Điểm khó khăn nhất của phương pháp này là các nghiệm vô tỷ , 4) Một số ví dụ: Bài 1: Giải pt: x + 9+x = x+1 + x+4 (1) Giải: (1) 9 2 ( 9) 1 4 2 ( 1)( 4) x x x x x x x x ⇒ + + + + = + + + + + + )4)(1(2)9(24 ++=++⇒ xxxx )4)(1()9(2 ++=++⇒ xxxx )4)(1()9(494 2 ++=++++⇒ xxxxxx 45)9(494 22 ++=++++⇒ xxxxxx xxx 4)9(4 =+⇒ 2 )9( xxx =+⇒ 0=⇒ x Thay x = 0 vào (1) ta có : 0 + 90+ = 01 + + 04 + (đúng ) * Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = 0. ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… C: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ. I. Một số yêu cầu đối với phương pháp này: - Dạng này HS cần nhớ các thế đặt ẩn.Từ đó mở rộng cho các bài toán tương tự -Chú ý tới các điều kiện của ẩn. II. Một số dạng toán và các bài làm mẫu 1) Đặt ẩn đưa về pt dơn giản hơn: Bài 1: Giải bất phương trình: 1 2 3 1 x x x x + − > + Giải: * Điều kiện : 1 0:x x< − ∪ > * Đặt: 2 1 1 , 0 1 x x t t x x t + = > ⇒ = + * Ta được: 3 2 2 1 2 3 2 3 1 0 ( 0)t t t t t − > ⇔ + − < > ( ) ( ) 2 1 1 2 1 0 ( 0) 0 2 t t t t t⇔ + + − < > ⇔ < < 1 1 4 0 1 2 3 x x x + ⇒ < < ⇔ − < < − Bài 2: Giải phương trình: 33 2 +− xx + 63 2 +− xx = 3 (1) Giải: * Đặt t = 33 2 +− xx ( t ≥ 0) ta có : x 2 -3x + 6 = t 2 + 3. Phương trình trở thành t + 3 2 +t = 3 ⇔ 3 2 +t = 3 - t ⇔ −=+ ≥− 22 )3(3 03 tt t ⇔ t = 1 (thoả mản) * Với t =1 2 3 3x x⇒ − + =1 ⇔ x 2 - 3x + 3 = 1 ⇔ x =1 hoặc x = 2 *Chú ý: Có thể mở rộng cho các dạng : a. )( xf +b. kxf +)( = c Bài 3: Giải bpt: x + x2 1 < 2 x + x2 1 + 4 (2) Giải: * Đặt t = x + x2 1 ⇒ t ≥ 2 2 2 ≥⇔ t (theo bất đẳng thức côsi) ⇒ t 2 = x + x4 1 + 1 ⇒ 2x + x2 1 = 2 t 2 - 2 * Bất phương trình (2) trở thành : 5t < 2t 2 - 2 + 4 < > ⇔ 2 1 2 t t BỘ TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC Phần: PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Biên soạn: Nguyễn Đức Thắng – THPT Nguyễn Văn Linh – Ninh Thuận 7 * Với t > 2 ta có: x + x2 1 > 2 2 2 2 2 2 0 2 x x + > ⇔ − < < 3 2 2 3 0 2 2 x x > + ⇔ < < − * Với t < 2 1 (loại – không tm điều kiện) * Vậynghiệm: T= ( 0; 2 3 - 2 ) ∪ ( 2 3 + 2 ; ∞+ ) * Chú Ý: Có thể mở rộng cho dạng : a .[ f(x) + f -1 (x) ] + b[ f 2 (x) + f -2 (x) ] + c =0 Bài 4: Giải phương trình: 3+x + x−6 - )6)(3( xx −+ =3 (3) Giải: * Đặt t = 3+x + x−6 ( 3)(6 )x x⇒ + − = 2 9 2 −t (3) trở thành: t - 2 9 2 −t = 3 = −= ⇔ 3 1 t t * Với t = -1 3x⇒ + + x−6 = -1 (vô nghiệm) * Với t = -1 3x⇒ + + x−6 = 3 = −= ⇔ 6 3 x x *Chú ý: Bài toán có thể giải bàng cách đưa về hệ phương trình với u = 3+x và v = x−6 . Hay áp dung đối với dạng : k ax + +l xb − -m ))(( xbax −+ = c \ Bài 5: Giải phương trình : 2 7 7 7 6 2 49 7 42 181 14 (1)x x x x x+ + − + + − < − Giải: * Điều kiện : 7 7 0 6 7 6 0 7 x x x + ≥ ⇔ ≥ − ≥ : * Đặt 7 7 7 6, 0t x x t= + + − ≥ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 7 7 7 6 2 7 7 7 6 14 2 7 7 7 6 1 t x x x x x x x t ⇒ = + + − + + − ⇒ + + − = − * Ta có : 2 (1) 7 7 7 6 14 2 49 7 42 181x x x x x⇔ + + − + + + − < * Vậy (1) trở thành: 2 2 1 181 182 0 0 13 0 0 t t t t t t t + − < + − < ⇔ ⇔ ≤ < ≥ ≥ * Với 0 t 13 2 2 2 7 7 7 6 13 7 7 7 6 2 (7 7)(7 6) 169 6 7 49 7 42 84 7 6 7 49 7 42 (84 7 ) 6 6 6 12 7 7 84 7 0 6 6 7 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⇒ + + − < + + − + + − < ⇔ ≥ + − < − ⇔ ≥ + − < − < ⇔ ⇔ ≥ ≤ < − ≥ ⇔ ≤ < Vậy tập nghiệm: T = 6; 7 6 2) Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình : Chú ý: Đối vơi phương pháp này ta có thể đưa về hệ hai ẩn khác ẩn của phương trình hoặc có thể chỉ đặt một ẩn và ẩn còn lại của hệ là ẩn của phương trình ban đầu. Ví dụ 1: Giải pt : x 2 + 5+x = 5 (I) . Giải: Điều kiện : x ≥ - 5 Đặt t = 5+x ( t 0≥ ) ⇔ t 2 = x+5 ⇔ t 2 - x = 5 Ta có hệ pt: =− =− 5 5 2 2 xt tx ta suy ra được: =−−− =−− )2(05)1( )1(05 2 2 xx xx (hệ đối xứng loại 2) Giải (1)và (2) ta được hai nghiệm thoả mản đ/k là x = 2 2151− , x = 2 171+− * Chú ý: Có thể mở rộng cho dạng( Bài tập 4) x n +a n bx + = c Ví dụ 3: Giảipt: 3 2 3 2 3 6 5 8 0x x− + − − = TS(A)_2009 Giải: * Đặt : 3 3 3 3 2 3 2 15 5 10u x x u x u= − ⇔ = + ⇔ = + 2 v = 6 5 5 6x x v− ⇒ = − + 2 15 18 3 ( 0)x v v⇒ = − ≥ * Ta có hệ phương trình: BỘ TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC Phần: PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Biên soạn: Nguyễn Đức Thắng – THPT Nguyễn Văn Linh – Ninh Thuận 8 3 2 3 2 2 3 8 0 3 8 2 (1) 5 3 8 15 (3 ) 24 0 (2) u v v u u v u v + − = = − ⇔ + = + + = * Thế (1) vào (2) ta được phương trình : 15u 3 – (8 – 2u) 2 + 84 = 0 ⇔ 15u 3 – (8 – 2u) 2 + 84 = 0 ⇔ (u + 2)(5u 2 – 26u + 20 ) = 0 ⇔ u = - 2 3 2 2 3 u x + ⇒ = = − * Vậy phương trình có nghiệm : 2x = − . *Chú ý: Có thể mở rộng cho dạng 3 1 1 2 2 0 ( )a a x b b a x b c x R+ + + + = ∀ ∈ 3) Đặt ẩn phụ đưa về phương trình,bất phương trình lượng giác( lượng giác hoá) *Chú ý: Đối với phương pháp này ta cần chú ý tới đ/k của ẩn [-1 ; 1 ] hoặc một khoảng hay một đoạn nằm trong [-1 ; 1 ] Đặt x = sint ,với x [ ] 1; 1∈ − ⇒ t ; 2 2 ∈− Đặt x = cost ,với x [ ] 1; 1∈ − ⇒ t [ ] 0 ; ∈ Khoảng của t luôn lấy trong một chu kì của hàm lượng giác vừa đặt Ví dụ 1: Giải pt: 2 2 1 1 (1 2 1 )x x x+ − = + − (1) Giải: * Điều kiện x [ ] 1; 1∈ − * Đ ặt x = sint ,với t −∈ 2 ; 2 ⇒ cos 2 t ≠ 0 * Ta có pt: 1 cos sin (1 2cos )t t t+ = + 3 2 cos cos sin 2 2 2 t t t ⇔ = 2 3 sin 2 2 t ⇔ = 1 6 2 1 2 t x x t = = ⇔ ⇒ = = * Vậy pt có nghiệm x = 1 hoặc x = 2 1 Ví dụ 2: Giải bpt: 1)1( 552 ≤+− xx (2) Giải: * Điều kiện để căn thức có nghĩa : x ∈ [0; 1] * Đ ặt x = cost ,v ới t ∈ 2 ;0 . Ta có bất phương trình : sin 5 t + cos 5/2 t ≤ 1 * Do: sin 5 t ≤ sin 2 t và cos 5/2 t ≤ cos 2 t nên sin 5 t + cos 5/2 t ≤ sin 2 t +cos 2 t =1 với t 0; 2 ∈ * Do đó bất phương trình có nghiệm là x [ ] 1; 1∈ − 4) Đặt ẩn phụ không hoàn toàn : Ví dụ1: Giải pt: (4x –1) 1 2 +x = 2x 2 + 2x +1 Giải: * Đặt 2 2 2 1 , ( 0 ) 1t x t x t= + > ⇒ = − * Phương trình trở thành : (4x –1)t = 2(t 2 – 1) + 2x +1 ⇔ 2t 2 –(4x-1)t + 2x – 1 = 0 (1) * Ta có: ∆ = (4x –1) 2 – 8(2x – 1) = 16x 2 – 24x + 9 = (4x –3) 2 * Phương trình có nghiệm : t = 4 1 (4 3) 1 4 2 x x− − − = hoặc t = 4 1 (4 3) 2 1 4 x x x − + − = − * Với t = 1 2 ⇒ 2 2 1 3 1 2 4 x = − = − ( Vô nghiệm) * Với t = 2x – 1 ⇒ ( ) 2 2 2 1 1x x= − − ⇔ 3x 2 – 4x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 4 3 * Vậy pt có nghiệm x = 0 hoặc x = 4 3 5) Bài tập tự luyện: Bài 1: Giải pt : 3 34+x - 3 3−x = 1 HD: Đặt u = 3 34+x , v = 3 3−x Đáp: x = 30 và x = – 61 Bài 2: Giải pt: 2 3 xx +− - 2 2 xx −+ = 1 HD: Đặt u = 2 3 xx +− ,v = 2 2 xx −+ đưa về hệ: =+ =− 5 1 22 vu vu Đáp: x = 2 51± Bài 3: Giải phương trình : 32 +x + 1+x = 3x + 2 352 2 ++ xx –16 HD: Đặt t = 32 +x + 1+x Ta có: t 2 = 3x + 4 + 2 352 2 ++ xx Đáp: x = 3 Bài 4: Giải phương trình: x 3 + 1 = 2 3 12 −x HD: Đặt t = 3 12 −x đưa về hệ pt =+ =+ xt tx 21 21 3 3 Đáp: x = 1, x = 2 51± Bài 5: a) Giải pt: )1(2)1( 2323 xxxx −=−+ b) Mở rộng cho pt: )1(2)1( 22 xxxx nn −=−+ HD: Đặt t = 3 2 1 x− đưa về hệ BỘ TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC Phần: PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Biên soạn: Nguyễn Đức Thắng – THPT Nguyễn Văn Linh – Ninh Thuận 9 Bài 6: Giải pt : x 2 + x +12 1+x = 36 HD: Đặt t = 1+x ⇒ x+1 = t 2 ⇔ x 2 + x =t 4 - (x +1) = t 4 - t 2 ( t ≥ 0) Ta có pt: t 4 - t 2 + 12t = 36 ⇔ (t - 2)( t+3) (t 2 - t + 6) = 0 Đáp: x = 3 Bài 7: Giải phương trình : 5+x - 3 x = 1 HD: Đặt u = 5+x ,v = 3 x đưa về hệ pt =+ =− 3 1 32 vu vu Đáp: x = 22 và x =1 Bài 8: Giải phương trình : 1−x + 3 2 x− = 1 HD: Đặt u = 1−x ,v = 3 2 x− đưa về hệ pt Đáp: x = 2,x= 10 và x =1 Bài 9: Giải phương trình: 4 18 x− + 4 1−x = 3 HD: Đặt u = 4 18 x− ,v = 4 1−x đưa về hệ pt =+ =+ 17 3 44 vu vu Đáp: x = 2 và x =17 Bài 10: Giải phương trình : 3 2 )2( x− + 3 2 )7( x+ - 3 )7)(2( xx +− =3 HD: Đặt u = 3 )2( x− ,v = 3 )7( x+ đưa về hệ: =−+ =+ 3 9 32 33 uvvu vu Đáp: x = -6 và x = 1 Bài 11: Giải bpt : 2)2(4)4( 22 <−++−− xxxxx HD: Đặt t = xx 4 2 +− đưa bpt về: - t 2 .t - t + 4 < 2 Đáp : T=(2- 3 ; 2+ 3 ) Bài 12: Giải bpt: x x x x ≥−+− 11 1 (12) HD: (Chia điều kiện) +) Với x [ ) 1;0∈ − (12) luôn đúng . +) Với x [ ) 1;∈ +∞ ⇒ (12) ⇔ xxxx ≥−+− 11 2 ⇔ ≥−− )1)(1( 2 xx x 3 -x 2 -x +2 Đặt t = )1)(1( 2 −− xx suy ra t 2 = x 3 -x 2 -x +1 Đáp: T= [1; 0) ∪ { 2 51+ } Bài13: Giải phương trình: 7)27()27)(8(6416 3 2 3 3 2 =+++−−+− xxxxx HD: Đặt u = 3 )27( +x , v = 3 )8( x− Ta có hệ: =+ =+− 35 7 33 22 vu vuvu Bài14: Giải phương trình: 54057 44 =++− xx HD: Đặt u = 4 57 x− , v = 4 40+x ( u ≥ 0,v ≥ 0) Ta có hệ =+ =+ 97 5 44 vu vu Bài 14: Giải phương trình: 2 2 1 1 2x x x x− − + + − = HD: Đặt 2 1x x− − = t 2 1 1x x t ⇒ + − = ĐS : x = 1 Bài 15: Giải phương trình: 2 1 4 5x x x+ = + + HD: Đặt y + 2 = 1x + ,ta có hệ 2 2 1 ( 2) 1 ( 2) y x x y + = + + = + ĐS : Vô nghiệm ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… … ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… … ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… … ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… BỘ TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC Phần: PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Biên soạn: Nguyễn Đức Thắng – THPT Nguyễn Văn Linh – Ninh Thuận 10 D. PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ * Nhớ được cách xét tính đơn điệu của hàm số, lập bảng biến thiên,…. * Nhớ các bất đẳng thức. * Thường áp dụng cho các bài toán đặc thù, phức tạp, không có thuật toán cụ thể, nhưng hay có trong các kỳ thi Đại học những năm gần đây. I./Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức để đánh giá hai vế: 1) Bất đẳng thức thông dụng : *) Bất đẳng thức CauChy: a) Cho a+b 0, b 0 2 a ab≥ ≥ ⇒ ≥ . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a= b b) Với 1 2 0, 0, , 0 n a a a≥ ≥ ≥ 1 2 n 1 2 a +a + +a . n n n a a a⇒ ≥ Dấu “ = ” khi 1 2 = = = n a a a *) Bất đẳng thức Bunhiacôpski : a) Với mọi số thực a 1 , a 2 , b 1 , b 2 , ta luôn có 22 2 2 1 22 2 2 1 2 2211 )b(b)a(a)bab(a ++≤+ Dấu “ = ” khi 2 2 1 1 b a b a = b) Với mọi a 1 , a 2 ,…,a n , b 1 , b 2 ,…, b n ,ta luôn có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 n n 1 2 n 1 2 n (a b a b a b ) (a a a ) (b b b )+ + + ≤ + + + + + + Dấu “ = ” khi n n b a b a b a === 2 2 1 1 2)ưu ý : 3)Ví dụ : Ví dụ1: Giải bpt: 2 1 1 2 4 x x x+ + − ≤ − Giải: Điều kiện: 1 0 1 1 1 0 x x x + ≥ ⇔ − ≤ ≤ − ≥ : Khi đó : ( ) ( ) 4 2 2 4 2 2 4 2 2 (3) 1 1 2 1 4 16 1 2 1 1 0 16 1 1 0 16 x x x x x x x x x x ⇔ + + − + − ≤ − + ⇔ − − − + + ≥ ⇔ − − + ≥ Luôn đúng [ ] 1;1x∀ ∈ − Vậy nghiệm của bât phương trình là : 1 1x− ≤ ≤ Ví dụ2: Giải bpt: 2 1 1 2( 1) x x x x − ≥ − − + (4) ĐH(A)_ 2010 Giải: * Điều kiện : 2 x 0 0 x - x+1 0 x ≥ ⇔ ≥ ≥ * Ta có 2 2 2 2( 1) ( 1) 1 1x x x x− + = + − + > 2 1 2( 1) 0x x⇒ − − + < 2 2 (4) 1 2( 1) 2( 1) 1 (a) x x x x x x x x ⇒ ⇔ − ≤ − − + ⇔ − + ≤ − + * Mặt khác : ( theo bất đẳng thức Bunhiacôpski) ( ) 2 2 2 2(x - x +1) 1+1 (1- x) ( ) 1 (b)x x x = + ≥ − + Dấu bằng xảy ra khi : 2 1 (1 ) 3 5 2 1 0 1 0 x x x x x x x x − = − = − ⇔ ⇔ = − ≥ − + ≥ * Vậy: 2 3 5 (a) 2( 1) 1 2 x x x x x − ⇔ − + = − + ⇔ = * Tập nghiệm : 3 5 2 T − = II./Kỹ thuật sữ dụng khảo sát hàm số để đánh giá . 1) Thuật toán: Để giải phương trình f(x) = g(x) , bất phương trình: f(x) > g(x) (f(x) < g(x) ,f(x) ≥ g(x), f(x) ≤ g(x) ), ta khảo sát ,hay căn cứ vào tính chất hàm số y =f(x) và y =g(x) , đưa ra bảng biến thiên và từ bảng biến thiên để đưa ra kết luận . b) Lưu ý : Nếu m là tham số thì y = h(m) là đường thẳng song song với trục hoành c) Các ví dụ : Ví dụ1: Tìm a để bất phương trình sau có nghiệm x 3 + 3x 2 – 1 ≤ a( 1−− xx ) (* ) Giải: * Điều kiện: x ≥ 1, khi đó (*) ⇔ x 3 + 3x 2 - 1 ≤ a 1 )1( −+ −− xx xx ⇔ (x 3 + 3x 2 - 1)( 1−+ xx ) ≤ a * Xét hàm số: f(x) = (x 3 + 3x 2 - 1)( 1−+ xx ) f ' (x) = (3x 2 + 6x)( 1−+ xx ) +(x 3 + 3x 2 - 1). ( 12 1 2 1 − + xx ) > 0 với x ≥ 1 (Vì x ≥ 1 thì 3x 2 + 6x >0 , > 0 , x 3 + 3x 2 - 1 >0 1−+ xx > 0 và 12 1 2 1 − + xx > 0 ) Suy ra: f(x) đồng biến trên [1; + ∞ ) ⇒ f(x) ≥ f(1) = 3 , 3 2 lim ( ) lim[(x + 3x - 1)( 1 ) ] x x f x x x →+∞ →+∞ = + − =+∞ f(x) liên tục trên [1; + ∞ ) * Bảng biến thiên: [...]...BỘ TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC Phần: PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ III./ Kỹ thuật sữ dụng tính chất đơn điệu của hàm số trên miền xác định : 1) Thuật toán: * Vậy bât phương trình có nghiệm khi a ≥ 3 Ví dụ1: Tìm m để pt: 2x2 -2mx +1 = 3 2 x... thì 1 – xo cũng là là nghiệm của phương trình ⇒ phương trình có nghiệm duy nhất khi : 1 x o = 1 – xo ⇔ x o = 2 Biên soạn: Nguyễn Đức Thắng – THPT Nguyễn Văn Linh – Ninh Thuận 11 BỘ TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC * Thay x o = Phần: PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ ⇒ t ≤ 2 ⇒ t ∈ 0; 2 1 vào (*) ta được : 2 1 1 1 1 1 1 3 + 1 − + 2m 1 − − 2 4 1 − = m 2 2 2 2 2 2 m=0 1 1 3 3 ⇔2 +m−2 = m ⇔ m − m = 0 ⇔ ... + 3x2 - 1 ≤ a ( x − x−1) ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… Biên soạn: Nguyễn Đức Thắng – THPT Nguyễn Văn Linh – Ninh Thuận 12 BỘ TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC Phần: PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ ……………………………………………………………………………………………………………… D SỬ DỤNG TAM THỨC BẬC HAI ……………………………………………………………………………………………………………… Ví dụ 1: Giải và biện luận phương trình : ……………………………………………………………………………………………………………… . BỘ TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC Phần: PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Biên soạn: Nguyễn Đức Thắng – THPT Nguyễn Văn Linh – Ninh Thuận 1 Chuyên. 4 1 a x x b x x x c x x d x x x − < − − + ≤ + − > − + − ≥ + Giải: BỘ TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC Phần: PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Biên soạn: Nguyễn Đức Thắng – THPT Nguyễn Văn Linh – Ninh Thuận 2 a) 3. 2:Giải bât phương trình : 2 3 2x x− + + 34 2 +− xx ≥ 2 45 2 +− xx (2) BỘ TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC Phần: PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Biên soạn: Nguyễn Đức Thắng – THPT Nguyễn Văn Linh – Ninh Thuận 3 Giải: