Giới hạn - Hàm số

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK TOÁN 1 HK1 0708 • BÀI 3: GIỚI HẠN HÀM SỐ (SINH VIÊN) • TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (10/2007) NỘI DUNG - 1- Ý TƯỞNG GIỚI HẠN HÀM SỐ 2- ĐỊNH NGHĨA “ĐƠN GIẢN” GIỚI HẠN HÀM SỐ 3- ĐỊNH NGHĨA CHẶT CHẼ GIỚI HẠN HÀM SỐ 4- TÍNH CHẤT GIỚI HẠN 5- GIỚI HẠN ĐẶC BIỆT 6- QUY TẮC LÔPITAN 7- GIỚI HẠN KẸP 8- GIỚI HẠN THEO NGÔN NGỮ DÃY. KHÔNG GIỚI HẠN Ý TƯỞNG GIỚI HẠN Hàm y = f(x), MXĐ D x 0 ⇒ Giá trò f(x 0 )? ( ) đònh xác: 00 xfDx ⇒∈ ( ) đònh xác không:& 00 xfDx ∉ VD: f(x) = lnx & x 0 = –1 ( ) đònh xác như" gần":, 00 xfDx ∉ VD: f(x) = sinx/x & x 0 = 0 ∉ D Gtrò ( ) x x xf sin = quanh 0:                           0.1000 0.8415 0.01000 0.9588 0.001000 0.9816 0.0001000 0.9896 0.00001000 0.9935 −∞= ∞= = −+ 0 0 0 , , 1 0, 11 xe x x x x x x Tương tự: MINH HỌA HÌNH HỌC Đồ thò hàm: ( ) x x xf sin = Chú ý lân cận x 0 = 0: f(0) không xác đònh, nhưng giá trò f(x) lại “rất gần” 1 khi x “rất gần” 0 → Đồ thò liên tục. Có thể xem “f(0)” = 1 ??? Cần công cụ xác đònh giá trò hữu hạn “f(x 0 )” tại x 0 ∉ D: ( ) xf xx 0 lim → Lxf xx = → )(lim 0 Cho hàm y = f(x) xác định trong lân cận điểm x 0 (có thể khơng xác định tại x 0 !). Hàm f(x) có giới hạn = L khi x → x 0 ⇔ Giá trị f(x) “rất gần” L nếu x “đủ gần” x 0 . Ký hiệu: VD: Đốn (khơng chứng minh) giới hạn ( ) ( ) 1 1 ,lim 2 1 − − = → x x xfxf x với Giải: Chú ý hàm f(x) khơng xác định tại x = 1 x<1 f(x) 0.5 0.666667 0.9 0.526316 0.99 0.502513 0.999 0.500250 0.9999 0.500025 x>1 f(x) 1.5 0.400000 1.1 0.476190 1.01 0.497512 1.001 0.499750 1.0001 0.499975 Từ bảng giá trị, có thể phỏng đốn: 5.0 1 1 lim 2 1 = − − → x x x GIỚI HẠN HÀM SỐ – ĐỊNH NGHĨA ĐƠN GIẢN Hàm g(x) sau (xác định tại x = 1) có giới hạn như f(x) khi x → 1 ( ) ( )      = ≠ − − = = 1khi2 1khi 1 1 2 x x x x xf xg y=f(x) y=g(x) Giá trị f tại x 0 (có hay khơng có) khơng ảnh hưởng đến ( ) xf xx 0 lim → GIÁ TRỊ TẠI ĐIỂM KHÔNG ẢNH HƯỞNG GIỚI HẠN Ví dụ: x x π sinlim 0→ Gợi ý: Tính ( ) ( ) ( ) 01.0,1.0, 3 1 , 2 1 ,1 fffff             ( ) ( ) ( ) :0sinlim001.01.0 3 1 2 1 1 0 =⇒===       =       = → x fffff x π SAI! Tuy nhiên từ đồ thị hàm x y π sin= cũng như giá trị hàm tại Zkk xk x ∈+=⇒ + = ,2 214 2 π ππ !1sin =⇒ x π Có vô số giá trị x gần 0 tùy ý, tại đó f = 0 lẫn f = 1. KL: Giới hạn đang xét không ∃! ÑOAÙN – KHOÂNG CHAÉC CHAÉN 100%! L Minh họa hình học: Ngôn ngữ Giải tích: Đại lượng biến thiên f “rất gần” đlượng g ⇔ | f – g | ≤ ε ∀ ε > 0. x “đủ gần” x 0 : ∃ δ > 0 và xét | x – x 0 | < δ ( ) εδδε <−⇒<−>∃>∀⇔= → LxfxxLxf xx )(:0,0lim 0 0 ĐN: Chú ý: Trong thực tế, định nghĩa trên thường được áp dụng để chứng minh lý thuyết chứ không sử dụng để tìm giới hạn! ( ) xf L ε −L ε +L x 0 x δ − 0 x δ + 0 x x 0 ε δ x f(x) f ÑÒNH NGHÓA CHAËT CHEÕ VD: Cho ( ) *4 1 22 lim 2 1 = x x x Tỡm nh trong ngha khi = 0.01 Gii: ( ) 4,1, 1 22 0 2 == = Lx x x xf x 1: ( ) 12 = xLxf = 0.01: ( ) 005.0005.01 =<< ChoùnxLxf VD: Gii bng th cõu hi tng t: ( ) 1.0,42lim 2 2 ==+ xx x Gii: | f(x) 4 | < 0.1 3.9 < f(x) < 4.1. V y = f(x) & y = 3.9, 4.1 03.297.1 << x 03.02 <xVaọy 03.0= V DUẽ Khi f(x) (tc L = ) hoc x (tc x 0 = ): Khụng th xột hiu | f(x) L| hay |x x 0 | Cn iu chnh! Chỳ ý: i lng A A > M M & B B < m m <>>= LxfMxxMLxf x )(:0)(lim Neỏu MxfxxxMxf xx ><>= )(:0)(lim 0 0 Neỏu Tng t cho trng hp f(x) : Ch cn vit li f(x) < m! ( ) MxfAxxAMxf x >>= Neỏu :)(lim lim f(x) = L khi x & lim f(x) = khi x : tng t GIễI HAẽN VO CUỉNG GIễI HAẽN TAẽI VO CUỉNG [...]... f ( x0+ ) x→ x0 x x x VD: Khơng tồn tại lim vì xlim = −1 ≠ xlim = 1 →0 − x →0 + x x →0 x GIỚI HẠN TỔNG – HIỆU – TÍCH – THƯƠNG - Giới hạn tổng (hiệu, tích, thương) = Tổng (hiệu, tích, thương) giới hạn: Cho c là hằng số và f(x), g(x): hàm số có giới hạn khi x → a Khi đó 1 lim[ f ( x) + g ( x)] = lim f ( x) + lim g ( x) x→a x→a x→a 2 lim[... - Cho đồ thị 2 hàm số y=f(x) y = f(x) và y = g(x) a/ Các giới hạn sau liệu có tồn tại hay khơng: lim f ( x ) , lim g ( x ) x → −2 x →1 y=g(x) b/ Tính giá trị các giới hạn sau nếu chúng tồn tại 1 / lim [ f ( x ) + 5 g ( x ) ] x → −2 2 / lim[ f ( x ) g ( x ) ] 3 / lim x →1 x→2 f ( x) g( x) lim Giải: a/ x →−2 f ( x ) = 1; Không ∃ lim g ( x ) b/ 1/ –4 2/ – 3/: Khơng ∃ x →1 GIỚI HẠN HÀM SƠ CẤP... khi giới hạn không ∃ VD : lim x →∞ x + sin x GIỚI HẠN KẸP - Giới hạn kẹp Hệ quả:  f ( x ) ≤ g ( x ) ≤ h( x ) ∀ x − x0 < ε  ⇒ lim g ( x) = a  lim f ( x ) = lim h( x ) = a x → x0  x → x0 x → x0  0 ≤ f ( x ) ≤ h( x ) ∀ x − x0 < ε  ⇒ lim f ( x ) = 0  lim h( x ) = 0 x → x0  x → x0  π π π b/ lim x sin c/ lim x sin VD: Tìm các giới hạn: ... x 2+0 2 GIỚI HẠN HÀM SỐ – NGÔN NGỮ DÃY (PHỔ THÔNG) Ngôn ngữ “dãy”: ∀ { t n } : [ t n → x0 ⇒ f ( t n ) → a ] Không có giới hạn tại x0 (Thuận tiện chứng minh không ∃ lim): ∃ { t n } : lim t n = x0 & ∃ lim f ( t n ) n →∞ n →∞ ∃ { yn } , { z n } : yn , z n → x0 & lim f ( yn ) ≠ lim f ( z n ) n →∞ n →∞ VD: Chứng minh không có giới hạn: x...GIỚI HẠN MỘT PHÍA - G hạn trái: x → x0− ⇔ x → x0 & x < x0 (tức x → x0 từ bên trái) x → x0− x0 lim f ( x) = f ( x0− ) : lim f ( x ) Minh họa: x → x0 − x → x0 & x < x0 x → x0 & x < x0 x −x = −1 VD: Giới hạn trái x → 0− ⇔ x < 0: xlim = xlim →0 − x →0 − x G hạn phải: x → x0+ ⇔ x → x0 & x > x0 (tức... - Cho n ∈ N và hằng số a, c Nếu hàm f(x) có giới hạn tại a: [ 6 lim [ f ( x ) ] = lim f ( x ) n x →a 7 lim c = c x →a x→a ] n và 8 lim x = a x →a 9 lim x n = a n x→a 10 lim n x = n a x→a (nếu n : chẵn, a phải > 0) 11 lim n f ( x ) = n lim f ( x ) x →a x→a (nếu n : chẵn, lim f ( x ) phải > 0) x→a Ngun tắc thay vào trực tiếp: Nếu f(x) – hàm biểu diễn bởi 1 cơng thức chứa các hàm cơ bản &... riêng ở bài 3) VÍ DỤ - ∞ ( α > 0 ) Giới hạn hàm mũ, luỹ thừa khi x → ∞: lim x =  x →∞ 0 ( α < 0 ) ∞, x → ∞ 0, x → ∞ x x a > 1 : lim a =  0 < a < 1 : lim a =  x → ±∞ x → ±∞ 0 , x → −∞ ∞, x → −∞ α 2x −1 x3 − 3x 2 + 2 b / lim 2 VD: Tìm các giới hạn a / lim 2 x →1 x + 2 x →1 x − 3 x + 2 1 Giải: a/ Thay vào trực tiếp (biểu thức sơ... nhầm lẫn với ví dụ sau Chứng minh không ∃ lim sin n n →∞ π x GIỚI HẠN ĐẶC BIỆT: KHỬ DẠNG VÔ ĐỊNH - Lượng giác sin x lim =1 x →0 x Mũ, ln: e x −1 lim =1 x →0 x 2x + 2  lim VD:   x →∞ 2 x − 2  Kỹ thuật: x → x0 a x −1 ln (1 + x ) lim = ln a lim =1 x →0 x →0 x x x Cách 1: Dùng số e Cách 2: Lấy ln 2 vế lim u (1 v tgx lim =1 x →0 x 1 +... Dạng 1∞ : Sử dụng số e 3 x+2 1 − cos x 1 lim = 2 x →0 2 x ∞ ) = lim [(1 + α ) ] 1 α vα x → x0 =e lim vα x → x0 =e lim v ( u −1) x → x0 QUY TẮC LOPITAN: KHỬ DẠNG VÔ ĐỊNH Dạng vô đònh: 0/0, ∞/∞, ∞ – ∞, 0.∞, 1∞ , 00 → Biến đổi về x/đònh Phương pháp: Nguyên tắc Lôpitan, vô cùng bé tương đương Nguyên tắc Lôpitan: Tính giới hạn (tồn tại) dạng . NGHĨA CHẶT CHẼ GIỚI HẠN HÀM SỐ 4- TÍNH CHẤT GIỚI HẠN 5- GIỚI HẠN ĐẶC BIỆT 6- QUY TẮC LÔPITAN 7- GIỚI HẠN KẸP 8- GIỚI HẠN THEO NGÔN NGỮ DÃY. KHÔNG GIỚI HẠN Ý TƯỞNG GIỚI HẠN Hàm y = f(x),. DỤNG - ĐHBK TOÁN 1 HK1 0708 • BÀI 3: GIỚI HẠN HÀM SỐ (SINH VIÊN) • TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (10/2007) NỘI DUNG - 1- Ý TƯỞNG GIỚI HẠN HÀM SỐ 2- ĐỊNH NGHĨA “ĐƠN GIẢN” GIỚI HẠN HÀM SỐ 3- ĐỊNH. 0 lim → vì 1lim1lim 00 =≠−= +→−→ x x x x xx GIÔÙI HAÏN MOÄT PHÍA Giới hạn tổng (hiệu, tích, thương) = Tổng (hiệu, tích, thương) giới hạn: Cho c là hằng số và f(x), g(x): hàm số có giới hạn khi x → a. Khi đó 0)(lim )(lim )(lim )( )( lim.5 )(lim)(lim)]()([lim.4 )(lim)]([lim.3 )(lim)(lim)]()([lim.2 )(lim)(lim)]()([lim.1 ≠= = = −=− +=+ → → → → →→→ →→ →→ → →→→ xgif xg xf xg xf xgxfxgxf xfcxcf xgxfxgxf xgxfxgxf ax ax ax ax axaxax axax axax ax axaxax GIÔÙI