Bài tập toán RR

Giải Dựa vào ma trận liền kề của hai đơn đồ thị ta có thể vẽ lại các đồ thị bằng hình vẽ: Theo hình vẽ của hai đơn đồ thị ta thấy chúng không có cùng số cạnh, một bên có 4 cạnh và một b

Giải

Bài toán này có 02 cách hiểu: serial ở đây có thể là 02 ký tự NN đầu tiên hoặc là 02 ký tự XN cuối cùng

Cách hiểu 1: (serial là 02 ký tự XN cuối cùng)

Hai số NN đầu là mã tỉnh, do nhà nước quy định nên không ảnh hưởng đến kết quả bài toán

Sáu ký tự còn lại có 5 ký tự là N, như vậy có 10 trường hợp Theo nguyên lý Dirichlet, số serial 5

X tối thiểu phải thỏa mãn: 100

000.100

000.000.10

Cách hiểu 2: (serial là 02 ký tự NN đầu tiên)

Bốn ký tự NNNN sẽ có 104 trường hợp, 02 ký tự XN sẽ có 26*10 = 260 trường hợp Theo quy tắc nhân, tổng số trường hợp sẽ là: 104*260 = 2.600.000 Do đó, theo nguyên lý Dirichlet, số serial tối thiểu phải là:

000.600.2

000.000.10

Vậy số xâu nhị phân bắt đầu bằng 00 hay kết thúc bằng 11 là:

Khóa 29 CNTT có 150 SV học NNLT Java, 160 SV hoc Delphi, 40 SV học cả hai môn trên

a Tìm tất cả SV của khóa 29 biết rằng SV nào cũng phải học ít nhất 01 môn

b Biết tổng số SV là 285, hỏi có bao nhiêu SV không học Java hoặc Delphi

2 =n−J D= − =

Cách 02: không học Java cũng chẳng học Delphi:

Theo cách hiểu này, áp dụng nguyên lý bù trừ ta tính được số SV như sau:

1540160150285'

Bài toán này cũng có thể được hiểu theo 02 cách

Cách 01: phân biệt chữ thường với chữ hoa

62 52 62 52

8 7

n

Cách 02: không phân biệt chữ thường với chữ hoa:

Cách làm hoàn toàn tương tự, nhưng thay vì sử dụng các số 62 và 52 thì ở đây sử dụng 02 số: 36

và 26 Kết quả sẽ là:

063.360 2.684.483.

26 36 26 36 26

8 7

Vì có n phong bì và n bì thư nên có tất cả N = n! cách bỏ thư khác nhau Để đếm số cách bỏ thư sao cho không lá thư nào đúng địa chỉ, ta áp dụng nguyên lý bù trừ:

N = n! − N1 + N2 − + (−1)n

Nn, trong đó Nm (1 ≤ m ≤ n) là số cách bỏ thư sao cho có ít nhất m lá thư đúng địa chỉ, Nm là số cách lấy m lá thư từ n lá, với mỗi cách lấy m lá thư, có (n-m)! cách bỏ để m lá thư này đúng địa chỉ, như vậy:

1 +

! 2

Với xâu nhị phân có độ dài n, ta chia thành 02 trường hợp:

Nếu ký tự cuối cùng là 1 thì ký tự trước đó (ký tự thứ n – 1) có thể là 1 hay là 0 đều được

Nếu ký tự cuối cùng là 0 thì ký tự trước đó (ký tự thứ n – 1) chỉ có thể là 1 (vì nếu là 0 thì vi phạm yêu cầu bài toán) nhưng ký tự trước đó nữa (thứ n – 2) có thể là 0 hay 1 đều được

Từ 02 trường hợp trên ta suy ra được: f n = f n−1 + f n−2

Các điều kiện đầu: f1 =2, f2 =3

Có 13 xâu nhị phân có độ dài 5 và không có 2 số 0 liên tiếp

⎧+ =

2 1 0

x x x

Do đó, hệ thức truy hồi sẽ có dạng: n n n

n

a =α11 +α2(−2) +α33Với các điều kiện đầu được cho: a0 =7, a1 =−4, a2 =8 Ta có hệ phương trình như sau:

94

8

32

4

7

3 2 1

3 2

1

3 2 1

3 2

1

αα

αα

α

α

αα

α

αα

α

Vậy nghiệm của hệ thức truy hồi là: a n =5+3(−2)n −3n

Bài 13:

Tìm hệ thức truy hồi và r Với n r là số miền của mặt phẳng bị phân chia bởi n đường n

thẳng Biết rằng không có 2 đường thẳng nào song song và cũng không có 03 đường thẳng nào đi qua cùng 1 điểm

Giải

Với n đường thẳng, theo đề bài thì đường thẳng thứ n sẽ cắt n – 1 đường thẳng còn lại tại n – 1 điểm, tức là sẽ cắt n – 1 + 1 = n phần mặt phẳng Do đó, số phần mặt phẳng tăng lên là n Từ đó, ta có được hệ thức truy hồi: r n =r n−1+n

Các điều kiện đầu là:

Trong đồ thị đơn, số bậc tối đa cung

TH1: Giả sử đồ thì không có đỉnh treo, do đó số bậc tối thiểu của các đỉnh là 1, số bậc tối đa của

các đỉnh là n-1 (vì là đơn đồ thị) Có n đỉnh, số bậc của các đỉnh đi từ 1 đến n-1 (n-1) giá trị Do đó theo nguyên lý Dirichlet phải có ít nhất 02 đỉnh có cùng bậc

TH2: Giả sử đồ thị có ít nhất 01 đỉnh treo, khi đó số bậc tối thiểu của các đỉnh là 0, và số bậc tối

đa chỉ là n-2 (vì là đơn đồ thị, đồng thời có đỉnh treo) Có n đỉnh, số bậc của các đỉnh chỉ có thể đi từ 0 đến n-2 (n-1) giá trị Do đó theo nguyên lý Dirichlet phải có ít nhất 02 đỉnh có cùng bậc

II Các bài tập trong giấy kiểm tra lần 1

Bài 16: (giống bài 12 phần trước)

Tìm nghiệm của hệ thức truy hồi sau: a n =2a n−1+5a n−2 −6a n−3

trong đó các điều kiện đầu là: a0 =7, a1 =−4, a2 =8

2 1 0

x x x

Do đó, hệ thức truy hồi sẽ có dạng: n n n

n

a =α11 +α2(−2) +α33Với các điều kiện đầu được cho: a0 =7, a1 =−4, a2 =8 Ta có hệ phương trình như sau:

94

8

32

4

7

3 2 1

3 2

1

3 2 1

3 2

1

αα

αα

α

α

αα

α

αα

α

Vậy hệ thức truy hồi là: a n =5+3(−2)n −3n

Bài 17:

Trong tổng số 2504 sinh viên của một khoa công nghệ thông tin, có 1876 theo học môn NNLT Pascal, 999 học môn ngôn ngữ Fortran và 345 học môn ngôn ngữ C Ngoài ra còn biết 876 sinh viên học cả Pascal và Fortran, 232 học cả Fortran và C, 290 học cả Pascal và C Nếu 189 sinh viên học cả 03 môn Psacal, Fortran và C thì trong trường hợp đó có bao nhiêu sinh viên không học môn nào trong cả 03 môn nói trên

Giải

Gọi P: là tập gồm các SV học Pascal

F: là tập gồm các SV học Fortran C: là tập gồm các SV học C N: là tổng số SV (2504 SV) Gọi K là số SV học ít nhất 01 môn Theo nguyên lý bù trừ, ta có:

K = PU UF C = P + F + C − PIF − FIC −CIP + PI IF C

49320112504

2011189

290232876345999

10000010

00020100

00200111

00000000

10110000

01010000

10010100

, thứ tự đỉnh: a, b, c, d, e, g, h, i

01101000000

01100101010

00000000000

00011100001

00000011000

00000000111

11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

I H G E D C B A

e e e e e e e e e e e

),(

),(

),(

i a e

e a e

c a e

),(

),(

),(

8 7 6 5

i c e

g c e

e c e

h b e

),(

),(

11 10 9

i h e

g e e

g e e

10310

03100

11003

10031

111101000000

011110000000

000001101110

000000011111

12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

e d c b a

e e e e e e e e e e e e

),(

),(

),(

4 3 2 1

b a e

b a e

b a e

a a e

),(

),(

),(

8 7 6 5

c c e

d b e

e b e

e a e

),(

),(

),(

12 11 10 9

e d e

d c e

d c e

d c e

1001

1010

1001

1001

1110

Giải

Dựa vào ma trận liền kề của hai đơn đồ thị ta có thể vẽ lại các đồ thị bằng hình vẽ:

Theo hình vẽ của hai đơn đồ thị ta thấy chúng không có cùng số cạnh, một bên có 4 cạnh và một bên có 5 cạnh Vậy hai đồ thị có ma trận liền kề đã cho ở trên không đẳng cấu

Bài toán này có thể không cần vẽ hình lại cũng được, từ ma trận kề ta cũng có thể dễ dàng xác định được số cạnh của mỗi đồ thị lần lượt là 4 và 5 Do vậy chúng không thể đẳng cấu

i i

Gọi n1, n2 lần lượt là số đỉnh của mỗi phần (n1 + n2 = v) Vì là đơn đồ thị phân đôi nên số cạnh

nhiều nhất khi nó là đơn đồ thị phân đôi đủ, tức là: Kn n1, 2

0 0 1 1

1 1 0 0

Thưa thầy, theo em nghĩ thì đây là hai ma trận liên thuộc chứ không phải là hai ma trận liền kề

Và nếu là hai ma trận liên thuộc thì chúng đẳng cấu với nhau vì:

1 2 3 4 5 1

v v

Cho V = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} và E là tập hợp các cặp phần tử (u, v) của V sao cho u < v và u với

v là các số nguyên tố cùng nhau Hãy vẽ đồ thị có hướng G=(V E, )

Tìm số đường đi phân biệt độ dài 3 từ đỉnh 2 tới đỉnh 8

Giải

7 2

4 3

8

Hai đỉnh liền kề phải ở 2 phần khác nhau Một cạnh chỉ có thể nối từ 1 đỉnh ở phần (I) đến 1 đỉnh

ở phần (II) và ngược lại Gọi m là số đường đi giữa 2 đỉnh bất kỳ trong K3,3 có độ dài n

o Hai đỉnh không liền kề, n chẵn: m = 3n-1,

o Hai đỉnh không liền kề, n lẽ: m = 0

Bài tập chương III Câu 1: Cho G là đồ thị có v đỉnh và e cạnh, còn M, m tương ứng là bậc lớn nhất và nhỏ nhất của các đỉnh

Câu 4: Hãy vẽ các đồ thị vô hướng được biểu diễn bởi ma trận liền kề sau:

1000

1001

1010

1001

1001

1110

11000

10101

00011

01001

01110

10010

Câu 10:

Các đồ thị G và G’ sau có đẳng cấu với nhau không?

a)

b)

Câu 11: Cho V={2,3,4,5,6,7,8} và E là tập hợp các cặp phần tử (u,v) của V sao cho u<v và u,v nguyên tố

cùng nhau Hãy vẽ đồ thị có hướng G=(V,E) Tìm số các đường đi phân biệt độ dài 3 từ đỉnh 2 tới đỉnh 8

Câu 12: Hãy tìm số đường đi độ dài n giữa hai đỉnh liền kề (t.ư không liền kề) tùy ý trong K3,3 với mỗi giá trị của n sau:

i v

0 0 1 1

0 0 1 1 ) K :

1 1 0 0

Câu 8:

Dựa vào ma trận liền kề của hai đơn đồ thị ta có thể vẽ lại các đồ thị bằng hình vẽ:

Dựa vào hình vẽ của hai đơn đồ thị ta thấy hai đơn đồ thị không có cùng số cạnh, một bên có 4 cạnh và một bên có 5 cạnh Vậy hai đơn đồ thị có ma trận liền kề đã cho không đẳng cấu

Câu 9:

Theo em dề ra là hai ma trận liên thuộc

Dựa vào hai ma trận liên thuộc ta có thể vẽ lại đồ thị của hai ma trận như sau:

3

6

o Hai đỉnh không liền kề, n chẵn: b = 3n-1,

o Hai đỉnh không liền kề, n lẽ: b = 0

b Để một đồ thị có đường đi Euler thì phải có đúng 2 đỉnh bậc lẻ, các đỉnh còn lại phải là bậc chẵn

Vậy một trong 2 giá trị m, n phải là 2, giá trị còn lại phải là số lẻ

BT Toan roi rac 23

m n m n m

n m m

Câu 6:

Hiệu trưởng mời 2n (n ≥ 2) sinh viên giỏi đến dự tiệc Mỗi sinh viên giỏi quen ít nhất n sinh viên giỏi khác đến dự tiệc Chứng minh rằng luôn luôn có thể xếp tất cả các sinh viên giỏi ngồi xung quanh một bàn tròn, để mỗi người ngồi giữa hai người mà sinh viên đó quen

Giải

Giả sử có đồ thị G = (V, E) mà trong đó ta có: V là tập hợp các sinh viên được mời dự tiệc, E = (u,v) với

u, v thuộc V và u, v có quan hệ là quen biết nhau (theo giả thiết của đề bài)

Như vậy theo giả thiết của bài toán ta sẽ xác lập được một đồ thị là một đơn đồ thị có 2n đỉnh, mỗi đỉnh

có bậc tối thiểu là n (vì theo đề bài cho: mỗi sinh viên quen biết với ít nhất là n sinh viên khác).Cho nên ta có: số bậc của mỗi đỉnh 2

2

n

Do đó, theo định lý Dirac thì G là đồ thị Hamilton

Mặc khác, đây là đồ thị vô hướng

Vậy theo các lập luận trên thì luôn luôn có thể xếp tất cả các sinh viên giỏi ngồi xung quanh một bàn tròn,

để mỗi người ngồi giữa hai người mà sinh viên đó quen (đpcm)

Câu 7:

Một ông vua đã xây dựng một lâu đài để cất báu vật Người ta tìm thấy sơ đồ của lâu đài (hình sau) với lời dặn: muốn tìm báu vật, chỉ cần từ một trong các phòng bên ngoài cùng (số 1, 2, 6, 10, ), đi qua tất cả các cửa phòng, mỗi cửa chỉ một lần; báu vật được giấu sau cửa cuối cùng

Hãy tìm nơi giấu báu vật?

2

1

Giả sử chúng ta xem mỗi một phòng là một đỉnh của đồ thị G và mỗi một cửa thông giữa các phòng là một cạnh của đồ thị G thì theo yêu cầu của bài toán (qua tất cả các cửa và mỗi cửa chỉ qua một lần) ta phải đi tìm đường đi Euler của đồ thị cho ở trên

Sau đây là đường đi để tìm báu vật: (xuất phát từ phòng số 6, kết thúc ở phòng 18 là cửa cuối cùng)

6 Æ 2 Æ 1Æ 4 Æ 3 Æ 7 Æ 11 Æ 12 Æ 8 Æ 13 Æ 12 Æ 17 Æ 16 Æ 20 Æ 21 Æ 17 Æ 18 Æ 13 Æ 14

Æ 9 Æ 5 Æ 4 Æ 2 Æ 5 Æ 6 Æ 10 Æ 15 Æ 14 Æ 19 Æ 18

Câu 8:

Đồ thị cho trong hình sau gọi là đồ thị Peterson P

a) Tìm một đường đi Hamilton trong P

b) Chứng minh rằng P \ {v}, với v là một đỉnh bất kỳ của P, là một đồ thị Hamilton

b g

Đồ thị G có đường đi Hamilton từ s tới r nhưng không có chu trình Hamilton thì ta cần tìm một đường đi

từ s tới r qua tất cả các đỉnh còn lại nhưng không trở về đỉnh xuất phát

Đường đi Hamilton là : s Æ a Æ b Æ c Æ e Æ f Æ g Æ d Æ h Æ r

Từ đồ thị ta nhận thấy sẽ không có bất kỳ chu trình Hamilton nào xuất phát từ s và lại trở về s

Câu 11:

Cho thí dụ về:

a) Đồ thị có một chu trình vừa là chu trình Euler vừa là chu trình Hamilton;

b) Đồ thị có một chu trình Euler và một chu trình Hamilton, nhưng hai chu trình đó không trùng nhau;

c) Đồ thị có 6 đỉnh, là đồ thị Hamilton, nhưng không phải là đồ thị Euler;

d) Đồ thị có 6 đỉnh, là đồ thị Euler, nhưng không phải là đồ thị Hamilton

Giải a) b)

5