bai tap luyen them

CÁC BƯỚC KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ .Bài 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau: Bài toán tổng quát: Trong mpOxy.. Lập bảng biến thiên.Ghi kết quả tìm được và bảng biế

PHẦN I : GIẢI TÍCH

CHƯƠNG 0: ƠN TẬP CƠNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM

I) Bảng tóm tắt công thức đạo hàm :

Hàm số sơ cấp cơ bản Hàm hợp ( Hàm mở rộng)

a x

u u

u w v

v

v u v u v

CHƯƠNG 1 : ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu :

Ví du 1ï: Chứng minh rằng hàm số :

a) f(x) = x3 – 6x2 + 5 nghịch biến trên đoạn [ 0 ; 4 ]

a) Hàm số y = x3 + x – 11 đồng biến trên R

b) Hàm số y = sin2x – 3 x + 11 nghịch biến trên R

c) Hàm số y = x1 1 nghịch biến trên khoảng ( 1 ; + )

d) Hàm số y = 3x3 – 6x2 + 4x – 5 đồng biến trên R

h) Hàm số y = x3 + x – cosx – 4 đồng biến trên R

i) Hàm số y = x + sinx cosx - 10 đồng biến trên R

j) Hàm số y = x – sinx đồng biến trên nữa khoảng [ 0 ; + )

Bài 2: Xét chiều biến thiên của các hàm số :

a) y = x2 + 3x + 2 b) y = x3 – 2x2 + x + 1

§1.SỰ ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K

a) Nếu f/(x) > 0 x K thì hàm số f đồng biến trên khoảng K

b) Nếu f/(x) < 0 x K thì hàm số f nghịch biến trên khoảng K

c) Nếu f/(x) = 0 x K thì hàm số f lấy giá trị không đổi trên khoảng K

1 m) y =

5

9 8

n) y = 2x –x1 3 i) y = 21 x

* Xác định điểm cực đại và cực tiểu của hàm số Cách 1:

 Nếu f//(x0) < 0 thì x0 là điểm cực đại

 Nếu f//(x0) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu

Cách 2: Lập bảng biến thiên , dựa vào bảng biến thiên để kết luận

Ví dụ 1: Tìm cực trị của các hàm số :

a) f(x) = 13x3 – x2 – 3x + 53 b) f(x) = x + 4x - 5

c) f(x) = 14 x4 – 2x2 + 1 d) f(x) = x 4  x2

Bài tập Bài 1: Tìm cực trị của các hàm số :

g) f(x) = 8  x2 h) f(x) = 2 1



x x

Bài 2:

1/Chứng minh : 1 3 2  

3

y x  mx  m x luơn cĩ cực trị với mọi giá trị của tham số m

2/ Xác định tham số m để hàm số y x 3 3mx2m21x2 đạt cực đại tại điểm x 2

Hàm số f có tập xác định D và x 0 D

x 0 là điểm cực trị của hàm số f f / (x 0 ) = 0

§2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

y x  x x x  7/ Tìm m để hàm số ym2x33x2 mx 5 cĩ cực đại, cực tiểu.

Định nghĩa :

Chú ý:

Muốn tìm GTLN hoặc GTNN của hàm số trên khoảng ( trên đoạn ) ta lập bảng biến thiên

trên khoảng ( trên đoạn tính các giá trị đầu mút ) đó Dựa vào bảng biến thiên để kết luận

Ví dụ: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số :

Bài tập : Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau:

§3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

Giả sử hàm số f(x) xác định trên tập hợp số thực D

a) Nếu tồn tại một điểm x0 D sao cho f(x) f(x0 ) , x0 D

thì số M = f(x0 ) đgl GTLN của hàm số f trên tập D

kí hiệu: M =

b) Nếu tồn tại một điểm x0 D sao cho f(x) f(x0 ) , x0 D

thì số m = f(x0 ) đgl GTNN của hàm số f trên tập D

kí hiệu: m =

a) f(x) = x2 +2x – 5 trên đoạn [ - 2 ; 3 ] b) f(x) =

3

3

x + 2x2 + 3x – 4 trên đoạn [ - 4 ; 0 ] c) f(x) = x + 1x trên khoảng ( 0 ; +)

d) f(x) = - x2 + 2x + 4 trên đoạn [ 2; 4 ]

e) f(x) =

2

4 5

trên đoạn [ 0 ; 1 ] f) f(x) = x – 1x trên nữa đoạn ( 0 ; 2 ]

§4: ĐƯỜNG TIỆM CẬN

Đường thẳng y = y0 đgl Đường tiệm cận ngang ( Gọi tắc là tiệm

cận ngang ) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu

hoặc Đường thẳng x = x0 đgl đường tiệm cận đứng ( Gọi tắc là tiệm

cận đứng ) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu

Chú ý: Cách tìm các tiệm cận

x

x



 c) y =

Muốn tìm tiệm cận đứng ta giải phương trình mẫu số bằng không tìm nghiệm

( VD:hàm số f(x) = có tiệm cận đứng x = - 2 )

+ Hàm số có bậc tử = bậc mẫu thì tiệm cận ngang y = hệ số bậc cao nhất chia nhau ( VD: hàm số y = có tiệm cận ngang y = - 1 )

+ Hàm số có bậc tử < bậc mẫu thì tiệm cận ngang y = 0

+ Hàm số có bậc tử > bậc mẫu thì không có tiệm cận ngang

KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

CÁC BƯỚC KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Bài 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:

Bài toán tổng quát:

Trong mp(Oxy) Hãy xét sự tương giao của đồ thị hai hàm số : 1

2

(C ) : y f(x)(C ) : y g(x)

Bước 1: Tìm tập xác định

Bước 2: Xét sự biến thiên của hàm số

Tính đđạo hàm y’

Tìm các điểm tại đĩ đạo hàm y’ bằng 0 hoặc khơng xác định

Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số

Tìm cực trị

Tìm các giới hạn tại vơ cực,các giới hạn vơ cực và tìm tiệm cận(nếu cĩ)

Lập bảng biến thiên.(Ghi kết quả tìm được và bảng biến thiên)

Bước 3: Vẽ đồ thị hàm số

Vẽ các đường tiệm cận của hàm số ( nếu có )

Tìm giao điểm với các trục toạ độ ( Nếu đồ thị không cắt các trục toạ độ hoặc

giao điểm phức tạp thì bỏ qua )

Tìm một số điểm khác , ngoài các điểm cực đại , cực tiểu, điểm uốn để vẽ đồ

thị chính xác hơn

CHỦ ĐỀ 1: SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ

(C1) và (C2) không có điểm chung (C1) và (C2) cắt nhau (C1) và (C2) tiếp xúc nhau

Chú ý 1 : * (1) vô nghiệm  (C1) và (C2) không có điểm điểm chung

* (1) có n nghiệm  (C1) và (C2) có n điểm chung

Chú ý 2 :* Nghiệm x0 của phương trình (1) chính là hoành độ điểm chung của (C1) và (C2)

Khi đó tung độ điểm chung là y0 = f(x0) hoặc y0 = g(x0)

x

O O

O

)(C1

)(C2

)(C1

)(C2

)(C1

Phương pháp chung:

* Thiết lập phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số đã cho:

f(x) = g(x) (1)

* Khảo sát nghiệm số của phương trình (1) Số nghiệm của phương trình (1)

chính là số giao điểm của hai đồ thị (C1) và (C2)

Ghi nhớ: Số nghiệm của pt (1) bằng số giao điểm của hai đồ thị

(C 1 ) và (C 2 ).

CHỦ ĐỀ 2:TIẾP TUYẾN VỚI ĐƯỜNG CONG

Trong đó : x0 : hoành độ tiếp điểm

y0: tung độ tiếp điểm và y0=f(x0)

k = f'(x0) : hệ số góc của tiếp tuyến

b Dạng 2:

Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y=f(x) biết tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước.

Phương pháp: Ta có thể tiến hành theo các bước sau

Bước 1: Gọi M x y( ; ) ( )0 0  C là tiếp điểm của tiếp tuyến với (C)

Bước 2: Tìm x0 bằng cách giải phương trình : f x'( )0 k, từ đó suy ra y0 f x( )0 =?

Bước 3 : Thay các yếu tố tìm được vào pt: y - y 0 = k ( x - x 0 ) ta sẽ được pttt cần tìm.

Chú ý : Đối với dạng 2 người ta có thể cho hệ số góc k dưới dạng gián tiếp như :

tiếp tuyến song song, tiếp tuyến vuông góc với một đường thẳng cho trước

Khi đó ta cần phải sử dụng các kiến thức sau:

a).Nếu đường thẳng () có phương trình dạng : y= ax+b thì hệ số góc của () là:

Cơ sở của phương pháp:

Xét phương trình f(x) = g(x) (1).Nghiệm x0 của phương trình (1) chính là hoành độ giao

điểm của (C1):y=f(x) và(C2):y=g(x)

(C): y=f(x)



x y

a

k 1/

O

b ax

)(C2

Dạng tốn: Bằng đồ thị hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình :

f(x) = g(m) ( *)

Phương pháp: Đặt k=g(m)

Bước 1: Xem (*) là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị:

C y f x

y k

Bước 2: Vẽ (C) và () lên cùng một hệ trục tọa độ

Bước 3: Biện luận theo k số giao điểm của () và (C) Dựa vào hệ thức k=g(m) đểsuy ra m

Từ đó kết luận về số nghiệm của phương trình (**)

Minh họa:

BÀI TẬP

Bài 1: Cho hàm số: y x 3 3x2, cĩ đồ thị là (C)

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2./ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm M(0;2)

Bài 2: Cho hàm số: yx33x2 4, cĩ đồ thị là (C)

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2./ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d:

y x

3/ Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x3 3x2m0

Bài 3: Cho hàm số: y x 33x2 2, cĩ đồ thị là (C)

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2./ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm thuộc (C) cĩ hồnh độ x 0 3

Bài 4 : Cho hàm số: y x 33x2, cĩ đồ thị là (C)

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2./ Tìm điều kiện của m để phương trình sau cĩ ba nghiệm phân biệt: x33x2 2 m0

Bài 5: Cho hàm số: y4x3 3x 1, cĩ đồ thị là (C)

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2./ Gọi d là đường thẳng đi qua điểm I ( 1;0) và cĩ hệ số gĩc k = 1

x y

)

;0

( k

k

1

M O

2

K

a/ Viết phương trình đường thẳng d.

b/ Tìm toạ độ giao điểm của d và đồ thị (C)

Bài 6: Cho hàm số y2x3 3(m1)x26mx 2m

1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m 1

2/ Xác định m để HS có cực trị, tính tọa độ hai điểm cực trị, viết phương trình đường thẳng qua điểm cực trị đó

Bài 7: Cho hàm số y x 3 mx2m 1 , m là tham số

1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m 3

2/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d:

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

2/ Viết phương trình tíếp tuyến  với (C ) tại điểm A( 0 , - 2)

3/ d là đường thẳng qua K( 1,0) có hệ số góc m Tìm giá trị m để đường thẳng d cắt (C ) tại 3điểm phân biệt

Bài 9: Cho hàm số: y2x3 3x2 1, đồ thị (C)

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2/ Tìm toạ độ giao điểm của ( C ) và đường thẳng d: y x  1

3/ Dùng đồ thị (C) biện luận theo msố nghiệm của phương trình: 2x3 3x2 m0

4/ Biện luận theo a số giao điểm của ( C) và đường thẳng d1 có phương trình: y ax  1

y x cắt đồ thị (C ) tại 3 điểm phân biệt A, M, B trong

đó M là trung điểm của đoạn AB Tính diện tích của tam giác OAB

Bài 11: Cho hàm số: y x 4 2x2

1/ Khảo sát sự biến thiên ,và vẽ đồ thị của hàm số

2/ Định m để phương trình: x4 2x2logm 1 0 có 4 nghiệm phân biệt

Bài 12: Cho hàm số: 1 4 3 2 3

y x  x  có đồ thị (C)

1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2/ Viết PTTT với đồ thị (C) của hàm số tại điểm thuộc (C) có hoành độ x 0 2

3/ Tìm điều kiện của m để phương trình sau có 4 nghiệm : x4 6x2 1 m0

Bài 13: Cho hàm số : y x m x 2(  2)

1/ Tìm điều kiện của m để hàm số có ba cực trị

2/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m 4

3/ Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x 0 1

Bài 14: Cho hàm số: y x 4 2x21

1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2/ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm cực đại của (C)

Bài 15: Cho hàm số : y(1 x2 2)  6, đồ thị (C)

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2/ Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: m x 42x20

3/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết nó song song với đường thẳng d: y24x10

Bài 16: Cho hàm số yx42x23 đồ thị (C)

1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2/ Tìm m để phương trình x4 2x2m0(*) có bốn nghiệm phân biệt

Bài 17: Cho hàm số: y x 4 mx2 (m1) có đồ thị (Cm), (m là tham số).

1/ Tìm m biết đồ thị hàm số đi qua diểm M ( 1;4)

2/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m 2

Bài 18: Cho hàm số: yx42mx2, có đồ thị (Cm), ( m là tham số)

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m 1

2/ Lập phương trình tiếp tuyến của (C1) tại điểm A( 2;0)

3/ Xác định m để hàm số (Cm) có 3 cực trị

Bài 19: Cho hàm số: y x 4 (1 2 ) m x2m2 1, m là tham số

1/ Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x 1 Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số với m vừa tìmđược

2/ Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 4x4 8x2 3 k0

Bài 20: Cho hàm số: y2x2 x4 (C)

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)

2/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành

3/ Dùng đồ thị (C) tìm điều kiện của k để phương trình:x4 2x2k 0(*), có 4 nghiệm

phân biệt.

Bài 21: Cho hàm số 2 1

1

x y x





 có đồ thị (C)1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

2/ Tìm m để (C) cắt đường thẳng (d): y m x ( 1) 3 tại 2 điểm phân biệt A,B nhận I(-1;3) làm trung điểm AB

Bài 22: Cho hàm số 3( 1)

2

x y x





 (C )

1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2/ Viết phương trình tiếp tuyến với (C ) tại giao điểm của (C) và trục tung

3/ Tìm tất cả các điểm trên (C ) có toạ độ nguyên

Bài 23: Cho hàm số : 2 1

2

x y x





 (C)1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2/ Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng y x m  luôn cắt (C) tại hai điểmphân biệt

2/ Viết phương trình tiếp tuyến với với đồ thị (C) tại giao điểm của (C) và trục Ox

3/ Tìm m để đường thẳng d : yx m cắt (C) tại hai điểm phân biệt

Bài 25: Cho hàm số 1

1

x y x

 



 có đồ thị ( C )

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

2/ Tìm điểm M trên Ox mà tiếp tuyến đi qua M song song với đường thẳng (D): y 2x

Bài 26: Cho hàm số: 2

3

x y x

x





 (C)1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2/ Tìm m để đường thẳng d: y mx  2 cắt cả hai nhánh của đồ thị (H)

Bài 28: Cho hàm số: 2 1

1

x y x





 có đồ thị là (C)

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2/ Tìm trên (C) những điểm có tổng khoảng cách từ đó đến hai tiệm cận của (C) nhỏ nhất.3/ Lập phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến đó song song với đường phân giác củagóc phần tư thứ nhất

Bài 29: Cho hàm số: 2

1

x y

x





 có đồ thị là (C)

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2/ Viết phương trình các đường thẳng song song với đường thẳng: y3x 1 và tiếp xúc với đồthị (C)

Bài 30: Cho hàm số: 3

1

y x



 có đồ thị là (C)

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2/ Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại giao điểm của (C) và trục tung

PHẦN II : HÌNH HỌC

CHƯƠNG 0 :

HÖ thèng mét sè kiÕn thøc h×nh häc ph¼ng

1/ HÖ thøc l îng trong tam gi¸c :

a/ Tam giac vu«ng:

AH = a 3

2 a

A

H

C B

a

C

A B

AB = 1

2 BC =

a 2

30 o

a 2

a a

C B

A

B



2/ Các điểm đặc biệt trong tam giác:

 Trọng tâm của tam giác:

 Là giao điểm của ba đờng trung tuyến

 Cách dựng:

- Cách 1: Dựng hai đờng trung tuyến, giao điểm hai đờng trung tuyến này là trọng tâm của tamgiác

- Cách 2: Dựng điểm chia trung tuyến theo tỉ số 2/3 (kể từ đỉnh xuống)

 Trực tâm của tam giác:

 Là giao điểm của ba đờng cao

 Cách dựng:

Dựng hai đờng cao, giao điểm hai đờng cao này là trực tâm của tam giác

 Tâm đ ờng tròn ngoại tiếp tam giác :

 Là giao điểm của ba đờng trung trực của ba cạnh

 Cách dựng:

Dựng hai đờng trung trực của hai cạnh, giao điểm hai đờng trung trực này là tâm của đờng trònngoại tiếp tam giác

 Tâm đ ờng tròn nội tiếp tam giác :

 Là giao điểm của ba đờng phân giác trong của tam giác

2( đáy lớn + đáy nhỏ).Chiều cao

3/ Định lý sin, cos và trung tuyến:

Cho tam giác ABC với các kí hiệu thờng lệ, ta có

r = Bán kính đ ờng tròn nội tiếp tam giác

p = a + b + c

2 c

b

a

A

C B

B

A

1/ Chửựng minh hai ủửụứng thaỳng vuoõng goực.

C1 : Duứng caực quan heọ vuoõng goực ủaừ bieỏt trong maởt phaỳng.

C2 : ab goực( ; ) 90a b  o.

C3: Duứng heọ quaỷ:

C4: Duứng heọ quaỷ:

C5 : Duứng heọ quaỷ:

C6 : Sửỷ duùng ủũnh lớ ba ủửụứng vuoõng goực.

C7: Duứng heọ quaỷ: Nếu một đờng thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì vuông góc với cạnh còn lại của

tam giác

2/ Chửựng minh ủửụứng thaỳng vuoõng goực maởt phaỳng.

C1 : Duứng ủũnh lyự: Đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng khi nó vuông góc với hai đờng thẳng cắt nhau nằm

trong mặt phẳng

b// c , a b  a c

a c

b

( )( )

b, c caột nhau , ,b c( )P , ab a, c a( )P

C2 : Duứng heọ quaỷ: Cho hai đờng thẳng // nếu đờng thẳng này vuông góc với mặt phẳng thì đờng thẳng kia

cũng vuông góc với mặt phẳng

C3 : Duứng heọ quaỷ: Cho hai mặt phẳng vuông góc theo giao tuyến b, nếu đờng thẳng a nằm trong mẵt phẳng

này vuông góc với giao tuyến b thì đờng thẳng a cũng vuông góc với mặt phẳng kia

C4 : Duứng heọ quaỷ: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của hai mặt

phẳng này cũng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó

3/ Chửựng minh hai maởt phaỳng vuoõng goực

C1 : Chửựng minh goực giửừa chuựng laứ moọt vuoõng.

( ) ( )

( )( ),

( )( ) ( ),( )P ( )P P

a a